實變函數課程教學中的思政元素探索

摘"要：本文運用不同的思政方法，通過價值觀滲透、插入有趣案例、講好名人故事、以具體代替抽象、融入哲學思想等，探討如何在實變函數課程的不同教學內容和教學環節中挖掘和融入思政元素。做到以實變函數知識傳授為基礎，將課堂思政融入課程教學中，實現實變函數知識傳授與思政思想引領的有機統一，實現專業課程與思想政治理論課協同育人，達到事半功倍、潤物無聲的育人效果。

關鍵詞：實變函數；課堂思政；協同育人；價值引領；案例穿插

中圖分類號：G4"""""文獻標識碼：A""""""doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.17.076

實變函數課程是普通高等院校數學與應用數學專業的本科生重要的專業課之一。現代數學的發展離不開實變函數的創立，其理論已被廣泛應用到基礎數學和應用數學的多個分支，例如：復分析、泛函分析、微分方程、概率論等。實變函數是學生進一步學習其他分析數學分支和科學研究必不可少的基礎知識。它是由法國數學家勒貝格在19世紀末20世紀初所創立的一種積分理論，它克服了黎曼積分的缺點，在點集理論的基礎上研究實變量函數的分析數學，是一門抽象性和理論性均很強的學科。它雖是數學分析的深入和推廣，是普通微積分學的進一步發展，但在思想方法上卻和普通微積分有著明顯的不同。實變函數更加抽象化、更偏理論化，這使得多數學生覺得本課程晦澀難懂，學習難度大。為深入貫徹落實習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上的重要講話精神，實現專業課程與思想政治理論課同向同行、協同育人。本文針對如何在實變函數課程中將思政內容內化于專業知識、外化于課程教學作為重點，在課程內容設計和教學環節中，以社會主義核心價值觀為引領，通過運用引入經典案例、講好名人故事、融入哲學思想等方式，發揮課堂育人的功能，實現實變函數課程與思想政治理論課程同向同行。

1"在課程概述中滲透式插入思政元素

每門課程真正的課程設計總是開始于課程概述，這是教學大綱最開始的部分，起著喚起學生對所學課程的興趣的重要作用。在此環節，除了給出實變函數研究的主要內容、課程要達到的目標、作業要求和成績評定等內容外，十分重要的是和學生講清楚：為什么學習實變函數、學習這門課有什么用處，它和之前所學知識有什么聯系，該門課程以后的發展是什么。通過這些介紹給學生建立本門課程的宏觀理解，引起學生的學習興趣，提高對所學專業的認同感，引導樹立端正的學習態度和正確的學習目標。另外，給學生解釋清楚本門課程的特點也很重要，其理論性強，抽象性高。學過實變函數的學生通常會說：“實變函數很難學”或者“實變函數，要學十遍”，這些話充分體現了學習實變函數的難度，說其為本科數學中最難學的一門專業課也不為過。畏難情緒會給學生學好實變函數帶來心理上的嚴重負擔。

然而，“天下事有難易乎？為之，則難者亦易矣；不為，則易者易難矣。”一件事情成功的第一步是要有不畏困難的心態。這里可引入中國共產黨黨史：在困難中誕生、發展、壯大恢宏。習近平總書記說：“敢于斗爭、敢于勝利，是中國共產黨不可戰勝的強大精神力量”。鼓勵學生學習中國共產黨不畏困難、勇往直前的奮斗精神。或者講述紅軍爬雪山、過草地，不怕犧牲，英勇斗爭、越挫越勇，一往無前最終取得勝利的二萬五千里長征故事。長征之路是一條荊棘遍布之路，也是一條開創新局之路；是一條篳路藍縷之路，也是一條通往勝利之路。歷史照亮未來，征程未有窮期。通過這些紅色革命故事引導學生正視本門課程的困難之處，學習“紅軍不怕遠征難”和中國共產黨不畏任何艱難險阻的奮斗精神，發揚不畏艱難、迎難而上的斗爭精神，鼓勵學生在學習本課程的過程中，不向任何困難低頭，勇于克服學習中遇到的困難，努力增強自身的本領，勇攀科學高峰。

2"在章節學習中案例穿插式引入思政元素

實變函數課程中集合論的知識抽象，很多學生理解困難。實變函數課程的重難點在于是否能夠熟練運用集合論的語言來描述函數及其性質。如何幫助學生學好集合論部分的相關知識，可以在講解有關概念和定理時，適時插入一些形象生動的例子，幫助學生理解和掌握所學知識。

