對慣容減震系統(tǒng)基本概念及設(shè)計范式的討論

摘要： 慣容是慣性控制力與相對加速度成比例的力學(xué)元件，這種特殊的慣性力尚未見諸經(jīng)典結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論。本研究從慣性和非慣性參考系的角度，提出慣容元件是一種真實慣性力元件，并說明了其與經(jīng)典質(zhì)量元件虛擬慣性力的區(qū)別。同時為說明其應(yīng)用于減震領(lǐng)域時與經(jīng)典減震技術(shù)的區(qū)別，梳理了經(jīng)典減震技術(shù)的原理；從慣容元件和慣容系統(tǒng)的力學(xué)本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，對慣容元件、慣容系統(tǒng)以及慣容減震結(jié)構(gòu)的相關(guān)概念進(jìn)行了明確定義和論述。從慣容減震結(jié)構(gòu)的運動方程和能量方程等角度，對慣容減震技術(shù)的增效原理進(jìn)行了揭示。進(jìn)而介紹了慣容系統(tǒng)特有的動態(tài)負(fù)剛度、輕量化調(diào)諧以及模態(tài)靶向控制等特征，為結(jié)構(gòu)高性能減震控制提供了新的可能與途徑。提出了層間式、輕量調(diào)諧式及隔震式慣容減震結(jié)構(gòu)的設(shè)計理論框架，即性能導(dǎo)向的優(yōu)化設(shè)計，為慣容減震結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計提供應(yīng)用參考。

關(guān)鍵詞： 結(jié)構(gòu)控制；"真實慣性力；"慣容；"減震原理

中圖分類號： TU352.1 """文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）11-1848-14

DOI："10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.006

引""言

自然界中存在的各種振動現(xiàn)象可能會威脅工程結(jié)構(gòu)的安全或影響結(jié)構(gòu)正常功能的使用。采用結(jié)構(gòu)減震控制技術(shù)可以降低結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，有效地改善和提高土木工程結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的安全性、適用性。從動力學(xué)角度來看，目前已日趨成熟并應(yīng)用廣泛的經(jīng)典減震技術(shù)主要包括基礎(chǔ)隔震技術(shù)^［1］、消能減震技術(shù)^［2］和調(diào)諧減震技術(shù)^［3］。其中，基礎(chǔ)隔震技術(shù)是通過在結(jié)構(gòu)底部設(shè)置柔軟隔震層，從而延長體系的自振周期，降低結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)；消能減震技術(shù)是通過在結(jié)構(gòu)中設(shè)置耗能減震裝置來增大結(jié)構(gòu)等效阻尼以消耗結(jié)構(gòu)的振動能量，從而實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)振動的控制；調(diào)諧減震技術(shù)是通過在結(jié)構(gòu)頂部或特定位置附加質(zhì)量元件，利用共振吸能的原理對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行控制。

實現(xiàn)經(jīng)典減震技術(shù)的裝置，可被理想化為位移相關(guān)、速度相關(guān)以及加速度相關(guān)的力學(xué)元件或幾種力學(xué)元件的組合。位移相關(guān)、速度相關(guān)以及加速度相關(guān)的力學(xué)元件分別為經(jīng)典動力學(xué)中的彈簧、阻尼以及質(zhì)量元件^［4?5］。其中，彈簧和阻尼元件是典型的兩端點力學(xué)元件，分別產(chǎn)生與兩端點相對變形和相對速度相關(guān)的控制力。然而，質(zhì)量元件屬于單端點慣性元件，即質(zhì)量元件的慣性控制力與其自身的絕對加速度相關(guān)。它在結(jié)構(gòu)減震控制應(yīng)用中存在所需物理質(zhì)量大、安裝位置和空間受限等問題，且將為結(jié)構(gòu)帶來額外的地震作用。

慣容是與相對加速度相關(guān)的振動控制元件^［6?7］，當(dāng)其自身端點之間出現(xiàn)加速度差值時可以產(chǎn)生與此相對加速度相關(guān)的真實慣性力（不同于經(jīng)典力學(xué)中的慣性力）。相對加速度相關(guān)性是慣容獨有的特性，從理論上填補了相對加速度慣性元件的空白，使得結(jié)構(gòu)的慣性特性也跟剛度、阻尼特性一樣可以通過振動控制元件的相對運動進(jìn)行調(diào)整；豐富了振動控制裝置的力學(xué)拓?fù)漕愋停卣沽苏駝涌刂评碚摰膶崿F(xiàn)方式。鑒于慣容元件獨有的動力學(xué)特性，基于慣容的減震技術(shù)相較于傳統(tǒng)質(zhì)量控制技術(shù)的特殊性和不可替代性，在耗能增效^{［6，"8?9］}、動態(tài)負(fù)剛度^［10］、輕量化調(diào)諧^［11?12］和模態(tài)靶向控制^［13］等方面具有重要的研究價值和應(yīng)用潛力，逐漸發(fā)展為振動控制領(lǐng)域內(nèi)新的研究熱點。目前，慣容減震技術(shù)已經(jīng)在日本和中國的實際工程中得到應(yīng)用。并且實時監(jiān)測數(shù)據(jù)已經(jīng)證明了慣容減震技術(shù)的有效性^［14?15］，但其本質(zhì)減震機(jī)理、控制特點以及概念清晰的設(shè)計流程仍需進(jìn)一步探討。

為了更清晰地展現(xiàn)慣容的內(nèi)在特征和控制機(jī)理，便于“慣容”概念在結(jié)構(gòu)減震領(lǐng)域內(nèi)被合理而有效地推廣，促進(jìn)慣容減震技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展、普及乃至應(yīng)用，本文將圍繞以下四個關(guān)鍵問題展開研究和討論：定義“什么是慣容減震技術(shù)”，厘清“慣容減震技術(shù)的力學(xué)原理是什么”，明晰“慣容減震技術(shù)有什么優(yōu)勢特征”，探討“慣容對結(jié)構(gòu)的控制思路是什么”。

1 結(jié)構(gòu)減震技術(shù)

本節(jié)首先回顧經(jīng)典的結(jié)構(gòu)減震技術(shù)，并基于受地面運動激勵的單自由度結(jié)構(gòu)簡要說明相關(guān)原理，便于之后探討經(jīng)典減震技術(shù)與慣容減震技術(shù)的區(qū)別。在探討過程中，將以結(jié)構(gòu)的位移、速度以及絕對加速度作為表征結(jié)構(gòu)的安全性、正常使用功能以及舒適度等性能的動力指標(biāo)。

1.1 經(jīng)典減震技術(shù)

經(jīng)典減震技術(shù)主要包括基礎(chǔ)隔震技術(shù)、消能減震技術(shù)以及調(diào)諧減震技術(shù)。

1.1.1 基礎(chǔ)隔震技術(shù)

