基于總體最小二乘法改進GM（1，1）模型的礦區沉降預測

摘 要：【目的】針對煤礦區地表沉降受各種因素影響難以精確預測的問題，本研究提出采用總體最小二乘法（TLS）融入GM（1，1）模型進行試驗研究。【方法】基于某礦區2011—2017年的沉降監測數據，分別采用基于總體最小二乘法（TLS）與最小二乘法（LS）的GM（1，1）模型進行預測試驗。【結果】試驗結果表明，基于GM（1，1）預測模型，采用TLS方法對2018年礦區沉降預測的精度較LS方法提高了0.49 mm；對2019年礦區沉降預測的精度較LS方法提高了0.55 mm。【結論】本研究驗證了采用TLS方法的GM（1，1）模型相較于LS方法的GM（1，1）模型在礦區地面沉降預測中具有更高的精度和更好的效果。

關鍵詞：礦區沉降；總體最小二乘法；GM（1，1）模型；預測精度

中圖分類號：TD327" " "文獻標志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2024）09-0044-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.009

Mining Subsidence Prediction Based on Improved GM （ 1，1 ） Model by Total Least Squares Method

SHANG Wenlong1 MA Kaifeng1 HAO Mengshu1 XUE Yaoxiang2

（1.North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046，China;

2.Fengtu Technology （Shenzhen） Co.， Ltd. Wuhan Branch，Wuhan 430200，China）

Abstract： [Purposes] This study proposes the use of Total Least Squares （TLS） in combination with the GM（1，1） model to conduct experimental research on the difficult-to-predict surface subsidence in coal mining areas affected by various factors.[Methods] Specifically， this study is based on the subsidence monitoring data from a certain mining area between 2011 and 2017. The GM（1，1） model is used in conjunction with both the Total Least Squares （TLS） and the Ordinary Least Squares （LS） methods for predictive experiments .[Findings] The experimental results indicate that， based on the GM（1，1） prediction model， the use of the TLS method improves the accuracy of subsidence monitoring predictions in the mining area by 0.49 mm for the year 2018 and by 0.55 mm for the year 2019 compared to the LS method .[Conclusions] Therefore， this study confirms that the GM（1，1） model using the TLS method provides higher accuracy and better performance in predicting ground subsidence in mining areas compared to the GM（1，1） model using the LS method.

Keywords： subsidence in mining areas; Total Least Squares method; GM（1，1） model; prediction accuracy

0 引言

我國擁有較豐富的煤炭資源，煤炭供應在國民經濟發展中發揮著重要作用［1］。然而，隨著礦區開采深度的加深和規模的擴大，礦山周邊環境發生了明顯變化，由礦區開采引起的地表沉降問題對安全生產構成了一定的威脅［2］。長期沉降和不均勻沉降現象會進一步增加了礦區的安全風險，甚至引發結構變形和安全性問題［3］。在采礦工程和巖土工程領域，研究和預測地下開采引起的地表沉降一直是一個重要的課題，且建立數學或數值模型則是研究的主要方法之一［4］。因此，科學預測和預防礦區地表沉降變化具有重要意義。

已有學者使用各種方法對地表沉降問題進行預測研究。例如，曾凱等［5］基于灰色GM（1，1）模型和等維新息模型，對某礦工業廣場的沉降趨勢進行了預測研究，并通過殘差序列修正提高了預測精度。陳洋等［6］提出了一種將非等間距觀測數據應用于GM（1，1）模型的等距化處理方法，以提高路基沉降的預測精度。李斌等［7］利用灰色系統理論的非等間隔模型GM（1，1），對建筑物及地表沉降觀測數據進行了建模、分析和預測，并驗證了灰色模型在建筑物及地表沉降變形分析中的實用性和正確性。張凱月［8］通過建立GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型，利用等時間序列沉降數據進行數據擬合和預測，以解決煤礦過度開采引起的沉降問題。這些研究表明，灰色GM（1，1）模型在地表沉降預測中得到了廣泛應用。

傳統的灰色GM（1，1）模型和其他灰色模型通常采用經典的最小二乘法進行參數估計。然而，由于灰色模型中的系數矩陣是基于觀測數據構建的，不可避免地存在誤差。因此，在采用經典的最小二乘法進行解算時，由于無法準確考慮系數矩陣中的誤差［9-10］，所得結果并非最優。為了改進灰色模型的解算方法，本研究提出了一種采用總體最小二乘法來求解灰色GM（1，1）模型中的灰參數的方法，以提高礦區沉降預測的精度。

本研究以某礦區沉降監測數據為例，分別采用經典最小二乘法和總體最小二乘法對灰色GM（1，1）模型的灰參數進行求解，并進行沉降建模預測分析。研究結果表明，總體最小二乘法能夠更準確地估計灰色GM（1，1）模型中的灰參數，從而提高了沉降預測的精度和可靠性。

