一個涉及三角形內外心幾何模型的性質及其應用

1.性質及證明

性質 已知△ABC的外心為O，內心為I，且OI//BC，則cosB+cosC=1.

下面給出這個性質的三種證明.

證法1：如圖1所示，連接OB，OC，IB，IC，過點O，I作BC得垂線，垂足分別為M，D.設△ABC的內切圓半徑為r.

由BD

2.應用舉例

例1 （2015年第6屆陳省身杯全國數學奧林匹克第5題）如圖4，已知銳角ABC的外接圓為⊙O，其垂心、內心分別為H、I，AH的中點為M，且滿足AO//MI.設AH的延長線與⊙O交于點D，直線AO、OD與BC分別交于點P、Q.證明：（1）△OPQ為等腰三角形；（2）若IQ⊥BC，則cosB+cosC=1.

證明：（1）延長AP交⊙O于點E，連接DE.由于O、H分別為△ABC的外心、垂心，則易知AD⊥BC，AD⊥DE.

所以DE//BC，于是有∠OED=∠OPQ，∠ODE=∠OQP，又OD=OE，可知∠OED=∠ODE，因此∠OPQ=∠OQP，所以OP=OQ，△OPQ等腰三角形.

（2）延長BO交⊙O于點F，連結CH、FA、FC、CD、QH，則可知FA⊥AB，FC⊥BC，CH⊥AB，于是FA//CH，AH//FC，所以四邊形AHCF為平行四邊形，從而有∠FAD=∠CHD，AH=FC.

例2 （2021年哈佛-麻省數學競賽春季賽團體賽第9題）

如圖5，在非等腰銳角△ABC中，O，I分別是外心和內心，⊙I與BC，CA，AB分別切于點D，E，F.過D作EF的垂線，分別與EF和⊙I交于點P，Q.過A作BC的垂線，與直線OI交于點T.已知OI//BC，求證：PQ=PT.

證明：先證明Q在AT上，即AQ⊥BC，這只需

例3 在△ABC中，AB≠AC，BE⊥AC于E，CF⊥BC于F，H、I分別是△ABC的垂心、內心，ID⊥BC于D，BF+CE=BC，證明：ID=HD.

證明：如圖6，設△ABC的外心為O，BC的中點為M，AI交△ABC的外接圓于N，AH的中點為G.首先，BF+CE=BC，得cosB+cosC=1，所以OI//BC.

由AH⊥BC，ON⊥BC，ID⊥BC，得AH//ON，AH//ID，所以∠ONI=∠IAH.

記△ABC外接圓半徑為R，由垂心

結合GH=GI知四邊形GIDH為菱形，故ID=HD.

注：上述證明過程，亦可得到OI//BC∠AIH=90°.

例4 在△ABC中，AB≠AC，O、I分別為其外心、內心，ID⊥BC于D，直線OD上的E滿足AE⊥BC，CI的中點為M，若OI⊥ID，證明：M、I、O、E四點共圓.

證明：如圖7，設BC的中點為R，AI交△ABC的外接圓Ω于P，延長PO交Ω于點Q，設△ABC的垂心為H，AH的中點為G，H關于BC的對稱點為E′，熟知E′在Ω上.

由條件知OI//BC，同例3的證明可知∠AIH=∠NOI=90°，GH=GI.

由垂心性質知AH=2OR，所以AG=GH=OR=ID，所以四邊形AORG、GIDH為平行四邊形.由O，H分別為△ABC的外心和垂心，知AH，AO為等角線，結合I為內心，知∠HAI=∠OAI.所以∠HGI=2∠HAI=∠HAO，所以GI//AO，故G，I，R三點共線，故∠E′DC=∠HDC=∠IRD=∠IOD，因此O，D，E′三點共線.

所以四邊形AE′PQ為等腰梯形，OI為PQ的垂直平分線，故E′，I，Q三點共線，因此∠IE′P=∠IAQ=90°，故點E′在以IP為直徑的圓Γ上，熟知M，I，O都在此圓上，命題得證.

cos2θ=1－e.

綜上，原命題成立.

研究平面幾何，需要積累一些常見模型，研究幾何結構就是盡量多的發掘一些幾何圖形的特性，并把類似的圖形放在一起研究.研究幾何結構不是說掌握了一個通法，而是為了“見多識廣”，看到一道題能夠很快破解它的奧妙和關鍵所在.