大概念理念下的數(shù)列解題教學(xué)困境及優(yōu)化策略

摘要：大概念理念可以為數(shù)列解題教學(xué)提供重要指導(dǎo).本文以一道數(shù)列解答題為例，闡述了大概念理念下的數(shù)列解題教學(xué)困境及優(yōu)化策略，以期為教學(xué)提供一些有益的指導(dǎo).

關(guān)鍵詞：大概念；教學(xué)困境；優(yōu)化策略

大概念理念旨在通過(guò)整合和系統(tǒng)化數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的核心思想和基本原則.這種理念強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和整體性，鼓勵(lì)學(xué)生突破單一題型或知識(shí)點(diǎn)的局限，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的綜合能力.通過(guò)對(duì)大概念的理解，學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度和廣度，并在實(shí)際應(yīng)用中靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).本文以一道數(shù)列解答題為例對(duì)此作些探討.

1例題再現(xiàn)

例題如果數(shù)列｛an｝滿足：a1＋a2＋…＋an=0且｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜=3（n≥2，n∈N*），則稱數(shù)列為“n階萬(wàn)物數(shù)列”.

（1）若某“4階萬(wàn)物數(shù)列”｛an｝是等比數(shù)列，求該數(shù)列的各項(xiàng).

（2）若某“9階萬(wàn)物數(shù)列”｛an｝是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）若｛an｝為“n階萬(wàn)物數(shù)列”，求證：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan≥3-3n2.

本題考查數(shù)列新定義問(wèn)題、數(shù)列與不等式，需要學(xué)生運(yùn)用大概念理念去解決問(wèn)題.

思路分析：（1）根據(jù)題意得，a1=±34，即可求出結(jié)果；（2）分別討論d=0，dgt;0和dlt;0；（3）根據(jù)題意得aigt;0，也必有ajlt;0，即ai1＋ai2＋…＋aip=32，aj1＋aj2＋…＋ajm=-32.

解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，顯然q≠1.由a1＋a2＋a3＋a4=0，可得a1（1-q4）1-q=0，解得q=-1.由｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜=3，可得4·｜a1｜=3，所以a1=±34，所以“4階萬(wàn)物數(shù)列”各項(xiàng)為34，-34，34，-34或-34，34，-34，34.

（2）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，由a1＋a2＋…＋a9=0，可得9a1＋9×82d=0，即a1＋4d=0，即a5=0.當(dāng)d=0時(shí)，a1=a2=…=a9=0，此時(shí)｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜=0，不是“9階萬(wàn)物數(shù)列”.當(dāng)dgt;0時(shí)，由a1＋a2＋a3＋a4=-32和a5=0，可得4a1＋6d=-32，

a1＋4d=0，解得a1=-35，d=320，所以an=-35＋（n-1）×320=3n-1520（n∈N*，n≤9）.當(dāng)dlt;0時(shí)，由a1＋a2＋a3＋a4=32和a5=0，可得4a1＋6d=32，

a1＋4d=0，解得a1=35，d=-320，所以an=35＋（n-1）×-320=-3n＋1520（n∈N*，n≤9）.綜上所述，an=3n-1520或an=-3n＋1520（n∈N*，n≤9）.

（3）由題可知，必有aigt;0，也必有ajlt;0，其中i，j∈｛1，2，…，n｝，且i≠j.設(shè)ai1，ai2，…，aip是數(shù)列｛an｝中所有大于0的項(xiàng)，aj1，aj2，…，ajm是數(shù)列｛an｝中所有小于0的項(xiàng)，由題可知ai1＋ai2＋…＋aip=32，aj1＋aj2＋…＋ajm=-32，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan=pk=1ik·aik＋mk=1jk·ajk≥pk=1aik＋nmk=1ajk=3-3n2.

2教學(xué)困境分析

大概念理念下進(jìn)行數(shù)列解答題的教學(xué)時(shí)，教師常常面臨如下教學(xué)困境.

2.1學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的理解不深，難以靈活應(yīng)用

大概念理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解和應(yīng)用能力.在實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生對(duì)于數(shù)列的基本概念和原理理解不夠深入，導(dǎo)致他們?cè)诮獯鹁唧w問(wèn)題時(shí)無(wú)法靈活運(yùn)用這些概念.這種困境在數(shù)列解答題中尤為明顯.例如，當(dāng)遇到求數(shù)列某項(xiàng)值或數(shù)列之和的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常無(wú)法準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)列的定義和性質(zhì).再例如，試題給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求學(xué)生求出通項(xiàng)公式.學(xué)生需要理解數(shù)列的增長(zhǎng)模式，并利用已有信息進(jìn)行推理.如果學(xué)生對(duì)數(shù)列的概念不夠熟悉，他們可能會(huì)在推理過(guò)程中出錯(cuò)，或者在解題時(shí)感到困惑.

