高考真題溯源流 備考復習尋真經

摘 "要：結合對2024年高考三角函數與解三角形試題的多角度梳理，從必備知識、關鍵能力和學科素養等層面分析，指出試題根源，分析試題意圖，探尋試題特點，明晰命題導向，欣賞試題亮點，通過拓展練習強化，在此基礎上提出回歸課程標準、重視教材、夯實基礎知識、構建知識網絡、優化思維品質、提升學科素養的高三數學復習建議.

關鍵詞：三角函數；解三角形；命題分析；教學建議

中圖分類號：G633.6 " " 文獻標識碼：A " " 文章編號：1673-8284（2024）09-0035-10

引用格式：費振東，翟洪亮. 高考真題溯源流 "備考復習尋真經：2024年高考“三角函數與解三角形”專題命題分析［J］. 中國數學教育（高中版），2024（9）：35-44.

隨著課程改革的逐步深化和新教材的推廣使用，在2024年高考中，全國已有22個省市使用新高考數學試卷. 2024年新高考數學試卷的格局發生重大變化，試題總數由往年的22道變為19道，多項選擇題、填空題和解答題各減少一道，解答題的分值增加到77分，優化了多項選擇題的賦分方式，強化了考查思維過程和思維能力的功能，符合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求，即數學高考的考試命題中，要關注試卷的整體性. 處理好考試時間和題量的關系，合理設置題量，給學生充足的思考時間；逐步減少選擇題、填空題的題量；適度增加試題的思維量；關注內容與難度的分布、數學學科核心素養的比重與水平的分布；努力提高試卷的信度、效度和公平性.”

2024年高考三角函數與解三角形試題依據《標準》的要求命制，延續原有的命題風格. 考查內容注重基礎性，考查形式不乏創新性，試題突出對三角函數的工具性和應用性的考查，與函數、導數等相關知識交會，體現綜合性. 從不同視角切入可以尋求試題的不同解法，在關注學生個性差異的同時，注重培養學生思維的靈活性和批判性. 2024年高考數學試題反映新課程理念，助推高中育人方式變革，反對機械刷題，倡導教學回歸課程標準、回歸教材、回歸基礎、回歸思維. 現以2024年4份高考數學全國卷為主，對三角函數與解三角形試題進行命題分析.

一、考查內容分析

研究2024年的高考數學試題發現，三角函數與解三角形仍是重點考查的內容之一，凸顯了其在高中數學知識中的重要地位. 從題型分布來看，涵蓋了單項選擇題、多項選擇題、填空題和解答題的全部題型，凸顯了其在全面考查學生基礎知識、關鍵能力和數學核心素養方面有著不可替代的作用；從在各份試卷中所處的位置來看，凸顯了其對于穩定學生心態、增強學生考試信心、激活學生思維和促進學生正常發揮等方面所起的重要作用.

1. 注重對必備知識的考查

（1）注重對主干知識的考查.

2024年高考數學全面考查三角函數與解三角形的主干知識，考查內容包括三角函數的概念、同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、三角函數的圖象和性質、解三角形等.

三角函數是一類基本的、重要的函數，是高中數學的重要內容，也是高考考查的重點. 作為刻畫周期變化的一種重要數學模型，三角函數在其他學科領域有著廣泛的應用.

任意角三角函數的概念是三角函數的核心，是解決一切三角函數問題的基點，也是后續求值計算、公式推導、性質分析、圖象研究等內容的基礎. 因此，任意角三角函數的概念是三角函數內容中的考查重點. 例如，全國甲卷（理科）第6題通過組合函數的巧妙嫁接，通過求定點的切線方程達成對特殊角三角函數值的考查.

同角三角函數的基本關系式包括平方關系和商數關系. 掌握兩種基本關系式，熟練運用兩個關系解決“已知一個角的一個三角函數值，求另兩個三角函數值”，體驗分類討論思想和方程組思想在“知一求二”問題解決中的應用，它是三角求值、化簡、證明的基礎. 例如，全國甲卷（理科）第8題根據所給條件，利用商數關系求出所給角的正切值，利用兩角和的正切公式展開，借助特殊角的正切值解決問題.

三角恒等變換包括兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，是以兩角差的余弦公式為基礎，進一步研究具有兩角和、差關系的正弦、余弦和正切公式，推導過程既是一個邏輯推理的過程，也是一個認識三角函數值的特征、體會三角恒等變換特點的過程. 將其特殊化就可以得到二倍角公式、半角公式；將其進行簡單的恒等變換就能推導和差化積、積化和差公式. 會在“角變、名變、次變”中進行等價轉化，在推導過程中要有整體思想和方程思想. 例如，新課標Ⅰ卷第4題、新課標Ⅱ卷第13題等，都是在方程思想和整體思想的指導下，利用同角三角函數的基本關系和兩角和與差的正弦、余弦、正切公式計算求解的.

