星型負泊松比蜂窩夾層板的低速沖擊動態響應分析

摘要： 將星型負泊松比結構作為夾層板的夾芯層，建立夾層板的動力學模型，推導出夾芯層的等效彈性參數。基于Hertz理論、一階剪切變形理論和Hamilton原理推導出夾層板的運動方程，應用Navier法對其進行求解。通過兩自由度彈簧?質量模型獲得沖擊接觸力，運用Duhamel積分計算出夾層板受小球沖擊后的橫向位移。與已經發表的論文中對板接觸力和橫向位移的預測結果進行對比，驗證理論分析模型的有效性。同時對比了星型負泊松比夾層板與負泊松比內凹六邊形蜂窩夾層板的低速沖擊響應，探討了星型負泊松比蜂窩夾層板的各項參數對沖擊性能的影響。結果顯示：隨著沖擊速度的增大，夾層板的最大接觸力和最大橫向位移增大，沖擊響應持續時間縮短；夾層板的厚度比增大，夾層板的沖擊性能增強；胞元的邊長比減小，夾層板的沖擊性能增強；胞元內凹角度增大，夾層板沖擊性能提升。本文可為負泊松比超材料結構和夾層板的抗沖擊性能研究提供理論參考。

關鍵詞： 星型負泊松比結構；"低速沖擊；"彈簧?質量模型；"動態響應

中圖分類號： TB331；"TH142.2 """文獻標志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）11-1925-11

DOI："10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.013

引""言

負泊松比超材料結構因其特有的力學性能，在航空航天、航海船舶、能源動力等領域具有廣泛的應用前景，成為近年來的研究熱點^［1］。很多學者設計出了各種各樣的負泊松比結構，其中以內凹結構最為常見，有學者研究了傳統內凹六邊形結構的變形機理^［2?3］。之后，也有很多負泊松比內凹結構被設計出來，如內凹三角形結構^［4］、內凹星型結構^［5］。對于星型負泊松比結構的研究也是較為成熟的。ZHOU等^［6］通過能量法在不考慮剪切應力影響的情況下推導出星型負泊松比結構的力學性能，為星型負泊松比結構的研究提供一些參考。在此基礎上，AI等^［7］在考慮剪切應力影響的情況下，應用卡氏第二定理建立三種星型結構的力學解析模型，以此獲得三種星型結構的彈性模量、泊松比的解析式，并通過仿真對解析方程進行驗證。但是對于星型結構的剪切模量解析解的推導還相對較少。

夾層板結構由上面板、中間夾芯層和下面板通過膠粘形成，其夾芯層通常可以采用泡沫、蜂窩、桁架等非實心結構^［8］。蜂窩夾層板結構是應用最廣泛的夾層板結構^［9］，蜂窩夾層板領域的研究成果也較多。在夾層板的理論研究方面，袁文昊等^［10］通過剪切變形理論和基爾霍夫經典層合板理論，利用Hamilton原理研究了不同邊界條件下波紋夾層板的自由振動，結果表明，不同邊界條件對板的自由振動有重要影響；關淮桐等^［11］利用Von?Karman大變形理論和Hamilton原理得到仿蝴蝶形蜂窩結構夾層板的運動方程，并探討了夾層板在簡支狀態下的振動特性；朱秀芳等^［12］運用高階剪切變形理論和Hamilton原理推導出負泊松比蜂窩夾層板的運動方程，利用Navier法求解，研究負泊松比蜂窩夾層板在四邊簡支條件下的模態，結果顯示：負泊松比夾層板結構的振動特性優于普通蜂窩夾層板結構，并對各參數對振動頻率的影響進行了討論。在對夾層板的低速沖擊的仿真和實驗研究方面，付珊珊等^［13］通過模擬仿真對功能梯度蜂窩夾層板的抗低速沖擊性能進行了研究；ZHANG等^［14］首先建立了夾層板的三維模型，通過仿真對夾層板的沖擊性能和能量吸收性能進行研究，最后通過實驗驗證了仿真結果的有效性；楊晶晶等^［15］用有限元仿真的方式研究了鋁褶皺夾層板的抗低速沖擊性能，并對夾芯層尺寸參數對夾層板沖擊性能的影響進行了探討。對夾層板動力學性能的理論研究，大多都是關于夾層板振動特性的研究。對夾層板低速沖擊性能的研究，大多都是以實驗和仿真為主。對夾層板結構沖擊性能的理論研究較少。

