一道解三角形高考題的拓展探究

解三角形是歷年高考的重點內容之一，重點考查學生對正（余）弦定理、三角恒等變換、不等式等知識，以及數形結合、消元、換元等數學思想方法的靈活運用，同時注重學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養的考查．

1.試題呈現

2.解法分析

3.拓展探究

評析：變式1的處理方式還是將邊變量轉化為角變量，從而得到C和B的關系tanC=3tanB，再由兩角差的正切公式以及基本不等式求出tan（C-B）的最大值，從而得出C-B的最大值及此時的各內角度數，發現此時△ABC為直角三角形．

在原題的基礎上，若設置部分長度條件，則可以求三角形的面積、周長等最值，使題目的考查內容更為豐富，如變式2．

評析：已知三角形邊長或其外接圓半徑時，利用正弦定理，將邊變量轉化為角變量是解決三角形面積最值問題的常見處理方式．

評析：已知三角形邊長之間的等量關系時，利用正弦定理，將邊變量轉化為角變量求三角函數最值或者轉化為基本不等式是解決三角形角變量最值問題的常見處理方式．

4.結語

高考題具有引導教學的重要作用，教師在教學中應充分發揮高考題的引導作用，不能止于“就題講題”．解三角形問題的關鍵往往在于邊變量與角變量的相互轉化，轉化的工具主要有正弦定理和余弦定理，特別是涉及不等式或最值問題時，一般要將求解對象完全表示為邊變量或角變量的函數．其中，對于三角形形狀沒有限制的最值問題，可以嘗試從邊入手，再利用基本不等式求最值，這樣計算量相對較小；對于三角形形狀有限制的最值問題，則需要從角入手，根據題意求出角的取值范圍，再利用三角函數或基本不等式求最值.