三角函數的圖象和性質是高考熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現，考查學生對參數意義的理解，能從圖象變換的角度建立與性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值等）之間的聯系，常與三角恒等變換結合進行命題，難度中等，考查整體換元、數形結合等思想方法，考查學生的直觀想象、數學運算和邏輯推理等核心素養. 例如，新課標Ⅰ卷第7題、新課標Ⅱ卷第9題等，都能通過兩個正弦函數的圖象，對正弦函數的性質進行多角度考查，突出整體思想和數形結合思想的運用.

解三角形是高考熱點，需要創設問題情境，故解三角形試題多以解答題形式呈現，考查學生在實際情境中運用正弦定理、余弦定理和面積公式，通過三角恒等變換等知識解決簡單問題的能力. 例如，新課標Ⅰ卷第15題、新課標Ⅱ卷第15題等，都是考查學生對基本定理、基本公式的理解與運用.

（2）強調對通性通法的考查.

通性通法一般是指解決某一類問題的基本方法，與一些技巧性和特殊方法相比，其實用范圍較廣. 三角函數與解三角形試題的解題通法有：同角三角函數的基本關系化簡常用1的代換、化切為弦、化弦為切；高次要降冪；五點法作圖；研究三角函數的性質先化為[y=Asinωx+φ]的形式后，再研究其具體性質；三角函數求值域中常用三角函數的有界性及轉化為二次函數在定區間上的值域等. 例如，全國甲卷（文科）第9題就是化弦為切，先求出正切值，然后利用兩角和的正切公式將所求的正切值代入解決問題；也可以先求出正弦與余弦之間的關系，通過平方關系解方程組，依次求出正弦值、余弦值和正切值，然后利用兩角和的正切公式將所求正切值代入求解. 雖然思路自然，但是求解時發現利用平方關系后，需要開方、討論，比較麻煩. 因此，不但要掌握解決問題的通性通法，還需要有一雙慧眼，根據不同情境選擇最優解法.

（3）滲透對數學思想方法的考查.

數學思想方法是對數學知識在更高層次上的抽象、概括、凝練，蘊含于知識發生發展和應用的過程中，是學生良好思維品質的具體表現，也是歷年高考考查的重點. 三角函數與解三角形涉及的數學思想方法主要包括函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想、特殊與一般思想、有限與無限思想. 例如，新課標Ⅰ卷第4題利用方程思想求值；新課標Ⅰ卷第7題利用數形結合思想求兩個正弦函數圖象的交點個數；新課標Ⅱ卷第6題利用轉化與化歸思想，將原本不是偶函數的兩個函數轉化為兩個偶函數在所給區間上有一個交點必在特殊位置——[y]軸上進行求解；全國甲卷（理科）第7題利用極限思想，通過取極限，由正數無限趨近于0時函數值的正、負判定其圖象在[x]軸上方.

2. 加強對關鍵能力的考查

數學關鍵能力是指運用數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗分析問題和解決問題所需要的穩定的個性心理特征和思維品質. 具體表現為：在掌握基礎知識和基本技能的基礎上，對知識進行遷移和創新，能夠在一些新的情境中解決具有開放性、推廣性、變式性、反思性的問題. 在三角函數與解三角形試題中主要考查學生的運算求解、直觀想象、邏輯推理和語言表達等能力.

2024年高考數學三角函數與解三角形試題加大了對數學運算能力的考查力度，要求學生明確運算對象，掌握運算公式，選擇運算路徑，準確計算得到正確結果，能在復雜的運算情境中選擇最優方法求解，凸顯了對數學運算能力的考查. 例如，全國甲卷（文科）第9題采用化弦為切的運算方法優于化切為弦的運算方法；新課標Ⅰ卷第7題采用畫圖定解的方法比通過方程解的個數（兩個圖象的交點個數）更為簡潔.

邏輯推理能力是指個體在處理和解決問題時運用邏輯思維和推理規則的能力，涉及識別、分析和評估信息、關系和論證，以便從給定的前提中推導出合乎邏輯的結論. 邏輯推理能力是人類智力的重要組成部分，它與認知過程、思考和問題解決密切相關. 邏輯推理能力是數學關鍵能力的核心，也是數學思維品質的重要體現，表現在對已有信息加工整理的基礎上，明確解決問題方向，擬定解決問題路徑，制訂解決問題方案，實施解決問題方案. 例如，新課標Ⅰ卷第15題通過對試題條件的分析，擬定解決問題路徑，可以利用余弦定理先求角[C]，通過三角函數值確定角[B]，再通過內角和定理求出角[A]，利用兩角和的正弦公式求出[sinA]，利用正弦定理求出邊[b]與[c]之間的關系，再利用面積公式建立方程，求出[c]的值.

3. 聚焦對數學核心素養的考查

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習中逐步形成的. 數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會需要的思維品質和關鍵能力. 高中階段數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 2024年高考數學三角函數與解三角形試題注重在運用數學知識解決問題的過程中考查學生的數學核心素養. 例如，新課標Ⅰ卷第7題，要求學生動手作圖畫出兩個函數的圖象，然后通過圖形直觀快速得到正確答案，考查學生的數學抽象和直觀想象素養；新課標Ⅰ卷第15題和新課標Ⅱ卷第15題都需要學生進行一定的邏輯推理和一定量的數學運算，這些試題都能很好地體現高考數學對數學運算和邏輯推理等素養的考查.