基于上述背景，推導星型負泊松比結構的等效力學性能參數，基于一階剪切變形理論和Hamilton原理得到夾層板結構的運動學方程。提出兩自由度彈簧?質量模型用于分析夾層板的沖擊過程，并用Navier法進行求解，獲得夾層板結構受小球沖擊過程中的接觸力和橫向位移的解析解。通過對比已發表論文^［16?18］中對板接觸力和橫向位移的預測結果，驗證了夾層板理論解析模型的正確性。在此基礎上，對比了星型負泊松比蜂窩夾層板與普通負泊松比內凹六邊形蜂窩夾層板的低速沖擊響應，討論了球形沖擊器參數變化以及夾層板尺寸參數變化對夾層板沖擊性能的影響。

1 星型負泊松比胞元等效彈性參數計算

圖1所示為星型負泊松比胞元結構的模型圖。星型胞元由等長的四角星型結構和四個連桿組成，定義四角星型結構邊長為l₁，連接桿的長度為l₂，星型胞元邊與坐標軸夾角（內凹角）為θ，胞元壁厚為D，胞元厚度為h_c。

根據圖1中定義的參數，計算得到該胞元結構的相對密度、等效彈性模量、泊松比和等效剪切模量。其中，相對密度、等效彈性模量和泊松比值引用文獻［7］中的結果，并與本文中定義的尺寸參數相適配。這里引入三個尺寸比例關系：

式中""k表示剪切修正系數，取值為5/6；ρ_s，E_s和分別為基體材料的密度、楊氏模量和泊松比。

1.1 胞元面內剪切模量G_xy

由于星型胞元結構具有對稱性，故取胞元結構的四分之一模型進行分析，如圖2所示。所取部分面外厚度為單位厚度。

將所取分析部分等效為s×d的單位厚度等效單元體，則等效單元體的剪切應力和體積分別為：

式中""τ_xy表示xoy面內剪切應力；V表示等效單元體的體積。F，N，s，d如圖2中所示。

等效單元體的剪切應變能為：

式中""V_ε^*表示等效單元體受面內剪切后的應變能。

根據圖2（b）所示的各胞壁的受力分析，其中，N表示水平力，F表示豎直方向力，M₁，M₂，M₃分別表示三個胞壁端所受力矩。得到所取結構受剪切后的彎曲應變能V_ε1和剪切應變能V_ε2分別為：

式中""I表示慣性矩；A表示所取胞元結構的橫截面面積。由于所選結構是單位厚度的結構，故A=D，I=D³/12。

所取結構受剪切后的總應變能V_ε為：

根據等效單元體的應變能V_ε^*與所取結構的應變能V_ε相等，得到：

1.2 胞元面外剪切模量G_yz和G_xz

圖3所示為星型負泊松比蜂窩夾芯層結構在yoz面受到的剪力流圖。據圖3可以得到所取單元體在剪切力下的總應變能：

式中""τ_yz表示yoz面內剪切應力；T為蜂窩壁板yoz面上的單位長度剪力；G_s為基體材料的剪切模量。

將所取結構等效為等體積均質且剪切模量相等的實心相當體，相當體所受的剪切應力為：

得到相當體的總應變能V_ε^*1為：

根據所取單元結構和等效實心相當體的總應變能相等以及胞元的對稱性，得到：

2 星型負泊松比夾層板結構振動的理論模型

將上述星型負泊松比蜂窩結構作為夾層板的夾芯層，如圖4所示，夾層板由上面板、夾芯層、下面板三部分組成，其中上、下面板的厚度均為h_f，夾芯層的厚度為h_c。為了研究夾層板的抗低速沖擊性能，建立了如圖5所示的低速沖擊模型，沖頭是半徑為R_s的球形沖頭，沖頭的初始沖擊速度為V_s，夾層板結構x和y方向的尺寸分別為L_x和L_y，z方向的總厚度為h。

