問題導入式教學法在高等代數中的應用*

【摘" 要】 高等代數作為高等院校數學專業的核心基礎課程之一，以其豐富的概念體系、繁多的定理及高度抽象和邏輯嚴密的內容著稱，對初學者而言，確實存在一定的學習難度。在教學中引入問題導入式教學法，能夠顯著提升教學效果，達到事半功倍的效果。該方法不僅能夠增強學生的嚴謹邏輯推理能力，還能夠激發其科學創新能力，使學生在解決問題的過程中積累寶貴的科學研究經驗，進而有效培養其數學思維和數學素養。

【關鍵詞】 高等代數;問題導入式教學法;教學效果

南宋教育家朱熹：“讀書無疑者須教有疑，有疑者卻要無疑，這里方是長進”。明代教育家陳獻章：“前輩學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進。疑者，覺悟之機也，一番覺悟，一番長進”。學起于思，思源于疑，疑問是思維的火種，思維以疑問為起點，有疑問才有思維，經過思維才能解疑，故探索知識的思維過程總是從問題開始，又在研究解決問題中得到發展。可見，在我國古代教育教學中就有了問題導入式教學法的基本思想。

問題導入式教學法起源于20世紀50年代，70年代以后得到較大的發展。目前，這類教學方法在高等教育教學中已形成一種基本的改革思路和教學方式。問題導入式教學法在國內學者的不斷推進和完善下，其在高等教育教學中得到了廣泛的應用，并取得良好的效果。

一、問題導入式教學法相比傳統教學法的優勢

傳統的教學方法強調教師在課堂教學中起主導作用，教師控制整個課堂節奏，掌握教學進度，發揮教育教學作用，對學生傳授知識的同時也進行思想品德教育。然而缺點是教學課堂中學生參與得較少，有很大的局限性，容易形成注入式教學。問題導入式教學法就是以問題為線索貫穿整個教學過程，讓學生在探索問題、分析問題和解決問題的思維活動中，掌握新知識。因此，相比傳統教學法，問題導入式教學法有以下幾點優勢：

首先，問題導入式教學法基本思想是以問題為核心，以教學內容（即，所要講授的知識點）為目標，利用知識的遷移規律，把與所要講授的知識點通過相關的舊知識點牽引出來，讓學生根據新舊知識的內在邏輯聯系研究問題，分析問題，最后解決問題，從而達到預期的教學效果。該過程也是讓學生對教學內容進行充分的復習和帶著疑問去預習，同時，讓新舊知識點有機結合在一起，起到承上啟下，溫故而知新，事半功倍的教學效果。

其次，問題導入式教學法克服了傳統教學法簡單機械化程序，即復習導入、講授新知識、歸納總結和鞏固練習，最后布置課后習題。問題導入式教學法強調學生主動思考和自主探究性。教師根據教學內容設計問題，學生圍繞這些問題，自主思考，查閱資料，充分討論，尋找解決問題的方法，在這個過程中學生可以不斷摸索最適合自己的學習方法，同時也為創新性地解決問題積累經驗，并夯實基礎知識。同時，有利于拓展與增強學生的問題意識和創新能力，改變了傳統教學單一的經驗式教與學模式。正如孔子曰：“不憤不啟，不悱不發。舉一隅不以三隅反，則不復也。”教師在教學活動中要激發學生主動思考的能力，要讓學生去獨立思考，并能夠“舉一反三”。教師作為引導者，組織者.讓學生在教學活動中更好地發揮自己所長。因此，相比傳統的教學模式，問題導入式教學法更有利于激發學生的內在學習動力，提高學習的自信心。

二、以線性空間部分教學內容為例設計導入式教學過程中的問題

線性空間章節的教學目標要求學生深刻理解線性空間的定義和掌握其性質，熟悉常用的線性空間的例子;掌握基、維數與坐標的概念并會靈活應用;理解子空間的定義，掌握子空間之間的運算并會熟練應用，理解直和分解的思想;理解線性空間同構的定義及判定方法，熟悉同構的思想;理解商空間的概念和等價分類的思想。

