橢球膨脹法在線路工程坐標系建立中的應用

摘 要：【目的】運用橢球膨脹法，建立線路工程坐標系，減小因測區跨度大、海拔高、起伏大引起的投影變形。【方法】研究5種橢球膨脹方法的原理，并結合實例從長半軸變化量、基點大地坐標變化量、邊長變形量等3個方面進行計算分析。【結果】5種橢球膨脹方法的嚴密程度不同，得到的計算結果也不同，通過直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法計算得到的結果差異較大，通過平面解析法、廣義微分法計算得到的結果差異最小，且投影變形量均能滿足要求。【結論】5種橢球膨脹方法均可用于線路工程坐標系的建立。

關鍵詞：橢球膨脹法；投影變形；獨立坐標系

中圖分類號：TU198" " "文獻標志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2024）09-0066-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.013

Application of Ellipsoid Expansion Method in the Establishment of

Linear" Engineering Coordinate System

HU" Yi

（Sichuan Transportation Survey and Design Research Institute Co.， Ltd.， Chengdu 610017，China）

Abstract： [Purposes] This paper applies ellipsoid expansion method to establish the coordinate system of line engineering， and reduce the projection deformation caused by large span， high elevation， and high undulation in the survey area. [Methods] The principles of five ellipsoid expansion methods are discussed， and the calculation and analysis are carried out from three aspects， namely， the amount of change in the long semi-axis， the amount of change in the geodetic coordinates of the base point， and the amount of deformation of the side length combing with examples. [Findings] The five ellipsoidal expansion methods have different degree of rigour and the calculation results obtained are different， the results obtained by direct method， prime unitary curvature radius method and mean radius of curvature method have large differences， and the results obtained by planar analytic method and generalized differential method have the smallest differences， and the projection deformation amount can satisfy the requirements. [Conclusions] All five ellipsoid expansion methods can be used for the establishment of line engineering coordinate system.

Keywords： ellipsoid expansion method; projection deformation; engineering coordinate system

0 引言

在線路工程測量中，因線路橫跨投影帶或位于高海拔地區，導致國家標準坐標系下的長度投影變形無法滿足2.5 cm/km［1］的基本要求，需要建立工程獨立坐標系統。經過大量文獻論證和工程實踐驗證橢球膨脹法、橢球變形法和橢球平移法［2-4］均可被用于工程獨立坐標系統的建立，而橢球膨脹法有多個計算模型。本研究首先對橢球膨脹法的幾個計算模型的原理進行討論，再結合某高速公路工程進行計算分析，歸納總結各種計算模型的特點，為線路工程獨立坐標系的建立提供指導。

1 橢球膨脹法原理

橢球膨脹是指沿測區中心地面點的法線方向將橢球放大或者縮小，使膨脹后橢球面與測區平均高程面相互吻合，形成新的橢球，且橢球膨脹前后的中心點、方向、扁率、尺度均保持不變，僅改變了橢球的長半軸。工程中常用于改變橢球長半軸的方法有直接法、平均曲率半徑法、卯酉曲率半徑法［5-7］、平面解析法［8］和廣義微分法［9］，不同計算方法因嚴密程度不同，計算結果也不相同。

2 五種橢球膨脹方法

2.1 直接法

直接法是將投影面高直接確定為橢球長半軸變化量的方法，即[?a=?H]。

2.2 卯酉曲率半徑法

卯酉曲率半徑法將橢球面沿測區中心點的法線方向縮放到測區平距高程面[?H]，同時忽略變化前后緯度的變化（即[B1=B2]），此時卯酉圈曲率半徑N的變化量為投影面的大地高，即[?N=?H]。

再根據卯酉圈曲率半徑的計算公式，見式（1）。

[N=a1?e2·sin2B]" （1）

得出式（2）。

[a1=N11?e2·sin2B1 a2=N21?e2·sin2B2 ] （2）

由[B1=B2]、[?H=?N]可以得到長半軸的變化量[?a]，見式（3）。

[?a=?H1?e2·sin2B1] （3）

2.3 平均曲率半徑法

平均曲率半徑法將橢球面沿測區中心點處平均曲率半徑方向縮放到測區平距高程面[?H]，同時忽略變化前后緯度的變化（即[B1=B2]），此時平均曲率半徑R的變化量為投影面的大地高，即[?R=?H]。

平均曲率半徑公式、卯酉圈曲率半徑公式、子午圈曲率半徑公式見式（4）。

[R=MN" " " " " " " "N=a1?e2·sin2B" " " "M=a（1?e2）1?e2·sin2B3] （4）

式中：M為橢圓面上某點處的子午圈曲率半徑，則可以得出式（5）。

[R1=M1N1=a11?e21?e2·sin2B1" " " " " " " " " " "R2=R1+?R=M2N2=a21?e21?e2·sin2B2] （5）

由于[B1=B2]、[?R=?H]，因此長半軸改變量[?a]可通過式（5）計算而得式（6）。

[?a=?H（1?e2·sin2B1）=?H（1?e2·sin2B1）1?e2]" "（6）

2.4 平面解析法

平面解析法是一種考慮橢球面上的各向異性，采用平面解析幾何計算得到橢球長半軸變化量的方法。

膨脹關系如圖1所示，在子午平面直角坐標系中，[T1g1]為[T2]點在橢球[E1]上的法線方向和卯酉圈曲率半徑；[T2g2]為[T2]點在膨脹后橢球[E2]上的法線方向和卯酉圈曲率半徑。在平面坐標系中，[T1]、[T2]點的坐標分別為（[x1]，[y1]）和（[x2]，[y2]），分別見式（7）和式（8）。

