一道橢圓試題的解法與結(jié)論推廣

2023屆湖北省七市（州）高三3月聯(lián)合考試統(tǒng)一調(diào)研測試第21題蘊含著豐富的數(shù)學思想方法內(nèi)涵，彰顯數(shù)學學科素養(yǎng)，從深層次反映解析幾何數(shù)學本質(zhì)一道優(yōu)秀試題，考查了數(shù)學運算核心素養(yǎng)及解析幾何的圖形問題代數(shù)化的本質(zhì).本文就該試題的解法、變式及推廣進行深度探析.

1.試題呈現(xiàn)

2.解法探究

（2）利用弦長、三角形面積公式化為坐標關(guān)系探索得使λS2=S1+S3的實數(shù)λ的值.

分析2：設(shè)出直線方程，代入橢圓方程后變?yōu)椤褒R次”方程，進行證明或探索.

評注：解法1通過聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元、整理后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系代入，然后證明或探索，是一種基本的解法，可以說“聯(lián)立→消元→韋達”是解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的常規(guī)思路.解法1雖然入手較易，無奈計算量太大，對計算能力要求較高.解法2利用齊次化消元法將直線方程代入到橢圓方程后變形為齊次方程“9y2+6my（x-3）-（x-3）2=0”進行解答，有效地簡化了計算，但“高超”的齊次化技巧，思維能力要求較高.比較兩種方法，筆者認為應(yīng)試中還是選用解法1的常規(guī)方法為好，雖然計算量大，但易于入手，思路可尋.而在這里，解法2可作為開闊思維之用.

3.結(jié)論推廣

結(jié)論3與結(jié)論4可按試題第（2）小題的探索過程進行證明.