一道泰國奧林匹克競賽試題的證明及變式推廣

1.試題呈現

這是2023年泰國奧林匹克競賽試題的一道證明題，試題簡潔、優美，其中不等式的左側是以分式和的形式呈現，且前三項與后三項分別對稱.本文擬對該不等式進行解法探究，并對試題進行變式與推廣，供讀者參考.

2.證法探究

評注：此證法運用權方和不等式進行放縮，再對其變換后的不等式進行代數變形，最后運用柯西不等式與基本不等式的推廣使不等式得證.

評注：此證法通過代數變換，對其不等式進行拆分組合，借助基本不等式的推廣使不等式獲證.

評注：此證法對不等式中的后三項運用柯西不等式，以分母中的未知數為整體進行放縮，通過換元、運用基本不等式的推廣使不等式得證.

3.試題變式

4.推廣探究

評注：上述推廣是在試題的基礎上，改變常數項及分式項系數，且未知數的個數由三元推廣到n元而得到的，其中推廣1是推廣2中λ=1的特例.