移動輪軌力作用下浮置板軌道柔度系數研究

摘要： 軌道柔度系數矩陣建立了移動輪軌力與輪軌接觸點處鋼軌位移響應之間的關系，是解析模型中對車輛系統和軌道系統進行耦合的關鍵和難點。本文在已有三維離散支承浮置板軌道頻域解析模型基礎上，提出了移動輪軌力作用下浮置板軌道柔度系數的求解方法。利用固定坐標系和移動坐標系間的關系，將浮置板軌道柔度系數的求解轉化為對移動諧振荷載作用下鋼軌固定點頻域位移響應的積分的計算，為三維列車?浮置板軌道耦合解析模型的建立奠定基礎，并量化了二維模型和三維模型的計算結果差異。自編程序對浮置板軌道柔度系數進行計算，結果表明：同一轉向架內，前軸左側輪軌力對前軸右側輪軌接觸點處的軌道柔度系數與該力對后軸左側輪軌接觸點處的軌道柔度系數大小相近，二維模型忽略了此影響；二維計算模型無法準確反映板在全部模態頻率處的振動響應，進而影響軌道柔度系數的計算準確性；對浮置板軌道動力特性進行精細化分析時，宜使用三維模型。

關鍵詞： 浮置板軌道；"軌道柔度系數；"三維頻域模型；"無限周期結構理論；"Kirchhoff薄板理論

中圖分類號： U213.2 """文獻標志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）11-1898-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.11.010

引""言

城市軌道交通蓬勃發展的同時，地鐵列車運行引發的環境振動問題愈發嚴重，浮置板軌道由于其良好的減振性能被廣泛應用于對振動較為敏感的區域中^［1］。在對浮置板軌道性能的研究中，模型研究一直備受國內外學者關注：翟婉明等^［2］在時域內用雙梁模型模擬浮置板軌道，探究了列車運行時軌道的振動響應；HUSSEIN等^［3］研究了荷載在連續支撐浮置板軌道模型上移動時系統的振動響應；馬龍祥等^［4］和黃強等^［5］分別在頻域和時域內建立了浮置板軌道模型，對移動荷載作用下浮置板軌道的減振性能進行研究。以上研究均基于二維浮置板模型進行。目前，隨著對環境振動預測精度要求的不斷提高，對浮置板軌道研究的要求也相應提高，建立三維列車?浮置板軌道動力學模型對系統振動響應進行精細化研究成為趨勢^［6］。

目前，對三維浮置板軌道模型的研究分為時域模型研究和頻域模型研究。ZHAI等^［7］基于薄板理論，用薄板模型模擬浮置板，建立了三維列車?浮置板軌道耦合時域模型，并提出了求解系統振動響應的方法。YANG等^［8］利用此模型計算了浮置板板端支承剛度加強前后軌道的振動響應。對于頻域模型，李增光等^［9］基于Kirchhoff薄板理論，采用動柔度法建立板式軌道模型，對具有不同相位的兩個定點諧振荷載分別作用在左右兩根鋼軌時，浮置板軌道的動力響應進行了研究。SHENG等^［10］引入周期性原理，考慮實際軌道的一半，建立了三維半軌道頻域模型，對移動諧振荷載作用下的軌道振動響應進行計算。上述頻域模型均對浮置板軌道進行較多簡化，與實際情況相差較大，不利于進一步三維車?軌耦合模型的建立。

相較于時域模型，對三維列車?浮置板軌道耦合頻域模型的研究較少。而由于頻域模型具有計算時間短、無截斷誤差等優越性，在列車運行引起的環境振動預測方面有較為廣泛的應用。譚新宇等^［11］建立了服務于列車運行引發環境振動影響預測和評估方向的三維離散支承浮置板軌道頻域解析模型，本文在此基礎上，進一步推導得到了移動列車輪軌力作用下浮置板軌道柔度系數的求解方法，并對多種工況下的浮置板軌道柔度系數進行討論，為三維列車?浮置板軌道頻域耦合解析模型的建立奠定了基礎。

1 模型建立

2 移動輪軌力下軌道柔度系數求解

3 計算分析

3.1 模型驗證

文獻［13］求解了移動群荷載作用下二維浮置板軌道輪軌接觸點處的軌道柔度系數，并將其應用于二維車?軌耦合模型中，通過解析方法及現場實測數據對比證明了其計算結果的準確性。本文以此為對照，對模型的正確性進行驗證。令式（19）中N_x=1，則浮置板的橫向僅考慮一階沉浮振動模態，即浮置板在同一橫截面上各點的垂向位移一致，此時浮置板軌道模型可視為二維模型。選取同一文獻［13］的軌道參數，利用本文方法對同一輪軌接觸點處的浮置板軌道柔度系數進行求解，將兩種模型計算所得結果進行對比，如圖2所示。

