抗滑樁加固非均質邊坡穩定性上限分析

摘要：針對非均質邊坡的穩定性分析，基于極限分析上限法構建邊坡離散運動學破壞機構以考慮土體內摩擦角非均質性的影響，結合強度折減法推導出了孔隙水壓力作用下抗滑樁加固邊坡安全系數的表達式。采用序列二次規劃優化算法結合二分法進行優化求解并與已有文獻成果進行對比，驗證了該方法的正確性，并將新方法應用于案例分析。結果表明：孔隙水壓力的增加會導致內摩擦角非均質性對邊坡穩定性的影響減小，同時使非均質邊坡安全系數下降以及臨界滑動面向坡內轉移，邊坡破壞模式由坡趾破壞轉變為坡底破壞；內摩擦角非均質性與孔隙水壓力對抗滑樁最優加固位置影響可忽略不計；邊坡形狀及土層分布情況對滑動面及抗滑樁最優加固位置影響較大，在實際工程中應給予重視。

關 鍵 詞：邊坡穩定性；極限分析；孔隙水壓力；非均質性；抗滑樁

中圖法分類號：TU431

文獻標志碼：ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.08.027

0 引 言

邊坡穩定性問題長期以來是巖土工程中的重要問題之一^［1］。極限分析提供了一種直接有效的方法來計算極限荷載的上下限值而被廣泛應用于邊坡穩定性問題中。Drucker等^［2］首次將極限分析運用于邊坡的穩定性分析。Chen^［3］詳細探討了極限分析在巖土體邊坡穩定性問題中的運用。在實際工程中，土中存在的孔隙水壓力會降低邊坡穩定性甚至會導致滑坡現象發生。因此，開展孔隙水壓力作用下邊坡穩定性分析是十分有必要的。Skepton^［4］提出用孔隙水壓力系數A和B來描述孔隙水壓力的發展和變化。在此基礎上，Bishop等^［5］通過引入孔隙水壓力系數r_u來表示坡內每一點孔隙水壓力的大小，該系數也被諸多學者所采用^［6-8］。基于極限分析上限法，Michalowski^［9-10］將孔隙水壓力做功功率作為外功率引入功能平衡方程中，并給出了不同r_u值下邊坡穩定性圖表，同時研究了裂縫對邊坡穩定性的影響。鄒飛等^［11］綜合分析了地下水位變化過程中裂縫深度和位置對邊坡穩定性的影響，研究表明裂縫臨界深度受到地下水位變化而表現出不同的規律性。郭勇^［12］分析了孔隙水壓力作用下二級邊坡的穩定性，并推導出孔隙水壓力做功功率表達式，探討了不同孔隙水壓力系數下土體抗剪強度參數變化對邊坡穩定性的影響。杜佃春等^［13］推導了在孔隙水壓力和地震力共同作用下邊坡臨界高度和安全系數表達式，研究表明邊坡安全系數和臨界滑動面受孔隙水壓力和地震力作用呈現明顯的變化，孔隙水壓力和地震力的增大會導致安全系數下降以及臨界滑動面向坡內轉移。

以上研究均針對均質邊坡，然而坡內土體往往呈現出非均質性^［14-16］，仍以均質邊坡進行分析會高估或低估其實際穩定性。基于此，方薇等^［17］推導了黏聚力沿深度線性變化時邊坡安全系數表達式，討論了成層土不同分布情況下的邊坡穩定性，提出“固腳強腰”的防護措施。王珍等^［18］通過多項式擬合建立了非均質邊坡分段對數螺旋線破壞機構并成功應用于實際邊坡工程分析。

除此之外，為了提高危險邊坡的穩定性，設置抗滑樁是工程中常用的土坡加固手段，其布置靈活，能提供較大的抗滑力，尤其適用于大型土坡的加固處理，在世界范圍內都得到了廣泛應用^［19］。Ito等^［20］基于塑性變形理論，給出了單排樁加固邊坡樁側有效土壓力的計算方法，該方法被國內外學者大量地運用于抗滑樁加固邊坡的穩定性分析^［21-23］。鄭剛等^［24］對抗滑樁加固含軟弱夾層邊坡的靜態和動態穩定性進行研究，分析了不同樁體位置、樁間距的加固效果，結果表明樁體位于邊坡坡體中上部時加固效果最佳。王龍等^［25］研究了抗滑樁加固非飽和土邊坡的抗震穩定性，揭示了基質吸力能強化抗滑樁的加固效果。目前抗滑樁加固邊坡的穩定性評價中，大多針對的是簡單均質土坡或者考慮黏聚力的各向異性和非均質性的非均質土坡，而關于抗滑樁加固復雜邊坡穩定性以及內摩擦角非均質性的綜合研究相對較少。

