新結構引領命題方向新特點發揮育人導向

2024-12-31 00:00:00周遠方向立政王佳靈

中國數學教育(高中版) 2024年9期

摘 "要：2024年高考數學試卷貫徹“三考三重”的指導思想，落實“四層四翼”的考查要求，踐行依標命題，優化試卷結構，強化主干知識，突出思維能力，注重數學本質，促進考教銜接，充分展現了“多思少算”的命題理念，有效發揮了高考數學的育人導向，譜寫了數學高考命題的新篇章. 針對這些命題的新變化、新特點和新導向，復習備考應該切實做到“三變三回”：變觀念，回歸育人本位；變方式，回歸夯實基礎；變過程，回歸重視教材. 要把著力提升學生的數學核心素養放在首位，真正實現減量、提質、增效，開啟高考數學復習備考新征程.

關鍵詞：高考數學；命題分析；試題評析；命題導向；復習建議

中圖分類號：G633.6 " " 文獻標識碼：A " " 文章編號：1673-8284（2024）09-0004-14

引用格式：周遠方，向立政，王佳靈. 新結構引領命題方向 "新特點發揮育人導向：2024年高考數學命題分析及復習教學建議［J］. 中國數學教育（高中版），2024（9）：4-17.

2024年高考數學試卷包括新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷、全國甲卷（文、理科）、北京卷、天津卷和上海卷，共7份試卷. 各卷深入貫徹黨的二十大精神和習近平總書記關于教育的重要論述，積極落實《深化新時代教育評價改革總體方案》精神，嚴格遵循《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）要求，立足《中國高考評價體系》的數學學科化實踐，創新試卷結構設計，突出思維能力考查，助力創新人才選拔，助推素質教育發展. 各份試卷全面考查了學生的知識基礎、思維品質、創新意識和應用能力，為不同層次的學生提供了充分展示能力的空間，在引導高中數學教學減負、提質、增效等方面發揮了重要的育人導向.

一、考查內容分析

2024年高考數學進一步深化高考內容改革，突出了向全面育人轉變、向解決問題轉變、向考教銜接轉變的基本策略，既貫徹“考主干、考能力、考素養，重思維、重應用、重創新”的指導思想，又堅持“價值引領，素養導向，能力為重，知識為基”的命題導向；既注重緊扣教材持續深化基礎性考查，又強調融會貫通不斷拓展綜合性考查；既創設新穎情境強調活學活用，又創新試題設計增強選拔功能；既減少繁難運算突出思維品質，又關注創新意識強化素養導向；既多措并舉降低難度，又精準施策力求難度合適. 這一系列改革舉措的真正落地，為從根本上扭轉當前中學數學教學中普遍存在的套路訓練和機械刷題現象，發揮了強有力的導向作用.

1. 聚焦主干內容，強化考查數學基礎

數學基礎知識、基本技能、基本思想方法與基本活動經驗是數學學習的核心內容，是形成數學關鍵能力、發展數學核心素養的支柱. 為有效考查學生掌握必備知識的情況，各卷舍棄細枝末節，不追求數學知識與方法的覆蓋面，把考查的著力點放在對高中數學知識體系具有支撐意義的核心概念、基本公式、主要性質、重要原理、主旨思想方法和數學關鍵能力上.

（1）高考數學持續強化“重基礎、考主干”的命題導向.

主干內容是支撐整個高中數學課程的一條主線，也是歷年高考數學考查的重點. 以2024年新課標Ⅰ卷為例，在《標準》規定的高考可考的68個單元中，全卷僅涉及其中35個單元的53個考點，并圍繞這些主干內容和核心知識，多層次、多角度地進行考查，如第1題、第6題、第7題、第10題、第11題、第18題都考查了函數的基本性質（單調性、周期性、對稱性、最值等），分值達到44分，且不同試題的考查角度不一樣，第1題以解不等式的形式考查冪函數的單調性，第6題以分段函數的形式考查一元二次函數、指數函數和對數函數的單調性，第7題主要考查函數的周期性和最值，第10題主要考查利用導數研究函數的單調性，第11題的選項C主要考查函數的最大值的概念，第18題除了考查運用導數研究函數的單調性外還考查了函數的最值與對稱性.

（2）高考數學持續強化“重思想、考方法”的命題導向.

數學思想方法是數學知識在高層次上的抽象與概括，是數學的靈魂，是透徹理解數學知識的根基. 以2024年新課標Ⅱ卷為例，對轉化與化歸、數形結合、函數與方程、特殊與一般、分類與整合、概率與統計六大數學思想考查的題量分別為12道、9道、6道、3道、3道、3道，凸顯了轉化與化歸、數形結合、函數與方程的數學思想在高中數學思想方法體系中的核心地位.

例1 （2024年新課標Ⅰ卷·18）已知函數[fx=][lnx2-x+ax+bx-13].

（1）若[b=0]，且[fx≥0]，求[a]的最小值；

（2）證明：曲線[y=fx]是中心對稱圖形；

（3）若[fxgt;-2]，當且僅當[1lt;xlt;2]，求[b]的取值范圍.

【評析】此題將對數函數與三次函數通過兩個參數結合，不僅考查了曲線的對稱性這一幾何性質，而且全面考查了函數與導數的基本性質，以及解決相關問題的通性通法，綜合考查了學生的邏輯推理、運算求解、推理論證能力，以及分類討論思想. 此題第（2）小題源于人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）必修第一冊習題3.2的第13題. 此小題難在如何確定函數的對稱中心，雖然有多種思維路徑，但是先猜后證是首選. 觀察發現函數[y=bx-13]有對稱中心[1，0]，可以大膽猜想曲線[y=fx]的對稱中心的橫坐標為1（也可以由定義域的對稱性得到），根據[f1=a]，可以猜想曲線[y=fx]的對稱中心為[1，a]，然后用定義嚴格證明即可. 解答第（3）小題的關鍵在于對已知條件中“當且僅當”的理解，據此，必須保證函數在端點處的導數大于或等于0，因此條件“[fxgt;-2]當且僅當[1lt;xlt;2]”相當于隱含告知當[x=1]時，[fx=-2]. 于是由[f1=-2]就得到了[a=2]. 這對學生的思維品質要求較高，需要學生結合函數圖象和單調性加以分析，強調對學科基礎知識、基本方法的深刻理解和活學活用.

拓展練習：（2023年全國乙卷·理21）已知函數[fx=1x+aln1+x].

（1）當[a=-1]時，求曲線[y=fx]在點[1， f1]處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使得曲線[y=f1x]關于直線[x=b]對稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由.

（3）若[fx]在[0，+∞]存在極值，求a的取值范圍.

答案：（1）[ln2x+y-ln2=0]；

（2）存在[a=12，b=-12]；

（3）[0， 12].