（一）導入式教學法引入線性空間的定義

線性空間是高等代數最基本的概念之一，也是學生在學習過程中遇到的第一個抽象的數學模型。在教學過程中若直接引入概念講解相關理論，再通過邏輯推理給出相應性質和定理，會使學生感到抽象難懂，枯燥無味，甚至是線性空間的概念都難以記住，從而導致學生對學習高等代數的積極性不高，甚至產生厭學情緒。因此，教師可以將學生已掌握的知識點作為切入點，設計合理的問題，引導學生思考問題，使其積極主動地解決問題，試圖達到事半功倍的教學效果，同時有效培養學生嚴謹的邏輯推理能力和科學研究能力。

因此，教學初始，教師可以先從解線性方程組的解入手，通過行列式的教學，讓學生知道行列式的基本性質和克萊姆法則，并學會判斷數域K上n個方程的n元線性方程組解的情況，并且可以給出唯一解的表達式。但此時，學生仍無法辨別無解和有無窮多個解的情形，因此需要繼續研究解的結構，進而解決數域上線性方程組有無解，有多少解以及有無窮個解的問題。

然后，教師可以進一步開展對線性方程組實施初等變換的教學。1. 用非零數乘以某一方程;2. 把一個方程的倍數加到另一個方程上;3. 互換兩個方程的位置。通過初等變換將原線性方程組簡化為階梯形方程組，從而判斷原方程組有無解以及有多少解。使學生由此受到啟發，從而引出對數域K上的n元有序數組之間定義一個加法：

（a1，a2，…，an）+（b1，b2，…，bn）（a1+b1，a2+b2，…，an+bn）.

以及對數域K的元素與n元有序數組之間定義一個乘法：

k（a1，a2，…，an）（ka1，ka2，…，kan）.

利用過往在解析幾何中學習過向量的加法，引導學生將α，β，γ∈Kn看成向量，思考以上定義的加法是否滿足向量的加法？學生通過驗證可知，所定義的加法滿足向量加法的四條規則。于是，教師可以進一步利用在解析幾何中還學習過數量與向量的乘法引導學生思考在數域K的元素與n元有序數組之間定義的乘法是否也滿足數量與向量乘法的四條規則？學生通過驗證可知，所定義的乘法滿足數量與向量乘法的四條規則。

以上類比思想還可以被運用到很多熟悉的案例中。例如解析幾何中討論過的三維空間中的向量，它有向量的加法，也就是平行四邊形法則，還有數乘向量運算，不難驗證這兩種運算也滿足以上8條規則。再比如，數域K上一元多項式環K[x]，按通常的多項式加法和數與多項式的乘法，不難驗證這兩種運算也滿足以上8條規則。以及數域K上s×n矩陣組成的集合，對通常矩陣的加法與數量乘法，不難驗證這兩種運算也滿足以上8條規則。

類似這樣的例子很多，它們的共同點是都有加法和數量乘法，且滿足向量線性運算的8條規則。因此，教師可以根據這些類比結果設計如下問題：“通過以上例子，同學們是否可以把這些具體實例中的共同點抽象出來，建立一個數學模型，并且這個數學模型能夠解決數域K上線性方程組有無解、有多少解的判定，以及有無窮個解的解集的結構問題呢？”這樣具體的問題順理成章地引入了線性空間的定義。通過對以上問題的思考，學生就很容易理解線性空間的定義和背景了，并也知道了線性空間這個數學模型能夠解決線性方程組解的結構問題。

（二）導入式教學法引入線性空間的結構

線性空間是研究具有“線性”的空間形式數學模型，按照數學思維方式，接下來要研究它的結構。作為具有代數結構的一個集合，學生學習線性空間的結構應該考慮從線性空間的元素和子集出發，來研究其結構。

