對滿足“abc=1”的不等式證明方法的研究

筆者梳理近些年初、高中各級各類數學競賽不等式問題，發現有一類滿足條件“abc=1”的不等式證明問題，難度不一.基于SOLO分類理論，筆者從通性通發的角度出發，選取12道典型問題，對該類不等式證明方法予以歸類，現與讀者分享、交流，以期拋磚引玉.

2.利用“1”將待證式化為齊次式完成證明

≥3（a+b+c），注意到不等號兩側次數不同（左側為四次式，右側為一次式，恰好相差三次），利用“abc=1”的帶入，將問題轉化為證明齊次不等式（ab+bc+ca）2≥3abc（a+b+c），最后借助均值不等式即可完成證明.例4中不等號左邊為非齊次式分式（部分為五次，部分為二次，恰好相差三次），故考慮利用“abc=1”的帶入，將問題不等號左側轉化為齊次分式的和，接下來不難完成證明.

3.根據“abc=1”進行換元改變不等式完成證明

3.3 換元為a=x3，b=y3，c=z3

評注：注意到“abc”為三次式，故考慮換元a=x3，b=y3，c=z3，一方面可以保證次數的不“損失”，另一方面保持三元之積為1（xyz=1），基于此，即可順利完成例9、10的證明.事實上，例10可以拓展為如下變式：