根據一階剪切變形理論，得到夾層板結構的位移場，x，y，z方向的位移分別為：

式中""U，V，W分別表示夾層板結構在x，y，z方向的位移；u，v，w分別表示中性面在x，y，z方向的位移；φ_x和φ_y分別表示中性面繞x軸和y軸的旋轉；t表示時間。

假設夾層板結構的變形都是線性變形，夾層板結構上任意一點的應變可以根據下列應變場得到：

式中""ε_x，ε_y表示正應變；γ_xy表示面內剪切應變；γ_xz，γ_yz表示橫向剪切應變。

根據胡克定律，可以得到夾層板結構的應力?應變關系：

式中""上標“i”=T，c，B，其中，T表示上面板，c表示負泊松比夾芯層，B表示下面板；Q表示轉換剛度系數，可以用下列公式表示：

式中""E表示楊氏模量；μ表示泊松比；下標“x”和“y”表示坐標方向。

夾層板結構的法向力（N_x，N_y，N_xy），剪切力（Q_xz，Q_yz）和力矩（M_x，"M_y，"M_xy）可以分別用下列公式表示：

將式（17）代入式（18）中，可得如下本構關系：

式中""，，表示曲面曲率，系數可表示為：

其中，Q_ij由式（17）給出。

根據Hamilton原理，可以得到夾層板結構的運動方程：

式中""q表示沖擊載荷；I₀，I₁，I₂表示慣性矩，可以由下式求解：

式中""ρ^f表示上、下面板的密度；ρ^c表示夾芯層的相對密度。

3 夾層板受低速沖擊的求解

將夾層板結構的運動方程在簡支的邊界條件下進行求解，其邊界條件可以表達為：

運用Navier法對運動方程進行求解，為了滿足邊界條件，將位移方程以雙三角級數的形式展開：

式中""α=mπ/L_x；β=mπ/L_y；U_mn（t），V_mn（t），W_mn（t），X_mn（t）和Y_mn（t）表示位移振幅分量；m和n表示模數。

將沖擊載荷q表示為：

式中""Q_mn（t）為夾層板面板上任意一點（x₀，y₀）施加的載荷系數，可以表示為：

式中""t表示沖擊時間；F（t）表示沖擊接觸力。

由于面內慣量和旋轉慣量對結果的影響較小，故本研究中將其忽略。將式（22）～（23）代入式（20）中，運用Galerkin方法，可以得到：

根據式（25）可以獲得如下單線性二階微分方程：

式中""W_mn（t）表示夾層板在z方向的位移振幅分量；ω_mn表示夾層板結構的固有頻率。

將式（24）代入式（26）中，通過Duhamel積分，解得：

式中""m₂表示夾層板質量；F（τ）為沖擊接觸力，是未知的。

圖6所示為板結構受小球沖擊后的接觸力F（t）和接觸位移δ（t）的示意圖，其中接觸位移是球形沖頭位移和夾層板上面板位移之差。為了得到接觸力F（t），本文用圖7所示的彈簧?質量模型等效沖擊過程。m₁和m₂分別表示球形沖頭和夾層板的質量，兩個質量塊用彈性系數為k₁的等效赫茲彈簧連接，該彈簧的彈力和形變也代表了沖擊過程中的接觸力和位移特性。同時，夾層板的橫向載荷和變形特性由彈性系數為k₂的等效剛度彈簧表示。

根據圖6，7可得沖擊過程中接觸位移δ（t）的公式：

式中""w₁（t）和w₂（t）分別表示沖擊過程中兩質量塊t時刻的橫向位移；δ（t）表示t時刻的接觸位移。

沖擊過程中非線性赫茲接觸力F（t）可以表示為^［19］：

式中""λ表示彈性恢復常數，取為1.5；K₁^*為赫茲接觸剛度，可表示為：

式中""E_s，μ_s和E₀，μ₀分別表示球形沖頭和夾層板上面板的楊氏模量和泊松比。

非線性赫茲接觸力具有較強的非線性，為了獲得分析的結果，運用Gamma函數將接觸剛度進行線性化處理。得到等效接觸剛度K₁^［19］：

4 有效性驗證

為了驗證上述理論分析模型的有效性，將上述理論分析模型計算夾層板的接觸力時間歷程曲線結果和YANG等^［16］以及WU等^［17］的結果進行對比，如圖8所示。球形沖頭的材料和尺寸參數如表1所示，板的材料和尺寸參數如表2所示。