2. 注重數學本質，強化靈活考查思維

數學本質反映了數學知識的基本內涵與認識事物的一般規律，對數學本質的深刻理解是發展良好思維品質的基礎. 為了突出對思維的考查，各份試卷立足數學知識的本質內涵，從認識事物的一般規律出發，精心選取素材背景，合理設計數學問題，舍棄了那些技巧性過強、適用性偏窄的題型套路、方法技巧和二級結論，有效考查了學生的思維過程和思維品質.

高考數學持續強化“多考想、少考算”的命題導向. 2024年高考數學試題減少煩瑣運算，突出對思維過程的考查，從考查計算的熟練度向考查思維的深度轉變. 例如，新課標Ⅰ卷第8題考查了對抽象函數的理解和基礎的邏輯推理能力，熟悉斐波那契數列遞推方式（源于人教A版教材必修第二冊復習參考題4的第17題和閱讀與思考中的“斐波那契數列”）的學生無需任何計算即可排除選項C和選項D，再在選項A和選項B中作簡單的推算即可得到正確答案，充分體現了“多思少算”的設計理念. 又如，新課標Ⅰ卷第10題以學生熟悉的三次函數為載體，考查函數的極值點、單調性、對稱性等核心知識，試題入口寬、解法多、計算簡單，有利于學生多思少算.

例2 （2024年新課標Ⅱ卷·8）設函數[fx=]

[x+alnx+b]，若[fx≥0]，則[a2+b2]的最小值為

（ " "）.

（A） [18] " " " " " " " "（B） [14]

（C） [12] " " " " " " " "（D） [1]

【評析】此題以含有兩個參數的函數解析式為載體命制，主要考查函數的最值和對數函數的單調性等基礎知識. 通過給出最簡單、最基本的函數模型，要求學生推斷兩個參數平方和的最小值. 試題突出了重思維和輕計算的命題原則，只需要分析函數的單調性和零點就可以直接得出答案，不必通過求導討論函數的單調性，破題的關鍵在于發現隱含于題設中的兩個參數之間的關系，學生只要能想到[x+alnx+b≥0]等價于[x+a]和[lnx+b]同號，再結合函數的單調性就能得到a和b之間的關系b = a + 1，進而將問題轉化為求二次函數的最小值，或者轉化為求坐標原點到直線的距離，整個求解過程只需要借助少量的計算即可得出正確答案. 此題重在通過創新設計考查學生真實的數學能力，而不是機械刷題和套路訓練的技巧，將“多思少算”體現得淋漓盡致.

拓展練習：（2012年浙江卷·17）設[a∈R]，若[xgt;0]時均有[a-1x-1x2-ax-1≥0]，則[a]的值為______.

答案：[2].

3. 立足依標靠本，強化落實考教銜接

按照高考依標命題遵循的基本原則：內容不超范圍，深度不超要求. 因此在變革結構、變革模式、變革風格的同時，2024年各份高考數學試卷都嚴格依據“兩不超”的命題原則，考查內容均按照學業質量標準和課程內容設定，所有考點都在《標準》要求之內，大多數試題都能在教材上找到題源，為廣大學生營造了公平競爭的環境. 各份試卷回避了高等數學知識和奧賽內容，把考查重點集中在學生對基礎知識和基本技能的熟練掌握和靈活應用上，注重內容的基礎性和方法的普適性，注重知識的整體性和教學的連貫性，著力扭轉中學一線教學普遍存在的“輕教材、重刷題”的現象，引導教師嚴格依標施教，避免超標教、超量學、超難練，有效促進了考教銜接.

高考數學持續強化“依課標、重教材”的命題導向. 近幾年高考數學不斷強化與課程標準和教材的銜接，考查內容的范圍和比例與課程標準要求保持一致，規避了對高等數學知識的直接應用. 事實上，很多高考數學試題都植根于教材，特別是全國卷將“源于教材、高于教材、活于教材”的命題思想貫穿于全卷試題命制的始終. 以新課標卷為例，除新課標Ⅰ卷第6題、第11題、第14題、第19題和新課標Ⅱ卷第10題、第14題、第19題外，其余各題在人教A版教材各冊中都能找到類似試題. 例如，新課標Ⅰ卷第2題與人教A版教材必修第二冊復習參考題7的第6題極為類似，第3題與人教A版教材必修第二冊復習參考題6的第6題高度相似，第4題由人教A版教材必修第一冊復習參考題5第15題第（1）小題改編而成（將第15題第（1）小題中的一個條件與結論交換），第7題更是對人教A版教材必修第一冊第237頁例1的直接呈現. 再如，新課標Ⅱ卷第5題與人教A版教材選擇性必修第一冊第108頁例2基本相同（只是將例2中圓的半徑由2改為4）. 這些來源于教材的試題不勝枚舉，而且考查的都是基礎知識、基本原理和基本方法，注重對能夠普適性解決學科問題的本原性方法的考查，讓學生掌握原理、內化方法、真懂會用，而不是把重點放在解題的特殊性技巧上，從而引導一線教學將重心回歸課程標準、回歸教材、回歸課堂，把教材內容講深、講透，注重練習題、作業題和訓練題的減量提質.

例3 （2024年新課標Ⅰ卷·7）當[x∈0，2π]時，曲線[y=sinx]與[y=2sin3x-π6]的交點個數為（ " "）.

（A）3 " " " " （B）4

（C）6 " " " " " （D）8

【評析】此題主要考查三角函數的圖象與性質，源于人教A版教材必修第一冊第237頁例1. 試題突出對接課程標準、根植教材、強化銜接的考查特點，體現了反套路、反刷題、反押題的命題導向，使一線教師逐漸認識到“以刷代學、以灌代思、以練代講”的教學方式已經不適應高考改革的方向，脫離教材、依托教輔和機械刷題的復習備考時代真的要成為過去式了.

拓展練習：（2024年新課標Ⅰ卷·4）已知[cosα+β=m，tanαtanβ=2]，則[cosα-β]等于（ " "）.

（A）[-3m] " " （B）[-m3]

（C）[m3] " " " " " （D）[3m]

答案：A.

4. 創設新穎情境，強化樹立正確導向

高考數學持續強化“學有獲、考有得”的命題導向. 近幾年高考數學通過精準施策、多措并舉，在人才選拔方面發揮的獨特作用越來越突出，不僅讓學生能夠學有所獲、考有所得，而且著力體現“讓優秀的學生得高分，讓努力的學生能得分”的命題目標. 基于此，2024年各份高考數學試卷對試題情境創新進行了優化，主要表現在以下方面.

（1）適度提升試題的抽象程度.

