中考數(shù)學(xué)常考的規(guī)律探究問(wèn)題及其解題策略

【摘要】中考數(shù)學(xué)的規(guī)律探究問(wèn)題主要考查特殊與一般思想，根據(jù)特殊情形的結(jié)果，尋找規(guī)律，歸納得到一般的結(jié)論.中考數(shù)學(xué)試題中的規(guī)律探究問(wèn)題主要有兩類模型，模型一是數(shù)與式、圖形的規(guī)律問(wèn)題；模型二是平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問(wèn)題，包括旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等.文章結(jié)合近年的中考真題來(lái)談?wù)劤Ｒ?jiàn)的規(guī)律探究問(wèn)題的解題策略，旨在為讀者提供規(guī)律探究題的解題方法與教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】中考題；規(guī)律探究題；數(shù)與式；圖形；坐標(biāo)系；解題策略

規(guī)律探究問(wèn)題是中考常見(jiàn)的題型，其研究對(duì)象包括代數(shù)與幾何，主要考查特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法和探索、猜想、歸納的數(shù)學(xué)思維.下面結(jié)合中考真題來(lái)談?wù)劤Ｒ?jiàn)的規(guī)律探究問(wèn)題及其解題策略.

一、中考數(shù)學(xué)規(guī)律探究問(wèn)題解讀

模型1 數(shù)與式、圖形的規(guī)律問(wèn)題

數(shù)與式規(guī)律和圖形規(guī)律探究問(wèn)題的特點(diǎn)是：?jiǎn)栴}的結(jié)論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，或某一具體的問(wèn)題情境等，要求通過(guò)觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.

模型2 平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）

平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題由于問(wèn)題背景的不同，這類題的解題策略是：由特例觀察、分析、歸納一般規(guī)律，然后利用規(guī)律解決問(wèn)題.具體思維過(guò)程是“特殊———一般———特殊”.這類問(wèn)題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時(shí)往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特點(diǎn)，對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有很高的要求.

二、中考數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解題策略

模型1 數(shù)與式、圖形的規(guī)律問(wèn)題

該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會(huì)分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律.主要考查學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題.

解題策略：

第一步：讀懂題意，標(biāo)序號(hào)；

第二步：根據(jù)已有規(guī)律模仿或歸納推導(dǎo)隱藏規(guī)律，分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律，重點(diǎn)分析“怎樣變”；

第三步：猜想規(guī)律與“序號(hào)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并用關(guān)于“序號(hào)”的式子表示出來(lái)；

第四步：驗(yàn)證所歸納的結(jié)論，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解答.

點(diǎn)評(píng) 先分別求出前4個(gè)圖形中的小五角星的個(gè)數(shù)，找出一般的計(jì)算方法求解.本題考查了圖形的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

模型2 平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）

該題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）.主要考查對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用數(shù)的運(yùn)算解題.

解題策略：

第一步：觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；

第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律，看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）；

第三步：求周期性的最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動(dòng)時(shí)間點(diǎn)，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；

第四步：利用有理數(shù)的運(yùn)算解題.

題型1：旋轉(zhuǎn)型

題型2：平移型

例4 （2023年杭州中考）如圖3所示，直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動(dòng)，第1次從點(diǎn)（-1，0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（0，1），第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1，0），第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，-2），…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，動(dòng)點(diǎn)P第2018次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（ ）.

A.（2018，0）B.（2017，0）

C.（2018，1）D.（2017，-2）

解 因?yàn)?018÷4=504……2，第2014次運(yùn)動(dòng)為第505循環(huán)組的第2次運(yùn)動(dòng)，橫坐標(biāo)為504×4+2-1=2017，縱坐標(biāo)為0，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2017，0）.選B.

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，觀察出每4次運(yùn)動(dòng)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)是解題的關(guān)鍵.觀察圖形可知，每4次運(yùn)動(dòng)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)，并且每一個(gè)循環(huán)組向右運(yùn)動(dòng)4個(gè)單位，用2018除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

題型3：翻滾型

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的翻轉(zhuǎn)、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過(guò)實(shí)際操作理解等邊三角形ABC經(jīng)過(guò)第2次翻轉(zhuǎn)與第3次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)A處在同一個(gè)點(diǎn).

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，規(guī)律探究問(wèn)題需要從特殊的結(jié)果中尋找規(guī)律，歸納、猜想得到一般情形下的結(jié)論，這體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法.在探索幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變的過(guò)程中，考慮幾何圖形運(yùn)動(dòng)的周期性是解題的突破口.一線教師在解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生去探索規(guī)律、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與解題能力.

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