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）指出，高考通過設置不同層級的情境活動考查學生在“四層”內容上的表現水平，不同情境與“四翼”之間存在一定的對應關系. 2024年高考數學三角函數與解三角形試題認真落實《體系》的要求，試題情境貼近學生實際，敘述簡潔，考查層次分明，注重適度創新，突出對基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗的考查，注重對核心概念和基本公式的考查，杜絕拔高要求、隨意擴充現象，倡導教學回歸課程標準、重視教材，正本清源，有效促進教考銜接.

（1）深化基礎考查，促進教考銜接.

2024年高考數學三角函數與解三角形試題發揮引導教學的核心功能，注重對教材知識的延伸和發展. 很多題目都能在教材中找到題源，有的僅是稍作加工，倡導回歸基礎，助力“教—學—評”一體化.

例1 （2024年新課標Ⅰ卷·7）當[x∈0，2π]時，曲線[y=sinx]與[y=2sin3x-π6]的交點個數為（ " "）.

（A）[3] （B）[4]

（C）[6] （D）[8]

答案：C.

考查目標：考查三角函數的圖象，考查學生利用“五點法”動手作圖的能力和直觀想象素養.

命題意圖：試題考查三角函數的圖象變換，考查學生對不同參數對函數圖象作用的理解，并通過關鍵點畫出兩個函數的草圖（如圖1），使問題得到快速解決. 若從方程視角求[sinx=2sin3x-π6]在[0，2π]上解的個數，則容易陷入繁雜的計算之中，故該題還考查學生在分析問題的基礎上對解決問題方法優劣的判斷能力.

[-2][-1][1][2][O][x][y] [圖1]

試題亮點：試題源于人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）必修第一冊“5.6.2 函數[y=Asinωx+φ]的圖象”中的例1，從教材配圖出發，稍作改編而成，考查學生的動手作圖能力. 試題看似簡單，實則不易. 需要學生相對準確地作出第二個函數的曲線，是有一定困難的，故該題難度中等. 當然，該題也可以通過方程的解的個數來確定答案，但是運算量較大，需要學生快速做出決斷，靈活選擇方法，凸顯了對學生直觀想象素養的考查. 從教材中的圖象出發命題，應該引起教師重視對教材中圖形、圖象的識圖、作圖教學，幫助學生掌握基礎知識，構建典型的數學模型，并能運用數學模型解決簡單實際問題，實現數學的育人價值.

拓展練習：（2019年全國Ⅲ卷·文5）函數[fx=][2sinx-sin2x]在[0，2π]的零點個數為（ " "）.

（A）2 " （B）3

（C）4 （D）5

答案：B.

例2 （2024年新課標Ⅱ卷·9）對于函數[fx=]

[sin2x]和[gx=sin2x-π4]，下列說法中正確的有（ " "）.

（A）[fx]與[gx]有相同的零點

（B）[fx]與[gx]有相同的最大值

（C）[fx]與[gx]有相同的最小正周期

（D）[fx]與[gx]的圖象有相同的對稱軸

答案：BC.

考查目標：試題考查三角函數的圖象變換，正弦函數的零點、最值、周期公式、對稱軸方程等知識，考查數學運算素養.

命題意圖：試題立意高遠，情境新穎，通過兩個正弦函數圖象對正弦函數的性質進行多角度、全方位考查，設問方式貼近學生，突出整體思想的運用.

試題亮點：試題通過對兩個正弦函數圖象的性質進行比較性研究，改變以往僅對單一函數圖象進行乏味研究的方式. 創新是素質教育的關鍵特征之一，是培養具有創新思維和品質的創新型人才的要求. 創新性考查是以命題創新為載體，通過情境創新、條件創新、設問創新考查學生的創新品質，高考通過創新性考查引導基礎教育培養學生的創新思維能力，使他們勇于面對新問題，通過對知識、思想方法的遷移，提高學生解決實際問題的能力.

拓展練習：（2017年全國Ⅲ卷·理6改編）設函數[fx=cosx+π3]，則下列結論正確的是（ " "）.

（A）[fx]的一個周期為[-2π]

（B）[y=fx]的圖象關于直線[x=8π3]對稱

（C）[fx+π]的一個零點為[x=π6]

（D）[fx]在[π2，π]單調遞減

答案：ABC.

（2）合理控制難度，發揮甄別功能.

2024年高考三角函數與解三角形試題總體難度較低，如例3、例4、例5；有的難度稍有提升，達到中等難度，如例6. 這樣命題旨在引導高中數學教學注重基礎，重視通性通法，淡化解題技巧，把常規教學落到實處.

例3 （2024年新課標Ⅰ卷·4）已知[cosα+β=m]，[tanαtanβ=2]，則[cosα-β]等于（ " "）.