高度的抽象性是數學學科的重要特點. 為了有效考查學生的抽象思維能力和數學抽象素養，2024年各份高考數學試卷中均命制了部分具有一定抽象程度的試題. 例如，新課標Ⅰ卷第19題設計新穎、表述抽象、層次遞進、逐步深入，精準區分了不同層次的學生，使得每名學生都能有所收獲；又如，全國甲卷（理科）第10題中的兩條直線、兩個平面都是抽象的直線與平面，學生必須借助具體的直線與平面實物，通過動手操作才能做出正確判斷；再如，北京卷第10題、第14題、第21題，天津卷第19題，上海卷第12題和第16題等，都適度提升了試題的抽象程度，對學生的抽象思維能力提出了較高要求.

（2）更加貼近學生的生活實際.

近幾年，高考數學加大應用能力考查的命題導向更加凸顯. 2024年各份高考數學試卷從學生熟悉的事物切入創設問題情境，拉近了學生與試題之間的距離，同時減輕了學生的心理壓力，有助于學生正常發揮. 例如，新課標Ⅰ卷第14題從博弈游戲的最優決策入手，體現了運籌學思想和對策論方法在實際問題中的應用，有助于學生思考與探究；又如，新課標Ⅱ卷第18題以熟悉的投籃為背景命制，讓學生似曾相識；再如，上海卷第8題的科創大賽和第19題的學生體育鍛煉時長與學業成績的關系等情境，有助于引發學生對跨學科問題的深入探討.

（3）高度重視新定義類試題.

新定義試題往往是新定義一個數學對象或數學運算，以此為基礎為學生搭建思維平臺，構建試題結構. 新定義是一種十分重要的情境創新方式，旨在檢測學生的閱讀理解能力、思維能力和創新意識，重點考查學生的邏輯推理、信息加工、閱讀理解、知識遷移、發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 為遏制過度套路訓練和機械刷題現象，2024年各份高考數學試卷中都命制了一些形式新穎、構思精巧的新定義試題. 例如，新課標Ⅰ卷第19題中定義的可分數列；天津卷第19題中定義的分段數列；北京卷第7題中定義的生物豐富度指數，第21題中定義的序列變換；上海卷第12題、第15題、第16題中分別定義不同的新集合，以及第21題中定義的最近點；等等，雖然這些新定義是學生沒有見過的新概念，但是涉及的知識內容仍然在《標準》要求之內，要求學生在面對新的情境、新的定義時能運用所學知識分析問題、解決問題，有效考查了學生的即學即用能力和創新思維品質.

例4 （2024年北京卷·7）生物豐富度指數[d=]

[S-1lnN]是河流水質的一個評價目標，其中[S]，[N]分別表示河流中的生物種類數和生物個數總數，生物豐富度指數[d]越大，水質越好. 如果某河流治理前后的生物種類數[S]沒有變化，生物個數總數由[N1]變為[N2]，生物豐富度指數由2.1提高到3.15，則（ " "）.

（A）[3N2=2N1] " " （B）[2N2=3N1]

（C）[N22=N13] " （D）[N23=N12]

【評析】此題以河流治理的效果評估為背景命制，主要考查指數和對數運算，考查學生的閱讀理解能力和綜合思維能力. 此題通過豐富的試題情境和新穎的試題條件，跨學科設計問題情境，倡導學以致用. 這類題型形式新穎，考查功能顯著，主要表現在四個方面：一是通過新定義創設數學新語境和話語體系；二是通過新情境搭建試題框架，創設解題條件；三是通過新設問設置思維梯度，逐步深入，準確區分不同層次的學生；四是通過解題過程展現學生的數學思維和探究過程，實現對分析、推理、判斷、論述等關鍵能力的考查.

拓展練習：（2023年新課標Ⅰ卷·10）噪聲污染問題越來越受到重視. 用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級[Lp=20×lgpp0]，其中常數p0 [p0gt;0]是聽覺下限閾值，p是實際聲壓，表1為不同聲源的聲壓級.

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（ " "）.

（A）p1 ≥ p2 " （B）p2 gt; 10p3

（C）p3 = 100p0 （D）p1 ≤ 100p2

答案：ACD.

二、命題特點分析

為落實“一核、四層、四翼”的命題內涵，2024年各份高考數學試卷遵循“多想少算”的命題理念，對試卷進行整體立意，呈現出知識考查有側重、能力要求有層次、情境創設有依托、試卷結構有創新等特點，充分展現了基礎性與綜合性兼顧、創新性與應用性并行的命題導向.

1. 優化試卷結構，發揮高考核心功能

2024年各份高考數學試卷的命制既借鑒了近幾年高考命題改革的經驗，又在試卷結構上進行了調整，主要從試卷題量、內容布局、難度設置等方面進行了優化. 既注重基礎，又突出能力；既秉承傳統，又適度創新；既導向數學教學，又服務人才選拔. 充分發揮了高考數學育人、選材和導向的核心功能.

（1）試題總量有縮減，整體布局更合理.

與以往相比，2024年的高考數學新課標卷調整了題目數量，總題量由22題減少為19題，多選題、填空題和解答題各減少1道，并將解答題的分值由原來的70分提高到77分，讓學生有更多的時間進行思考與探究. 同時，其他試卷簡化了一些煩瑣運算，進一步強化了高考數學試題考查思維過程和思維能力的功能.

（2）試題順序重變化，協調搭配更優化.

不斷改變試題內容與考查順序是近幾年高考數學新課標卷的一大特點，2024年高考數學新課標卷繼續保持這一做法，靈活確定試題內容和考查順序. 例如，新課標Ⅰ卷將解析幾何解答題安排在第二題的位置，數列內容則結合新情境安排在解答題壓軸題的位置；再如，新課標Ⅱ卷中，以往作為壓軸題的函數解答題被安排在第二題的位置，而概率與統計解答題則被安排在次壓軸題的位置，加強了對概率與統計部分的考查力度，有助于打破教學中僵化、固定的訓練模式，防止猜題、押題，有效考查了學生的應變能力.

（3）試題結構多層次，難易調控更科學.

好卷絕不是好題的堆砌，更不是難題的狂歡，而是易、中、難比例的合理搭配，從而使不同思維水平的學生都有展示的平臺和發揮的空間. 2024年各份高考數學試卷充分尊重考試規律，進一步貫徹“低起點、寬入口、多層次、高落差”的調控策略，試題按照由易到難、由淺入深的層次結構進行整體布局，有助于學生正常發揮，充分體現了“以人為本”的命題理念. 其中，新課標卷對難度的把握尤為合理、成熟、科學，全卷適當增加基礎題的比例，適當控制中等題的數量，適當提升壓軸題的難度，科學設計解答題的梯度，使易、中、難試題的比例分配更為恰當，讓學生的獲得感更強. 以新課標Ⅰ卷為例，若將解答題的每道小題視作一道獨立小題，則全卷共計26道小題，其中容易題有第1題、第2題、第3題、第4題、第5題、第7題、第9題、第12題、第15（1）題、第16（1）題、第17（1）題、第18（1）題、第19（1）題，共13道小題，分值為67分；中等題有第6題、第10題、第11題、第13題、第15（2）題、第16（2）題、第17（2）題、第18（2）題、第19（2）題，共9道小題，分值為55分；難題有第8題、第14題、第18（3）題、第19（3）題，共4道小題，分值為27分. 可見，全卷易、中、難試題的比例由過去的3∶5∶2轉向趨近于4∶4∶2，上手更容易，區分效果更理想，選拔功能更科學.

