例談概率加法與乘法公式證明一類不等式

本文通過具體案例，展示借助概率的基本性質，尤其概率的加法公式與乘法公式，證明一類不等式．

1.性質及公式

文［1］第十章“概率”第一節“隨機事件與概率”第4小節“概率的基本性質”中提煉出概率的基本性質：

性質1 對任意事件，都有PA≥0．

性質2 必然事件Ω的概率為1，不可能事件Φ的概率為0，即P（Ω）=1，P（Φ）=0．

性質3 如果事件與事件互斥，那么P（A∪B）=PA+PB．

2.案例分析

例1 若x，y∈0，1，證明：0≤x+y－xy≤1．

xy≤1．

例2 若x，y，z∈0，1，證明：x≥xy+xz－yz．

例3 若x，y，z∈0，1，證明：x（1－y）+y（1－z）+z（1－x）≤1．

例4 若x，y，z，w∈0，1，證明：

（1－x）（1－y）（1－z）（1－w）≥1－x－y－z－w．

3.教學反思

概率的加法公式與乘法公式屬于概率論中的基本的、重要的公式，似乎與不等式及不等式證明沒有關聯．通過概率基本性質可知任何事件A的概率均滿足0≤PA≤1，因此對于已知條件為“x，y，z，w∈（0，1）” 或者“x，y，z∈0，1”的一類不等式證明，可以嘗試構造獨立事件，利用概率基本性質，尤其借助概率的加法公式、概率的乘法公式往往可以獲得簡捷的證明．

數學教育的目的在于優化思維，發展智力，立德樹人，正如文［2］指出：“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用．”在教學中，尤其在解題教學中，教師有意識地跨章節、跨知識模塊創造性解決問題，有利于激發學生創新意識，提升創新能力，培養創新人才．

參考文獻

［1］人民教育出版社，普通高中教科書．數學．必修第二冊（人教A版）［M］．北京：人民教育出版社，2019年7月第1版．

［2］中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準［M］．北京：人民教育出版社，2018年1月第1版．