一道模擬試題解法探究與背景溯源

高考數學中函數與導數試題往往具有高等數學背景，設問精巧，將一元與多元、動態與靜態、參數與變量、高等數學與初等數學知識相結合等特點，有助于提升學生的辯證思維能力.本文給出了一道模擬試題解法背后隱藏的高等數學背景.

1.試題呈現

本題主要考查利用導數研究函數的單調性及滿足條件不等式的證明. 考查了邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養. 考查了函數與方程、數形結合、轉化與化歸的數學思想，體現了高考模擬題的基礎性、綜合性和創新性的考查要求.

2.解題思路

點評：上述思想方法主要是以參數a為主變量，對參數a適當放縮，從而得到不含參數的不等式，再通過構造函數證明函數的最小值大于0，從而得證.

點評：上述思想方法主要是參變量分離后構造函數，利用函數的單調性，得到含參數不等式，再將含參數不等式構造成新函數加以證明.

3.高等數學背景下的解題思路

4.高考題重現

高考題中常常出現在以ex泰勒展開式為背景的試題改編，如果我們看清楚數學問題的背景，對進一步認識問題本質、討論解法探究提供了一定的方向.

例1 （2022年全國Ⅱ卷22題）已知函數f（x）=xeax－ex.

（1）當a=1時，討論f（x）單調性；（2）當xgt;0，f（x）lt;－1，求a的取值范圍.

上述這類題目，往往涉及到一些常用不等式，

減少計算量或簡化計算，但這些不等式的本質就是泰勒展開式的一部分. 如果我們能把握問題本質，就能很好的看清楚問題的結構，從而能準確快速的解決問題.