2. 優化考查層次，助力創新人才選拔

數學是唯一一門高考理科統考科目，在服務人才選拔、服務國家發展戰略、助力拔尖創新人才選拔、助力教育強國建設方面，承擔的責任更重要，發揮的作用更關鍵. 因此，2024年各份高考數學試卷都在核心概念、基本運算、基本技能和邏輯推理方面加大考查力度，追求更加豐富多元的試題考查形式，突出了多層次、多角度和多維度的創新導向.

（1）核心概念深入考.

數學概念是數學學科的基石，是數學運算推理的基礎. 為深入考查數學基礎知識和基本能力，2024年各份高考數學試卷將活學活用融入對數學核心概念的考查之中. 一是各份試卷更加重視對核心概念的考查. 以新課標Ⅱ卷為例，全卷直接考查的數學核心概念有22個，有效發揮了核心概念在高考試題中的支撐作用. 二是同一份試卷更加重視對核心概念的考查力度. 例如，新課標Ⅰ卷第11題和第18題都考查了函數的最值，第12題和第16題都考查了離心率，充分體現了對核心概念從不同角度反復考查的命題手法. 三是各份試卷更加重視核心概念的考查方式. 例如，全國甲卷理科第9題、北京卷第5題、天津卷第2題、上海卷第15題等都考查了充分條件、必要條件和充要條件的概念，新課標Ⅰ卷第3題、新課標Ⅱ卷第3題、全國甲卷理科第9題、北京卷第5題、天津卷第14題等都考查了平面向量垂直，新課標Ⅱ卷第9題和第11題等都考查了函數的零點，通過這些方式著力考查學生運用概念解決問題的思維能力. 即使是新定義的創新性試題，也要求學生對數學概念有深度的理解，對數學思想方法有深刻的認識，強調對核心概念的深刻理解、融會貫通和靈活運用.

例5 （2024年新課標Ⅰ卷·6）已知函數[fx=][-x2-2ax-a，xlt;0，ex+lnx+1，x≥0] 在R上單調遞增，則a的取值范圍是（ " "）.

（A）[-∞，0] （B）[-1，0]

（C）[-1，1] " （D）[0，+∞]

【評析】此題以基本的二次函數、指數函數和對數函數的單調性為載體命制，主要考查分段函數的單調性，重點考查運用數形結合和分類討論思想進行邏輯推理的能力. 解題要素在于抓住要使已知函數在整個定義域上單調遞增，必須滿足兩個條件：一是各段函數在其定義范圍內分別單調遞增；二是分段處左、右兩邊的函數值要滿足[y左≤y右]. 由此可得[-a≥0]且[-a≤e0+ln1]. 學生只有深刻理解增函數的定義，準確把握分段函數在整個定義域內的單調性與其每一段函數的單調性之間的關系，才能作出正確判斷.

拓展練習：（2017年全國Ⅲ卷·理15）設函數[fx=x+1，x≤0，2x， xgt;0，] 則滿足[fx+fx-12gt;1]的[x]的取值范圍是 ______ .

答案：[-14，+∞].

（2）基本運算靈活考.

運算是數學的“童子功”. 盡管“多想少算”在2024年各份高考數學試卷中都體現得較為充分，但“少算”并非簡單地降低運算能力要求，而是減少繁難運算，降低解答過程中數值計算的復雜性，避免大量重復運算，充分體現想中有算、算中有想和想算結合的特點. 以新課標Ⅰ卷為例，基本上各題都涉及了數學運算，但運算量都較小、運算過程也不復雜，都是對一些基本的概念、公式、法則、性質等的合理運用，重在考查學生對基礎知識、基本方法等通性通法的理解與運用水平. 當然，在保證運算思路、運算程序不變的前提下，部分試題還設置了多種運算路徑，以利于更全面、更清晰、更靈活地考查算理和算法.

例6 （2024年天津卷·9）如圖1，一個五面體[ABC-DEF]. 已知[AD∥BE∥CF]，且兩兩之間距離為1. 并已知[AD=1]，[BE=2]，[CF=3]. 則該五面體的體積為（ " "）.

（A）[36] （B）[334+12]

（C）[32] （D）[334-12]

【評析】此題以不規則幾何體為載體命制，主要考查棱柱的定義與性質、柱體與錐體的體積公式及其應用等基礎知識，同時考查轉化與化歸的思想方法，以及空間想象和運算求解能力. 破題的關鍵在于對圖形的分解、割補和簡化. 不妨設已知幾何體的側棱AD，BE，CF均垂直于平面ABC，其體積有如下三種求法：一是補一個與已知幾何體完全相同的幾何體，并將其拼接成一個正三棱柱，將不規則幾何體轉化為規則幾何體（如圖2）；二是過點D作與平面ABC平行的截面，該截面將已知幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐；三是連接CD，CE，將已知幾何體分割成一個三棱錐與一個四棱錐.

拓展練習：（2024年全國甲卷·理19）如圖3，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，[EF∥AD，BC∥AD]，[AD=4，AB=BC=EF=2，] [ED=10，FB=23]， [M]為[AD]的中點.

（1）證明：[BM∥]平面[CDE]；

（2）求二面角[F-BM-E]的正弦值.

答案：（1）略；（2）[4313].

（3）邏輯推理重點考.

推理是數學的“命根子”. 邏輯嚴密、有條理地思考是理性思維的重要表現. 為考查學生的數學思維品質，2024年各份高考數學試卷均在邏輯思維能力考查上濃墨重彩，并呈現出不同層次的考查要求，從而鼓勵學生在平時的學習中養成勤思考、重推理的好習慣，而不是通過一味地刷題來提高熟練度和技巧度.

例7 （2024年新課標Ⅰ卷·11）造型可以看作圖4中的曲線C的一部分，已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于[-2]，到點[F0，2]的距離與到定直線[x=aalt;0]的距離之積為4，則（ " "）.