根據圖8可以看出，本文分析方法得到的最大接觸力略高于WU等^［17］的分析結果，略低于YANG等^［16］的分析結果，最大誤差在8%左右。同時，接觸力時間歷程趨勢和文獻［16?17］中對板接觸力的預測結果中的趨勢是一樣的。通過對比可以得出該理論分析模型的有效性。因此，可以使用該理論分析模型分析計算負泊松比夾層板的動力學行為。

為了進一步驗證理論分析模型的有效性，本文以YANG等^［18］研究中的內凹負泊松比蜂窩夾層板為算例，用上述理論模型計算了該算例的橫向位移?沖擊時間的曲線，并與YANG等^［18］的結果進行對比。文獻［18］中的負泊松比胞元結構如圖9所示，圖中l_h為內凹臂長，h_h為垂直臂長，t_h為臂厚，θ_h為內凹角度。算例中胞元和夾層板的尺寸參數如表3所示，球形沖頭的材料和尺寸參數如表4所示，負泊松比蜂窩夾層板使用Ti?6Al?4V合金材料，其材料參數如表5所示。

運用本文理論對上述算例中內凹負泊松比蜂窩夾層板結構進行計算，并與文獻［18］中的結果進行對比，結果如圖10所示。

根據圖10可以看出，用本文理論計算文獻［18］中的模型的結果與文獻［18］中橫向位移曲線的變化趨勢一樣，負泊松比蜂窩夾層板的最大橫向位移與文獻［18］中結果一致，文獻［18］中橫向位移的曲線比本文結果更早達到最大值，兩者達到最大沖擊橫向位移的響應時間的誤差約為8%，在可接受范圍內。因此可以證實本文理論分析模型的有效性，該分析方法可以用于分析負泊松比蜂窩夾層板結構的低速沖擊動態響應。

5 參數化分析

基于上述理論分析模型，本文通過接觸力時間歷程、沖擊持續時間和橫向位移對夾層板的沖擊性能進行討論。球形沖頭的材料和尺寸參數如表1所示，夾層板的總厚度h=10 mm，其中，上、下面板的厚度h_f=2 mm，夾芯層厚度h_c=6 mm，邊長L_x=100 mm和L_y=100 mm；負泊松比胞元的尺寸數據：l₁=8 mm，l₂=7 mm，D=1 mm，θ=30°；夾層板的基體材料參數：彈性模量E_s=69×10⁹"Pa，泊松比μ_s=0.3，密度ρ_s=2700 kg/m³。

5.1 普通蜂窩和星型蜂窩沖擊響應對比

本節對比星型負泊松比蜂窩夾層板結構和負泊松比內凹六邊形蜂窩夾層板結構受球形沖頭沖擊后的橫向位移。其中，負泊松比內凹六邊形結構的尺寸參數如圖11所示，圖中a和b分別為胞元的兩個臂長，h為胞元厚度，θ₁為內凹角度。為了對比參數一致的兩種蜂窩結構，算例中負泊松比內凹六邊形胞元結構尺寸為：a=2l₁sinθ=13.8 mm，b=l₁=8 mm，θ₁=θ=30°，h=h_c=6 mm。內凹六邊形蜂窩夾層板其他尺寸參數設置和上述星型蜂窩夾層板算例中相同，沖擊速度為3 m/s。得到夾層板的橫向位移曲線如圖12所示。

圖12中的曲線對比表明，在相同的夾層板尺寸和沖擊條件下，星型負泊松比蜂窩夾層板的最大橫向位移小于普通內凹負泊松比蜂窩夾層板結構，較負泊松比內凹蜂窩夾層板的最大橫向位移減少57%。可見，本文研究的星型負泊松比蜂窩夾層板結構與普通蜂窩結構相比具有更好的低速沖擊性能。