基礎(chǔ)隔震技術(shù)通過在結(jié)構(gòu)底部設(shè)置隔震層來減小結(jié)構(gòu)體系的剛度，延長結(jié)構(gòu)體系的自振周期，避開地面運動卓越周期，從而達(dá)到降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)的目的。從動力學(xué)角度分析，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的隔震層可以簡化為一個彈簧元件和一個阻尼元件，彈簧元件用來模擬隔震層的剛度，阻尼元件則用來模擬隔震層的耗能行為。根據(jù)隔震原理，隔震層的剛度一般會被設(shè)置為遠(yuǎn)小于主結(jié)構(gòu)的剛度，因此在分析時上部結(jié)構(gòu)可被視作一個剛體，通過隔震層與地面連接。單自由度結(jié)構(gòu)與對應(yīng)基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度的頻域響應(yīng)傳遞函數(shù)^［5］（以下簡稱傳遞函數(shù)）曲線，，的典型圖示如圖1所示。圖1中的橫坐標(biāo)為頻率比，定義為外部激勵頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率之比；縱坐標(biāo)分別為結(jié)構(gòu)位移、速度、絕對加速度傳遞函數(shù)的模與結(jié)構(gòu)自振頻率的平方之積；背景填充紅色區(qū)域為有隔震效果的頻段，即結(jié)構(gòu)受到在該區(qū)域中頻段的外部激勵時，隔震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)相比原結(jié)構(gòu)有所降低。

從圖1中可以看出，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度傳遞函數(shù)峰值對應(yīng)的頻率比小于原結(jié)構(gòu)，即隔震后結(jié)構(gòu)體系的自振頻率降低，自振周期延長。從峰值的對比中可知，隔震結(jié)構(gòu)的位移傳遞函數(shù)峰值幾乎沒有變化，而速度與絕對加速度傳遞函數(shù)峰值則有所降低，其中絕對加速度傳遞函數(shù)峰值降低程度最大。

1.1.2 消能減震技術(shù)

消能減震技術(shù)通過在結(jié)構(gòu)中附設(shè)阻尼器來提高結(jié)構(gòu)的耗能能力，進(jìn)而達(dá)到減小結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的目的。根據(jù)力學(xué)原理不同，阻尼器可分為速度依賴型^［16］和位移依賴型^［17］兩大類。實際阻尼器的力學(xué)模型可理想化為阻尼元件和彈簧元件。但消能減震的本質(zhì)是提供附加阻尼，阻尼元件是其核心作用，故使用黏滯阻尼元件作為阻尼器的力學(xué)模型來說明消能減震技術(shù)的基本原理。圖2給出了單自由度結(jié)構(gòu)與對應(yīng)消能減震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度傳遞函數(shù)曲線。

從圖2中可以看出，由于結(jié)構(gòu)體系阻尼的增大，消能減震結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)的峰值大幅度降低。

1.1.3 調(diào)諧減震技術(shù)

調(diào)諧減震技術(shù)通過給結(jié)構(gòu)附設(shè)由質(zhì)量元件、剛度元件和阻尼元件組成的振動子系統(tǒng)，在調(diào)整結(jié)構(gòu)體系慣性特征的同時實現(xiàn)振動能量的轉(zhuǎn)移和消耗，從而達(dá)到降低結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的目的。圖3給出了單自由度結(jié)構(gòu)與對應(yīng)調(diào)諧減震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度傳遞函數(shù)曲線。

從圖3中可以看出，采用調(diào)諧減震技術(shù)后，結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)曲線從單峰變?yōu)殡p峰，即結(jié)構(gòu)的動力特征出現(xiàn)了明顯變化，存在兩個卓越頻率。與基礎(chǔ)隔震、消能減震不同的是，調(diào)諧減震結(jié)構(gòu)的位移傳遞函數(shù)在頻率比為0時的值并不為1，這是由于調(diào)諧質(zhì)量帶來的額外地震作用所致。此外，在頻率比較小（）的時候，調(diào)諧減震技術(shù)對位移、速度和加速度的控制具有一定的反效果，其位移、速度和加速度的傳遞函數(shù)曲線位于原結(jié)構(gòu)曲線之上。

1.2 慣容減震技術(shù)

慣容，即慣性容器的簡稱，其所提供的相對加速度相關(guān)的慣性力在經(jīng)典力學(xué)中未有涉及，相關(guān)概念的定義尚待合理而系統(tǒng)的探討。因其具有的一些獨特特征，近年來在結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域開始備受關(guān)注。接下來本文將對慣容減震技術(shù)的相關(guān)概念進(jìn)行闡述與討論。

1.2.1 相關(guān)概念的定義

（1）"名詞的使用

隨著對慣容力學(xué)性質(zhì)的逐漸認(rèn)識，以及認(rèn)識角度的不同，慣容發(fā)展至今有多種不同的名稱，其中較為典型的有：質(zhì)量泵、旋轉(zhuǎn)質(zhì)量、表觀質(zhì)量、動態(tài)質(zhì)量、慣質(zhì)、慣容等。

慣容的物理實現(xiàn)可以利用非旋轉(zhuǎn)機(jī)制或旋轉(zhuǎn)機(jī)制。旋轉(zhuǎn)機(jī)制主要包括滾珠絲杠機(jī)制^［6］和齒輪?齒條機(jī)制^［18］，能夠通過將平動輸入轉(zhuǎn)化為飛輪的旋轉(zhuǎn)運動來實現(xiàn)慣容的特性。這是典型的慣容實現(xiàn)機(jī)制，故有學(xué)者用“旋轉(zhuǎn)質(zhì)量”來稱呼這種慣性裝置。但需要注意的是，“旋轉(zhuǎn)質(zhì)量”這一名稱只能代表慣性裝置實現(xiàn)機(jī)制中的旋轉(zhuǎn)機(jī)制，而慣容也可由非旋轉(zhuǎn)機(jī)制實現(xiàn)。例如，流體變速機(jī)制能夠利用平動輸入推動流體通過截面變化的管道實現(xiàn)流速的改變，進(jìn)而產(chǎn)生慣容行為，這種實現(xiàn)機(jī)制20世紀(jì)70年代出現(xiàn)在土木工程領(lǐng)域時，被稱為“質(zhì)量泵”^［19］。因此，采用“旋轉(zhuǎn)質(zhì)量”或“質(zhì)量泵”來指代這種慣性裝置都不夠準(zhǔn)確，它們僅能夠指代一種實現(xiàn)機(jī)制。