（A）[a=-2]

（B）點[22，0]在C上

（C）C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

（D）當點[x0，y0]在C上時，[y0≤4x0+2]

【評析】此題體現了落實“五育”融合的創意，基于圖形的對稱性設計，考查了曲線與方程部分中求曲線的方程，以及根據方程研究曲線性質的知識內容，綜合考查數形結合和轉化與化歸的思想，以及運算求解能力. 試題源于著名的笛卡兒葉形線，也可以視為環索線的一部分，若去掉橫坐標大于[-2]的條件，則其完整圖形如圖5所示. 此題突破了過往以常見的三種圓錐曲線為載體，選擇這種優美的有理曲線，讓學生在性質的探究過程中感受數學美. 試題融入了函數、導數、不等式等內容，旨在綜合考查學生對平面解析幾何思想方法的理解與運用. 同時，此題意在引導一線教學重視數學探究活動，可以根據教材中對圓錐曲線統一定義（滿足到定點與定直線的距離之“商”為定值的曲線）的探究，引發學生對此題（滿足到定點與定直線的距離之“積”為定值的曲線）的探究，并進一步思考探究：若將其改為距離之“和”或之“差”時，會得到什么形狀的曲線？曲線會有哪些性質？

拓展練習：（2011年北京卷·理14）曲線C是平面內與兩個定點[F1-1，0]和[F21，0]的距離的積等于常數[a2 agt;1]的點的軌跡. 給出下列三個結論：

① 曲線C過坐標原點；

② 曲線C關于坐標原點對稱；

③ 若點[P]在曲線C上，則[△F1PF2]的面積不大于[12a2].

其中，所有正確結論的序號是 " " " " .

答案：②③.

（4）作圖技能系統考.

無圖作圖、無圖想圖是考查直觀想象素養的重要載體. 2024年各份高考數學試卷通過顯隱結合的方式落實對作圖技能的考查，如新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷和全國甲卷（文、理科）均有10道左右的試題需要作圖、識圖和用圖. 綜觀2024年各份高考數學試卷，對作圖技能的考查主要呈現出如下特點.

① 內容分布廣.

從所涉及的作圖類型來看，2024年各份高考數學試卷基本都涵蓋了高中階段所學過的空間圖形、函數圖象、直線與圓、圓錐曲線、平面向量與空間向量、統計圖等各類圖形. 以新課標Ⅰ卷為例，第7題、第10題和第18題需要作出相應的函數圖象，第5題和第17題需要作出立體幾何圖形，第11題、第12題和第16題需要作出橢圓、雙曲線等平面曲線，第9題需要作出正態分布曲線等，涉及面廣.

② 考查功能全.

作圖考查的主要功能體現在以下三個方面：一是考查學生對一些基本圖形的概念、性質及其度量等知識的掌握情況；二是考查學生對圖形的觀察、分析、變形（如分解、組合、旋轉、割補、折展等）能力；三是考查學生的數形結合和圖形轉換能力.

例8 （2024年新課標Ⅰ卷·17）如圖6，四棱錐[P-ABCD]中，[PA⊥]底面ABCD，[PA=AC=2]，[BC=1]，[AB=3].

（1）若[AD⊥PB]，證明：[AD∥]平面[PBC]；

（2）若[AD⊥DC]，且二面角[A-CP-D]的正弦值為[427]，求[AD].

【評析】此題以線面平行和垂直的位置關系為知識背景命制，將傳統設問和逆向設問相結合，解法多樣，突出了幾何法和向量法“用而優則選”的策略.

事實上，此題所選幾何體由“鱉臑”和“墻角錐”組合而成，在第（2）小題的條件下則變成了一個“準陽馬”（底面為“箏形”且有一條側棱與底面垂直的四棱錐）. 若選用向量法求解，則有多種建系方式，底面四邊形的四個頂點均可以選作坐標原點（如圖7（a）、圖7（b）所示的是選點A或點D）；若選用幾何法求解，則既可以采用“作—證—算”先作出二面角的平面角，再構造直角三角形求解（如圖7（c）、圖7（d）所示的是二面角平面角的兩種作法），也可以利用射影面積法避作而求（如圖7（e）所示）.

拓展練習：（2011年北京卷·理16）如圖8，在四棱錐[P-ABCD]中，[PA⊥]底面ABCD，底面ABCD是菱形，[AB=2]，[∠BAD=60°].

（1）求證：[BD⊥]平面[PAC]；

（2）若[PA=AB]，求[PB]與[AC]所成角的余弦值；

（3）當平面[PBC]與平面[PDC]垂直時，求[PA]的長.

答案：（1）略；（2）[64]；（3）[6].

（5）思維方法創新考.

2024年各份高考數學試卷命題立意求新求變，力圖破解固化的思維模式和解題套路，立足更本源的數學問題，聚焦更一般的思維方法，命制了很多立意新穎、構思精巧、原創度高的試題，有效考查了學生發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力和創新思維.

例9 （2024年新課標Ⅰ卷·14）甲、乙兩人各有四張卡片. 每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8. 兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）. 則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 " " " " ".

【評析】此題以古典概型為依托，新穎別致、不落俗套，可謂集趣味性、靈活性和創新性于一身. 若能抓住問題“數量少、限制多”的特點，想到把甲的卡片上的數字換成與乙的卡片上的數字一樣，然后巧用概率的對稱性，則可以直接得到答案；若采用正難則反的策略，也可以利用對立事件簡化求解；若將問題轉化為討論24種情況中有多少種情況能使得甲的總得分不小于2，即便把所有情況全部羅列出來也并不復雜. 當然，這種枚舉法看似笨拙，相對而言卻是笨中藏巧、拙中見效，也是解決數學問題最本源性的方法，體現了從特殊到一般的數學思想. 類似的還有新課標Ⅱ卷第14題、全國甲卷（理科）第16題、北京卷第21題等，尤其是新課標Ⅰ卷第19題，可以將問題化歸為以正整數數列[n]這一最簡單、最熟悉的等差數列為研究載體，將項數最少的數列1，2，3，4，5，6作為思考與探究的起點，逐步探討一般性結論. 這類擺脫窠臼、大巧若拙、獨創一格的試題，令人耳目一新，將會成為今后高考數學命題的一種走向.

拓展練習：（2024年新課標Ⅱ卷·14）在如圖9所示的4 × 4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 " " " "種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 " " " " .

答案：24；112.

3. 優化綜合方式，注重知識內在聯系

數學學習不僅要理解并掌握每個知識點，而且要弄清知識的來龍去脈，把握知識之間的內在聯系，形成層級有序的知識結構體系. 綜觀2024年各份高考數學試卷，既重視考查學科知識的綜合應用能力，又注重考查關聯知識的靈活運用能力，更關注學生對數學知識體系框架的系統構建能力，通過優化綜合應用方式，更加真實地考查學生“真懂會用”的學習潛能.

（1）核心知識更強化.

眾所周知，函數、方程與不等式的相互關系貫穿于高中階段數學學習的始終，是運動與靜止辯證關系的充分體現. 其中，函數是主線、不等式是載體、方程是工具，三者作為一個有機的整體構成高中數學的核心知識體系. 因此，2024年各份高考數學試卷進一步凸顯函數、方程與不等式的主體地位，設置的題量更大、題型更多樣. 其中，新課標Ⅰ卷直接考查函數、方程與不等式的試題達到8道，間接考查的試題（涉及函數與方程思想）有5道，其他試卷對函數、方程與不等式的考查與新課標Ⅰ卷大致相當.

