對勻變速直線運動的位移與時間關系的再探究

摘要：微分和極限的思想方法，是進入高中學習物理知識的過程中第一次學習的物理思想方法。雖然教材在求解此問題的過程比較詳細地運用了微分和極限的思想方法，但是對于高一學生來說學習起來還是有一定的困難，鑒于此我對此問題進行了更詳細的探究。

關鍵詞：勻變速直線運動" "位移與時間關系" 探究

物理教材中對勻變速直線運動的位移與時間的關系的求解過程，是從最簡單的勻速直線運動到復雜的變速直線運動，運用了微分和極限的思想方法求解出來的。微分和極限的思想方法，是高一新生進入高中學習物理知識的過程中第一次學習的物理思想方法，而且微分和極限的思想方法在今后物理知識的學習中是比較常用的思想方法之一。雖然教材在求解此問題的過程比較詳細地運用了微分和極限的思想方法，但是對于高一新生來說學習起來還是有一定的困難，鑒于此我對此問題進行了比教材更詳細的探究。

一、用v—t圖象研究勻速直線運動的位移

勻速直線運動的位移對應v-t圖線與t 軸所圍成的面積（如圖1）。那么，勻變速直線運動的位移是否也有這種關系？是否也對應 v-t 圖象一定的面積？（如圖2）我們需要研究勻變速直線運動的位移規(guī)律。

回顧：在初中時，我們曾經(jīng)用“以直代曲”的方法，估測一段曲線的長度?！盁o限逼近”的思維方法，即極限思想?！胺指詈捅平钡姆椒ㄔ谖锢韺W研究中有著廣泛的應用。這是用簡單模型研究復雜問題的常用方法。早在公元263年，魏晉時的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)了“割圓術”——圓內(nèi)正多邊形的邊數(shù)越多，其周長和面積就越接近圓的周長和面積。

將復雜問題抽象成一個我們熟悉的簡單模型，利用這個模型的規(guī)律進行近似研究，能得到接近真實值的研究結果。這是物理思想方法之一。

在很短時間（Δt）內(nèi)，將變速直線運動近似為勻速直線運動，利用 x=vt 計算每一段的位移，各段位移之和即為變速運動的位移。

二、探究勻變速直線運動的位移

一個物體以10 m/s的速度做勻加速直線運動，加速度為2 m/s²，求經(jīng)過4s運動的位移。

思路：將物體的運動分成時間相等（Δt）的若干段，在Δt內(nèi)，將物體視為勻速直線運動，每段位移之和即總位移。

方法：先微分再求總和探究，即將運動分成等時的兩段，即Δt=2s內(nèi)為勻速運動。

問題：在Δt=2s內(nèi)，視為勻速直線運動。運動速度取多大？（如表1）

解決：可以取Δt=2s內(nèi)的初速度或末速度，也可取中間任一點的速度。（如圖3）

探究1" "取Δt 的初速度研究

探究1—1：將運動分成等時的兩段，即Δt=2s內(nèi)為勻速運動。（如圖4）

探究1—2：將運動分成等時的四段，即Δt=1s內(nèi)為勻速運動。（如圖5）

探究1—3：將運動分成等時的八段，即Δt=0.5s內(nèi)為勻速運動。（如圖6）

運算結果與前兩次有何不同？（更接近真實值）][x=x1+x2=（14×2+18×2）=64m

運算結果偏大還是偏?。浚ㄆ螅

探究2" "取Δt 的末速度研究

探究2—1：將運動分成等時的兩段， 即Δt=2s內(nèi)為勻速運動。（如圖7）

探究2—2：將運動分成等時的四段，即Δt=1s內(nèi)為勻速運動。（如圖8）

探究2—3：將運動分成等時的八段，即Δt=0.5s內(nèi)為勻速運動。（如圖9）

從圖4、圖5、圖6可以看出，Δt 越小，估算值就越接近真實值。（大于54m）

從圖7、圖8、圖9可以看出，Δt越小，估算值就越接近真實值。（小于58m）

我們能看出真實值是多少嗎？探究結果真實值：55.75m＜x＜56.25m。結論：在Δt→0 時，誤差很小，估算值非常接近真實值。那么，Δt越小，誤差越小。探究過程的誤差是怎么形成的？誤差分析：取Δt內(nèi)的初速度運算，其結果偏?。ㄈ鐖D5）；取Δt內(nèi)的末速度運算，其結果偏大（如圖8）。那么如何解決？

探究3" 取Δt內(nèi)中點的速度研究（圖10，圖11）

比較圖5（x=52m）、圖8（x=60m）、圖11（x=56m），可以從v—t圖象中看到，用Δt內(nèi)中點的速度求得的位移更接近真實值。

【探究總結】

1.如Δt 非常小，所有小矩形的面積之和就能非常準確地代表物體發(fā)生的位移。

“無限逼近”的思維方法——極限思想

2.如Δt非常非常小，所有小矩形的面積之和剛好等于v—t圖象下面的面積。

先微分再求總和的方法——微元法

結論：勻變速直線運動的v—t圖象與時間軸所圍的面積表示位移。通過圖象研究運動規(guī)律，由圖2可知，梯形“面積”=位移，即x=1/2（v0+v）t

由x=1/2（v₀+v）t和v=v₀+at，把v代換，則x=v₀t+1/2at²

勻變速直線運動的位移是時間的二次函數(shù)。