5.2 沖擊速度對接觸力和橫向位移的影響

本節對比了四種不同沖擊速度（V_s=1，4，7，10 m/s）下夾層板的橫向位移和接觸力時間歷程，如圖13和14所示。由圖13可知，在所有的沖擊速度下，夾層板的橫向位移變化趨勢都是先增大后減小，夾層板的最大橫向位移隨著沖擊速度的增大而增大。圖14對比了不同沖擊速度下夾層板的接觸力時間歷程，可以看出，接觸力時間歷程在四種沖擊速度下的趨勢是一樣的，最大接觸力隨著沖擊速度的增大而增大。對比圖13和14都可以看出，隨著沖擊速度的增大，沖擊持續時間會有所縮短。

5.3 夾層板厚度比對夾層板沖擊性能的影響

本節對比了夾層板蜂窩夾芯層和上、下面板不同厚度比（ζ=h_c/h_f）對沖擊性能的影響，對比了不同比值（ζ=3，4，5）下三種夾層板在沖擊速度為10 m/s時的夾層板橫向位移和接觸力時間歷程。如圖15所示，夾層板橫向位移隨著ζ值的增大而減小。圖16展示了三種不同厚度比下夾層板的接觸力時間歷程。根據圖16可以得到，雖然三種厚度比值條件下最大接觸力的變化不大，但是可以看出最大接觸力隨著ζ值的增大而有所增加。觀察圖15和16可以看到，在沖擊過程中，厚度比ζ的變化不會引起沖擊持續時間的變化。據此，可以得到在相同的沖擊速度下，隨著夾層板厚度比的增大，星型負泊松比夾層板的抗低速沖擊性能有所提升。

5.4 胞元邊長比對夾層板沖擊性能的影響

本節討論了星型負泊松比胞元邊長比（η=l₁/l₂）的變化對夾層板沖擊性能的影響。在其他尺寸完全相同的情況下，對比了三種不同邊長比（η=0.75，1，1.25）的夾層板結構在沖擊速度為10 m/s的情況下的沖擊響應。根據圖17，三種不同邊長比的夾層板結構受沖擊后橫向位移的變化是較為明顯的。并且，隨著邊長比η的增大，最大橫向位移也增大，三種邊長比條件下橫向位移的變化趨勢是一樣的。通過圖18可以看出，在改變胞元邊長比的情況下，最大接觸力的變化不明顯，但是隨著胞元邊長比η的增大，夾層板的最大接觸力有所增大，三種不同邊長比η的情況下，星型夾層板結構的接觸力隨時間的變化趨勢是一樣的。此外，從圖17和18中可以看出，沖擊持續時間也隨著胞元邊長比η的改變而有所變化，具體為：隨著邊長比的增大，沖擊持續時間減小。因此，胞元邊長比η較小的夾層板具有更優的沖擊性能，但是在該模型中要滿足基本尺寸條件l₂gt;l₁sinθ，避免胞元間四角星型部分直接接觸。

5.5 胞元內凹角度對夾層板沖擊性能的影響

本節對比了星型負泊松比胞元內凹角度θ對夾層板沖擊性能的影響。根據星型胞元的結構特點，當內凹角度θ為0°時，星型結構變為矩形蜂窩；當內凹角度等于45°時，星型胞元的兩相鄰胞壁會重合。故本小節取內凹角度θ=10°，20°，30°，40°，其他幾何尺寸相同的星型負泊松比蜂窩夾層板結構在10 m/s沖擊速度下的沖擊響應進行對比，結果如圖19和20所示。

根據圖19可以看出：星型負泊松比蜂窩夾層板受球形沖頭沖擊后，夾層板的最大橫向位移隨著內凹角度的增大而減小，且橫向位移隨內凹角度的變化較為明顯。從圖20中可以得到：夾層板受低速沖擊后，接觸力隨胞元內凹角度的變化幅度較小，夾層板最大接觸力隨著胞元內凹角度的增大而增大。根據圖19和20可以看出：夾層板受沖擊的持續時間隨著胞元內凹角度的增大而略有增加。綜合上述觀察結果可以得出，星型負泊松比蜂窩夾層板的沖擊性能隨著胞元內凹角度的增大而有所提升。