（A）[-3m] （B）[-m3]

（C）[m3] （D）[3m]

答案：A.

考查目標：試題考查兩角和與差的余弦公式、同角三角函數的基本關系，考查學生識別、選擇、應用三角公式解決問題的能力，考查學生的運算求解和邏輯推理等關鍵能力.

命題意圖：此題需要學生正確掌握兩角和與差的余弦公式，并能利用兩角和的余弦公式展開，通過同角三角函數的基本關系化切為弦，利用方程思想和整體思想求出[cosαcosβ]和[sinαsinβ]的值，再逆用兩角差的余弦公式計算作答. 此題是典型的“給值求值”問題，需要學生洞察公式之間的內在關系，才能順利達成解題目標.

試題亮點：試題立足學生熟悉的知識，題干簡單明了，設計巧妙，思路清晰，計算簡單. 試題源于人教A版教材必修第一冊習題5.5的第9題，注重基礎知識，把兩角和的正弦變為兩角和的余弦，把兩角和具體的正弦值變為字母情境，具有一定的創新性，把要求的第（1）小題改編為已知條件，把已知兩角差的正弦變為要求的兩角差的余弦，旨在引導一線教師重視對教材的研讀. 高三數學一輪復習必須注重對典型習題的變式教學，充分發揮典型習題的教學價值，回歸教材. 同時，要關注對往年高考試題的研究，試題之間具有一定的連續性和借鑒性，如此題與2023年新課標Ⅰ卷第8題如出一轍，利用高考試題進行高三數學訓練，可以做到有的放矢.

拓展練習：（2023年新課標Ⅰ卷·8）已知[sinα-β=13，cosαsinβ=16]，則[cos2α+2β]等于

（ " "）.

（A）[79] （B）[19]

（C）[-19] （D）[-79]

答案：B.

例4 （2024年全國甲卷·理8）已知[cosαcosα-sinα=][3]，則[tanα+π4]等于（ " "）.

（A）[23+1] （B）[23-1]

（C）[32] （D）[1-3]

答案：B.

考查目標：試題考查同角三角函數的基本關系、兩角和的正切公式，考查學生的數學運算能力.

命題意圖：試題需要學生利用同角三角函數的基本關系化弦為切，求出角[α]的正切值，再通過兩角和的正切公式求解. 這需要學生熟練掌握特殊角的正切值，從而正確給出所求角的正切值.

試題亮點：試題由人教A版必修第一冊“5.5.1.2 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”練習第2題的第（3）小題改編而成，試題敘述簡潔，強化對學生數學運算素養的考查. 另外，人教A版教材必修第一冊習題5.2的第15題，以及復習參考題5的第4題和第18題都是與之相關的習題. 這樣的命題方式旨在提醒一線教師無論是平時教學還是高三復習都必須用好教材，充分發揮典型習題的教學價值.

拓展練習：（2020年全國Ⅲ卷·理9）已知2tan θ - tan[θ+π4=7]，則tan θ等于（ " "）.

（A）[-2] （B）[-1]

（C）[1] （D）[2]

答案：D.

例5 （2024年新課標Ⅱ卷·13）已知[α]為第一象限角，[β]為第三象限角，[tanα+tanβ=4]，[tanαtanβ=][2+1]，則[sinα+β]的值為_______.

答案：[-223].

考查目標：試題考查兩角和的正切公式、同角三角函數的基本關系，考查學生逆用公式的運算能力和邏輯推理能力.

命題意圖：試題需要學生正確使用兩角和的正切公式求出兩角和的正切值，并能結合所給兩角的范圍及所求兩角和的正切值的正、負，進一步縮小兩角和的范圍，再通過同角三角函數的基本關系求出兩角和的正弦值. 求解該題，還可以通過所給兩角的范圍和同角三角函數的基本關系，求出兩角的余弦[cosα=11+tan2α]和[cosβ=-11+tan2β]，而兩角和的正弦可以表示為

[sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβtanα+tanβ，]

同樣可以求出正確的數值. 該題是“給值求值”型問題，需要學生根據所給角的范圍，明確三角函數值在各象限的符號，結合三角函數公式，把未知的三角函數值用已知的三角函數來表達.

試題亮點：該題源于人教A版教材必修第一冊“5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”的例2，通過改編突出對所求角的范圍進行再縮小，強化對學生基礎知識和基本能力的考查. 試題入手容易，方法靈活，凸顯了對學生數學運算素養的考查. 旨在引導高三數學教學回歸基礎，加強對典型例題的變式拓展，挖掘典型例題的教學價值.

拓展練習：（2018年江蘇卷·16）已知[α，β]為銳角，[tanα=43]，[cosα+β=-55].

（1）求[cos2α]的值；

（2）求[tanα-β]的值.

答案：（1）[-725]；（2）[-211].

例6 （2024年新課標Ⅱ卷·6）設函數[fx=][ax+12-1]，[gx=cosx+2ax]，當[x∈-1，1]時，曲線[y=fx]與[y=gx]恰有一個交點，則a的值為（ " "）.