還有學(xué)者將這種慣性裝置稱為“表觀質(zhì)量”，這一名稱源自該裝置的慣性增效效果，即裝置在運轉(zhuǎn)時所表現(xiàn)出的動態(tài)質(zhì)量遠(yuǎn)大于其真實質(zhì)量。為了將二者區(qū)分開來，便有學(xué)者把這種動態(tài)質(zhì)量稱作“表觀質(zhì)量”。雖然這個名稱與裝置的力學(xué)原理相契合，但“表觀”和“質(zhì)量”兩個常規(guī)的詞匯不能顯式地體現(xiàn)該裝置作為新力學(xué)元件的特色。

此外，“慣質(zhì)”也是這種裝置的名稱之一，但這個名稱依舊存在不合理之處。物理學(xué)中慣性和質(zhì)量是如影隨形的關(guān)系，慣性是有質(zhì)量物體的性質(zhì)，質(zhì)量加速時表現(xiàn)出慣性；因此，“慣”和“質(zhì)”兩個字放在一起意義有所重疊，且難以體現(xiàn)這種慣性裝置與傳統(tǒng)意義上的質(zhì)量的不同之處。傳統(tǒng)意義上的質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力實際上是不存在的，是一種假想力；而本文所指的慣性裝置卻能產(chǎn)生相對加速度相關(guān)的、真實的、可以直接作用于結(jié)構(gòu)上的慣性力，二者之間是完全不同的。

“慣容”一詞是在運動系統(tǒng)與電路的微分方程類比中產(chǎn)生的。在該過程中，可以將運動系統(tǒng)中的力類比為電流，速度類比為電壓；將力學(xué)中的彈簧、阻尼及質(zhì)量元件分別類比為電學(xué)中的電感、電阻及電容元件。這種慣性裝置在類比過程中展現(xiàn)出與電容元件類似的性質(zhì)，能夠像電容元件在電路中儲存和釋放電能一樣，在運動系統(tǒng)中實現(xiàn)地震動輸入能量的儲存和釋放。再結(jié)合該慣性裝置的“慣性”特征，本文建議采用“慣容”來指代這種慣性裝置。

描述慣容相關(guān)問題時，名詞使用的具體建議如下：在指代一個真實的裝置時，稱“慣容器（inerter）”；在指代一個抽象的力學(xué)元件時，稱“慣容元件（inerter element）”；在指代裝置的參數(shù)時可稱“慣容系數(shù)（inertance）”或者“表觀質(zhì)量（apparent mass）”。

（2）"慣容的力學(xué)本質(zhì)：真實而宏觀的慣性力

經(jīng)典物理學(xué)中的慣性力是指當(dāng)物體被加速時由于慣性的原因而產(chǎn)生的保持原有運動狀態(tài)的傾向，看起來仿佛有一股方向相反的力作用在該物體上，因此稱之為慣性力，其大小與物體質(zhì)量及運動加速度成正比^［20］。經(jīng)典理論中的慣性力實際上并不存在，因此又稱為假想力（fictitious force）。它本質(zhì)上是一種為了能夠使牛頓運動定律在非慣性參考系中使用而創(chuàng)造出來的不存在的力。與經(jīng)典力學(xué)中的虛擬慣性力不同，慣容元件作為振動控制元件提供的慣性力是真實存在的，之所以仍可以稱其為“慣性力”，是由于慣容提供的力也是一種加速度相關(guān)的力。這種慣性力在慣性系和非慣性系中都是一種真實慣性力，即慣容的“慣性”僅表示加速度相關(guān)，在理解相關(guān)問題時需注意與經(jīng)典力學(xué)中慣性概念的區(qū)分。

與經(jīng)典力學(xué)的慣性概念不同并不代表慣容與經(jīng)典力學(xué)理論不相容。慣容器的物理實現(xiàn)機(jī)制可以是由多個部件（如齒輪、滾珠絲杠、流動液體等）有機(jī)組合形成的物理系統(tǒng)，其內(nèi)部運轉(zhuǎn)是可以完全用經(jīng)典力學(xué)理論來描述的。慣容的特殊力學(xué)行為是將慣容裝置作為一個宏觀整體去觀察、研究時表現(xiàn)出來的。換句話說，慣容作為真實的物理系統(tǒng)，其內(nèi)部運轉(zhuǎn)機(jī)制必然在經(jīng)典物理理論范疇之內(nèi)；但其整體作為一個抽象的力學(xué)元件時，表現(xiàn)出的特殊力學(xué)特性是經(jīng)典力學(xué)未囊括的內(nèi)容。

（3）"慣容元件的結(jié)構(gòu)控制特性

慣容在結(jié)構(gòu)控制中的特點在于其控制力是自身相對加速度的函數(shù)，如圖4及下式所示：

式中 表示實際物理質(zhì)量；表示慣容元件兩端的相對加速度。

慣容元件的慣性控制力與其元件端點i，j間的相對加速度的比例系數(shù)定義為慣容系數(shù)，具有與質(zhì)量相同的量綱。慣容元件的慣容系數(shù)可以是時變函數(shù)，也可以是時不變常數(shù)。當(dāng)慣容元件的慣容系數(shù)為時不變常數(shù)時，為線性慣容元件，常用于被動控制；當(dāng)慣容系數(shù)為時變函數(shù)時，則稱為時變慣容元件，常用于半主動及主動控制。慣容元件最顯著的振動控制特性是甚為可觀的“慣性增效”，通常采用表觀質(zhì)量放大系數(shù)來表達(dá)，如下式所示：

慣容元件的慣容系數(shù)可以達(dá)到其實際物理質(zhì)量的上千倍乃至近萬倍（例如，真實質(zhì)量為560 kg的慣容元件，其慣容系數(shù)可以被放大為5400 t^［14］）。因此，在理想力學(xué)模型中，可以近似地認(rèn)為慣容元件用“零質(zhì)量”來為減震結(jié)構(gòu)提供極大的慣性控制力，進(jìn)而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)慣性特征的調(diào)整和動力響應(yīng)的控制。圖5為慣容器裝置的實際構(gòu)造示意圖。

（4）"慣容系統(tǒng)

慣容元件在結(jié)構(gòu)減震控制中通常與剛度元件、阻尼元件、質(zhì)量元件協(xié)同工作，含有慣容元件的復(fù)合減震控制子系統(tǒng)稱為慣容系統(tǒng)。慣容系統(tǒng)在工作過程中能夠從主結(jié)構(gòu)中吸收振動能量，實現(xiàn)激勵輸入能量的轉(zhuǎn)移、存儲和耗散。采用不同的連接形式對不同數(shù)量的剛度元件、阻尼元件、質(zhì)量元件進(jìn)行組合，將產(chǎn)生不同力學(xué)拓?fù)錁?gòu)造的慣容系統(tǒng)^［21］。其中，最為經(jīng)典的慣容系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖6所示^［6］，圖中和分別表示慣容系統(tǒng)中阻尼元件的黏滯阻尼系數(shù)和彈簧的剛度。在該系統(tǒng)中，阻尼元件與慣容元件并聯(lián)，再與彈簧元件串聯(lián)。本文將主要以它為例對慣容減震原理進(jìn)行說明。

