以生為本，構建生長課堂：“正弦定理”教學案例

隨著課堂教學的不斷改革，課堂不再是教師的“一言堂”，而是學生的“學堂”，是求真的殿堂.教師應用各種方式讓學生參與到教學活動中，師生、生生交流，共同成長！筆者在教學實踐中一直力求激活學生的數學思維，使課堂具有生命活力.本文中以“正弦定理”這節課的教學為例，探討如何以生為本，構建生長課堂.

1 問題驅動，導入新課

教師：同學們，隨著人們生活水平的不斷提高，我們會在閑暇之時同家人一起外出旅游.某城市為了發展旅游業，想在河的兩岸之間架設一座休閑橋BC，

現測量人員為了測量BC之間的距離，在B點同側選擇了一點A，利用測量工具已測得AB的長為1 000 m，∠A=60°，∠C=45°，如圖1所示.

問測量員根據測量結果能否算出休閑橋BC的長？

學生積極思考，尋找解決問題的辦法.

學生1：如圖2，過點B作AC的垂線，垂足為D.在△ABD中，

求出BD的長為5003，再在△BDC中，由△BDC為等腰直角三角形，可快速求出BC的長為5006.

教學說明：設計一個貼近生活的實例，由此激發學生的學習興趣，引發學生數學化思考，同時感受生活中的數學，體會數學的實用價值.在求解BC的過程中，學生有能力通過作輔助線構造直角三角形使問題得到解決.學生能夠從中獲得成就感和喜悅感，樹立學好數學的信心.

教師：同學們善于思考，通過自己的努力成功地解決了本問題！在實際生產生活中，我們會遇到很多這樣類似的測量問題，如測量距離、高度、角度等，在計算時需要把它們放在三角形中求解.如果每次都要作輔助線，是不是太麻煩了？試想一下，我們能否不作輔助線，就能求出BC的長度呢？這就需要大家今天和老師一起來探索和發現新的解題思路和方法.

教學說明：通過拋出問題，學生可以進一步意識到本節課的數學學習在今后的工作和生活中的必要性，增強學生探究的欲望，激發學習熱情.

2 溫習舊知，情境激疑

教師：我們先來回顧在三角形中學過了哪些邊角之間的關系呢？

學生：①三邊關系是任意兩邊之和大于第三邊;②三角關系是A+B+C=180°;

③邊角關系是大邊對大角，小邊對小角.

教師：以上大家所知的三角形邊角關系中沒有體現邊與角確切的數量關系，那三角形中邊和角到底有沒有確切的數量關系呢？

學生：應該有！

教學說明：給學生創設了一個需要學習、樂于學習的情境，引導學生帶著問題進入本節數學課的學習.

3 層層推進，探究定理

探究一：在直角三角形ABC中，邊和對應角的正弦有什么數量關系？

教師：我們先從特殊的三角形——直角三角形入手，探索邊和對應角的正弦的數量關系.

學生：經思考探究討論后得到asin A=bsin B=csin C.

探究二：在銳角三角形和鈍角三角形中，邊和對應角的正弦有什么數量關系？

師：該結論在銳角三角形和鈍角三角形中成立嗎？請同學們大膽猜想.

生：該結論在銳角三角形和鈍角三角形中結論仍然成立！

教師：好，現在用幾何畫板來驗證一下同學們的猜想.（在用幾何畫板驗證猜想時，學生觀察、思考、歸納，然后總結得出正弦定理.）

生：幾何畫板驗證了我們的猜想是正確的！數學是嚴謹的，我們又該如何證明猜想的結論的正確性呢？

師：既然同學們提出了問題，那就讓我們一起來探索吧！

師生互動交流，最后共同完成證明過程.（證明過程略.）

教學說明：教師引導學生用“特殊到一般”的研究方法，從學生熟悉的知識內容入手，觀察發現，然后猜想數學結論，體驗發現定理的過程.用幾何畫板直觀展示三角形的邊角變化以及邊與對角正弦值的比值關系，讓學生直觀認識正弦定理，然后用嚴密的數學推理證明猜想，體現數學思維的嚴謹性.整個過程發揮了教師的引領作用，推進高效課堂的有效生成.

4 剖析定理，加深理解

教師給出正弦定理：asin A=bsin B=csin C.