（A）[-1] （B）[12]

（C）[1] （D）[2]

答案：D.

考查目標：試題以多項式函數與余弦函數的組合形式為背景，給出兩個要研究的函數. 需要學生先將它們轉化為兩個簡單的偶函數，再研究它們的圖象和性質，考查學生的觀察能力、轉化與化歸能力和邏輯推理能力，具有較好的選拔功能.

命題意圖：試題所給兩個函數盡管不是偶函數，但是通過變形可以轉化為偶函數. 命題者本可以不交代兩個函數的定義域，默認它們的定義域為[R]也是可行的. 但是為了引起學生注意，命題者還是再次通過定義域的對稱性對學生進行暗示，但這需要學生養成多思少算的習慣，才能領會命題者的良苦用心. "若學生從方程視角求解，當得到[ax2+a-1=cosx]時，仍認識不到可以利用兩個偶函數圖象的性質使問題得到解決. 此時，學生通常會想到分離參數的方法，得到[a=1+cosxx2+1]，轉為研究函數[hx=1+cosxx2+1]與直線[y=a]在區間[-1，1]上的交點情況. 這需要利用導數研究函數[hx]的圖象，也可以得到正確答案. 試題設問通過兩條曲線交點的個數巧妙限定，解題入口較寬，方法多樣，思路自然，但是不同方法之間的思維量和運算量存在明顯差異，可以讓不同思維層次的學生各有所得.

試題亮點：試題巧妙地將多項式函數、余弦函數進行組合，形成貌似復雜的函數. 細心觀察兩個解析式的結構特征，便能發現它們擁有相同的組成部分，只需進行簡單變形即可轉化為兩個較為常見的偶函數的圖象，再通過交點個數的特殊性快速得到答案. 試題設計新穎，緊扣《標準》，區分度明顯，不同思維層次的學生可以采用不同的方法. 思維層次較高的學生利用圖形直觀，計算量少，倡導學生養成多思少算的習慣. 試題符合基礎性、綜合性和創新性的考查要求，具有較好的選拔能力.

拓展練習：（2019年上海卷·15）已知[ω∈R]，函數[fx=x-62sinωx]，存在常數[a∈R]，使得[fx+a]為偶函數，則[ω]的值可能為（ " "）.

（A）[π2] （B）[π3]

（C）[π4] （D）[π5]

答案：C.

（3）突出必備知識，重點考查應用.

運用正弦定理、余弦定理和三角恒等變換等知識求解三角形問題，是學生的必備知識，也是歷年高考試題的重點之一，適合以解答題的形式考查它們的應用性.

例7 （2024年新課標Ⅰ卷·15）記[△ABC]的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知[sinC=2cosB]，[a2+b2-c2=2ab].

（1）求[B]；

（2）若[△ABC]的面積為[3+3]，求[c].

答案：（1）[π3]；（2）[22].

考查目標：試題考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式、三角形面積公式等，考查數形結合思想、邏輯推理能力和運算求解能力.

命題意圖：試題考查內容屬于高中數學教學中的基礎知識，試題由人教A版教材必修第二冊習題6.4的第22題改編而成，敘述簡潔，強化對數學運算和直觀想象等素養的考查. 這是在對一線教師傳遞信號：用好教材，從教材例題、習題出發才是數學教學的正確選擇.

試題亮點：試題簡潔清晰，題干部分以學生熟悉的邊角關系呈現，在熟悉的情境中考查學生分析問題和解決問題的能力. 試題有效考查了學生對基本定理、基本公式的理解和應用，考查學生運用基礎知識解決簡單問題的能力，如果學生能充分利用條件中角B，C的特殊性，那么就能降低運算難度. 將該題放在解答題第一題的位置，可以增強學生的信心，體現了命題者對學生的人文關懷.

拓展練習：（2022年新高考Ⅱ卷·18）記[△ABC]的內角A，B，C的對邊分別為[a]，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為[S1，S2，S3]. 已知[S1-S2+S3=32，sinB=13].

（1）求[△ABC]的面積；

（2）若[sinAsinC=23]，求b.

答案：（1）[28]；（2）[12].

例8 （2024年新課標Ⅱ卷·15）記[△ABC]的內角A，B，C的對邊分別為[a]，b，c，已知[sinA+3cosA=2].

（1）求[A]；

（2）若[a=2]，[2bsinC=csin2B]，求[△ABC]的周長.

答案：（1）[π6]；（2）[2+6+32].

考查目標：試題考查輔助角公式、正弦定理、同角三角函數的基本關系、二倍角公式、誘導公式、兩角和的正弦公式等知識. 在解三角形中，考查學生對邊與角運算的求解能力和邏輯推理能力.

命題意圖：試題難度中等，不僅較為全面地考查了三角函數與解三角形的相關知識點，又較好地體現了高考的選拔功能. 情境設計簡潔，求解方法多樣，使不同思維水平的學生均有得分的機會. 設問方式巧妙，通過給定所求角的對邊長，利用二倍角公式、誘導公式求出三角形三個內角的大小，通過正弦定理求出三角形的周長，解題思路自然，力爭讓學生學有所得.