極限分析上限法是以恒定內摩擦角構建對數螺旋破壞機構，未能考慮內摩擦角非均質性的影響。孫志彬^［26］、Qin^［27］等根據極限分析上限定理構建離散機構以克服這一缺點，并成功應用于復雜邊坡穩定性分析中。鑒于此，本文基于離散機構上限法，對孔隙水壓力作用下抗滑樁加固非均質邊坡的穩定性進行分析，探討土體內摩擦角非均質性對邊坡穩定性的影響，通過案例分析研究不同孔隙水壓力系數下復雜邊坡穩定安全系數及臨界滑動面的變化規律和抗滑樁的加固效果，以期為類似邊坡工程提供一定的借鑒。

1 離散運動學機構

傳統上限法是基于恒定內摩擦角構建對數螺旋破壞機構，無法考慮內摩擦角非均質性。而基于離散運動學機構的上限法能夠很好地考慮這一因素的影響，例如成層土坡或者坡內內摩擦角隨深度線性變化情況。圖1所示為邊坡離散運動學機構示意圖。以坡底破壞模式為例，當參數d=0時，破壞模式轉變為坡趾破壞。邊坡坡高為H，坡角為β。以K為坐標原點，臨界滑動面由若干直線段P_iP_i+1組成，滑動土體繞旋轉中心點O以角速度ω作剛體滑動，未知點P_i+1（x_i+1，y_i+1）可由已知點P_i（x_i，y_i）根據相關聯流動法則求解。結合幾何關系，可以得到點P_i+1的計算表達式^［28］：

式中：x_o，y_o分別為旋轉中心點O的橫、縱坐標；θ_i為OP_i和水平方向的夾角；Δθ為固定角度增量，取0.1°^［26］；φ_i為點P_i處的內摩擦角。當點P_i在邊坡輪廓線外側時，滑動面停止生成，采用線性插值的方法使得P_i位于邊坡輪廓線上。

2 邊坡穩定性上限解答

2.1 外功率

極限分析上限法可表示為對于任意一個滿足運動學許可的破壞機構，令外功率等于內能耗散，可求得極限荷載的上限解。根據構建的離散運動學機構，外功率為滑動土體重力功率W_γ和孔隙水壓力功率W_u之和，內能耗散D為滑動土體沿滑動面產生的能量耗散D_c和抗滑樁側阻力能量耗散D_p之和。圖2所示為離散塊體外功率和內能耗散計算簡圖，其中假定坡內內摩擦角隨深度呈線性分布，坡頂和坡趾處內摩擦角分為φ₀和φ_h。文獻［27-29］采用四邊形塊體的離散方式，由此可以得到滑動土體重力功率為

W_γ=ω∑γ_iA_ix_Gi－x_o（2）

式中：ω為旋轉角速度；γ_i為點P_i處的土體重度；A_i為四邊形塊體P_iP_i+1Q_i+1Q_i的面積；x_Gi為四邊形塊體重心G_i的橫坐標。

坡內孔隙水壓力分布復雜，Bishop^［30］提出孔隙水壓力系數用以考慮其對邊坡穩定性的影響。Bishop等^［5］進一步給出土體內任意一點的孔隙水壓力可視為上覆土層自重應力的一部分，并驗證了該公式能滿足工程精度要求。如圖2（b）所示，基于離散運動學機構的孔隙水壓力大小可表示為

u_i=r_uγ_ih_i（3）

式中：u_i為點P_i處的孔隙水壓力；r_u為孔隙水壓力系數，取0～0.5；h_i為點P_i處對應的孔隙水壓力作用高度。根據文獻［9］的計算方法，基于離散運動學機構的孔隙水壓力功率可表示為