1. 基和維數的概念

為了使學生理解基和維數的概念，教師可以設計以下問題：“從數域K上的線性空間V的元素的角度入手，結合解析幾何中向量的線性關系與向量的組合和分解的性質進行思考，線性空間V中的任何一個元素是否能寫成有限多個元素的線性組合的形式，或者說是否能被有限多個元素線性表示且表法唯一呢？”先讓學生對這個問題進行思考，教師再講解線性空間的基和維數的概念，可以使抽象的數學概念變得具體化，讓學生更容易理解和接受。

2. 子空間及其運算

從數域K上的線性空間V的子集的角度入手研究線性空間V的非空子集U，可知它對線性空間V的加法與數量乘法也構成數域K上的一個線性空間，可以將看作的一個線性子空間，簡稱子空間。為此，教師可設計以下導入問題：“結合集合的運算，考慮是否可以通過V的子空間之間的運算來構筑線性空間V呢？如果可以，那么研究線性空間V的結構是否可歸結為研究若干個較為簡單的子空間的結構呢？”通過對以上問題的引導，學生可以通過類比集合的運算，再結合線性空間的性質和元素之間的線性運算，自然地接受了子空間的交與以及直和的概念。

3. 線性空間的同構

本質一樣的線性空間，可被看成同一類線性空間，這些線性空間可能表現出不同的元素形式，但是它們有著相同的性質，因此，學生在學習過程中可以通過熟悉的、具體的線性空間來研究未知的抽象的線性空間。除了元素的表現形式不同，這些線性空間的元素之間的加法和數量乘法的定義也可能有所不同，但是它們的元素之間存在著一一對應關系，使得它們對應的元素在它們所屬的線性空間中進行加法和數量乘法的性質完全相同，因此從代數運算的觀點來看，它們的代數結構完全相同。

為此，教師可以設計以下導入問題：“從線性空間之間關系的角度來考慮。線性空間很多，是否可以將其分類？這樣就要考慮它們的本質區別是什么？它們哪些本質上一樣的？”在學生對該問題有所思考后，教師可以很自然地引出一個數學術語“同構”來表達這些線性空間之間的關系，讓學生自然地接受了線性空間同構的概念。

4. 商空間的概念

由于許多線性空間的結構都比較復雜，為了簡化這些線性空間的結構，教師可以在導入問題中請學生思考，是否可以對線性空間進行劃分，把一個等價類看成一個元素，而后讓學生利用數學分類的思想和商集的性質對以上問題進行思考，從而很自然地引入商空間的概念。

三、在高等代數教學中應用問題導入式教學法的注意事項

問題導入式教學法是引導學生探索和思考問題，積極主動地解決問題，從而獲得新知識。在實際的高等代數課堂教學中教師應該注意以下幾點。

問題導入式教學法在高等代數的教學中想要取得良好的教學效果，教師設計問題的質量是關鍵，如果問題的質量較高，新舊知識的銜接較好，學生通過對問題的分析不僅能夠順利地引出所要講授的教學內容，還能被充分調動起學習的積極性和學習新知識的欲望。因此，教師在設計問題時，應根據課程內容設計探究性問題，緊緊圍繞所要教授的知識點來進行，設計的問題應具有新舊知識的銜接性、難易適度性和可探究性等特點，使問題一環扣一環，環環相扣，并具有可操作性。

高等代數課堂教學強調以學生為中心的同時，要堅持以教師為主導。課堂教學時間有限，講授知識點較多，再加上學生人數較多，要充分發揮每個學生積極性、主動性和創造性，又要高質量地完成課堂教學任務，這需要教師把握好課堂節奏，保障課堂教學能夠按照教學計劃和課程進度有序的進行，從而高質量地完成高等代數的教學任務。

四、結語

問題導入式教學法可以增強學生學習的主觀能動性，豐富課堂教學手段，加強教學效果，提高教學質量。不是所有的課程都適用于問題導入式教學法。適用于問題導入法的學科課程需滿足以下特點：首先，教學內容是概念、規律、理論，而不是傳授實踐知識和培養勞動技能;其次，教學內容是承前啟后的，前后知識是存在普遍聯系的。在高等代數教學中實施問題導入式教學法，可以起到事半功倍的效果，同時可以培養學生嚴謹的邏輯推理能力和科學研究能力。

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