例10 （2024年新課標Ⅰ卷·10）設函數[fx=][x-12x-4]，則（ " "）.

（A）[x=3]是[fx]的極小值點

（B）當[0lt;xlt;1]時，[fxlt;fx2]

（C）當[1lt;xlt;2]時，[-4lt;f2x-1lt;0]

（D）當[-1lt;xlt;0]時，[f2-xgt;fx]

【評析】此題以學生熟悉的三次函數為載體命制，主要考查函數的極值點、單調性、對稱性等基礎知識. 試題立足于函數與不等式的核心知識，直接給出可以得到函數零點的表達式，既節約了學生因式分解的時間，又降低運算量，同時打破了需要求導才能判斷零點個數的常規. 試題注重多角度考查學生對三次函數單調性的理解，突出解法多樣、計算簡化的同時，強化了函數、導數和不等式等核心知識之間的內在聯系.

拓展練習：（2024年新課標Ⅱ卷·11）設函數[fx=2x3-3ax2+1]，則（ " "）.

（A）當[agt;1]時，[fx]有三個零點

（B）當[alt;0]時，[x=0]是[fx]的極大值點

（C）存在a，b，使得[x=b]為曲線[y=fx]的對稱軸

（D）存在a，使得點[1， f1]為曲線[y=fx]的對稱中心

答案：AD.

（2）知識結構更融合.

2024年各份高考數學試卷在強調對知識點的深刻理解與綜合應用的同時，還十分注重考查知識間的內在聯系與融會貫通，以此引導學生對所學知識形成整體性認識，構建系統完備的數學認知結構. 例如，北京卷第17題，不僅綜合考查了學生對線線、線面平行與垂直的判定與性質、二面角的概念與計算、空間向量及其坐標運算等數學知識的掌握情況，而且還有效考查了學生對空間線面位置關系間相互聯系的認識和相互轉換能力.

例11 （2024年天津卷·14）正方形[ABCD]的邊長為1，[DE=2EC， BE=λBA+μBC]，則[λ+μ]的值為 " " ；若[F]為線段[BE]上的動點，[G]為[AF]中點，則[AF ? DG]的最小值為 " " ".

【評析】此題以正方形為載體，巧妙融合了平面向量的線性運算、數量積及其運算律、二次函數的最值等數學知識，強調知識之間的聯系與主題之間的融合. 此題既可以從向量法入手，也可以建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標表示及其線性運算、數量積運算解決. 試題將平面解析幾何與平面向量及其運算有機交會，有助于學生把握跨主題知識之間的內在聯系，有助于學生掌握知識、理解方法、提升能力.

拓展練習：（2020年天津卷·15）如圖10，在四邊形[ABCD]中，[∠B=60°，AB=3]，[BC=6]，且[AD=λBC，]

[AD ? AB=-32]，則實數[λ]的值為________，若[M，N]是線段[BC]上的動點，且[MN=1]，則[DM ? DN]的最小值為_______.

答案：[16]；[132].

（3）交會方式更新穎.

2024年各份高考數學試卷“在知識網絡的交會點處命題”有了更多新變化：一是通過“瘦身法”控制綜合度，規避了以往過于追求知識堆砌、方法混雜的大綜合題. 例如，新課標Ⅰ卷第19題涉及的顯性知識點是等差數列的概念和古典概型的概率，但隱含著對知識交叉、能力綜合和思維創新的全方位考查. 二是通過“融合法”創新交會度，立足不同數學知識之間的內在關聯性，在知識間的邏輯連結點處設計試題，使試題在知識和能力方面的交會更自然、方法交織更新穎、素養交融更鮮明. 例如，新課標Ⅰ卷第11題立足函數與方程之間的內在聯系交會，需要學生在曲線與方程和函數與方程之間進行等價轉換，呈現出“交有理、會有味”的顯著特點.

例12 （2024年北京卷·9）已知[x1，y1]，[x2，y2]是函數[y=2x]的圖象上兩個不同的點，則（ " "）.

（A）[log2y1+y22lt;x1+x22]

（B）[log2y1+y22gt;x1+x22]

（C）[log2y1+y22lt;x1+x2]

（D）[log2y1+y22gt;x1+x2]

【評析】此題以兩個自變量值的算術平均數與對應函數值的算術平均數之間的大小關系為載體命制，綜合考查了指數與對數的運算性質、基本不等式和對數函數的單調性，雖然知識綜合度較低，難度較小，但緊扣教材，交會自然，很好地考查了學生的靈活轉化和綜合運算能力.

拓展練習：（2005年北京卷·13）對于函數[fx]定義域中任意的[x1，x2 x1≠x2]，有如下結論：

①[fx1+x2=fx1 ? fx2]；

②[fx1 ? x2=fx1+fx2]；

③[fx1-fx2x1-x2gt;0]；

④[fx1+x22lt;fx1+fx22].

當[fx=lgx]時，上述結論中正確結論的序號是 " " " " .

答案：②③.

4. 優化閱讀總量，增強創新應用能力

（1）實際應用重平穩.

2024年各份高考數學試卷對實際應用問題的考查進一步平衡閱讀量、計算量和思維量，形成平實、平穩、平和的考查方式，有利于學生穩定心態. 一是適度控制題量. 每份試卷的實際應用問題均保持在1～3道，其中，全國甲卷（文科）、天津卷各1道，新課標Ⅱ卷、全國甲卷（理科）、北京卷各2道，新課標Ⅰ卷、上海卷各3道. 二是整體難度適中. 除新課標Ⅰ卷第14題、全國甲卷（理科）第16題難度稍大外，其余各題難度都較小，大多數學生都能得到可觀的分數. 三是表述通俗易懂. 盡量不使用學生不熟悉的術語，不給學生增添過多的閱讀理解負擔，確保學生能夠順利作答. 四是貼近學生實際. 無論是新課標Ⅰ卷第14題中的博弈游戲，還是新課標Ⅱ卷第18題中的投籃比賽；無論是全國甲卷（理科）第17題中的產品檢驗，還是北京卷第18題中的保險理賠；無論是天津卷第13題中的活動選擇，還是上海卷第19題中的體育鍛煉，都以學生熟悉的情境呈現，使得實際應用問題更加符合學生的心理預期.

例13 （2024年新課標Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分. 該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立.

（1）若[p=0.4]，[q=0.5]，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設[0lt;plt;q].

