一道2024年數學奧林匹克不等式的證明與變式

該題是2024年西班牙數學奧林匹克試題的第2題，是一道n元不等式證明題，該題簡潔且內涵豐富，很有新意，值得探究.本文呈現其證法，并作變式探究，供讀者參考.

證法1：對于k=1，2，…，n，有xkgt;1，且

所以（112（x1－1）+1）（122（x2－1）+1）…（1n2（xn－1）+1）≥（1+1）212x1×（1+2）222x1×…×（n）2（n－1）2xk×（1+n）2n2xk=（n+1）2x1x2…xn=n+1， 當且僅當xk=k+1k（k=1，2，…，n）時，等號成立.

評注：試題的證明分別應用作差法、均值不等式、柯西不等式、權方和不等式等不等式的核心知識，證法各具特點，各自精彩，體現了高中數學知識的相互融合交匯.所以在解題過程中，要學會分析題意，轉化問題，注意探索一題多解，將零散的數學知識串聯起來，融會貫通.