試題亮點：試題考查輔助角公式. 第（1）小題入口較寬，方法多樣，常規方法有輔助角公式、同角三角函數的基本關系等，也可以利用向量數量積公式（柯西不等式）、萬能公式等. 試題面向全體學生，題干簡潔，重點考查學生對正弦定理和余弦定理的掌握情況，以及轉化與化歸能力. 該題是全卷解答題的第1題，入手容易，有利于穩定學生心態，增強學生信心，使他們有獲得感和成就感.

拓展練習：（人教A版教材必修第二冊教師用書第六章學業水平測試第16題改編）記[△ABC]的內角A，B，C的對邊分別為[a]，b，c，已知[acosB+bcosA=][c2cosC].

（1）求[C]；

（2）若[c=2]，[24sinπ4-A+64cosπ4-A=0]，

求[△ABC]的周長.

答案：（1）[π4]；（2）[3+3+2].

（4）注重多維綜合，重視融會貫通.

必備知識與關鍵能力、學科核心素養、核心價值之間具有嚴密的內在聯系. 2024年高考數學三角函數與解三角形試題非常注重不同知識之間的內在聯系，通過跨主題、跨單元設置綜合性試題，考查學生的綜合運用能力、知識遷移能力和融會貫通能力.

例9 （2024年全國甲卷·理6）設函數[fx=]

[ex+2sinx1+x2]，則曲線[y=fx]在[0，1]處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（ " nbsp;）.

（A）[16] （B）[13]

（C）[12] （D）[23]

答案：A.

考查目標：試題考查導數的運算法則、導數的幾何意義和切線方程，特殊角的三角函數值，考查學生靈活運用導數工具分析和解決有關三角函數問題的能力，綜合考查學生的數學運算求解能力.

命題意圖：試題通過分式函數考查學生導數公式中商的導數運算法則，把正弦函數設置在分子上，旨在考查學生特殊角的三角函數值，通過切線考查直線方程的點斜式、截距與距離的關系.

試題亮點：試題所給函數表達式較復雜，增加了求導難度. 題干簡潔，解題目標清晰，方法直截了當. 試題注重對基本公式、基本概念的考查，凸顯了試題的基礎性.

拓展練習：（人教A版教材選擇性必修第二冊習題5.2第5題改編）曲線[fx=sinxx]在點[Mπ，0]處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為 " " " ".

答案：[π2].

例10 （2024年全國甲卷·理7）函數[y=-x2+]

[ex-e-xsinx]在區間[-2.8，2.8]的圖象大致為（ " "）.

[（A）][O][x][y] [（B）][O][x][y] [（C）][O][x][y] [（D）][O][x][y]

答案：B.

考查目標：試題考查具有奇偶性的函數圖象的特征，考查學生的識圖能力、運算求解能力和邏輯推理能力.

命題意圖：試題要求學生根據所給函數的解析式，確定其對應的圖象，旨在考查學生對以下三個方面知識的掌握情況：能否利用奇函數和偶函數圖象的對稱性進行判斷；能否通過特殊點的位置加以判斷；能否借助導數的單調性判斷函數圖象的走勢.

試題亮點：試題情境新穎，將正弦函數與其他函數組合成新函數，研究其圖象和性質，考查學生運用所學知識解決問題的能力. 學生可以取不同的自變量估算對應的函數值進行定點排除，也可以通過取極限趨近于0時函數值的正、負進行判定. 該題解法靈活多樣，殊途同歸.

拓展練習：（2022年全國甲卷·理5）函數[y=]

[3x-3-xcosx]在區間[-π2， π2]的圖象大致為（ " "）.

[（A）][O][x][y] [1] [（B）][O][x][y] [1]

[（C）][O][x][y] [1] [（D）][O][x][y] [1]

答案：A.

2. 命題導向分析

（1）源于教材改編.

通過上述分析，不難發現在2024年高考數學三角函數與解三角形試題中，除綜合性較強的試題外，其余大部分試題都能在教材上找到題源，這充分體現了高考數學“源于教材，高于教材”的命題原則. 這就要求教師在日常教學中，要認真研究教材上的例題和習題，明確它們的設置目的，研透它們，用好它們，充分發揮教材例題和習題的教學價值. 在高三復習時，數學備課組要有目的地開發和探索教材資源. 在每個章節，有針對性地選取教材原題，從設問方式、題組設計、解法探究和性質開發等方面進行深度研究，挖掘其數學本質；也可以跨章節研究相關問題，開發具有應用性、開放性和探究性的問題用于練習，助力學生數學核心素養的提升.

（2）強化考查圖形語言.