（5）"慣容減震結(jié)構(gòu)

采用慣容系統(tǒng)進(jìn)行振動控制的結(jié)構(gòu)稱為慣容減震結(jié)構(gòu)。慣容減震結(jié)構(gòu)在建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域根據(jù)安裝位置的不同主要可分為三類：層間式、輕量調(diào)諧式以及隔震式慣容減震結(jié)構(gòu)，如圖7所示。層間式慣容減震結(jié)構(gòu)（見圖7（a））通過在結(jié)構(gòu)樓層之間安裝慣容系統(tǒng)實現(xiàn)振動控制；輕量調(diào)諧式慣容減震結(jié)構(gòu)（見圖7（b））則是將慣容元件或慣容系統(tǒng)與調(diào)諧質(zhì)量系統(tǒng)結(jié)合形成重量更輕的調(diào)諧系統(tǒng)，一般在結(jié)構(gòu)頂部安裝；隔震式慣容減震結(jié)構(gòu)（見圖7（c））是將慣容元件或慣容系統(tǒng)設(shè)置在結(jié)構(gòu)的隔震層以實現(xiàn)高效耗能減震。圖7中虛線框內(nèi)為慣容系統(tǒng)。

1.2.2 慣容減震原理

慣容系統(tǒng)根據(jù)力學(xué)原理主要可分為兩類：調(diào)諧式慣容系統(tǒng)^［6］與接地式慣容系統(tǒng)^［9］。本節(jié)將對這兩類慣容系統(tǒng)的減震原理分別進(jìn)行探討。

（1）"調(diào)諧式慣容系統(tǒng)

本節(jié)選取經(jīng)典的調(diào)諧式慣容系統(tǒng)^［22］來闡述其減震基本原理。在地震激勵下，附設(shè)調(diào)諧式慣容系統(tǒng)的單自由度慣容減振結(jié)構(gòu)（見圖8）的運動方程為：

式中""，和分別表示單自由度結(jié)構(gòu)的加速度、速度和位移；和分別表示慣容元件兩端的相對速度和相對位移；m，c和k分別表示單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、黏滯阻尼系數(shù)和剛度；表示地面運動加速度。

由于慣容元件的慣容系數(shù)遠(yuǎn)大于其真實質(zhì)量，式（3）可進(jìn)一步簡化為：

在方程（4）左右兩邊同時除以質(zhì)量，可以得到：

相比單自由度原結(jié)構(gòu)，在慣容減震結(jié)構(gòu)的運動方程中，慣性項的系數(shù)在附設(shè)慣容系統(tǒng)后由結(jié)構(gòu)質(zhì)量這一標(biāo)量變?yōu)楹薪Y(jié)構(gòu)質(zhì)量及慣容系數(shù)的矩陣，發(fā)生了顯著變化。方程右側(cè)等效荷載項中沒有出現(xiàn)慣容系數(shù)，這意味著慣容的加入不會招致額外的地震作用。

對式（5）進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

求解該線性方程組可得和，進(jìn)一步可以得到單自由度慣容減震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度響應(yīng)的傳遞函數(shù)，，分別為：

據(jù)此，可得單自由度結(jié)構(gòu)與對應(yīng)慣容減震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度傳遞函數(shù)曲線如圖9所示（繪圖參數(shù)取自文獻(xiàn)［23］）。

從圖9中可以看出，與單自由度結(jié)構(gòu)相比，慣容減震結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)曲線由單峰變?yōu)殡p峰，說明結(jié)構(gòu)體系至少存在兩個自振頻率，其動力特征出現(xiàn)了明顯的變化，這體現(xiàn)了慣容系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)慣性的調(diào)整作用；在頻率比約等于1的共振頻段內(nèi)，結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度響應(yīng)有顯著降低。而在共振區(qū)段以外的部分頻段，慣容系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)的控制有一些負(fù)面效果（響應(yīng)比原結(jié)構(gòu)大），如頻率比約在1.25～2.0區(qū)間時對位移響應(yīng)有負(fù)面影響，而頻率比在大于1.25時對加速度響應(yīng)有負(fù)面影響。這些區(qū)間對結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)的影響小于共振頻段，考慮到地震波并非頻率單一的簡諧波，慣容系統(tǒng)雖然在某些頻率段內(nèi)對結(jié)構(gòu)減震具有一定的負(fù)面效果，但其在主要頻段（共振頻段）上對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的降低效果非常顯著，故慣容減震技術(shù)應(yīng)用在結(jié)構(gòu)當(dāng)中仍將具有良好的減震效果。需要指出的是，如果結(jié)構(gòu)可能遭受頻率成分較為單一的外部激勵，應(yīng)注意避免激勵頻率落入控制效果不理想的頻段。

（2）"接地式慣容系統(tǒng)

接地式慣容系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖10所示。在地震激勵下，附設(shè)接地式慣容系統(tǒng)的單自由度慣容減震結(jié)構(gòu)（見圖11）的運動方程為：

在式（8）左右兩邊同時除以，可得：

其位移、速度及絕對加速度傳遞函數(shù)，及分別為：

從式（8）和（9）中可以看出，單自由度結(jié)構(gòu)附設(shè)接地式慣容系統(tǒng)之后，結(jié)構(gòu)慣性項的系數(shù)增大為原來的倍，但剛度項系數(shù)不變，則慣容減震結(jié)構(gòu)的圓頻率，即自振頻率降低，周期延長。這表明接地式慣容系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)動力特征有著更為直接的調(diào)整作用。同時，結(jié)構(gòu)體系的阻尼比也從增加到了，這說明接地式慣容系統(tǒng)能為結(jié)構(gòu)提供額外的阻尼。根據(jù)式（10）可以得到單自由度結(jié)構(gòu)與對應(yīng)慣容減震結(jié)構(gòu)的位移、速度、絕對加速度傳遞函數(shù)曲線，如圖12所示。從圖12中可以看出，與經(jīng)典單自由度結(jié)構(gòu)相比，慣容減震結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)曲線的峰值向左偏移，即結(jié)構(gòu)體系的自振頻率降低，周期延長，與根據(jù)方程所得結(jié)論一致。同時，傳遞函數(shù)曲線的峰值均顯著降低。

（3）"耗能增效原理

在慣容減震結(jié)構(gòu)受到地震激勵的過程中，地震動輸入能量將轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)自身及慣容系統(tǒng)的動能、勢能或者被結(jié)構(gòu)固有阻尼以及慣容系統(tǒng)中的阻尼耗散（體系的動能、勢能也最終被阻尼所耗散）。