1 模型構建

1.1 灰色GM（1，1）模型

本研究對原始數據進行累加處理，得到一個新的平穩增長序列[x（1）（k）]，累加的目的是消除原始數據中的隨機波動部分，突出其整體趨勢，計算方法見式（1）。

[x（1）（k）=i=1kx（0）（t）]" " " " " （1）

式中：[k=1，2，3，…，n]。

本研究采用微分方程近似描述新數列的變化趨勢，對新的累加序列[x（1）]對時間[t]進行一次偏導數運算，得到的微分方程見式（2）。

[dx（1）dt+ax（1）=u]" " " " " "（2）

式中：[a]和[u]是待求的灰參數。這個方程描述了[x（1）]在單位時間內的變化率與當前值之間的關系，以及外部環境對其的影響。

通過最小二乘法求得灰參數[a]和[u]，可以獲取相關矩陣。最小二乘法的目標是通過最小化實際觀測值[Yn]與模型預測值之間的誤差平方和，以估計灰參數[a]和[u]的值，具體見式（3）。

[au=（BTB）-1BTYn]" " " " "（3）

式中，[Yn]是列向量，[B]是構造的系數矩陣。根據[x（1）]的特點，構造系數矩陣[B]和觀測向量[Yn]。系數矩陣[B]的每一行都是通過[x（1）]中兩個相鄰值進行平均得到的，觀測向量[Yn]是[x（0）]中從第二個值開始的一列數據。這樣構造的[B]和[Yn]反映了[x（1）]的變化趨勢和規律，具體見式（4）、式（5）。

[B=-0.5（x（1）（1）+x（1）（2））1-0.5（x（1）（2）+x（1）（3））1??-0.5（x（1）（n-1）+x（1）（n））1]" " （4）

[Yn=x（0）（2）x（0）（3）?x（0）（n）]" " " " " " （5）

最后根據灰參數[a]和[u]構建預測模型，見式（6）。

[x（1）（t+1）=[x（0）（1）-ua]e-at+ua]" " （6）

1.2 基于TLS的灰色GM（1，1）模型

由灰色GM（1，1）模型的系數矩陣結構可知，其第一列是觀測數據的累加值，由于觀測量中不可避免地存在誤差，因此系數矩陣中必然含有誤差。忽略系數矩陣中的誤差會導致結果不合理且理論上不完善。為了解決這個問題，采用總體最小二乘法來求解待估參數。

假設[a]為待估參數，[Yn]為觀測向量，[B]為系數矩陣，[EB]為系數矩陣[B]中的誤差矩陣，[ey]是觀測向量中的誤差向量，則可以得到式（7）。

[Y+ey=（B+EB）α]" " " " " （7）

將增廣矩陣進行奇異值分解，見式（8）。

[BY=U1m+1U2n-（m+1）?∑0?VT=U1?∑?VT]" （8）

通過求解增廣矩陣右奇異向量的最后一列，可以得到總體最小二乘解，即參數[a]的估值，見式（9）。

[α=-V12V-122] （9）

求得參數[a]的值后，將其代回式中，即可進行預測。

2 試驗與結果

2.1 算例分析

在礦區沉降預測模型方面，灰色理論模型是一種被廣泛運用的方法。該模型建立在對時間序列數學平穩性假設的基礎上，可以根據時間序列數據建立相應的模型，以求得更準確的預測結果［11-12］。其中，灰色GM（1，1）模型是一種基于一階指數累加滑動平均法的灰色預測模型，其建模和預測方式簡單易行，準確性較高。為比較LS和TLS在灰色GM（1，1）模型中求解礦區沉降模型預測的效果，本研究參照劉建明等［13］的研究中2011—2017年的沉降數據進行計算分析，監測數據經過預處理符合試驗數據要求，詳細數據如圖1所示。由圖1可知，本研究選取了該礦區沉降特征點（編號為1～6）的長期監測數據，且觀察到該礦區地表整體呈現逐年下沉趨勢。

為了驗證GM（1，1）模型中的LS和TLS在礦區地面沉降監測預測中的可靠性和準確性，本研究將2011-2017年長期觀測數據作為已知值，對該礦區2018年和2019年的地面數據進行預測，并以實際測量的長期監測數據作為參考值進行精度評估，同時將誤差值和中誤差值作為精度指標。預測結果和誤差結果分別記錄在表1和表2中。

2.2 結果討論

由表1可知，對于2018年的沉降值預測，最小二乘（LS）值和總體最小二乘（TLS）值相比，真值存在一定的偏差，但是TLS值的偏差較小，整體來看TLS值更接近真值。在序號為4和6的監測點上，TLS值的預測結果與真值非常接近，表明總體最小二乘法在灰色GM（1，1）模型中對礦區地面沉降的預測具有更高的精度。針對2019年的沉降值預測，同樣可以觀察到TLS值相較于LS值更接近真值。在序號為1、2和5的監測點上，TLS值的預測結果與真值非常接近，而LS值在序號為2和5的監測點上存在較大偏差。這也表明采用總體最小二乘法處理灰色GM（1，1）模型對于礦區地表沉降的預測表現出更高的可靠性和準確性。