無論是代數還是幾何，作出準確的函數圖象或幾何圖形，都能對問題的解決有幫助. 例如，在2024年高考試題中，新課標Ⅰ卷第7題就是根據人教A版教材上的原圖命制的. 對于新課標Ⅱ卷第8題，如果作出兩個函數的圖象，就可以得到1 - b + a = 0，進而將問題轉化為求坐標原點到直線的距離或求二次函數的最小值，只需要少量的運算即可得到正確答案. 同樣地，對于新課標Ⅱ卷第6題，隱藏考查偶函數的圖象和性質，通過“多想少算”轉化為兩個偶函數后，如果作出兩個偶函數的圖象，發現只有一個公共點，那么必然要使這個公共點在對稱軸上，否則就會有偶數個公共點. 由此可見，作圖在解題中發揮重要作用，需要教師在日常教學中加強作圖訓練，增強學生的直觀想象能力.

（3）注重綜合交會.

近幾年的三角函數與解三角形試題常與函數、導數、數列、向量、解析幾何、立體幾何等相關知識綜合考查，在知識的交會處命題. 試題類型包含選擇題、填空題、解答題等所有題型，考查學生在較為復雜的數學情境中分析問題和解決問題的能力. 例如，在2024年的高考試題中，新課標Ⅱ卷第6題以選擇題的形式綜合考查二次函數和余弦函數的性質，新課標Ⅱ卷第17題以解答題的形式進行綜合考查，通過“以算代證”實現解三角形知識在立體幾何情境中的應用；在2023年的高考試題中，新課標Ⅰ卷第6題以選擇題的形式通過圓的兩條切線夾角綜合考查三角函數的基本關系，全國乙卷（理科）第10題以選擇題的形式對數列與三角函數的概念進行綜合考查，全國甲卷（文科）第20題、全國甲卷（理科）第21題都是以解答題的形式考查三角函數與導數的綜合應用. 這要求教師在教學中要有針對性地選擇、改編一些綜合性試題讓學生練習，從而使學生在遇到情境新穎的綜合性試題時臨危不亂，發揮出應有的水平.

（4）強調實際應用.

數學教育秉承著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能. 數學教育有助于學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能和方法，學生學習數學知識能用來解決或解釋日常生活中的現實問題，凸顯數學的應用價值. 在2024年全國高考數學的每一份試卷中都有一道解三角形試題，如新課標Ⅰ卷第15題、新課標Ⅱ卷第15題、全國甲卷理科第11題（文科第12題）、北京卷第16題、天津卷第16題、上海卷第11題. 這些試題大部分是解答題，均在數學情境中命制，只有全國甲卷和上海卷是以填空題的形式呈現，并且上海卷是在現實情境中命制的．這要求我們在教學中要重視多種情境的創設，提高教學的綜合性與實踐性，逐步培養學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界．

三、復習教學建議

1. 強化理論研究，找準復習大方向

《標準》是高中數學教學及高考命題的主要依據，《體系》是新時代高考內容改革和命題工作的理論支撐和實踐指南. 加強上述理論研究，才能找準高三復習的大方向，明確學生核心素養和關鍵能力培養的路徑. 通過對高考數學評價體系、全國卷評價等內容的研究感受全國卷命題的總體要求，體會試卷導向和功能，引領高三數學整體復習教學.

2. 重視回歸教材，明確復習知識點

（1）二次閱讀.

對于重要的知識內容，要求并指導學生細致閱讀教材，認真思考教材問題、例題，體會其中的數學原理和思想方法. 重演和推導公式的生成過程，掌握公式的本質，幫助學生形成概念、公式、性質和應用的完整閉環.

以“兩角和與差的三角函數”為例，可以設置如下遞進的問題串，達到重溫公式推導過程、揭示思想方法的目的.

問題1：如何推導兩角差的余弦公式？（體會單位圓的主線作用.）

問題2：如何得到兩角和的余弦公式？（復習“角的變換”的整體思想.）

問題3：如何得到兩角和（差）的正弦公式？（復習“函數名稱變化”的轉化思想.）

問題4：如何得到兩角和（差）的正切公式？能從和（差）公式出發推導誘導公式嗎？還能得到哪些等式？（培養學生思考三角問題的思維方式，讓學生認識到三角公式的推導方法是解三角問題的通性通法.）

（2）知識升華.

高三一輪復習中要結合教材進行知識點的再研究、再升華；弄清重點知識的來龍去脈、相互聯系，挖掘知識的內涵和本質；結合知識主線設計問題，使知識問題化、問題系列化，引導學生參與解決，發揮學生的主體性和參與性.

以“三角函數的對稱性”為例整體設計，幫助學生掌握函數對稱性的研究路徑和相關結論.

問題設計：正弦函數[y=sinx]是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心. 除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸的方程是什么？對于余弦函數和正切函數，是否可以討論上述問題？三次函數是否有對稱中心？

整理前期復習中指數和對數復合函數涉及的對稱性的例子（如[y=ln1+x1-x]等），嘗試找到判斷對稱性的一般方法.

（3）例題選用.

在設計教學案時，高三數學備課組應該多選用教材例題、習題及它們的變式，有的講解剖析，有的指導自學，有的變化延伸.