2.2 內能耗散率

Ito和Matsui^［20］根據塑性變形理論推導出剛性樁在摩擦性土中所受到的側向土壓力表達式。結合離散運動學機構，作用在抗滑樁的側向土壓力p（z）可表示為

其中：

式中：c_i為點P_i處的黏聚力；D₁為相鄰兩樁的中心距離；D₂為相鄰兩樁邊緣之間的距離；Z_i為樁體任意處到坡面的深度。如圖2（b）所示，抗滑樁加固位置可以用X_F/L表示，其中，X_F為抗滑樁到坡趾的水平距離，L為坡肩到坡趾的水平距離。將抗滑樁離散成若干個直線段，則抗滑樁側阻力的能量耗散率可表示為^［25］

D_p=ω∑F_i·I_i·Δl（10）

式中：F_i為每段樁的側阻力，F_i =p（z）/D₁；I_i為每段樁與旋轉中心點O的豎向距離；Δl為每段樁的長度，取0.01。

由于滑動土體作剛體旋轉，因此內能耗散只發生在滑動面上，其表達式為^［28］

結合強度折減法，對土體實際抗剪強度進行折減以達到土體極限平衡狀態，該折減系數即為邊坡穩定安全系數F_S：

式中：c和φ為土體實際抗剪強度；c′和φ′為折減后土體抗剪強度。令外功率等于內能耗散，并通過序列二次規劃優化算法結合二分法迭代求解出F_S^［26］，求解流程如圖3所示。

3 結果分析

3.1 對比驗證

為驗證本文計算結果的正確性，將邊坡退化為均質邊坡，與文獻［9，22］進行對比驗證。文獻［9］通過繪制一系列穩定性圖表能夠快速獲取不同工況以及不同參數組合情況下邊坡的安全系數。均質邊坡相應參數為：H=8 m，γ=18 kN/m³，c=20 kPa，φ₀=φ_h=15°。表1所列為不同孔隙水壓力系數r_u下邊坡安全系數對比結果，最大誤差為1.11%，誤差來源于穩定性圖表中安全系數讀取的差異，并且最大誤差在工程可接受范圍內。選取文獻［22］中二維情況下抗滑樁加固邊坡穩定性的結果進行對比，模型參數及對比結果如圖4所示。圖4表明對比結果的吻合度非常高，由此可以說明本文計算結果的正確性。

3.2 內摩擦角非均質性的影響

基于離散運動學機構的上限法優勢在于可以分析坡內土體內摩擦角的非均質性對邊坡穩定性的影響。

（1）給出具有不同坡角的均質邊坡在不同孔隙水壓力系數r_u下的安全系數和臨界滑動面分別如圖5和圖6所示。其中相應參數為：H=8 m，γ=18 kN/m³，c=20 kPa，φ₀=φ_h=15°。從圖5和圖6可以看出：F_S隨著r_u的增大呈現線性減小，臨界滑動面向坡內轉移，這是由于外功率增加了孔隙水壓力的做功功率，需要增加土體沿滑動面的內能耗散率以滿足內外功率相等，從而導致臨界滑動面加深。由此說明邊坡內孔隙水壓力是影響邊坡穩定性的重要因素之一，邊坡發生失穩時會造成大量坡體滑落，在實際工程中需給予重視。

（2）圖7給出了φ₀=10°～30°情況下邊坡安全系數與均質情況下安全系數的差異。從圖7可以看出，隨著r_u的增大，非均質邊坡安全系數和均質邊坡安全系數的差異在逐漸減小，尤其當r_u=0.5時，30°和45°均質和非均質邊坡安全系數差異可以忽略不計，說明邊坡內存在較大孔隙水壓力時，土體內摩擦角的非均質性對安全系數的影響很小，此時可按均質邊坡計算安全系數。

（3）r_u=0.5情況下坡角為60°的兩類非均質邊坡安全系數與均質情況下的差距出現了反轉，對應的臨界滑動面如圖8所示。圖8表明不同φ₀對應的臨界滑動面的差距主要體現在上半區域，原因在于對于相同的折減系數，即安全系數F_S，相較于φ₀=10°，φ₀=30°的折減量較大，土體的抗剪強度損失較多，滑動面向坡面移動能有減小內能耗散率，從而保證內外功率相等。因此，φ₀=30°對應的安全系數小于φ₀=10°對應的安全系數。

