初中數學教材中“組合問題”的編排及教學思考

【摘 要】本文以人教版初中數學教材中的“組合問題”為研究對象，研究發現教材編寫有如下特點：組合問題的類型多樣，與傳統內容結合的形式多樣，內容以年級貫通、分散編排、隱性滲透等方式呈現在教材中。在計算機時代，初中數學教材應有機滲透組合數學思想，組合問題應與傳統內容有機融合，逐漸滲透到學生的計算思維中，使更多的學生從課堂教學和教材中受惠。

【關鍵詞】組合問題；教材編寫；文本分析法

一、引言

教材編寫是國家事權，教材內容的選擇是其中的重要事項。教材內容的選擇受教育目的、社會文化、科技發展水平及教育研究水平的影響。

在教材內容中滲透組合內容是可行的。現代數學主要分為兩大類：一類是研究連續對象，如分析學、方程等；另一類則是研究離散對象的組合數學。組合數學主要研究有限個事物在一定規則下的安排，如安排的存在性、計數、構造與優化等。組合數學既是離散數學的重要組成部分和核心，又是計算機算法的重要基礎之一。計算機算法不僅研究數值運算，還研究離散對象的非數值算法，如查找、排序等。有了組合數學，計算機就有了思維。組合數學的內容蘊含著豐富的數學思想，如邏輯推理、數學抽象等，學習組合數學對學生的數學思維發展，特別是計算思維的發展有很大幫助。但現有教材中的組合數學知識與計算機科學脫節，組合課程應與時代相結合，更好地培養學生的抽象思維、邏輯思維以及分析問題、解決問題的能力。［1］

教材的內容是古典的，如何基于古典的內容滲透現代科技的力量值得大力研究。近些年來，為了更好地編寫教材，學者們對數學教材的研究越來越多。如有對數學教材分析的方法進行研究［2-3］；有從數學史的角度對不同版本的數學教材進行分析，展現不同教材的數學史融入特點［4-5］；有對初中數學教材的插圖文化進行研究［6-7］；還有教材的國際比較研究，例如對某一概念內容的比較研究［8-9］。關于組合數學在數學教材中的研究有《小學數學教科書中“組合問題”的編排》［10］《高中數學教材“組合問題”的編排》［11］，是對小學、高中數學教材中的組合問題的編排進行分析，認為小學教材中的組合問題需要革新表達方式，高中的組合問題需要促進與傳統內容的相輔相成。同時，發現學者對初中組合問題的編排關注太少，相關研究還是空白。為了了解組合問題在中小學的整體編排，更好地發揮組合數學對學生思維培養的獨特作用，對初中教材中組合問題的編排進行研究十分有必要。

二、組合問題的編排特點

以人民教育出版社的初中數學教材中的組合問題為研究對象，分析、歸納得出組合問題具有以下編排特點。

1.組合問題的類型多樣

初中數學教材中的組合數學涉及的問題的類型有：存在性問題、計數問題、構造問題、優化問題。存在性問題有填幻方、圖形拼接、切割問題等；計數問題有球隊循環比賽場數，聚會握手次數，火柴棍擺三角形個數，六個全等三角形拼成的平行四邊形個數，小正方形拼大正方形個數，小立方體組成立體圖形個數，三角形各中點、頂點連線組成平行四邊形的個數，凸多邊形對角線條數等；構造問題有鑲嵌，“湊錢”，五個點中任意三個點都能組成等腰三角形等；優化問題有兩點之間的路徑選擇，用哪種燈更省電，怎樣租車，怎樣調水等。計數、存在、構造、優化是四種常見的組合問題，大學組合數學也主要研究這四種類型的組合問題。對于存在性問題，學生可以動手去畫、去做，總結規律以解決問題，符合初中生的思維規律。計數問題類似高中的排列組合知識，可以通過數數的方法列舉所有情況，以解決問題。構造問題要求學生要有理解題意、建立簡單數學模型的能力。優化問題也是在建立函數模型的基礎上求取最優解，這和高中線性規劃問題有共通點，對學生能力的要求也較高。