例如：在講解可數集合的有限并或可數并仍然是可數集這一結論時，可引入希爾伯特無限旅館的故事幫助學生理解這一結論。讓學生想象有這樣一家名為“無限旅館”的酒店，它有無窮多間客房，每間恰能住一位客人。一天晚上，無限旅館已經客滿了，但當日又有一位旅客走進了酒店并且要求安排一個房間。夜班經理并沒有拒絕他，而是決定給他一個房間。他是怎么做到的呢？很簡單，夜班經理讓1號客房的客人搬到了2號客房，2號客房的客人搬到3號客房，以此進行下去，每位客人從n號房搬入n+1號客房。由于酒店有無窮多個房間，所以總有第n+1號房間給第n個已入住的客人，這樣1號房間就留給了新來的旅客。如果當日新來30名旅客來到這家客滿的無限旅館，上述安排房間的方法同樣適用，只需要讓每個已經入住的客人從第n號房搬到第n+30號房間，這樣前30個房間就能空出來安排當日新來的30名旅客了。這個故事讓學生理解了有限集和可數集的并集仍然是可數集。繼續向學生講該故事，引發學生的思考：現在有一輛無限長的巴士，拉了可數無限多位客人來入住已經客滿的無限旅店，夜店經理如何安排新客人？他讓1號房間的客人搬到2號間房住，讓2號間房的客人搬到了4號房間，3號房間的人搬到了6號房間住，以此進行下去，讓每位原先入住的客人從第n號房間搬到第2n號房間，這樣就有無限多個奇數號房間空了出來，可以安排新來的客人入住了。這表明，兩個可數集合的并集仍然是可數集，類似的方法可以說明有限多個可數集的并仍然是可數集。故事繼續進行下去：一天晚上，由可數無限多輛并且每輛都載有可數無限多客人的無限長的大巴車開到了已經客滿的無限旅館門口，要求夜班經理安排入住。這時候，夜班經理該怎么解決這個棘手問題？經理遇到的問題難度雖然是越來越大，但人的智慧卻是無窮大的。人類認識世界的過程是永無止境的，科學研究也是一個無窮的過程，而人類對未知領域的進取心有多大，智慧就有多大。用這樣層層難度遞增的小故事誘導和引發學生思考，激勵學生燃起向學愛學之心，引導他們勇攀科學高峰，走科學報國之路。

又如，在應用反證法證明“所有集合的全體不能構成一個集合”時，我們應用到了羅素悖論，將所有不屬于自身的集合構成一個集合，然后對該集合驗證矛盾存在，從而原命題得證。在該命題的證明中，羅素悖論發揮了重要作用。為了幫助學生理解羅素悖論，可以用理發師悖論說明白這件事：在某城市有一位理發師，他宣稱“本人的理發技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己理發的人理發，我也只給這些人理發。”讓學生思考：這位理發師能不能給他自己理發？如果他不給自己理發，他就屬于“不給自己理發的人”，他就要給自己理發，而如果他給自己理發？他又屬于“給自己理發的人”，他就不該給自己理發。這個小故事中的思維邏輯與羅素悖論是等價的，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也成立。理發師悖論如何解決呢，可能學生更關心這個問題。而這個問題的解決，剛好給出了“所有集合的全體不能構成一個集合”的結論。這是因為理發師悖論產生矛盾的原因在于假設了這樣的一位理發師存在，而具有這種性質的理發師（即，給本城那些不給自己理發的人理發）是不存在的，從而解決了問題。這種解決問題的方法，是反證法，即是借助矛盾的論證法，首先假設前提成立，然后進行邏輯推理和概念分析，進而得到邏輯矛盾，由此證明前提不成立。引導學生運用辯證眼光看問題，熟練將矛盾法應用到日常學習和實踐中，找出事物內在的矛盾，通過解決矛盾，推進事物發展。

在實變函數課程中，通過穿插講解諸如此類的生動合理的精彩案例，將抽象的數學邏輯和數學結論變得形象具體，引發學生的思考，加深學生對集合思想的理解和掌握，從而達到良好的教學效果。