由圖2可知，相同工況下，應用本文模型計算得到的浮置板軌道柔度系數曲線與文獻［13］中模型計算結果吻合良好，這驗證了本文理論推導和程序編制的正確性，接下來將應用本文模型，對三維浮置板軌道模型中的軌道柔度系數進行計算分析。

3.2 浮置板軌道柔度系數討論

浮置板軌道模型計算參數如表1所示。移動單位輪軌力的間距由北京地鐵B型車軸距確定，計算考慮兩節車廂對應的16個輪軌力，同一轉向架兩輪對軸距為2.2 m，兩轉向架間隔12.6 m，單車長度為19"m，其輪對軸距示意圖如圖3所示。車輛運行速度取60 km/h。由于本文所建模型主要針對車致環境振動領域，其關注頻段通常為0～100 Hz頻段，故在下文進行計算分析時，僅給出100 Hz以下頻段的計算結果。在進行式（20）的計算時，采樣2.4 節中軌道柔度系數求解頻率數M取1001，同時計算模態數，，此時計算結果的準確性可以保證^［4］。

圖4給出了列車第1，8軸左側移動輪軌力對自身輪軌接觸點處及對同軸右側輪軌接觸點處的軌道柔度系數函數曲線，即A（Δx，d_ii，ω_F）模值與激振頻率的關系曲線（輪對軸i=1，8）。

由圖4可知，軌道柔度系數在8 Hz附近達到峰值，此峰值頻率與單位長度軌道連同鋼彈簧支承構成的有阻尼單自由度體系自振頻率相一致；另外，軌道柔度系數曲線在浮置板的多階模態頻率處出現極值，曲線總體呈現出波動狀；不同位置的移動輪軌力對自身輪軌接觸點處的軌道柔度系數相同，即A（0，d₁₁，ω_F）=A（0，d₈₈，ω_F），說明各移動輪軌力對自身輪軌接觸點處鋼軌的位移響應的影響是相同的，與荷載所處的位置無關；同時，全頻段內A（0，d_ii，ω_F）gt;A（x_r，d_ii，ω_F），說明左側輪軌力引起的自身輪軌接觸點處鋼軌的位移響應大于該力引起的同軸右側輪軌接觸點處鋼軌的位移響應。

圖5給出了d₂₁=-2.2 m和d₁₂=2.2 m時，軌道柔度系數函數曲線A（Δx，d₂₁，ω_F）與A（Δx，d₁₂，ω_F），即列車第1軸左側移動單位輪軌力對第2軸位置兩輪軌接觸點處的軌道柔度系數，以及第2軸左側移動單位輪軌力對第1軸位置兩輪軌接觸點處的軌道柔度系數。

由圖5可知，A（0，d₁₂，ω_F）和A（0，d₂₁，ω_F）兩曲線以及A（x_r，d₁₂，ω_F）和A（x_r，d₂₁，ω_F）兩曲線有一定差別，在高于15 Hz頻段范圍內，差異值最大可達一個數量級，說明列車沿軌道定向移動時，前側輪軌力引起的后側輪軌接觸點處鋼軌的位移響應與后側輪軌力引起的前側輪軌接觸點處鋼軌的位移響應存在差異。這種荷載定向移動引起的軌道柔度系數的差異，是采用定點激勵方式無法反映的。

圖6給出了列車第1軸左側移動單位輪軌力對第1，2，8軸左、右側鋼軌輪軌接觸點處的軌道柔度系數函數曲線。由三條實線可以看出，各激振頻率下，移動輪軌力對自身輪軌接觸點處的軌道柔度系數最大，隨著距離的增加，在絕大多數頻段內，軌道柔度系數逐漸減小。曲線與曲線在全頻段內較為接近，說明列車第1軸左側輪軌力對第1軸右側輪軌接觸點處鋼軌的位移響應的影響與該力對第2軸左側輪軌接觸點處鋼軌的位移響應的影響相近，在各個頻率上差異值不超過5%；相比而言，第1軸左側輪軌力對第2軸右側輪軌接觸點處鋼軌的位移響應的影響則較小。另外，與兩曲線基本重合，說明距離較遠時（超過一節列車），移動輪軌力對其較遠輪對的左、右側輪軌接觸點處鋼軌位移響應影響的差別較小。