初中教材中組合問題的類型較全面，解決組合問題需要的思維能力也符合初中生的思維特點，在一步一步的操作中，把邏輯與計算很好地結合起來。初中生的邏輯思維能力逐步由經驗型向理論型轉化，能對超出直接感知的事物提出假設和進行推理論證，但這種抽象邏輯思維在很大程度上還需要感性經驗的支持。

2.組合問題與傳統內容結合的形式多樣

代數、幾何是初中數學的主干內容，也是傳統成熟內容。初中代數的主要內容是解方程，初中幾何主要是歐氏幾何，這些內容在于培養學生的運算能力和邏輯推理能力。但換成從組合的角度審視這些傳統成熟內容，會獲得不一樣的見解。

人教版初中數學教材中組合問題與傳統內容結合的形式多樣。由于組合數學內容在初中數學中出現得很少，也沒有以某一專題的形式進行系統學習，而是多以例題形式出現，因此要分析教材中組合數學內容編寫的特點，需以某一部分內容為例。本文以七年級下冊的部分組合內容為例，對內容編寫進行分析。七年級下冊中涵蓋了組合數學素材來源的主要方面，還包括組合數學的不同呈現形式——課題學習、數學活動、探索思考、練習題，選取這樣的內容具有代表性。七年級下冊中組合問題出現次數相對較多，并且組合問題的類型也比較豐富，如垂線段最短問題、分飼料問題、設計方案問題等。由呈現樣式可知，素材的選擇有直接的數學知識（單純的數學問題：垂線段最短、鑲嵌等），也有社會經驗（生活問題：分飼料問題）。七年級下冊的組合內容，學科知識與數學活動操作相結合，直觀感知與邏輯思維并重的例題設計，考查了學生的能力，也鍛煉了思維；兼顧了數學的理論價值和應用價值，既有一定的抽象性，也能用貼近學生生活的素材激發學生的學習興趣，從多種角度豐富學生對數學的感受。

組合問題與傳統內容的結合還體現在練習題中。教材中的很多素材是學習新知識后提供的練習題，這些習題難度適中，是學生“跳一跳”能夠得著的，能幫助學生有序地進行分類討論，全面地思考，掌握知識，提升能力，如“分書問題”能在一定程度上鍛煉學生的邏輯思維能力。但同時也發現，教材中組合問題的全分散編排，雖然讓組合問題在教材中“無處不在”，但也因為過于分散，有的內容滲透得十分隱蔽，容易被師生忽視。如，使用微專題學習的“鑲嵌”內容，很多教師和學生意識不到這是一種組合幾何問題。

3.年級貫通、分散編排、隱性滲透地呈現

組合問題的編排在中小學各有特色，小學的組合問題編排有分散和集中兩種方式，集中編排主要是在“數學廣角”中。高中的組合問題分顯性和隱性兩種方式，顯性編排主要采用專題學習的方式。初中的組合問題只有全分散一種編排模式，多采用隱性的方式滲透組合思想。從方式上看，初中相比小學、高中而言較為單一。但方式上的單一并不代表內容上的單薄，從內容上看，初中數學教材中布滿了組合問題，且這些組合問題主要分布在“數學活動”中，主要任務是在傳統內容的學習中向學生滲透組合思想，訓練學生的思維，在承接了小學組合問題學習的同時，為學生在高中階段學習專題的組合問題打下良好的思維基礎，使組合問題的學習在整個中小學階段連續一貫。

初中的組合問題主要集中在“數與代數”和“圖形與幾何”領域。組合問題完全是依據每一章節的知識點來設計例題，以達到讓學生掌握該章節數學知識的目的，因此同一類型的組合問題會在相似知識點上反復出現，如在二次函數、二次根式和一元二次方程中都出現了計算比賽次數的問題。組合問題在初中代數和幾何中的分布大致相當，幾乎是均勻的，數與代數中的組合問題多是在方程和函數概念中出現，圖形與幾何中的組合問題則一般借助圖形進行探索，如“平行線分線段成比例”中根據截線的不同位置分情況討論。組合思想較為隱蔽，需教師挖掘。

