高觀點視角下對一道高三質檢試題的溯源探究

1.試題呈現

本試題是福建省部分地市2024屆高中畢業班4月診斷性質量檢測卷第19題，是一道結構緊湊，背景豐富，綜合性強的新定義試題．考查不等關系式、函數與方程、利用導數研究函數性質、數列求和等相關知識，考查考生化歸與轉化思想、推理論證能力和運算求解能力，突出試題的區分與選拔功能．

2.解法探究

（1）由題可知，當b=1時，xgt;1，1+x1≥1+x成立；當b=2時，xgt;1，1+x2≥1+2x成立，所以M→N具有Bernoulli型關系．

（2）因為t≥0，x∈S，b∈T，且S→T具有Bernoulli型關系，所以1+xb≥1+bx成立．

構造函數f（x）=1+xb－bx－1，xgt;－1，bgt;0，則f'（x）=b1+xb－1－1，下面對b分類討論．①當b=1時，有f（x）=1+xb－bx－1=0，故1+xb≥1+bx成立；②當bgt;1時，有b－1gt;0，若－1lt;xlt;0，則1+xb－1lt;1+x0=1，從而f'（x）lt;0，故f（x）在－1，0上單調遞減；若xgt;0，則1+xb－1gt;1+x0=1，從而f'（x）gt;0，故f（x）在0，+∞上單調遞增，所以f（x）min=f0=0，于是f（x）≥f0=0，即1+xb－bx－1≥0，所以1+xb≥1+bx成立；③當0lt;blt;1時，有b－1lt;0，若－1lt;xlt;0，則1+xb－1gt;1+x0=1，從而f'（x）gt;0，故f（x）在－1，0上單調遞增；若xgt;0，則1+xb－1lt;1+x0=1，從而f'（x）lt;0，故f（x）在0，+∞上單調遞減，所以f（x）max=f0=0，于是f（x）≤f0=0，即1+xb－bx－1≤0，所以1+xb≥1+bx不恒成立.

綜上所述，若S→T具有Bernoulli型關系，則有b≥1，又b∈T，t≥0，故t≥1，因此t∈1，+∞．

3.背景溯源

溯源1 2005版人教社A版《普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-5不等式選講》第51頁例3和第52頁推論．

結論1 Bernoulli不等式：如果x是實數，且xgt;－1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有1+xngt;1+nx．

推論1 當α是實數，并且滿足αgt;1或者αlt;0時，有1+xα≥1+αxxgt;－1.

推論2 當α是實數，并且滿足0lt;αlt;1時，有1+xα≤1+αxxgt;－1．

推論3 1+x11+x2…1+xn≥1+x1+x2+…+xn，其中xi≥－1且xi同號，i=1，2，3，…，n．

推論3是Bernoulli不等式的推廣，題目1第（2）小問實際是證明Bernoulli不等式的指數由正整數范圍擴充到非負實數范圍的情形，即推論1和推論2，這是第（2）小問根據Bernoulli不等式結論構造冪函數型函數f（x）進行證明的緣由．

收斂的p級數常用于求級數的上界，也就是精度的計算，而對于更高精度的計算，就需要用到放縮裂項求和法進行求解，以下結論是p級數運算中常用放縮裂項方法：

我們可以發現，題目1第（3）小問就是根據結論4進行放縮配湊求和．通常，放縮法是不惟一的，具有較大的靈活性，是技巧性較強的一種證明方法，要使學生學會放縮法證明不等式，惟一的途徑是讓學生多接觸這類問題，熟記常用放縮方法．

4.高考應用

在歷年高考試卷中也多次出現Bernoulli不等式的身影，如2006年高考江西卷理科第22題，2008年高考福建卷理科第22題，2013年高考湖北卷理科第22題等，都是以數列為載體，考查不等式放縮求和問題，我們可以利用Bernoulli不等式的相關結論，從高觀點角度入手，快速解決問題．

評析：本試題第（2）小問利用Bernoulli不等式推論3，放縮為等比數列求和形式進行證明，考查化歸與轉化思想，技巧性強，計算量小，要求考生有扎實的數學功底，能有效提高數學學習的興趣，激發數學學習潛能，體現課標的理念與要求，對日常教學有引導作用．

評析：本試題第（ii）小問從Bernoulli不等式角度，放縮為數列裂項求和形式進行證明，計算過程的難度降低，但技巧性增強，對考生的數學綜合能力要求較高，符合課程標準的考查內容和要求，體現試題的區分和選拔功能，促進考生數學學科素養的提升．

5.結語

隨著高考的深入改革，新的命題風格、試卷布局、難度結構已在2024年新高考中體現，運用高等數學知識、方法、思想等“高觀點”，去分析、研究高考數學問題的解題策略和方法，逐漸成為高考數學研究的趨勢和風向標．“高觀點”是課程改革中的一種創新，對解決初等數學問題有“撥云見日”、“畫龍點睛”的獨特作用．高中數學課程具有基礎性、選擇性和發展性，為不同學生可持續發展和終身學習創造條件，培養學生具備進入高等學校進行專業學習和終身發展所需要的必備知識、關鍵能力和學科素養．在日常的教學實踐中，教師應高度關注，認真研究，結合高中數學知識，提煉總結相應的教學方法和考試策略，根據學生具體學情，搜集相關高觀點文獻資料，精選教學案例，改進教學方式，吸引學生的學習興趣，拓寬學生思維視野，設計“精致練習”，讓學生盡快熟悉、習慣、掌握高考數學試卷的整體結構和試題特點，激發數學學習潛能，促進學生數學學科素養的提升．

參考文獻

［1］陳紀修，於崇華.數學分析（下冊）［M］.北京：高等教育出版社.2004.