2.2數(shù)列問(wèn)題多樣化，學(xué)生難以掌握解決策略

數(shù)列解答題涉及的題型多樣，包括求通項(xiàng)公式、求數(shù)列和、數(shù)列遞推關(guān)系等.大概念理念要求學(xué)生能夠掌握多種解題策略，但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往只能機(jī)械地套用公式，缺乏對(duì)問(wèn)題的全面理解和靈活應(yīng)對(duì)能力.［1］結(jié)合案例來(lái)看，一道試題給出了一個(gè)遞推關(guān)系，要求學(xué)生求出數(shù)列的前幾項(xiàng)和.學(xué)生需要理解遞推關(guān)系，并將其應(yīng)用到求和過(guò)程中.然而，很多學(xué)生可能只會(huì)機(jī)械地計(jì)算前幾項(xiàng)，無(wú)法總結(jié)出遞推關(guān)系和求和之間的聯(lián)系，從而在解題時(shí)遇到困難.

2.3教學(xué)難以全面覆蓋大概念理念下的數(shù)列問(wèn)題

大概念理念要求教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)豐富的情境和多樣化的問(wèn)題，從而幫助學(xué)生全面理解和應(yīng)用數(shù)列知識(shí).然而，受限于教學(xué)資源和時(shí)間，教師在實(shí)際教學(xué)中很難全面覆蓋各種數(shù)列問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生在應(yīng)對(duì)新題型時(shí)缺乏足夠的訓(xùn)練和經(jīng)驗(yàn).例如，學(xué)生常遇到給出了數(shù)列的前兩項(xiàng)和遞推關(guān)系，要求學(xué)生求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的試題.此類(lèi)題目需要學(xué)生具備較強(qiáng)的歸納總結(jié)能力和推理能力.然而，由于課堂時(shí)間有限，教師可能無(wú)法提供足夠的類(lèi)似練習(xí)，學(xué)生在遇到這種新題型時(shí)容易出現(xiàn)思維斷層，無(wú)法順利解答.

3優(yōu)化策略

3.1基于大概念理念單元目標(biāo)體系進(jìn)行教學(xué)

確立大概念理念視角下的單元目標(biāo)體系有助于學(xué)生建立對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的深刻理解和系統(tǒng)化認(rèn)知，也能促進(jìn)學(xué)生利用大概念解決問(wèn)題能力的養(yǎng)成.在數(shù)列解答題教學(xué)中，教師通過(guò)大概念理念的引導(dǎo)，不僅能夠幫助學(xué)生掌握具體的解題技巧，還能培養(yǎng)其解決問(wèn)題的整體思維和應(yīng)用能力.大概念理念下的單元目標(biāo)體系能夠提供一個(gè)清晰的學(xué)習(xí)框架，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中始終把握關(guān)鍵概念的本質(zhì)，進(jìn)而提高他們?cè)诓煌榫诚蚂`活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，有效解決多樣化的數(shù)列問(wèn)題.具體教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程如下.

3.1.1分析教學(xué)要素，建立合理的教學(xué)框架

在確定單元目標(biāo)之前，教師需要全面分析教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況和教學(xué)環(huán)境，建立合理的教學(xué)框架.教師應(yīng)做到以下兩點(diǎn)：①深入分析教學(xué)要素.仔細(xì)分析數(shù)列單元的教學(xué)要素，包括核心概念、關(guān)鍵技能和典型問(wèn)題類(lèi)型，如理解數(shù)列的定義、掌握遞推關(guān)系和求和公式、應(yīng)用數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題等.②建立合理的教學(xué)框架.基于所分析的教學(xué)要素，教師應(yīng)建立有條理的教學(xué)框架，包括確定教學(xué)的邏輯順序和重點(diǎn)，確保教學(xué)過(guò)程的連貫性和有效性.

3.1.2深化教學(xué)主題，設(shè)定整體目標(biāo)

教師應(yīng)明確教學(xué)單元的核心概念和主題，結(jié)合大概念理念制定整體教學(xué)目標(biāo)，確保教學(xué)內(nèi)容的深度和連貫性.教師應(yīng)做到以下兩點(diǎn)：①明確教學(xué)主題的深化.通過(guò)深化教學(xué)主題，提高學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解和應(yīng)用能力.②確定整體教學(xué)目標(biāo).明確整體的教學(xué)目標(biāo)，包括知識(shí)性、能力性和情感態(tài)度目標(biāo).這有助于引導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)和評(píng)價(jià)方式，確保學(xué)生在多個(gè)方面得到全面發(fā)展.