根據(jù)單自由度慣容減震結(jié)構(gòu)的運動方程（4），可以得到能量平衡方程為：

式中 表示時間。

單自由度原結(jié)構(gòu)的能量方程為：

根據(jù)式（11）和（12），可以得到單自由度結(jié)構(gòu)與相應(yīng)慣容減震結(jié)構(gòu)的歸一化能量響應(yīng)時程曲線如圖13所示。從圖13中可以看出，單自由度原結(jié)構(gòu)的地震輸入能量幾乎都由結(jié)構(gòu)的固有阻尼耗散；而附設(shè)慣容系統(tǒng)后，大部分地震能量都被慣容系統(tǒng)吸收，轉(zhuǎn)化為慣容系統(tǒng)的動能和勢能進(jìn)行臨時儲存，并由慣容系統(tǒng)中的阻尼元件進(jìn)行耗散；從而降低輸入結(jié)構(gòu)的動能及勢能，減少結(jié)構(gòu)自身固有阻尼的耗能。這充分證實了慣容系統(tǒng)的吸能作用。

慣容系統(tǒng)在吸收原本要輸入主體結(jié)構(gòu)的地震能量的同時，還具備耗能增效機(jī)制。調(diào)諧式慣容系統(tǒng)在工作過程中，系統(tǒng)內(nèi)部阻尼元件兩端的變形與慣容元件的變形一致，且大于慣容系統(tǒng)的變形，故慣容系統(tǒng)中的阻尼元件將比單獨使用時所耗散的能量更大，如圖14所示。即慣容系統(tǒng)能夠在阻尼系數(shù)不變的前提下，通過增大阻尼元件的變形實現(xiàn)阻尼力及相應(yīng)耗能的提升，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的低阻尼、高耗能控制。

慣容系統(tǒng)耗能增效現(xiàn)象的內(nèi)在機(jī)理在于系統(tǒng)中具有慣容元件與其他元件連接形成的內(nèi)部自由度。在結(jié)構(gòu)受到外部激勵時，慣容系統(tǒng)內(nèi)部可以進(jìn)行較為“自主”的振動，即慣容元件具有獨立的、不同于主結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)和模式；而經(jīng)典減震技術(shù)中的設(shè)置在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的減震裝置都與結(jié)構(gòu)的振動狀態(tài)一致。為了說明這一原理，對附設(shè)調(diào)諧型慣容系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)輸入簡諧激勵，可得主結(jié)構(gòu)與慣容系統(tǒng)中慣容元件/阻尼元件的變形時程曲線如圖15（a）所示。在主結(jié)構(gòu)參數(shù)與慣容系統(tǒng)參數(shù)不變的前提下，去掉系統(tǒng)中的慣容元件，僅保留阻尼元件及彈簧元件，可以重新計算得到主結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)中阻尼元件的變形時程曲線如圖15（b）所示。從圖15（a）中可以看出，慣容減震結(jié)構(gòu)的變形相比原結(jié)構(gòu)有大幅度降低，即減震效果明顯。慣容元件的加入使得慣容元件及與之并聯(lián)的阻尼元件擁有了不同于主結(jié)構(gòu)的振動模式，具體表現(xiàn)在阻尼元件變形幅值明顯大于主結(jié)構(gòu)且二者之間存在相位差上。而去掉慣容元件后，慣容減震結(jié)構(gòu)的變形幅值相比原結(jié)構(gòu)變化很小，減震效果不明顯，阻尼元件與主結(jié)構(gòu)的變形時程曲線重合，擁有和主結(jié)構(gòu)一致的振動模式。

慣容系統(tǒng)耗能增效原理對慣容減震結(jié)構(gòu)性能的影響，則可以通過慣容系統(tǒng)的耗能增效方程來體現(xiàn)^［8］。分別以耗能增效比和結(jié)構(gòu)位移減震比來表示慣容系統(tǒng)的耗能增效特征和慣容減震結(jié)構(gòu)性能，即

經(jīng)理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，單自由度慣容減震結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)位移減震比和耗能增效比與結(jié)構(gòu)的固有阻尼比和慣容系統(tǒng)的名義阻尼比之間存在內(nèi)在聯(lián)系，即^［8］

式（14）被稱作耗能增效方程，它經(jīng)過嚴(yán)密的公式推導(dǎo)，從數(shù)學(xué)層面揭示了慣容減震結(jié)構(gòu)的耗能增效機(jī)理，也為基于性能需求的慣容減震結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了理論依據(jù)。

2 慣容減震特性

對慣容減震相關(guān)概念進(jìn)行明確定義，并厘清了慣容減震技術(shù)的原理之后，本文將進(jìn)一步闡述慣容減震技術(shù)在應(yīng)用過程中的減震特性。

2.1 動態(tài)負(fù)剛度

從力?位移關(guān)系的角度觀察慣容元件的力學(xué)特性，可以發(fā)現(xiàn)它的控制力與兩端點相對變形之間呈線性關(guān)系，斜率為負(fù)數(shù)，即慣容元件的等效剛度為負(fù)^［10］。假定慣容元件兩端點之間以圓頻率做幅值為的簡諧運動，即

對其兩次求導(dǎo)可以得到慣容元件兩端的相對加速度，進(jìn)而得到慣容元件的控制力為：

結(jié)合式（15）和（16）可以得到慣容元件的力?位移本構(gòu)關(guān)系為：

慣容元件的動態(tài)負(fù)剛度特性如圖16所示，包括慣容元件的力?位移本構(gòu)關(guān)系以及力?加載頻率關(guān)系。從圖16（a）中可以看出，當(dāng)加載頻率一定時，慣容元件的控制力隨著變形幅值的增大而減小；其控制力的絕對值隨著變形幅值絕對值的增大而增大。從圖16（b）中可以看出，當(dāng)變形幅值一定時，慣容元件控制力的幅值隨著加載頻率的增大而減小；控制力幅值的絕對值則隨著加載頻率的增大而增大。此外，還可以看出，慣容元件的負(fù)剛度參數(shù)（力?位移關(guān)系曲線的斜率）是依賴于加載頻率的，其負(fù)剛度參數(shù)的絕對值與加載頻率呈二次相關(guān)。因此，慣容元件在應(yīng)用時將表現(xiàn)出非線性的動態(tài)負(fù)剛度，對于理解慣容系統(tǒng)內(nèi)部相對變形的運動特征、減震原理等有一定的幫助，但需要注意并不能直接利用其負(fù)剛度進(jìn)行定量的計算分析。

2.2 輕量化調(diào)諧

當(dāng)慣容元件或慣容子系統(tǒng)與調(diào)諧減震系統(tǒng)結(jié)合時，能夠?qū)崿F(xiàn)輕量化調(diào)諧控制^{［12，"24］}。動態(tài)質(zhì)量增效是慣容元件的優(yōu)勢，將慣容元件或者慣容系統(tǒng)與調(diào)諧質(zhì)量系統(tǒng)（TMD）結(jié)合后所形成的輕量調(diào)諧式慣容系統(tǒng)（TMIS），可以在結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)保持不變的情況下，顯著地降低對調(diào)諧質(zhì)量的需求，如圖17所示。

