高中數學中不等式的常見問題的解題教學策略分析

【摘要】高中數學中，不等式是重要且復雜的知識點，它在代數、幾何、函數等多個領域都有廣泛的應用，如何處理高中數學中不等式的常見問題，提高學生的數學整體學習質量已成為當下教師研究和思考的重點.基于此，文章利用文獻研究法等方法，首先從不等式性質應用、解不等式、不等式證明三方面總結高中數學不等式常見問題，并針對三種常見問題以及學生出錯原因進行剖析，最后針對三種高中數學不等式常見問題及解題策略，即提出重視教材，夯實知識基礎；重視解題，發展核心素養；重視思想，提升解題能力；重視體系，保障知識應用四點教學策略，望通過此次研究給予高中數學教師提供高中不等式教學的新思路.

【關鍵詞】高中數學；不等式；核心素養

引 言

在高中數學課程內容中，不等式是一個重要的知識點，也是學生常常感到困惑的難點.不等式問題的解決需要學生具備扎實的數學基礎和靈活的思維能力，然而在實際學習過程中，學生常常會遇到各種問題，如混淆不等式性質、計算錯誤等，導致在不等式性質應用、解不等式、不等式證明等常見的不等式問題中出現錯誤，因此，本文旨在引導學生正確理解和處理不等式問題，提供實用的解題策略和方法，幫助學生在數學學習中取得更好的成績.

一、高中數學不等式常見問題類型

（一）不等式性質應用

在高中數學教學過程中，不等式的基本性質有8條，而通常考試題目以綜合性題目為主，考查學生對8條不等式基本性質的掌握，并且通常以“若……則……”的形式出現，即由條件得出結論的語言結構形式出現，通過整理近年來所出現的較為經典的不等式基本性質應用的考查問題，發現以判斷命題是否成立、利用不等式性質比較大小等題型形式出現，在此，以如下兩道經典例題為例分析不等式性質應用常見問題.

例1 若a>b，則（ ）.

A.ln（a-b）>0 B.3a<3b C.a3-b3>0

解析 該例題涉及不等式的性質和數學運算的基本規則，需要學生逐個檢查每個選項，以確定哪個選項是正確的，并找出可能出現的常見問題.對于選項A，這個選項假設了對數函數ln（x）的定義域為x> 0，但是題目只給出了a>b，并沒有給出a-b>0的條件，因此不能直接應用對數函數.該例題是一個常見的問題，對數函數的定義域必須滿足x>0；對于選項B，該選項直接應用了不等式的乘法性質，即如果ab，則a3-b3，從而a3-b3>0.這個選項是正確的，因為它符合不等式的加法和乘法性質，且沒有違反任何數學規則.該題著重考查了學生對不等式性質的掌握，要求學生綜合8條不等式的基本性質，然而由于部分學生自身知識基礎不牢固，導致出現解題問題.

（二）解不等式

解不等式問題也是高中數學不等式的常見問題類型，主要包含一元一次、一元二次、分式、指數等在內的不等式，出題形式以選擇題、填空題或簡單的解答題為主，通過整理近年來頻繁出現的解不等式題目，題目內容大致包含以下兩大類：第一，直接解不等式問題；第二，用不等式解題的綜合性問題.

該題目是一道較為經典的綜合性數學題目，集中考查了學生對一元二次方程以及不等式等知識的掌握情況，同時在題目中滲透數學計算，旨在引導學生通過數學一元二次不等式提供學生的數學計算能力，從而落實核心素養培養.但是在此類題目中，部分學生極易出現以下三點問題：第一，忽視定義域限制；第二，誤用不等式性質；第三，計算錯誤.從第一點而言，部分學生在進行不等式運算時，可能會忽略某些函數的定義域限制，導致此類問題的原因在于對函數性質的理解不足，或者匆忙解題而沒有仔細考慮每個步驟的合理性；從第二點而言，部分學生在應用不等式性質時，可能會錯誤地改變不等號的方向或忽略某些性質的應用條件，而導致此類問題出現的原因可能是對不等式性質的理解不準確，或者沒有仔細分析問題的特定條件；從第三點而言，部分學生在計算過程中可能會出現計算錯誤，如加減乘除運算、開方運算等，而導致此類問題出現的原因可能是粗心大意等.

（三）不等式證明

不等式證明問題也是高中數學不等式的常見問題類型，在解決該類問題過程中，通常可將不等式看作給定條件下的絕對不等式，此類題目綜合性考查學生的邏輯思維能力，要求學生結合不等式基本性質、不等式定理等內容證明不等式.近年來，不等式證明題型逐漸多樣化，內容包含數列、導數、圓錐曲線等結合，在此以下述題目為例，做出典型分析.