3.3 抗滑樁加固效果

選取坡頂處不同內摩擦角以描述內摩擦角沿深度線性變化的不同梯度，圖9和圖10所示為不同梯度以及不同r_u兩種工況下抗滑樁不同加固位置的加固效果變化。從圖9和圖10可以看出，兩種工況下抗滑樁不同加固位置的加固效果整體變化規律相似，都存在一段最優加固位置以獲取安全系數最大值，該位置位于邊坡坡體中上部。除此之外，內摩擦角非均質性和孔隙水壓力系數對抗滑樁最優加固位置的影響可以忽略不計，說明在進行邊坡加固時，抗滑樁排布可按照簡單均質邊坡情況進行設置。表2給出了不同r_u情況下抗滑樁加固均質邊坡的最優加固位置范圍。圖11和圖12表明兩種不同工況下抗滑樁加固的邊坡臨界滑動面更淺，這是由于樁的側向土壓力提供了有效的抗滑力，導致坡內土體沿臨界滑動面的內能耗散率減少，從而造成臨界滑動面向坡面轉移。

4 案例分析

4.1 分層單級邊坡

基于離散運動學機構對復雜邊坡穩定性進行分析。圖13所示為坡度為1∶2、坡高為10 m的分層單級邊坡在不同r_u情況下的臨界滑動面。由圖13可知，r_u的增加會導致邊坡F_S降低，與圖4規律相同，再次說明了孔隙水壓力對邊坡穩定性產生不利影響。然而，邊坡臨界滑動面的整體差異很小，其中下半部分滑動面差異較為明顯，這是因為相較于1號土層，2號土層和3號土層土體內摩擦角較小，導致抗剪強度較小，從而造成較淺的滑動面；而r_u=0.25和r_u=0.5對應的上半部分臨界滑動面幾乎重合，說明對于較大的內摩擦角，r_u的變化對滑動面影響很小。相較于無抗滑樁加固邊坡，抗滑樁加固邊坡的臨界滑動面后緣遠離坡肩，滑動面向坡內轉移，形成深層滑動現象。圖14給出了抗滑樁不同加固位置的加固效果，可以看出存在最優加固位置以達到安全系數最大值。根據GB 50330-2013《建筑邊坡工程技術規范》規定^［31］，永久邊坡在一般工況下安全等級為一級、二級、三級對應的邊坡穩定安全系數分別為1.35，1.30，1.25，并在圖14中給出相應的安全系數范圍。可以看出在r_u=0.5的情況下，抗滑樁最優加固位置對應的安全系數超過1.35，說明設置抗滑樁能顯著提高邊坡穩定性。

4.2 分層多級邊坡

圖15所示為分層4級邊坡，坡高H=10 m，相鄰兩級邊坡的平臺寬度為2 m，每級坡角分別為45°，30°，20°和45°。在不考慮孔隙水壓力作用下，F_S=1.593與文獻［28］的數值（1.60）十分接近，進一步說明了本文計算結果的正確性。從圖15可以看出，臨界滑動面隨著r_u的增加向坡體內部移動，并且破壞模式從坡趾破壞轉變為坡底破壞，說明孔隙水壓力作用導致邊坡安全系數下降的同時增加了滑動土體的體積，造成了更為嚴重的滑坡災害。因此，在實際工程中要時刻關注坡內孔隙水壓力的變化并做好相應的降低水位措施。相較于無抗滑樁加固邊坡，抗滑樁加固邊坡的破壞模式均為坡趾破壞，臨界滑動面下半部較淺，后緣遠離坡肩，滑動面較深，與圖13呈現相似的規律。圖16給出了抗滑樁不同加固位置的加固效果，與圖14類似，存在最優加固位置以達到安全系數最大值，同時也能滿足工程需要，即邊坡安全等級能達到一級。值得注意的是，兩類復雜邊坡的抗滑樁最優加固位置位于邊坡坡體中下部，與簡單均質邊坡有所不同，因此，需要根據實際邊坡幾何參數和材料參數計算出抗滑樁最優加固位置。除此之外，相較于圖13的分層單級邊坡，圖15的分層多級邊坡的臨界滑動面變化更為明顯，說明邊坡形狀和土層參數及分布對臨界滑動面的影響不可忽視，在實際工程中應做好地質勘探以確保計算臨界滑動面的準確性。