由表2可知，觀察2018年的預測誤差，可以看到對于LS方法和TLS方法在不同監測點上的預測誤差存在一定的差異。但在選取的6個監測點上，TLS方法的預測誤差普遍小于LS方法。這表明TLS方法相較于LS方法在2018年的預測中表現更加穩定和準確。針對2019年的預測誤差，可以看到TLS方法相比LS方法在序號為1、5和6的監測點上的預測誤差要更小。總體來看，TLS方法在不同監測點上的預測誤差波動較小，表現出更加穩定的特點。

最后可以通過計算灰色GM（1，1）模型的中誤差進行分析，具體如下。

LS中誤差：[m18=±ΔΔn-1=±1.11 mm] ，[m19=±ΔΔn-1=±1.22 mm]。TLS中誤差：[mT18=±ΔΔn-1=±0.62 mm]，[mT19=±ΔΔn-1=±0.67 mm]。

根據計算，2018年和2019年的最小二乘在GM（1，1）模型預測結果的中誤差分別為1.11 mm和1.22 mm，而總體最小二乘方法在2018年和2019年的中誤差分別為0.62 mm和0.67 mm。觀察誤差數值可以發現，使用總體最小二乘方法得到的中誤差明顯小于一般最小二乘方法。這表明在灰色GM（1，1）模型中采用總體最小二乘法對礦區地表沉降進行預測具有更高的準確性和可靠性。

3 結論

本研究針對煤礦區地表沉降問題，提出采用總體最小二乘法處理灰色GM（1，1）模型，并進行了試驗與結果分析。通過對比最小二乘法（LS）和總體最小二乘法（TLS）在灰色GM（1，1）模型中求解礦區沉降模型預測的效果，得出以下結論。

①通過試驗研究發現，采用TLS方法融入GM（1，1）模型的礦區地面沉降預測方法相較于LS方法更準確。在預測2018年和2019年礦區沉降數據時，基于TLS方法的GM（1，1）模型相較于LS方法的GM（1，1）模型有較高的精度提升，分別提高了0.49 mm和0.55 mm。

②基于試驗結果，可以得出基于TLS方法的GM（1，1）模型比LS方法的GM（1，1）模型在礦區地面沉降監測預測中表現更好，具有更高的準確性和可靠性。研究成果對于煤礦工程和巖土工程領域的相關研究具有重要的意義。

參考文獻：

［1］ 王諾，張進，吳迪，等.世界煤炭資源流動的時空格局及成因分析［J］.自然資源學報，2019，34（3）：487-500.

［2］王建，祁鑫博，王麗華，等.SBAS-InSAR技術在礦區地表沉降監測中的應用［J］.北京測繪，2021，35（4）：548-552.

［3］廖海山，李盈洲.自動變形監測系統在運營地鐵隧道監測中的應用［J］.測繪與空間地理信息，2021，44（2）：193-195，198.

［4］張立亞，張宏梅，祝傳廣，等.地鐵盾構隧道下穿運營線路的形變分析［J］.測繪通報，2016（11）：85-88.

［5］曾凱，李亞東.基于GM（1，1）等維新息模型的礦山沉降預測［J］.北京測繪，2013（2）：31-33.

［6］陳洋，文鴻雁，覃輝，等.非等間距GM（1，1）抗差估計及其在路基沉降預測中的應用［J］.公路工程，2017，42（6）：64-68，74.

［7］李斌，朱健.非等間隔灰色GM（1，1）模型在沉降數據分析中的應用［J］.測繪科學，2007（4）：52-55，194.

［8］張凱月.基于灰色模型的礦區地表沉降預測研究［J］.河南科技，2022，41（15）：51-54.

［9］孔建，姚宜斌，吳寒.整體最小二乘的迭代解法［J］.武漢大學學報（信息科學版），2010，35（6）：711-714.

［10］龔循強，劉國祥，李志林，等.總體最小二乘擬合問題求解方法的比較研究［J］.測繪科學，2014，39（9）：29-33.

［11］陸立，胡曉麗，王春華.用時間序列分析法進行建筑物沉降觀測數據處理的研究［J］.測繪科學，2004（6）：76-78，6.

［12］伍錫銹.利用二次移動平均法的GM（1，1）模型和Kalman濾波在沉降監測應用中的比較分析［J］.測繪與空間地理信息，2018，41（7）：212-214.

［13］劉建明，寧衛遠，王乾，等.一種改進灰色GM（1，1）模型在礦區沉降預報中的應用［J］.能源與環保，2023，45（5）：117-120，126.