2.3 模態(tài)靶向控制

慣容系統(tǒng)還具備靶向調(diào)諧功能^［13］，即能夠精準(zhǔn)控制多自由度結(jié)構(gòu)的指定階模態(tài)響應(yīng)而不影響其他的模態(tài)。這種特性需要通過對慣容系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行合理設(shè)計才能夠?qū)崿F(xiàn)，首先通過傳遞函數(shù)峰值等效的方式得到慣容系統(tǒng)的等效阻尼比，之后基于主自由度概念、定點理論以及振型分解法得到慣容系統(tǒng)參數(shù)，即可實現(xiàn)多自由度結(jié)構(gòu)的模態(tài)靶向控制。

以一個7自由度的標(biāo)準(zhǔn)模型為例，圖18展示了慣容系統(tǒng)對該模型的靶向控制特征，圖中為受控結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)功率譜密度函數(shù)。由于模型的自由度為7，故其功率譜密度函數(shù)中將會出現(xiàn)7個峰。利用慣容系統(tǒng)可以精準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)的每一階模態(tài)響應(yīng)。這在功率譜密度函數(shù)曲線上則表現(xiàn)為能夠降低曲線特定峰值點的數(shù)值，而不影響其他峰值點。僅控制第1階模態(tài)時，僅有第1個峰降低，第2～7個峰沒有變化；控制第1階和第2階模態(tài)時，僅有第1個和第2個峰降低，第3～7個峰沒有變化（見圖18）。

3 慣容減震設(shè)計

3.1 性能導(dǎo)向的優(yōu)化設(shè)計理念

本節(jié)重點闡釋慣容減震結(jié)構(gòu)的設(shè)計理論框架，即性能導(dǎo)向的優(yōu)化設(shè)計，并在此基礎(chǔ)上闡述層間式、輕量調(diào)諧式、隔震式三種慣容減震結(jié)構(gòu)的具體設(shè)計方法。

所謂性能導(dǎo)向設(shè)計，即在明確結(jié)構(gòu)減震設(shè)計的性能目標(biāo)之后，在設(shè)計過程中需要以達(dá)到性能目標(biāo)為顯式的指引方向進(jìn)行慣容系統(tǒng)的設(shè)計，如此設(shè)計時就無需進(jìn)行反復(fù)的參數(shù)迭代試算。

慣容系統(tǒng)具有多個關(guān)鍵參數(shù)，滿足性能目標(biāo)的參數(shù)組合并不唯一，因此設(shè)計時需要在可行解中找出最優(yōu)解以充分發(fā)揮慣容系統(tǒng)的控制特性，體現(xiàn)慣容系統(tǒng)的優(yōu)勢。

簡言之，本文建議的性能導(dǎo)向優(yōu)化設(shè)計理論框架可以在實現(xiàn)減震性能目標(biāo)的前提下，充分發(fā)揮慣容系統(tǒng)的作用，并可以同時確保設(shè)計效率和結(jié)構(gòu)減震效率。

3.2 性能導(dǎo)向的優(yōu)化設(shè)計方法

實施性能導(dǎo)向的優(yōu)化設(shè)計需要解決兩個關(guān)鍵問題，即減震性能目標(biāo)和優(yōu)化設(shè)計原則的確定。

3.2.1 減震性能目標(biāo)

合理的結(jié)構(gòu)減震設(shè)計應(yīng)該從合理地預(yù)定減震性能目標(biāo)開始。若結(jié)構(gòu)的首要目標(biāo)是實現(xiàn)位移控制，結(jié)構(gòu)的主要性能目標(biāo)可設(shè)為位移減震比表達(dá)式為：

式中""和分別表示減震結(jié)構(gòu)和原結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

當(dāng)以隨機(jī)振動分析為主要設(shè)計分析手段時，建議采用基于均方根值的減震比；以動力時程分析或復(fù)模態(tài)反應(yīng)譜法為主要設(shè)計分析手段時，建議采用基于最大值的減震比。除了位移響應(yīng)之外，還可以根據(jù)工程需要，以結(jié)構(gòu)的其他響應(yīng)量（如加速度響應(yīng)、彎矩等）作為性能目標(biāo)。本文以位移響應(yīng)作為性能指標(biāo)量為例進(jìn)行說明。

由于減震裝置的承載能力也不是無限的，減震設(shè)計時應(yīng)考慮減震裝置的性能。前文提到耗能增效是慣容系統(tǒng)的關(guān)鍵特性，耗能增效比既可以用于判斷慣容系統(tǒng)的耗能效率提高程度，也可作為慣容系統(tǒng)本身的性能指標(biāo)用于界定慣容系統(tǒng)本身的變形是否過大。

3.2.2 優(yōu)化設(shè)計原則

慣容減震結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計原則，即優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)描述，包含兩個重要組成部分：優(yōu)化目標(biāo)、約束條件。根據(jù)性能導(dǎo)向設(shè)計理念，減震性能目標(biāo)應(yīng)作為優(yōu)化約束條件；另外實際生產(chǎn)、安裝條件的限制也可設(shè)為約束條件。在滿足性能目標(biāo)約束的前提下，可以選取減震控制成本或者除性能目標(biāo)外的其他減震效果指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，例如：以慣質(zhì)比最小化為優(yōu)化目標(biāo)以實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的減震設(shè)計，或者以加速度響應(yīng)最小化為優(yōu)化目標(biāo)以實現(xiàn)多指標(biāo)的減震設(shè)計（見表1）。

注：為慣容系統(tǒng)參數(shù)取值的可行域；為其他減震參數(shù)取值的可行域。

慣容減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的核心優(yōu)化變量有3個，即慣質(zhì)比、剛度比和名義阻尼比。對于不同慣容減震體系，所涉及的具體優(yōu)化變量會有所區(qū)別。輕量調(diào)諧式的慣容減震結(jié)構(gòu)（見圖19（a））的優(yōu)化變量除了慣容系統(tǒng)的3個參數(shù)外，還包括調(diào)諧質(zhì)量比、調(diào)諧頻率比、調(diào)諧阻尼比。而隔震式慣容減震結(jié)構(gòu)（見圖19（b））的優(yōu)化變量除了慣容系統(tǒng)的3個參數(shù)外，還包括隔震頻率比、隔震層阻尼比。表1整理了通用的慣容減震結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計原則，可供設(shè)計分析時參考。對于不同的慣容減震結(jié)構(gòu)體系，還存在一些獨特的優(yōu)化設(shè)計原則。對于輕量調(diào)諧式慣容減震結(jié)構(gòu)，可以利用慣容系統(tǒng)的調(diào)諧輕量化減震特性，以調(diào)諧質(zhì)量比最小化作為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)之一，能夠以最低質(zhì)量實現(xiàn)結(jié)構(gòu)減震控制并提高結(jié)構(gòu)振動控制頻帶；對于隔震式慣容減震結(jié)構(gòu)，可以把隔震層位移也作為結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)，將上部結(jié)構(gòu)位移減震比（或其他性能指標(biāo)，如加速度指標(biāo)等）、隔震層位移減震比作為雙重優(yōu)化目標(biāo)。