案例：（人教A版教材必修第二冊第50頁例10）如圖2，AB是底部B不可到達的一座建筑物，A為建筑物的最高點. 設計一種測量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.

思考：在實際操作時，使H，G，B三點共線不是一件容易的事情，你有什么替代方案嗎？

（4）訓練落實.

在作業和測試中，注重選用教材習題、復習題、教師用書、學業水平測試樣題及其變式，幫助學生進一步夯實基礎知識，搭建知識網絡，提高關鍵能力.

高考復習中的教材回歸并不是第二遍學習，不能簡單、機械地重復知識，要加強教材知識的內在聯系，重視對知識進行整理和加工，構建分析、解決數學問題的思維模型. 在整理知識的過程中查漏補缺，在加工知識的過程中加深理解，在重組知識的過程中厘清系統結構，在應用知識的過程中掌握數學本質和一般規律.

3. 注重訓練圖形語言，提升閱讀理解能力

閱讀理解能力是指學生能從語言符號中獲取正確意義所需要的多種能力，是解答所有學科試題的基礎能力. 閱讀理解能力中重要的一點就是對圖形語言的理解. 題目中的圖形語言，一是在題目中直接給出，需要學生讀圖、識圖，二是把用語言文字描述的圖形想象出來，并描繪出來. 這就是有圖考圖和無圖考圖. 無論是有圖考圖還是無圖考圖，都需要對圖形進行加工、整理，進一步抽象其中包含的解題關鍵信息，為以后對圖形的加工奠定基礎. 2020年以來，新高考試卷在三角函數與解三角形模塊中大多數采用無圖考圖的方式進行考查，考查學生對三角函數與解三角形的理解分析能力、邏輯推理能力和運算求解能力.

在三角函數與解三角形模塊的復習中，可以從以下幾個方面進行作圖訓練.

（1）明晰三角學發展的歷史邏輯.

在高三一輪復習中，高中數學教師在引導學生分析和研究三角問題時，要注意三角首先是幾何，然后才是函數與代數，幫助學生從三角學發展的不同歷史邏輯中整體理解三角學在高中數學課程中的價值與應用，明確圖象在三角問題處理中的重要性和必要性.

（2）在概念理解中強化數形結合思想.

在三角函數的復習中，要求學生結合實際情境，借助單位圓直觀探索三角函數的性質. 同時，根據正切函數的性質，畫出正切函數的圖象，體會“數”與“形”的結合與統一. 在函數[y=Asinωx+φ]的復習教學中，通過變換三個參數的數值，讓學生通過五點作圖法和圖象變換法兩種方式作圖，感知知識點和方法的互通.

（3）以學生為主體提高作圖能力，形成用圖意識.

通過實證研究發現，很多學生的作圖能力比較差，作出的圖象不夠精確或不滿足題意，從而不能正確判斷，這實際上是因為學生對題意理解不清，將符號語言轉化為圖形語言的能力不足. 另外，部分學生的作圖意識還不夠強，在三角問題的解題過程中傾向于使用代數法，而忽略了幾何法. 在復習教學中，教師不能“代勞”作圖，要以學生為主體展開研究，讓學生自己作圖，引導學生養成隨手作圖、精準作圖的好習慣. 同時，教師要幫助學生提高讀圖和用圖的能力，形成用圖意識，特別是要應用高考試題或變式題挖掘作圖和用圖問題，利用圖形中的邊角關系合理優化解題路徑.

4. 關注過程性評價，聚焦核心素養

《標準》指出：“教學評價是數學教學活動的重要組成部分.”重視過程性評價，不但要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發展與變化. 聚焦核心素養設計合適的評價量表，可以將學生的自我評價與主動學習相結合，提升學生的學習效能感，將素養的達成融合在評價中，提升學生在高三復習中的主觀能動性.

以解三角形的復習為例，可以設置如表1所示的評價量表.

表1 "自我評價量表

[4（超過） 3（滿足） 2（接近） 1（低于） 我完全理解學習目標，并能夠將其應用到新情境中 我完全理解學習目標 我對學習目標有一點理解 我不理解學習目標 素養標準：邏輯推理、數學建模 學習目標 自我評價 我能理解正弦定理、余弦定理的公式 我能掌握正弦定理、余弦定理的一般推導方法 我能準確畫出滿足題意的三角形 我能應用三角相關知識解決解三角形問題 我能在關聯情境中，轉化相關數學問題為解三角形問題，并理解歸納 我能在綜合情境中，用數學的眼光提出有意義的數學問題 ]

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. "北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-32.

［5］任子朝，趙軒，郭學恒. 基于高考評價體系的關鍵能力考查［J］. 數學通報，2020，59（8）：15-20，24.

作者簡介：常磊（1969— ），男，中小學高級教師，主要從事中學數學教學和數學教育評價研究；

董凱（1982— ），男，中小學高級教師，主要從事高中數學教學研究；

王麗娟（1975— ），女，中小學高級教師，主要從事高中數學教學與評價研究.