3.1.3分解教學(xué)內(nèi)容，合理安排課時(shí)任務(wù)

教師應(yīng)將整體目標(biāo)分解為具體的教學(xué)內(nèi)容，并合理安排各課時(shí)的教學(xué)任務(wù)，以確保每節(jié)課都有明確的目標(biāo)和任務(wù).教師應(yīng)做到以下兩點(diǎn)：①詳細(xì)分解教學(xué)內(nèi)容.將整體的教學(xué)內(nèi)容分解為具體的知識(shí)點(diǎn)和技能要求，結(jié)合教材和學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行細(xì)致梳理.②合理安排課時(shí).根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的難易程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，合理安排每節(jié)課的重點(diǎn)和細(xì)節(jié)講解，確保學(xué)生能夠逐步掌握數(shù)列的核心概念和解題技巧.

3.1.4基于大概念理念完善單元目標(biāo)

在設(shè)定和完善單元目標(biāo)時(shí)，教師應(yīng)融入大概念的視角，包括關(guān)注數(shù)列在數(shù)學(xué)體系中的重要性和應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生建立更深層次的數(shù)學(xué)理解和連接.

3.1.5有序呈現(xiàn)單元教學(xué)過(guò)程

按照設(shè)定的教學(xué)框架和課時(shí)安排，教師應(yīng)有序地開(kāi)展單元教學(xué)活動(dòng)，包括教師的講解、學(xué)生的練習(xí)與討論、實(shí)例分析和評(píng)價(jià)反饋等環(huán)節(jié)，確保每個(gè)學(xué)習(xí)階段都能夠有效推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展.

3.2注重大概念教學(xué)下問(wèn)題多樣化設(shè)計(jì)，豐富學(xué)生認(rèn)知

問(wèn)題設(shè)計(jì)要覆蓋不同認(rèn)知層次和思維方式，即設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)考慮不同的認(rèn)知層次和思維方式，包括直觀理解、抽象推理和實(shí)際應(yīng)用.例如，結(jié)合數(shù)列的圖形化表示、數(shù)學(xué)歸納法以及遞推關(guān)系的推導(dǎo)，確保問(wèn)題設(shè)計(jì)能夠涵蓋多種解題路徑和思維方式.此外，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)還要逐步增加問(wèn)題的復(fù)雜度和深度，從簡(jiǎn)單的數(shù)列性質(zhì)分析到需要推導(dǎo)復(fù)雜遞推關(guān)系或高階求和公式的問(wèn)題.這種漸進(jìn)式設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生逐步提升數(shù)學(xué)思維水平和解題能力.

3.3滲透大概念講題方法，把握解題的深層次邏輯

在大概念理念的指導(dǎo)下，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)列問(wèn)題的整體框架.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)先明確數(shù)列的基本定義、通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).通過(guò)一系列的基礎(chǔ)訓(xùn)練，使學(xué)生可以牢固掌握數(shù)列的基本概念，為后續(xù)復(fù)雜問(wèn)題的解答打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)；通過(guò)實(shí)例和圖表，幫助學(xué)生將數(shù)列問(wèn)題的整體框架化，如將數(shù)列問(wèn)題分為求通項(xiàng)公式、求和公式、遞推關(guān)系等幾個(gè)主要模塊；強(qiáng)調(diào)不同模塊之間的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)列問(wèn)題的整體把握能力，避免學(xué)生在解題過(guò)程中過(guò)分注重局部細(xì)節(jié)而忽視整體把握.

此外，教師還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，幫助他們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)能夠深入理解問(wèn)題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題.在講解數(shù)列解答題時(shí)，強(qiáng)調(diào)對(duì)題目條件的深入分析，找出問(wèn)題的本質(zhì).例如，在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題時(shí)，不僅僅關(guān)注公式的應(yīng)用，還要引導(dǎo)學(xué)生理解求和公式的推導(dǎo)過(guò)程和背后的數(shù)學(xué)原理.

參考文獻(xiàn)

［1］周晶晶.大概念理念下圓錐曲線解答題教學(xué)困境及優(yōu)化策略的探究［D］.福州：福建師范大學(xué)，2023.