3.2.3 設(shè)計流程

根據(jù)前文所述，可以總結(jié)歸納出慣容減震結(jié)構(gòu)的設(shè)計流程，如圖20所示。

慣容減震結(jié)構(gòu)的設(shè)計流程框架為：

（1）"在設(shè)計準(zhǔn)備階段需要建立好結(jié)構(gòu)的分析模型。

（2）"根據(jù)地震危險性、結(jié)構(gòu)性能、業(yè)主需求等工程實際情況以及有關(guān)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的要求確定減震性能目標(biāo)。

（3）"結(jié)合性能目標(biāo)和結(jié)構(gòu)特點選取合適的慣容減震結(jié)構(gòu)體系。

（4）"在權(quán)衡計算準(zhǔn)確性和復(fù)雜性的基礎(chǔ)上明確結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析方法。設(shè)計階段建議采用簡化結(jié)構(gòu)模型和基于功率譜或反應(yīng)譜的響應(yīng)計算方法。

（5）"參考表1確定優(yōu)化設(shè)計原則，建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。

（6）"選用合適的方法求解優(yōu)化設(shè)計問題。可選的優(yōu)化設(shè)計計算方法包括：（a）"基于理論公式的解析法，如拉格朗日乘數(shù)法；（b）"基于梯度的經(jīng)典數(shù)值方法；（c）"人工智能方法，如遺傳算法、粒子群算法、機(jī)器學(xué)習(xí)等。

（7）"結(jié)構(gòu)減震性能驗算。用動力時程分析法對精細(xì)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行性能驗算。按上述步驟設(shè)計的慣容減震結(jié)構(gòu)一般情況下是能滿足性能目標(biāo)的。如因模型簡化合理性不足等原因?qū)е屡c性能目標(biāo)有較大偏差，可酌情調(diào)整性能目標(biāo)重新設(shè)計。

4 結(jié)""論

本文圍繞慣容的四個關(guān)鍵問題（見引言）開展了研究工作，發(fā)現(xiàn)慣容元件可提供真實的慣性力，應(yīng)與經(jīng)典力學(xué)中假想慣性力的概念相區(qū)分。對慣容減震技術(shù)中關(guān)鍵名詞的定義進(jìn)行了討論和說明；從傳遞函數(shù)的角度解釋了慣容減震技術(shù)與經(jīng)典減震技術(shù)的區(qū)別；闡述了慣容減震技術(shù)的減震特性與其在結(jié)構(gòu)控制應(yīng)用中的基本策略。可以得到如下結(jié)論：

（1）慣容元件是一種相對加速度相關(guān)型的力學(xué)元件，其控制力與兩端點間的相對加速度成比例；慣容系統(tǒng)是慣容元件與多類、多個力學(xué)元件組合而成的控制系統(tǒng)；慣容減震結(jié)構(gòu)是采用慣容系統(tǒng)進(jìn)行減震控制的結(jié)構(gòu)，主要分為層間式、輕量調(diào)諧式、隔震式慣容減震結(jié)構(gòu)三種類型。

（2）與經(jīng)典力學(xué)中慣性力為假想力不同，慣容元件提供的慣性力是真實存在的。慣容的“慣性”僅表示加速度相關(guān)，在理解相關(guān)問題時需注意與經(jīng)典力學(xué)中慣性概念的區(qū)分。

（3）慣容減震技術(shù)與經(jīng)典減震技術(shù)的減震原理的差別可用結(jié)構(gòu)位移、速度、絕對加速度響應(yīng)傳遞函數(shù)的方式來解釋。相比于隔震技術(shù)，慣容減震技術(shù)不會導(dǎo)致位移響應(yīng)的增加，能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)動力自由度全響應(yīng)指標(biāo)（位移、速度、加速度）的降低；相比于消能減震技術(shù)，慣容減震技術(shù)能夠在附設(shè)相同阻尼耗能裝置的前提下耗散更多的輸入能量，得到更優(yōu)的減震效果；相比于經(jīng)典調(diào)諧減震技術(shù)，慣容減震技術(shù)具有“零質(zhì)量控制”的輕量化優(yōu)勢，且不會帶來額外的地震作用。

（4）慣容減震技術(shù)具有多種特性，能適用于不同的振動控制應(yīng)用場景：耗能增效特性能夠?qū)⑤斎肽芰扛咝盏綉T容系統(tǒng)中，提升阻尼元件的耗能效率，進(jìn)而更好地保護(hù)主體結(jié)構(gòu)；動態(tài)負(fù)剛度特性引起慣容系統(tǒng)內(nèi)部各元件的不同步運動，也可實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)自振特性的調(diào)整；輕量化調(diào)諧特性能夠在實現(xiàn)控制目標(biāo)的同時顯著降低所需的調(diào)諧質(zhì)量，節(jié)約裝置與空間成本；模態(tài)靶向控制特性能夠精準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)的任意單個或多個模態(tài)，精準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。

（5）慣容減震結(jié)構(gòu)的設(shè)計框架以性能導(dǎo)向、優(yōu)化控制為基本方針，在統(tǒng)一的設(shè)計框架下，層間式、輕量調(diào)諧、隔震式三種慣容減震結(jié)構(gòu)對應(yīng)具體的設(shè)計方程。所提出的控制策略體現(xiàn)了慣容系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)、結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)以及慣容系統(tǒng)耗能增效性能之間的內(nèi)在聯(lián)系，為慣容減震技術(shù)提供了高效可行的設(shè)計方法。

參考文獻(xiàn)：

［1］ MATSUSHITA K，"IZUMI M. Some analyses on mechanisms to decrease seismic force applied to buildings［C］//The 3rd World Conference on Earthquake Engineering. Wellington，New Zealand，"1965："342-359.

［2］ CONSTANTINOU M C，"TADJBAKHSH I G. Optimum design of a first story damping system［J］. Computers and Structures，"1983，"17（2）："305-310.

［3］ DEN HARTOG J P. Mechanical Vibrations［M］. New York："Dover Publications，"1985.

［4］ CLOUGH R W，"PENZIEN J. Dynamics of Structures［M］. 3rd ed. California，"USA："Computers and Structures，"Inc.，2003.

［5］ CHOPRA A K. Dynamics of Structures："Theory and Applications to Earthquake Engineering［M］. 4th ed. New York："Prentice Hall，"2012.