圖7比較了二維模型與三維模型計算得到的曲線，用以定量比較二維、三維模型的計算結果差異。從圖中可以看出，兩種模型計算結果曲線的走勢一致，但在20～40 Hz頻段內，二維模型計算結果較三維模型大，單位輪軌力作用下最大差值可達4×10^-9 m/N，差值約為三維模型計算值的30%；在低于10 Hz和高于60 Hz頻段內，三維模型的計算結果略大，但兩模型計算差值不超過8%。這是由于相較于二維模型，三維模型同時考慮了沿浮置板板寬方向的振動模態影響，即增加了對浮置板扭轉振動模態及沿板寬方向的彎曲振動模態的考慮，其振動響應更為復雜。受此影響，本文參數條件下三維浮置板軌道在20～40 Hz頻段內較二維模型存在多階振型，使兩種模型計算所得的軌道柔度系數在此頻段內出現較為明顯的振動差異。

4 結""論

本文基于已有的三維離散支承浮置板軌道頻域解析模型，推導得到了浮置板軌道柔度系數的求解方法。利用固定坐標系和移動坐標系間的關系，把對軌道柔度系數的求解轉化為求解固定坐標系下軌道某定點處頻域位移響應的積分。鋼軌和浮置板的位移用模態疊加的形式表示，利用模態函數的正交性和狄拉克函數的性質，通過求解軌道內某點的頻域位移，最終得到浮置板軌道柔度系數，為三維列車?浮置板頻域動力模型中車?軌耦合部分的實現打下了基礎。同時，通過對浮置板軌道柔度系數的計算分析，得到如下結論：

（1）"軌道柔度系數曲線中，峰值出現在8 Hz附近，與單位長度軌道連同鋼彈簧支承構成的有阻尼單自由度體系的自振頻率一致，軌道柔度系數曲線在浮置板的多階模態頻率處出現極值。

（2）"由于輪軌力的移動效應，前軸輪軌力對后軸輪軌接觸點處的軌道柔度系數與后軸輪軌力對前軸輪軌接觸點處的軌道柔度系數存在一定差異。

（3）"同一轉向架內，各激振頻率下，前軸左側輪軌力對自身輪軌接觸點處的軌道柔度系數最大，對前軸右側輪軌接觸點處的軌道柔度系數與對后軸左側輪軌接觸點處的軌道柔度系數大小相近。移動輪軌力對距其較遠的某軸左右側輪軌接觸點處軌道柔度系數的影響的差別較小。

（4）"本文計算參數下，二維模型和三維模型計算結果在20～40 Hz頻段內存在較為明顯的差異，當進行精細化分析時，應采用考慮沿板寬方向振動模態的三維計算模型對浮置板軌道振動響應進行分析。

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Track flexibility coefficient （TFC）"of the floating slab track （FST）"subjected to the moving wheel-rail forces

TAN"Xin-yu^1，2，"LIU"Wei-feng²，"JIANG"Bo-long¹，"ZHANG"Yu³，"ZHANG"Bai-yan³

（1.National Engineering Research Center for Digital Construction and Evaluation Technology of Urban Rail Transit，"China Railway Design Corporation，"Tianjin 300308，"China；"2.School of Civil Engineering，"Beijing Jiaotong University，"Beijing 100044，"China；"3.China Railway Construction Southern Construction Investment Corporation，"Shenzhen 518000，"China）

Abstract： To establish a 3D metro train-FST coupling model in the frequency domain，"the key problem of the rail displacement at each moving wheel-rail contact point caused by all moving wheel-rail forces needs to be solved firstly. The matrix of the TFC establishes the relationship between them. Based on the established 3D discrete supported floating slab track model in the frequency domain，nbsp;a method to calculate the TFC is put forward in this paper. Based on the relationship between the fixed and moving coordinate systems，"the TFC to a moving point on FST can be written as the integration of the rail displacement response at a fixed point in the frequency domain caused by a moving harmonic load. After calculating the TFC of the 3D FST，"some conclusions are obtained. At each excitation frequency，"the TFC of a moving wheel-rail force to each wheel-rail contact point is the largest at the point of the force itself. Due to the moving of the wheel-rail force，"there is a certain difference between the TFC of the front axle wheel-rail force to the rear axle wheel-rail contact point and that of the rear axle wheel-rail force to the rear axle wheel-rail contact point. In the same bogie，"the TFC of the left wheel-rail force of the front axle to the right wheel-rail contact point of the same axle is similar to the TFC of that force to the left wheel-rail contact point of the rear axle. It is advisable to use a 3D model to finely analyze the dynamic characteristics of floating slab tracks.

Key words： floating slab track；"track flexibility coefficient；"3D model in the frequency domain；"infinite periodic structure theory；"Kirchhoff’s thin plate theory

作者簡介： 譚新宇（1994—），男，博士，工程師。E-mail：tanxinyu_crdc@126.com。

通訊作者： 劉衛豐（1975—），男，博士，教授。E-mail：wfliu@bjtu.edu.cn。