3"講好名人故事加入有厚度的思政元素

在教學過程中挖掘人文素養，使教學知識內涵更加豐富，知識教育更富情趣，能力培養更趨務實。

例如，在引入勒貝格積分的定義時，可將勒貝格積分的創立者：法國數學家勒貝格的生平及勒貝格積分的建立和發展講述給學生。勒貝格從小因父親去世家境貧困，靠母親一人支撐家庭。但貧不改其志，他從小勤奮愛學，成績優異，在19歲時考入法國高等師范學院，成為數學家波萊爾的學生。大學畢業后，勒貝格在一所中學任教，雖然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究實變函數理論，并于1902年發表了博士論文，后來創立了以他的名字命名的積分理論。該理論創立后并不被當時的很多數學家接受，甚至很長一段時間內，勒貝格在巴黎找不到工作，只能去偏遠地方工作。直到1910年，他才重回巴黎并最終成為法蘭西學院的教授。勒貝格積分是經典分析和現代分析的分水嶺，極大地促進了分析數學的進展，是現代分析的奠基，也促使后續其他積分建立。這個歷史故事表明了新的理論在發展過程中，雖然道路不平坦，但步伐總是往前的。

用名人故事教育學生學習數學家在追求真理過程中的不屈嘗試和突破，堅持不懈和敢于斗爭的精神。做事遇到困難的時候堅持真理，不放棄，總會迎來柳暗花明又一村的光明，培養學生在困境中堅忍不拔的毅力。又如，在講康托爾三分集的時候，向學生介紹被時代冷遇卻為數學世界留下了無窮樂園的德國數學家康托爾的故事和數學貢獻，尤其是其所建立的集合論。通過康托爾這位被譽為數學家中的探險家的故事，激勵學生在科學道路上和日常學習中發揮勇于探索、敢為人先的拼搏精神。還有許多在實變函數的發展中作出了不可磨滅貢獻的數學家，諸如，蘇聯數學家魯津、俄國數學家葉戈羅夫、法國數學家法圖、匈牙利數學家里斯等人的故事也可結合授課內容進行講授，激勵學生在學習上迎難而上、奮斗不息。

4"見縫插針融入哲學思政元素

人類的認知發展是從具體到抽象，從特殊到一般。在教學過程中，如果能夠以直觀具體的例子作為引入，幫助理解抽象的定義，從特殊例子推廣到一般結論，教學效果會更顯著。在實變函數的教學過程中，見縫插針地融入哲學思想，完善學生認識世界的方法論。

例如，在引入“對等”的概念時，比較兩個元素個數均為無限多的集合何時是相等的，這種情況下，像有限多個集合運用數數的方法就行不通了。如何引入，讓學生想象這樣一個情景：在一間大教室中，如果每個人有一個座位，每個座位僅有一個人坐，我們根本不用一個一個去數，就立刻知道教室中的人數和座位數是相同的。在這個例子中，我們運用了一一對應的思想，把座位和學生分別構成的集合做了對應，從而可快速得出學生數和座位數是一樣多結論，這就是比較兩個無限集合大小的本質。從而用集合間的一一映射來定義兩集合的對等關系。在這個過程中，遵循學生認知發展的規律，引導學生從具體實例出發理解抽象概念，教導學生透過現象看本質，促進學生哲學思維的提高和數學思維的培養。

在講康托爾三分集的構造和性質的時候，讓學生認識到其中蘊含的事物的無限可分性，以及局部和整體的相似性，簡單和復雜的相統一性。在講可測集的定義時，在一維實數空間中將測度與日常生活中的長度、二維空間中的測度與面積、三維及以上空間中的測度與體積做類比，讓學生理解長度、面積、體積的有限可加性，要解決測度的無限可加性從而產生了可測集的概念，通過類比引入新概念，讓學生從實踐認識中提高對抽象概念的理解，提升自己的抽象思維能力。

在學習勒貝格積分的定義時，通過非負的簡單函數，再到非負的可測函數，最后到一般的可測函數這個從特殊到一般的過程，逐步建立起勒貝格積分。從特殊到一般這種哲學思維在實變函數中多處均有體現，例如魯津定理的證明。在介紹勒貝格積分理論時，對比黎曼積分和勒貝格積分建立的角度不同，教導學生遇到問題學會跳出常規思維模式，從不同角度出發辯證看待問題，思考問題和解決問題，終會有新的收獲。在比較兩個無限集合——整數集和自然數集的大小時，雖然自然數集是整數集的子集，但二者的基數一樣，從而告訴學生思考問題要遵從理性和科學，而不是僅憑經驗或直觀感受得出結論。

實變函數作為數學專業的一門重要的專業課，積極挖掘其中的思政教育元素并將之有機融入課程教學中去，充分發揮該課程的育人功能，是高校課程思政建設中的重要環節，也是每位任課教師義不容辭的責任。

參考文獻

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