① 為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

② 為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

【評析】此題以學生熟悉的投籃問題為情境命制，增加了試題的友好度，主要考查概率的基礎知識，包括事件概率的計算、離散型隨機變量及其分布和隨機變量的數字特征等. 試題語義明確、表述清晰，讓學生容易建立概率模型并運用相應知識進行求解，展示了將問題情境抽象轉化為數學問題的過程，使學生能體會到隨機性的應用和概率思想.

拓展練習：（2023年新課標Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為[0.6]，乙每次投籃的命中率均為[0.8]. 由抽簽確定第[1]次投籃的人選，第[1]次投籃的人是甲、乙的概率各為[0.5].

（1）求第[2]次投籃的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量[Xi]服從兩點分布，且[PXi=1=]

[1-PXi=0=qi]，[i=1，2，…，n]，則[Ei=1nXi=i=1nqi]. 記前[n]次（即從第[1]次到第[n]次投籃）中甲投籃的次數為[Y]，求[EY].

答案：（1）[0.6]；

（2）[13+16×25i-1]；

（3）[n3+5181-25n].

（2）閱讀理解重思維.

數學閱讀是通過數學符號語言獲得意義的一種心理過程，數學閱讀理解就是學習主體根據所給出的信息，通過分類與整合、歸納與類比、聯想與轉化、抽象與概括等手段，抽象出問題本質、構建數學模型的過程，它是數學建模的前奏，也是分析應用能力的重要體現. 2024年各份高考數學試卷對閱讀理解能力的考查可謂濃墨重彩，設計了很多形式多樣、情境新穎、貼近學生的應用題和新定義題，有效考查了學生的閱讀理解、信息整理和邏輯思維能力.

例14 （2024年新課標Ⅰ卷·19）設[m]為正整數，數列[a1，a2，…，a4m+2]是公差不為[0]的等差數列，若從中刪去兩項[ai]和[ajilt;j]后剩余的[4m]項可被平均分為[m]組，且每組的[4]個數都能構成等差數列，則稱數列[a1，a2，…，a4m+2]是[i，j—]可分數列.

（1）寫出所有的[i，j]，[1≤ilt;j≤6]，使數列[a1，a2，…，a6]是[i，j—]可分數列；

（2）當[m≥3]時，證明：數列[a1，a2，…，a4m+2]是[2，13—]可分數列；

（3）從[1，2，…，4m+2]中任取兩個數[i]和[jilt;j]，記數列[a1，a2，…，a4m+2]是[i，j—]可分數列的概率為[Pm]，證明：[Pmgt;18].

【評析】此題以等差數列為知識背景命制，創新設問方式，設置數學新定義，搭建思維平臺，引導學生積極思考，在思維過程中領悟數學方法，讓學生自主選擇方法和策略分析問題、解決問題. 此題打破了以往相對固化的內容模式，展現了命題者的匠心獨具和思維高度，可謂苦心孤詣、思辨破局. 試題通過“可分數列”的新定義創設語境，構建試題基礎、搭建試題框架，實現了等差數列和隨機事件概率的有機結合和應用，考查對數學語言和問題的理解水平，要求學生具備很好的文字語言、符號語言的理解和表達能力. 試題以等差數列作為起始，以可分數列的新定義為中介，以提升學生的理性思維為目標，創設解題條件，展現能力層次，試題設問從易到難，層層遞進，逐步深入，恰到好處，精確區分不同水平的學生，使得每名學生都能有所收獲，都能獲得相應的分數. 同時，此題也為廣大學生和數學愛好者留有進一步引申推廣的空間.

拓展練習：（2020年上海卷·21）已知有限數列[an]，若滿足[a1-a2≤a1-a3≤…≤a1-am]，[m]是項數，則稱[an]滿足性質[p].

（1）判斷數列[3，2，5，1]和[4，3，2，5，1]是否具有性質[p]，試說明理由；

（2）若[a1=1]，公比為[q]的等比數列，項數為10，具有性質[p]，求[q]的取值范圍；

（3）若[an]是[1，2，…，m]的一個排列[m≥4]，[bn]符合[ bk=ak+1 k=1，2，…，m-1]，[ an， bn]都具有性質[p]，求所有滿足條件的[an].

答案：（1）略；

（2）[-∞，-2?0，+∞]；

（3）[1，2，3，…，m-1，m]；或[m，m-1，…，]

[3，2，1]；或[2，1，3，…，m-1，m]；或[m-1，m，]

[ m-2，m-3，…，3，2，1].

通過這種新定義試題展現數學探究的過程，實現對分析、推理、判斷等關鍵能力的考查，旨在引導學生用規范的數學語言進行推理、論證和表達，提升即學即用與活學活用的能力，使得一些套路無用、模板失效，讓死記硬背的教學方式不能適應現在高考的新要求.

三、復習備考建議

長期以來，高中數學教學形成了“兩年上新課、一年搞復習”的備考現狀，出現了“輕育人、重育分，輕教材、重教輔，輕思維、重套路”的普遍現象，導致訓練質效低下的問題十分突出. 這種“三輕三重”急功近利的備考誤區，與高考數學進一步凸顯“三考三重”的命題導向漸行漸遠，甚至背道而馳. 基于此，高考復習備考要立足“知識為基、方法為實、能力為重、素養為先”的宗旨，切實做到如下“三變三回”，把訓練題量降下來、訓練節奏降下來、考試頻次降下來，真正實現減量、提質、增效，開啟高考數學復習備考的新征程.

1. 變革觀念，轉變角色，回歸育人本位

針對高三復習教學以做代講、以考代練、以灌輸解題套路代替深入講解分析知識概念的教學模式，教師要勇于變革復習觀念，轉變自身角色定位，由過度重視猜題押題、盲目跟風轉向回歸思維訓練、提升數學素養，由過度重視統考聯考、考試育分轉向回歸育人本位、培育創新精神，由過度重視題型套路、機械訓練的應試教育轉向回歸素養導向、減負增效的素質教育，促進學生德智體美勞全面發展，彰顯復習備考的育人功能，促進高考數學復習備考高質量運行.

因此，復習教學要在以下三個方面下功夫：一是在主干知識的掌握和數學本質的理解上下功夫，通過精心設計問題情境，引導學生從模仿記憶向自主探索不斷轉變；二是在數學思想方法的領悟和數學應用問題的探究上下功夫，通過精心選擇典型題例，引導學生從機械刷題而形成的脆弱的推理過程向自主思考而養成穩健的邏輯推導不斷轉變；三是在創新思維的形成和數學素養的養成上下功夫，通過精心安排復習進程，引導學生從關注解題技巧、答題套路向提升關鍵能力、培養學科素養、樹立創新意識不斷轉變.