二、高中數學不等式常見問題教學策略

（一）重視教材，夯實知識基礎

通過對高中數學不等式知識呈現方式的研究，發現無論是教材編寫，或是高考題目均融合大量不等式知識，教材編寫體現出《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的教學需求，按照縝密的邏輯思維編排教學內容，而高考題目則注重從綜合性角度考查學生對不等式知識結構的掌握.但是根據上文所出現的不等式常見問題錯誤及成因，其中主要原因之一在于知識基礎性錯誤，如對不等式性質等數學概念掌握不清等，教師可利用變式訓練等數學訓練幫助學生夯實數學基礎.

相較于例題4，變式訓練1則首先需要將a，b看作已知數量，將t看作未知數量，找到三個數量之間的關系，隨后根據橢圓定義中的基本量關系求得t的取值范圍，在此不對變式訓練解題思路做出過多贅述.綜合分析兩種題目，發現題目求圓錐取值范圍問題均需要找尋題目中所隱藏的不等式關系，將其轉化為離心率或參數的不等關系，進而求得離心率、參數的取值范圍，但是此過程的難度在于找尋問題中隱藏的不等關系，要求學生從題干信息中的基本概念、基本原理所蘊含的“性質”入手，此類型值更具有隱蔽性，教師通過開展變式訓練能夠幫助學生重視隱蔽性的數學概念或數學性質，進而找到不等式的建立思路.

（二）重視解題，發展核心素養

通過對高中數學不等式常見問題的深入研究，發現不等式知識內容涉及數學運算、邏輯推理、直觀想象等契合高中數學核心素養維度的內容.除此之外，高考對高中數學題目考查能力提出細化要求，并且提出要設計考查學生抽象概括能力、數學處理能力、應用意識和創新意識的題目內容，然而通過上述高中學生在不等式解題過程中所出現的常見錯誤發現高中學生不僅普遍出現數學能力薄弱的問題.基于此，高中數學教師需要針對性開展技能訓練、變式訓練.以下述題目為例，教師可針對性設計出變式訓練題目.

（三）重視思想，提升解題能力

高中數學教學內容中，數形結合、化歸思想等思想是不等式解法的常用思想.從數形結合思想而言，不等式關系存在于“數字”和“符號”之中，所以不等式是從“數”“形”中抽象而出的數學模型，涵蓋一元二次函數等在內的不等式解題方法均蘊含著數形結合思想；其次，在數學問題解題過程中，不等式關系和不等式定理知識作為不等式問題轉化的主要依據，也需要將不等式轉化為其他數學模型求解.而通過上述解題分析，發現大部分高中學生在數學解題過程中缺乏數學思想轉化的意識，所以在教學過程中，教師可以典型題目為例，要求學生采用一題多解的方式，幫助學生深入知識核心，促進學生數學思維發展，掌握數學思想.

（四）重視體系，保障知識應用

不等式是數學學習的主要工具，在高中數學不等式的解題過程中，需要重視不等式知識的系統性和應用性.從系統性而言，高中數學不等式知識涵蓋完整的知識拼圖，具體可從“what”“why”“how”三方面思考，例如，首先分析“不等式是什么”，在此環節需要學生理解正確理解不等式的定義、性質，熟悉不等式的形式和特點；其次，分析“為什么要列此不等式”，或“列此不等式的原因是什么”，在該環節則要求學生對照題干信息審慎建立不等式關系，尋找題干信息中已知的不等式關系以及隱藏的不等式關系；最后，學生可思考“解不等式步驟是怎樣的”，在該環節，要求學生掌握不等式變形技巧，掌握解變形、等價變形等技巧，同時準確識別等價轉化，學會正確將復雜的不等式轉化為簡單的等式，如利用平方差公式、完全平方公式進行轉化.

結 語

不等式作為高中數學的重要組成部分，其復雜性和實用性使其成為數學教學中的難點和重點.文章通過對高中數學中不等式的常見問題及處理策略的研究，有助于學生深化對不等式的理解，同時提高解決實際問題的能力.然而，由于不等式的變化多端和應用的廣泛性，仍有許多問題和挑戰有待進一步探索，在后續的研究中教師應繼續結合教學實踐對高中數學不等式教學應用進行深入研究.

【參考文獻】

[1]楊冬梅.“三新”背景下高中數學教學的目標與實施途徑[J].教育科學論壇，2024（11）：57-59.

[2]劉瑩瑩，吳華.基于Geogebra培養高中生數學抽象核心素養的研究[J].內江科技，2024，45（3）：75-77+81.

[3]石天然，操靜，林子植.基于ACT-R理論的高中數學教學目標設計[J].教學與管理，2024（9）：85-88.