人教版初中數學教材中組合問題的呈現形式可歸納為五類：問題引入、課題學習、數學活動、探索思考和練習題。從橫向上看，組合問題安排在教材的各個領域，呈現特點為全分散編排。除“閱讀與思考”外，組合問題在數學活動中的分布大致相當，與練習題的數量也大體一致，說明組合問題的編排分布相對均勻。從縱向上看，不同年級的組合問題主要分布領域不同，七年級和九年級主要集中在數學活動中，而八年級主要集中在練習題上，但不同年級的組合素材在總量上相差不大，即在不同年級中，組合素材的分布相對均勻。組合問題的專題編排在高中階段，初中階段將適當的組合素材相對均勻地編入各年級教材，能為學生在高中階段的學習做好鋪墊，是較為合理的編排方式。因此，組合問題在初中教材中呈現的特點是年級貫通、全分散編排，且主要是隱性滲透的方式。

三、“組合問題”編排的教學思考

初中教材中的組合問題涉及存在性問題、計數問題、構造問題、優化問題，以傳統成熟內容為載體，以隱性滲透的方式編寫，呈現出年級貫通、全分散編排的特點。這些特點構成了教材的編寫特色，還可進一步完善。

1.組合分析使傳統內容增值

應將組合問題與教材中傳統成熟內容相結合，著重挖掘知識中蘊含的組合思想，獲得新見解。初中數學中與組合問題相關聯的知識主要是代數和幾何。組合思想在初中教材中具有廣泛性：學習反比例函數，對自變量的正負區間進行分析（將連續的事物離散化）；歸納反比例函數的性質時，對參數進行分類總結；三角形全等的判定方法為什么是四種；直角三角形除直角外的五個邊角元素有哪些關系；中學階段經常使用的描點作圖法；等等。這些是以教科書中傳統成熟的內容為載體的。又如踢球問題、擺棍子等，多次出現，對學生思維的培養雖有幫助，但載體太陳舊。為更好地鍛煉學生的思維，需要對載體內容進行更新，因為滲透組合數學的觀念與方法是著眼于學生的未來發展。加強課程內容的橫向組織，有助于學生獲得統一的觀點，并把自己的行為與所學的課程內容統一起來。［12］

教學要深度挖掘教材中的組合問題蘊含的思想方法，用組合的眼光分析傳統成熟內容，發展新觀點和新方法。如三角形內角和為180°，其幾何意義是平面幾何的根基所在，其代數意義是一個等式。但若從組合的角度看，則至少有一個角小于等于60°，一個角大于等于60°，平均數的意義得到凸顯，這也是組合思想的體現。學生若能對此重要結論進行另類解讀，必能辯證處理等與不等、平均與守恒的辯證關系，思維會更上一個層次。又如，三角形兩邊之和與第三邊的關系可以看成兩點之間的不同路徑，兩點之間線段最短的不等表達就是三角形不等式，廣泛應用于逼近分析之中。平面幾何是滲透圖論觀點的極好素材，反過來，用圖論的觀點能加強學生對平面幾何的認識。如對角線的重要意義在于直接溝通兩個點之間的關聯，而不是為了連線而連線。從圖論的角度出發，對于為何要添加輔助線及如何添加輔助線，會獲得另外的見解。應將努力促進學生的思維發展作為數學教育的主要目標，并應特別強調“通過數學學會思維”，即應當將數學知識與技能的學習看成實現這一目標的主要途徑。［13］