2. 變革模式，轉變理念，回歸夯實基礎

針對高考復習普遍采用“題型 + 套路 + 大量重復練習”的教學模式，長期盛行過度重視“機械刷題”、反復研究“解題大招”的現象，導致學生的思維僵化、怕新怕變，一旦遇到表現形式稍作變換的問題就束手無策. 因此，復習要敢于變革傳統的教學模式，轉變機械固化、脫離教材的教學理念，由過度重視一招一式、對號入座的重復訓練轉向回歸通性通法解決問題，減輕復習過程中的無效負擔，避免低效甚至無效訓練. 其實，真正意義上的回歸夯實基礎復習，不是僅對知識點的簡單回憶、機械羅列和重復再現，而是要引導學生對基本概念、原理、方法、技能深入理解和綜合運用，對其本質屬性和內在聯系的深刻理解和靈活運用，達到真懂會用的掌握程度，無論問題的表現形式如何變化，都能夠抓住本源性方法解決問題.

高考數學反套路、反刷題、反二級結論的改革方向，旨在引導復習備考變革模式、變換節奏和回歸基礎. 要讓學生明確機械刷題只是鋪墊了松軟的沙灘，筑牢堅固的基石才能靈活應用，正所謂“基礎不牢、地動山搖”，只有具備堅實的學科基礎，才能做到活學活用，解決相關問題. 因此，復習教學要加強真題演練，強化對高考試題的深入探討，引導學生在“多思少練”中掌握一般觀念與思維方法，注重發展學生的批判性思維和創造性思維，鼓勵學生大膽質疑，敢于提出自己的觀點與想法，讓學生懂得如何避免“傻做題”，學會如何高效地“真做題”.

3. 變革過程，轉變做法，回歸重視教材

針對高三數學復習備考突出存在的“丟掉教材搞復習、依賴教輔抓備考”教學現狀，復習要善于變革冗余繁雜的教學過程，轉變舍本逐末的做法，由過度重視教輔轉向回歸重視教材，清除超標、超量和超難的復習過程，通過“落實教材、整合教材、拓展教材”的循序漸進式復習，幫助學生夯實解題基礎，培養思維品質，提升解題能力. 事實上，許多教輔都只關注羅列知識點、整理解題技巧和歸納題型套路，甚至“掐頭去尾燒中段”直接把“解答”喂給學生. 因此，教師若過度使用教輔，會導致學生在知識的掌握上囫圇吞棗，形成對數學的死板認識和對解題套路的過度依賴；學生若埋頭練習質量良莠不齊的模擬卷，把某些教輔奉為寶典甚至替代教材，學習大量二級結論而忽視對基本概念的理解和掌握，會導致既沒有掌握真正重要的數學知識，又浪費了寶貴的復習時間. 為此，復習教學過程中，要做到如下三個方面.

一是加強對教材內容的二次開發，而不是死記硬背二級結論. 要正確把握高三復習課上如何“玩概念”的問題，應該圍繞核心概念再建概念體系. 以建構“距離”的概念體系為例，通過梳理高考數學中體現“距離”概念內涵的試題（如2023年新課標Ⅰ卷第22題中的“曼哈頓距離”等），挖掘解題過程中運用概念解決問題的思想方法和思維策略，引導學生站在整體觀和系統觀上，通過在宏觀上了解“距離”概念的形成和發展（縱向聯系），在中觀上分析“距離”概念在教材相應章節中的地位及其與相關概念的聯系（橫向聯系），在微觀上洞悉“距離”概念的內涵和外延，幫助學生掌握數學基本概念知識體系的建構過程、本質特征和應用價值，實現對概念的深刻理解、融會貫通和靈活運用，有效提高對核心概念及其思想方法的復習效率.

二是加強教材知識的建構方式，而不是一味追求“題海戰術”. 要正確把握建構知識結構與輔助做題練習之間的關系，改變題目與知識分離的“兩張皮”做法，讓學生對所學知識形成整體性和系統性認識. 以“數列”單元的復習小結為例，借助近幾年高考數學中有關數列的典型試題（如2023年新課標Ⅰ卷第7題和第20題等），采用“題中抽知、串知成鏈、動態生成、有效建構”的基本策略，通過閱讀教材章小結、填寫復習任務單、勾畫知識結構圖等方式，在解題活動中進一步理解數列知識的內在關聯，并結合具體問題情境和任務驅動的方式，從概念、公式和性質等要素出發，梳理數列的知識結構、解題步驟和思想方法，引導學生自主建構數列單元的知識圖譜，使學生經歷知識結構的再現、再創和再建的過程，學會從題目的背景材料中提煉對應的知識、思想和方法，體現知識之間的縱橫聯系，達成舉一反三、舉三反一和溫故知新的功效.

三是加強對教材習題的拓展研究，而不是重復訓練題型套路. 教材中的題目都是由教材編寫者精心設計和反復研磨而成，并經歷了多輪的課改實踐檢驗，具有優質高效的訓練價值，也是潛在的高考試題. 以關聯教材的“函數與導數”試題為例（如2024年新課標Ⅰ卷第4題、第7題、第8題、第10題和第18題等），通過挖掘高考試題與教材習題間的內在聯系，總結本源性的解題方法，引導學生梳理高考試題中蘊含的教材素材，理解高考嚴格遵循“兩不超”的依標命題原則，樹立正確的復習備考觀，真正掌握基于教材、回歸教材的復習備考方法.

總之，復習備考要善于破舊立新，把全面提升核心素養、增強數學思維能力和知識遷移應用能力放在首位，敢于跳出“題海戰術、機械刷題、套路訓練”舊誤區；勇于開啟“回歸課程標準、重視教材、夯實基礎”新征程，與高考同向同行，真正開創素質教育新時代.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. "北京：人民教育出版社，2019.

［3］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-30.

［4］任子朝，趙軒. 新高考十年數學科考試內容改革：成就、挑戰與轉向［J］. 中國考試，2024（7）：11-18.

［5］趙軒，翟嘉祺，郭淑媛. 高考數學科面臨的關鍵問題與解決路徑［J］. 課程·教材·教法，2024，44（6）：147-151.

［6］教育部教育考試院. 優化試卷結構設計 "突出思維能力考查：2024年高考數學全國卷試題評析［J］. 中國考試，2024（7）：79-85.

［7］趙軒，翟嘉祺，郭淑媛. 強調靈活考查思維 "聚焦創新人才選拔：2024年高考數學新課標卷評析［J］. 數學通報，2024，63（6）：44-47.

［8］章建躍. 如何提高數學運算素養［J］. 中小學數學（高中版），2022（7-8）：封底.

［9］周遠方，向立政，張偉. 深化基礎考查核心素養 "落實“雙減”促進教考銜接：2023年高考數學命題特點分析及復習教學建議［J］. 中國數學教育（高中版），2023（9）：4-14.

［10］向立政，周遠方，張云輝. 深度考查關鍵能力充分發揮育人功能：2022年高考數學試題的命題特點及復習教學建議［J］. 中國數學教育（高中版），2022（9）：3-13.