5 結 論

本文基于極限分析上限定理，構建離散運動學機構，考慮了土體內摩擦角非均質性對邊坡穩定性的影響。引入孔隙水壓力系數r_u分析了孔隙水壓力作用下抗滑樁加固非均質邊坡穩定性的變化規律，分析了內摩擦角非均質性對邊坡穩定性的影響并評價了抗滑樁加固效果，探討了抗滑樁加固復雜邊坡的臨界滑動面變化規律以及不同位置抗滑樁的加固效果。得到了以下主要結論：

（1）孔隙水壓力的增大會導致邊坡安全系數的降低，弱化土體內摩擦角非均質性對邊坡穩定性的影響，同時也會致使邊坡臨界滑動面向坡內轉移，破壞模式由坡趾破壞向坡底破壞轉變。

（2）設置抗滑樁能顯著提高邊坡的穩定性，且存在抗滑樁最優加固位置，可使邊坡穩定安全系數達到最大值；孔隙水壓力與內摩擦角非均質性對最優加固位置的影響可忽略不計。

（3）邊坡形狀和土層材料參數及分布對臨界滑動面影響較大，多級邊坡以及內摩擦較小的土層對應臨界滑動面變化幅度較大；簡單均質邊坡抗滑樁最優加固位置位于邊坡坡體中上部，而復雜邊坡抗滑樁最優加固位置位于邊坡坡體中下部，因此需要根據邊坡實際情況設置抗滑樁。相較于傳統對數螺旋破壞機構，該離散機構無需提前假設滑動面形狀，更適用于成層邊坡或分層多邊坡等復雜邊坡且計算簡便，為復雜邊坡穩定性分析提供了一個可行的方案。

參考文獻：

［1］孫加平，詹鳳程，陳延可，等.基于最小勢能法的二維邊坡整體滑動方向研究［J］.人民長江，2021，52（2）：153-157.

［2］DRUCKER D C，PRAGER W，GREENBERG H J.Extended limit design theorems for continuous media［J］.Quarterly of Applied Mathematics，1952，9（4）：381-389.

［3］CHEN W F.Limit analysis and soil plasticity［M］.Netherlands：Elsevier Science，1975.

［4］SKEMPTON A W.The pore-pressure coefficients A and B［J］.Géotechnique，1954，4（4）：143-147

［5］BISHOP A W，MOEGENSTERN N R.Stability coefficients for earth slopes［J］.Géotechnique，1960，10（4）：129-150.

［6］VIRATJANDR C，MICHALOWSKI R L.Limit analysis of submerged slopes subjected to water drawdown［J］.Canadian Geotechnical Journal，2006，43（8）：802-814.

［7］LI Z W，YANG X L.Active earth thrust considering tension crack，pore-water pressure and soil nonlinearity［J］.KSCE Journal of Civil Engineering，2019，23（1）：56-62.

［8］PAN Q J，XU J S，DIAS D.Three-dimensional stability of a slope subjected to seepage forces［J］.International Journal of Geomechanics，2017，17（8）：04017035.

［9］MICHALOWSKI R L.Slope stability analysis：a kinematical approach［J］.Géotechnique，1992，42（2）：283-293.

［10］MICHALOWSKI R L.Stability charts for uniform slopes［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2002，128（4）：351-355.

［11］鄒飛，程肖，趙煉恒，等.水力效應對裂縫邊坡穩定性影響的上限分析［J］.北京工業大學學報，2016，42（12）：104-112.

［12］郭勇.考慮孔隙水壓力作用的二級邊坡穩定性上限分析［J］.公路工程，2014，39（4）：252-255.

［13］杜佃春，唐承鐵.地震效應和孔隙水壓力對邊坡穩定性影響的上限分析［J］.鐵道科學與工程學報，2015，12（6）：1348-1352.

［14］饒平平，夏云，沈程林.不同水位下降模式下非均質及各向異性邊坡穩定性分析［J］.上海理工大學學報，2021，43（3）：277-285.

［15］寧帥，莊妍，崔曉艷，等.各向異性和非均質性的抗滑樁邊坡穩定性分析［J］.哈爾濱工程大學學報，2022，43（4）：529-535.