［6］ IKAGO K，"SAITO K，"INOUE N. Seismic control of single-degree-of-freedom structure using tuned viscous mass damper［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，"2012，"41（3）："453-474.

［7］ SAITO K，"INOUE N. A study on optimum response control of passive control systems using viscous damper with inertial mass："substituting equivalent nonlinear viscous elements for linear viscous elements in optimum control systems［J］. AIJ Journal of Technology and Design，"2007，"13（26）："457-462.

［8］ ZHANG Ruifu，"ZHAO Zhipeng，"PAN Chao，"et al. Damping enhancement principle of inerter system［J］. Structural Control and Health Monitoring，"2020，"27（5）："e2523.

［9］ ZHAO Zhipeng，"CHEN Qingjun，"ZHANG Ruifu，"et al. Energy dissipation mechanism of inerter systems［J］. International Journal of Mechanical Sciences，"2020，"184："105845.

［10］ ZHAO Zhipeng，"CHEN Qingjun，"ZHANG Ruifu，"et al. A negative stiffness inerter system （NSIS）"for earthquake protection purposes［J］. Smart Structures and Systems，"2020，"26（4）："481-493.

［11］ CHEN Qingjun，"ZHAO Zhipeng，"XIA Yuying，"et al. Comfort based floor design employing tuned inerter mass system［J］. Journal of Sound and Vibration，"2019，"458："143-157.

［12］ ZHANG Ruifu，"ZHAO Zhipeng，"DAI Kaoshan. Seismic response mitigation of a wind turbine tower using a tuned parallel inerter mass system［J］. Engineering Structures，"2019，"180："29-39.

［13］ ZHANG Ruifu，"ZHANG Luqi，"PAN Chao，"et al. Targeted modal response control of structures using inerter systems based on master oscillator principle［J］. International Journal of Mechanical Sciences，"2021，"206："106636.

［14］ SUGIMURA Y，"GOTO W，"TANIZAWA H，"et al. Response control effect of steel building structure using tuned viscous mass damper［C］//The 15th World Conference on Earthquake Engineering. Lisbon，"Portugal，"2012.

［15］ 張瑞甫，"柯永賢，"李喆，"等. 基于慣容系統(tǒng)的油田注水泵房結(jié)構(gòu)減振［C］//ECF國際頁巖氣論壇2021第十一屆亞太頁巖油氣暨非常規(guī)能源峰會. 上海，"2021："163-169.

ZHANG Ruifu，"KE Yongxian，"LI Zhe，"et al. Vibration mitigation of waterflood pump station based on inerter system［C］//ECF International Shale Gas Forum 2021 the 11th Asia-Pacific Shale Oil amp; Gas and Unconventional Energy Summit. Shanghai，"2021："163-169.

［16］ KASAI K，"FU Y M，"WATANABE A. Passive control systems for seismic damage mitigation［J］. Journal of Structural Engineering，"1998，"124（5）："501-512.

［17］ KELLY J M，"SKINNER R I，"HEINE A J. Mechanisms of energy absorption in special devices for use in earthquake resistant structures［J］. Bulletin of the New Zealand Society for Earthquake Engineering，"1972，"5（3）："63-88.

［18］ SAITOH M. On the performance of gyro-mass devices for displacement mitigation in base isolation systems［J］. Structural Control and Health Monitoring，"2012，"19（2）："246-259.

［19］ KAWAMATA S，"YONEDA M，"HANGAI Y. Development of vibration control system for structures by means of mass pumps［R］. Tokyo，"Japan："Institute of Industrial Science，"University of Tokyo，"1973.

［20］ NEWTON I. The Principia："Mathematical Principles of Natural Philosophy［M］. Berkeley，"USA："University of California Press，"1999.

［21］ GARRIDO H，"CURADELLI O，"AMBROSINI D. Improvement of tuned mass damper by using rotational inertia through tuned viscous mass damper［J］. Engineering Structures，"2013，"56："2149-2153.

［22］ IKAGO K，"SUGIMURA Y，"SAITO K，"et al. Modal response characteristics of a multiple-degree-of-freedom structure incorporated with tuned viscous mass dampers［J］. Journal of Asian Architecture and Building Engineering，"2012，"11（2）："375-382.

［23］ PAN Chao，"ZHANG Ruifu. Design of structure with inerter system based on stochastic response mitigation ratio［J］. Structural Control and Health Monitoring，"2018，"25（6）："e2169.

［24］ 張瑞甫，"曹嫣如，"潘超，"等. 典型激勵下調(diào)諧質(zhì)量慣容系統(tǒng)TMIS的輕量化結(jié)構(gòu)控制［J］. 工程力學(xué)，"2022，"39（9）："58-71.

ZHANG Ruifu，"CAO Yanru，"PAN Chao，"et al. Lightweight structural control based on tuned mass inerter system （TMIS）"under typical excitation［J］. Engineering Mechanics，"2022，"39（9）："58-71.

Discussion on the basic concept and design paradigm of inerter system

ZHANG"Rui-fu^1，2，"WU"Min-jun^1，2，"PAN"Chao³

（1. State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，"Tongji University，"Shanghai 200092，"China；2. Department of Disaster Mitigation for Structures，"College of Civil Engineering，"Tongji University，"Shanghai 200092，"China；3. School of Civil Engineering，"Yantai University，"Yantai 264005，"China）

Abstract： Inerter element is a mechanical element whose inertia force is proportional to the relative acceleration between its terminals. This kind of specific inertia force is not involved in classical theory of Structural Dynamics. From the point of view of inertial and non-inertial reference frame，"the inerter element is proposed as a real inertial force element. The difference between the real inertial force of inerter element and the virtual inertial force of classical mass element is also explained. In order to illustrate the differences between inerter-based technology and classical structure control technologies，"the vibration mitigation mechanisms of classical technologies are elaborated firstly. Based on the mechanical relationship of inerter element and inerter system，"the concepts of inerter element，"inerter system and structure with inerter system are defined and explained. From the point of motion equations and energy equations of structures with inerter systems，"the enhancement mechanism of inerter-based technology is revealed. The characteristics of inerter-based technology，"involving dynamic negative stiffness，"lightweight tuning and targeted modal control，"are also described，"which provides an alternative way for high-performance control of structure. On this basis，"the theoretical design framework of inter-story，"lightweight-tuned and isolated structures with inerter systems are given，"performance-oriented optimal design namely，"which can provide reference for the practical design of structure with inerter system.

Key words： "structural control；"real"inertial force；"inerter；"vibration mitigation principle

作者簡介： 張瑞甫（1980―），男，博士，副教授。E-mail："zhangruifu@tongji.edu.cn。

通訊作者： 潘""超（1985―），男，博士，副教授。E-mail："panchao@ytu.edu.cn。