[x1=T1g1·cosB1=N1·cosB1" " " " " " " "y1=T1g1·sinB1=N1（1?e2）·sinB1]" " （7）[x2=T2g2·cosB2=N2·cosB2" " " " " " " "y2=T2g2·sinB2=N2（1?e2）·sinB2]" " （8）

再由[T1T2=?H]，式（8）可化簡為式（9）。

[X2=T2g2·cosB1=（N1+?H）·cosB1" " " " " " " " " " "Y2=T2g2·sinB1=N1（1?e2）·sinB1+ ?H·sinB1] （9）

由（8）、（9）式可得式（10）。

lt;E：＼2024-7月數據＼河南科技202409＼Image＼image1_1.tifgt;圖1 膨脹關系

[Y2X2=（1?e2）·tanB2=aN1（1?e2）·sinB1+ ?H·sinB1（N1+?H）·cosB1]" （10）

由（10）式可得式（11）。

[tanB2=tanB1·（1+?H· e2（N1+?H）·（1?e2））]" "（11）

由式（11）可知，膨脹橢球的大地緯度[B2≥B1]，并可由反正切函數計算獲得[B2]。再由式（8）與式（9）中[X2]的表達式，可得[N2]的表達式，見式（12）。

[N2=（N1+?H）·cosB1cosB2]" （12）

綜合式（2）中[a2]的表達式，以及式（11）與式（12），可得到橢球[E2]的長半軸[a2]與[?H]的關系式，以及橢球膨脹前后長半軸變化量[?a與?H]的關系式。

2.5 廣義微分法

廣義微分法是利用大地測量微分公式計算橢球長半軸變化量的方法。因橢球膨脹前后不改變橢球的定位、定向、尺度和扁率，則可忽略其對膨脹后大地坐標變化的影響，只考慮長半軸變化量帶來的影響。將大地測量微分公式簡化后，大地坐標的變化量的計算見式（13）。

[dB=N1e2·sinB1·cosB1·?aM1+H1·ad=0" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "dH=?1?e2·sin2B1 ·?a] （13）

因橢球膨脹后的橢球面與測區平均高程面吻合，則有式（14）。

[dH=?1?e2·sin2B1 ·?a=?H]" "（14）

將式（14）簡化后可得到長半軸變化量，見式（15）。

[?a=??H1?e2·sin2B1] （15）

3 工程案例分析

本研究基于Excel VBA的平臺編寫了高斯正反算函數、5種橢球長半軸變化量的計算函數、橢球膨脹前后大地坐標變化量計算函數、變形量計算函數，從而實現了項目控制點由標準坐標系向工程坐標系的轉換。

3.1 測區概況

某高速公路全長約75 km，位于106°22′E～107°07′E、31°23′N～31°29′N，呈東西走向，處于高斯3°帶投影的第35、36帶中，路線最大設計高程為625 m、最小設計高為335 m，落差高至290 m。全線共布設98個控制點，采用4臺UniStrong高精度GNSS接收機以邊連式進行靜態測量，同時聯測3個高等級國家控制點。

3.2 5種橢球膨脹方法在工程坐標系建立中的應用與分析

因路線呈東西走向、沿線設計高差過大，導致路線全線無法采用同一個投影面，應對路線進行分段分析。分析的對象為G28段到G98段，該段在CGCS2000橢球上，以106°30′E為中央子午線、大地高440 m為投影高建立工程坐標系，該段的高程異常為-39.98 m，基點緯度為31°26′N。

3.2.1 長半軸變化量分析。5種橢球膨脹法的橢球長半軸變化量見表1。由表1可知，橢球長半軸變化量最小、最大值是分別由卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法計算得到的，由平面解析法和廣義微分法計算得到的長半軸變化量間的差值最小，差值為1.4 ×[10?7] m，說明平面解析法和大地微分法的嚴密性相似。

3.2.2 基點大地坐標變化量分析。坐標變化量具體見表2。由表2可知，基點的大地坐標在橢球膨脹前后緯度都發生了變化，而直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法都忽略了緯度變化，則可判定卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法不夠嚴密。基點的大地高變化量與投影高最接近的是平面解析法和大地微分法，說明平面解析法和大地微分法膨脹后的橢球面與測區地面吻合度最高。

3.3.3 膨脹后坐標反算平距與實測平距比較。為了驗證膨脹后，坐標系內部的精度，采用隨機抽樣的方式將控制點間的實測平距與反算所得的平距進行比較，具體見表3。從表3中可知，同一條邊的5種方法反算平距與實測平距的差值互差最大為2 mm，比例誤差均小于1/40 000的規范要求。

4 結論

在建立高速公路工程坐標系時，需要將設計路線的投影變形控制在合理的范圍之內。本研究介紹了5種橢球膨脹方法的基本理論，并結合工程案例從橢球長半軸變化、基點大地坐標變化、長度投影變形等3個方面分析了其各自的特點與性質，主要研究結果如下。

①5種橢球膨脹法中，隨著橢球面的抬高，都會導致大地高和緯度的變化。

②5種橢球膨脹法中，嚴密程度最強的是平面解析法和大地微分法。

③5種橢球膨脹法中，直接法、卯酉曲率半徑法、平均曲率半徑法因邏輯不夠嚴密、計算簡單，常被用于短小線路的工程坐標系建立；平面解析法和大地微分法常被用于長距離線路工程坐標系建立。

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