對一道模考題的解法探究與本質思考

《普通高中數學課程標準》指出：高考命題應圍繞數學內容主線，注重對學生數學學科核心素養的考查，注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧．函數是代數主線的核心內容，是各級各類數學考試命題的重點．2024年1月蘇州市2023-2024學年第一學期學業質量陽光指標調研卷第8題是函數零點問題，立足學生思維品質，考查與三角內容結合，考查學生對函數與方程的本質認識，是一道質量非常好的試題．本文筆者就此題分享個人的思考，以饗讀者．

1.試題呈現

A．2"" B．3"" C．4"" D．5

本題題干簡潔清爽，但內涵豐富，綜合了三角變換與函數零點等相關知識，重點考查了邏輯推理與數學運算素養，體現了綜合性與創新性的考查要求，很好體現了試題的選拔功能．

2.解法賞析

視角1：構建方程

評注：解法一的關鍵在于找到正確的三角關系cos18°=sin72°，如果利用其他三角關系解決不了問題．當得到sin18°為函數g（x）=8x3－4x+1的一個零點，就下定論a=8，b=4是不嚴謹的，因為此時無法保證此多項式是唯一的，因此要利用a，b∈N*再進行嚴謹的推理說明．

視角2：a，b的正整數性

從以上解法可以看出，本題的考查意圖是函數與方程思想．此類問題通常是從函數的角度去思考零點的問題，然而本題反其道而行之，需要學生從零點去構造出函數，其中也需要學生靈活掌握特殊角的誘導公式及三角恒等變換，鍛煉學生多模塊整合知識、靈活應用知識的能力，實現對數學內容的再認識以及思維品質的提升．

通過解法一可以發現此類題的命題步驟：

第一步，確定某個特殊角滿足的三角恒等式；

第二步，展開恒等式得到方程；

第三步，調整方程中的某些系數為參數，并限定為正整數．

結合以上認識，筆者也給出以下相似的命題供讀者借鑒.

解析：由sin30°=sin3×10°=3sin10°－4sin310°得8sin310°－6sin10°+1=0，

所以sin10°是函數g（x）=8x3－6x+1的一個零點，同解法一的分析可得，f（x）≡g（x），

所以f1=3．

4.結語

解題不是學習數學的目的，解法的多樣性也不是解題的根本，解決問題的核心在于發現問題的本質．這種發現要求不能僅看到問題的表象，需要對數學問題進行深層次的思考，探究問題背后的邏輯和原理．正如在本題中，通過對函數零點的研究，學生能夠洞察到函數與方程深層次的聯系，這不僅加深了對數學概念的理解，也提升了他們的數學思維，促進了數學素養的全面提升．