在課堂教學的實施中，加強傳統內容與組合的關聯，可以從例題的實質性分析入手。如，在代數教學的例題設計中，教師可參考如下例題進行解讀。

1.參加某次商品交易會的公司，每兩家公司之間要簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？

2.一個凸多邊形共有20條對角線，它是幾邊形？是否存在有18條對角線的多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明理由。

這兩道題其實就是握手問題，難度是遞增的，把這類問題統整到一起讓學生進行訓練，有助于培養學生的發散思維。諸如此類的例子還有很多，這是用新觀點解讀傳統成熟內容的好處之一。備受關注的國際中學生數學奧林匹克競賽，考查的內容除傳統成熟的代數、幾何、數論外，難度最大的就是組合。組合與傳統成熟內容相融合，能惠及更多的學子，這也是數學教育追求教育公平的作為之一。

2.組合素材的選取可更新

組合素材的表現形式還有改進的空間，應適度考慮計算機興起帶來的影響。目前組合素材的選擇大致符合學生的心理發展規律以及知識理解水平，但仍有一些可以改進的地方，如可以考慮在初中教材中適當增加一些專題的學習，使其更好地銜接小學和高中組合問題的學習。從時代發展和社會需要的角度看，初中數學教材中的組合素材并沒有和新興的計算機科學技術相聯系，有關組合數學的例題內容還局限在擺木棍、踢球等古典組合數學類問題上，沒有考慮計算機的興起對課程的影響。算法、計算機對社會發展、科技進步有著重要的影響，以傳統教學內容為載體，滲透算法、計算思維的訓練，以適應科技進步對人才的需要，是非常有意義的。算法是中國古代數學的精髓，也是現代計算機的基礎。ChatGPT的出現表明以算法為基礎的人工智能（AI）將對人類社會產生深遠的影響，以傳統成熟內容為載體，滲透作為人工智能基礎的算法，實施起來容易落實。［14］

目前教材中的組合內容對于培養學生的思維深度的作用還不夠，教材中組合內容的表現形式較為隱蔽，教師要對教材進行更深入的挖掘。“立德樹人”“關注學生核心素養”對教材編寫提出了新要求，應適度更新組合問題的內容載體，開闊學生視野。基于此，在傳統課程中滲透一些新思想和新素材是十分有必要的。也就是說，課程內容的選擇不僅要反映現實生活，也要展望未來社會；課程內容的選擇不僅要能取得即時效果，也要具有可持續發展性。［15］新時代背景下，計算機迅猛發展，傳統成熟內容可以融合計算機的相關素材，便利地滲透組合的思想和方法。如，鑲嵌問題如果僅用傳統方式呈現，效果肯定不如用動態幾何技術呈現給學生的效果好。超級畫板、網絡畫板用動態幾何技術制作了各式各樣的密鋪圖形，可用作組合問題的載體，如基于等腰三角形的密鋪多邊形、基于平行四邊形的密鋪曲線形等，可用于啟迪學生的思維。這種思路和方法可以反過來遷移到傳統成熟內容上，如用組合割補的方法證明勾股定理，使傳統內容煥發新的生機。這也是信息技術在學科教學中的深度融合的表現。另外，組合問題講究算法實現，學習組合問題也是訓練計算思維的過程。

四、結語

跨界與融合是教育發展的新趨勢［16］，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》設置并編寫“體育運動中的數學”“音樂中的數學”“美術中的數學”“美與數學”等專題是一種進步。數學與計算機“本是同根生”，在數學教材中融入算法既是跨界更是內涵式增值行為，也是一種跨學科主題教學題材。

時代在進步，社會在發展，計算機學科的發展激發了基礎教育對組合數學的學習要求。需要對數學教材中組合數學的內容及編排加以重視，優化編寫方式，從而更好、更連續地培養學生的抽象思維、邏輯推理、數學建模等能力。更為重要的是，組合問題中蘊含了極為豐富的培養計算思維的素材，這些素材可以滲透到教材和課堂教學中，惠及所有的學生，助力教育公平。

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（責任編輯：潘安）