6 結""論

基于Hertz理論、一階剪切變形理論和彈簧?質量模型提出一種數值分析模型，可用于分析負泊松比夾層板結構在低速沖擊下的動力學特性。根據該分析模型，可以得到沖擊載荷下夾層板結構的接觸力時間歷程和橫向位移時間歷程的解析解。在此基礎上，對比了星型負泊松比蜂窩夾層板和負泊松比內凹六邊形蜂窩夾層板的沖擊響應，研究了沖擊速度、夾層板厚度比、胞元邊長比和胞元內凹角度對負泊松比蜂窩夾層板抗低速沖擊性能的影響，結論如下：

（1）在相同的尺寸和沖擊條件下，星型負泊松比蜂窩夾層板的最大橫向位移較負泊松比內凹六邊形蜂窩夾層板的最大橫向位移減小57%。

（2）沖擊速度對負泊松比夾層板的影響較為明顯，隨著沖擊速度增大，夾層板最大接觸力增大，最大橫向位移增大，沖擊響應持續時間縮短。

（3）夾層板的上、下面板與夾芯層的厚度比ζ對夾層板的沖擊性能有影響，ζ值越小，夾層板的整體剛度和強度越大，最大橫向位移越小，而最大接觸力會越大，但是沖擊響應持續時間不變化。

（4）胞元的邊長比η對夾層板沖擊性能的影響為：隨著η值的增大，夾層板受沖擊后的最大橫向位移增大，最大接觸力會減小，沖擊響應持續時間也會縮短。可以在一定范圍內選擇較小η值的胞元結構，以提高夾層板的抗沖擊性能。

（5）星型胞元內凹角度的變化對蜂窩夾層板沖擊性能的影響為：夾層板沖擊接觸力和沖擊持續時間隨著胞元內凹角度的增大而增加，而夾層板的橫向位移隨著胞元內凹角度的增大而減小，意味著胞元內凹角度的增大可以提升蜂窩夾層板的低速沖擊性能。

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Dynamic response analysis of star shaped honeycomb sandwich panel with negative Poisson’s ratio under low velocity impact

Li"Bin，"Fu"Tao

（School of Mechanical and Electrical Engineering，"Kunming University of Science and Technology，"Kunming 650500，"China）

Abstract： The star-shaped negative Poisson’s ratio structure is used as the core of sandwich panels. The dynamic model of a sandwich plate is established，"and the equivalent elastic parameters of sandwich layer are derived. The equations of motion of sandwich plates are derived based on Hertz theory，"first order shear deformation theory and Hamilton principle. Then，"the equations of motion are solved by navier method. The contact force of the impact model is obtained through the spring-mass model with two degrees of freedom，"and the lateral displacement of the sandwich plate after impact is calculated by Duhamel integral. The predicted results of plate contact force and lateral displacement are compared with the published papers to verify the accuracy. Meanwhile，"the low-velocity impact response of star-shaped negative Poisson’s ratio sandwich panels is also compared with the negative Poisson’s ratio concave hexagonal honeycomb sandwich panels，"and the influence of the parameters of sandwich panels is also discussed. When the impact velocity increases，"the maximum contact force and the maximum lateral displacement of the sandwich plate also increase，"while the duration of the impact response decreases. The greater the thickness ratio of the sandwich plate is，"the better the impact performance of the sandwich plate will be. The smaller the side length ratio of cell is，"the better the impact performance of sandwich plate will be. The increase of the cell concave angle enhances the impact performance of the sandwich panel. This study can provide some reference for the study of impact resistance of negative Poisson’s ratio metamaterial structures and sandwich panels.

Key words： star shaped structure with negative Poisson’s ratio；"low velocity impact；"spring-mass model；"dynamic response

作者簡介： 李""斌（1995―），男，碩士。E-mail："libinLexsen@163.com。

通訊作者： 付""濤（1987―），男，博士，講師。E-mail："ftkmust@126.com。