［16］SUN Z B，LI J F，PAN Q J，et al.Discrete kinematic mechanism for nonhomogeneous slopes and its application［J］.International Journal of Geomechanics，2018，18（12）：04018171.

［17］方薇，楊果林，劉曉紅，等.非均質邊坡穩定性極限分析上限法［J］.中國鐵道科學，2010，31（6）：14-20.

［18］王珍，曹蘭柱，王東.非均質邊坡穩定性上限分析評價研究［J］.巖土力學，2019，40（2）：737-742.

［19］何文野，范榮全，唐楊，等.抗滑樁參數對邊坡穩定性影響研究［J］.人民長江，2020，51（增1）：191-195.

［20］ITO T，MATSUI T.Methods to estimate lateral force acting on stabilizing piles［J］.Soils and Foundations，1975，15（4）：43-59.

［21］李見飛，蘇楊，孫志彬，等.基于Newmark滑塊原理的抗滑樁加固三維土坡的地震位移分析方法［J］.巖土力學，2020，41（8）：2785-2795.

［22］范方方，李健，葉茂，等.地震作用下三維抗滑樁加固土質邊坡穩定性分析［J］.防災減災工程學報，2021，41（2）：394-402.

［23］張平，韋家敬，李嘉，等.非均質各向異性土體中樁加固邊坡穩定性研究［J］.鐵道科學與工程學報，2023，20（1）：169-177.

［24］鄭剛，趙佳鵬，周海祚，等.抗滑樁加固含軟弱夾層邊坡的靜動力極限分析［J］.重慶大學學報，2019，42（11）：47-55.

［25］王龍，陳國興，胡偉，等.基于擬動力法抗滑樁加固非飽和土邊坡穩定性分析［J］.防災減災工程學報，2023，43（6）：1386-1394.

［26］孫志彬，潘秋景，楊小禮，等.非均質邊坡上限分析的離散機構及應用［J］.巖石力學與工程學報，2017，36（7）：1680-1688.

［27］QIN C B，CHIAN S C.Kinematic analysis of seismic slope stability with a discretisation technique and pseudo-dynamic approach：a new perspective［J］.Géotechnique，2018，68（6）：492-503.

［28］侯超群，張亭亭，孫志彬，等.基于離散上限機構的復雜邊坡穩定性分析［J］.工業建筑，2018，48（11）：99-105.

［29］梁承龍，劉芳.地震作用下雙層土裂縫邊坡穩定性分析［J］.地震工程學報，2022，44（5）：1050-1058.

［30］BISHOP A W.The use of pore-pressure coefficients in practice［J］.Géotechnique，1954，4（ 4）：148-152.

［31］中華人民共和國住房和城鄉建設部.建筑邊坡工程技術規范：GB50330-2013［S］.北京：中國建筑工業出版社，2014.

（編輯：鄭 毅）

Upper bound analysis of heterogeneous slopes reinforced by anti-slide piles

YAN Ping，YAN Dan

（Guangxi Shenglong Engineering Survey，Design and Testing Co.，Ltd.，Hechi 547000，China）

Abstract：Aiming at the stability analysis of heterogeneous slopes，a discrete kinematic failure mechanism of slopes was constructed based on the upper limit analysis method to consider the influence of heterogeneity of soil internal friction angles.Combined with the strength reduction method，an expression of the safety factor of slopes reinforced by anti-slide piles subjected to pore water pressure was derived.Sequential quadratic programming optimization algorithm combined with dichotomy method was used to optimize the solution，and the correctness of the method was verified by comparing the results with the existing literature solutions，and a case study was carried out.The results show that the increase of pore water pressure will reduce the influence of heterogeneity of internal friction angles on slope stability，and also lead to the decrease of the safety factor of the heterogeneous slope and the critical sliding surface shifting inward the slope，which change slope failure mode from toe failure to base failure.The heterogeneity of internal friction angles and pore water pressure have little effect on the optimal position of anti-slide piles.The shape of slopes and soil layer distribution have great influence on the critical sliding surface and the optimal reinforcement position of anti-slide piles，which should be paid attention to in practical engineering.

Key words：slope stability; limit analysis; pore water pressure; heterogeneity; anti-slide pile