師：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等.它的結構具有對稱美.大家分析一下利用正弦定理能解決哪些題型？比如，已知三角形的三個角，能求出三邊嗎？已知三角形的兩個角和一邊，能求出其他的邊和角嗎？已知三角形的一個角和兩條邊，能求出其他的邊和角嗎？

生：從方程的觀點可知，一組等式的四個量中可知三求一.如由asin A=bsin B，若已知a，A，B，則可以求b;若已知a，b，B，則可以求A.因此正弦定理能解決兩種題型：（1）已知兩角和一角的對邊，求其他的邊和角；（2）已知兩邊和一邊的對角，求其他的邊和角.

教學說明：教師引導學生用方程的思想重點分析定理，讓學生熟悉定理的結構特征，感受定理結構的對稱美，提高學生的審美情趣，并得出正弦定理所能解決的兩種題型.

5 應用定理，學以致用

師：現在讓我們用正弦定理再次解決引例.因為ABsin C=BCsin A，所以1 000sin 45°=BCsin 60°，于是可得BC=1 000sin 60°sin 45°=5006.

生：果然方便很多，不用作輔助線就能算出BC的長.

教師：通過剛剛的小試牛刀，我們感受了用正弦定理解決解三角形問題的便捷，現在我們一起來解決以下問題.

例題 在△ABC中，已知c=6，b=23，B=30°，求C和A的大小.

師生分析交流，共同解決問題.

教學說明：通過引例的解決和例題的講解示范，再次強調正弦定理所能解決的兩種基本題型，為以后解決復雜解三角形問題積累經驗，提高學生分析問題的能力.

6 鞏固練習，提升認知

師：同學們已經熟悉了正弦定理能解決的兩種基本題型，接下來請嘗試解決下列兩個練習題，看看正弦定理還能解決什么題型.

練習1 在△ABC中，已知A=60°，B=75°，c=1 000，解這個三角形.

練習2 （1）在△ABC中，已知b=3，c=1，B=60°，求a和A，C;

（2）在△ABC中，已知a=1，b=3，A=120°，解這個三角形.

教學說明：通過遞進式的問題給予學生適當的引導，順學而教，對學生表現好的地方適時給予肯定，對學生暴露出的問題及時指正，突出學生的主體性、知識的生成性、教師的能動性，著力構建“生長型”課堂.

學生獨立思考，完成練習.個別學生上臺板書解題過程.

師：（巡視指導，待學生完成后分析講解）練習1實際上是引例的一個變式，通過剛才的講解，同學們知道，當已知三角形的兩角和一邊，且這條邊不是其中一角的對邊時，也能用正弦定理去解決.因此我們將正弦定理所能解決的第一種題型修改為“已知兩角及任一邊，求其他邊和角”.

教學說明：修正正弦定理所能解決的第一種題型的過程體現了知識的發生發展過程，實現了知識的螺旋上升，讓學生充分理解正弦定理所能解決的題型.練習2通過對比讓學生注意解題時需檢驗解的合理性，在做和練中逐步升華對正弦定理所能解決的兩種題型的認識.這樣的教學設計呈現了課堂跳躍的活力和靈動的生機，使學生對定理的理解和應用體會得更加深刻！

7 歸納小結，理清脈絡

師：通過本節課的學習，你學會了什么？

生：這節課我學會了用正弦定理解三角形，掌握了正弦定理所能解決的典型題型.

師：在探索正弦定理的過程中，你有什么體會，學到了研究問題的什么方法？

生：在探索新的結論時，我們要大膽猜想，然后應用數學軟件驗證自己的猜想，也學會了從特殊到一般研究問題的方法.

師：同學們說得很到位，回顧了整節課的學習過程，體會了其中的數學思想方法，相信每位同學都有自己的收獲.課后希望同學們繼續鞏固課堂知識，認真完成作業，下節課再見！

8 作業布置，分層提高

（1）《數學學習能力指導與訓練》中“正弦定理”的練習（略）.

（2）釘釘班級群里學習微課：在鈍角三角形中，證明asin A=bsin B=csin C.

（3）上網查找證明正弦定理的其他方法.

（4）思考題：

①在△ABC中，已知A=60°，a=33，b=6，則△ABC有幾組解？并作出圖形.

②在△ABC中，已知A=60°，a=42，b=6，則△ABC有幾組解？并作出圖形.

③在△ABC中，已知A=60°，a=8，b=6，則△ABC有幾組解？并作出圖形.

④在△ABC中，A=60°，b=6.

（ⅰ）當a為何值時，△ABC有一組解？

（ⅱ）當a為何值時，△ABC有兩組解？

（ⅲ）當a為何值時，△ABC無解？

教學說明：分層作業設計體現了因材施教.基礎練習面向全體學生，及時鞏固課堂所學知識.微課學習和網上查找資料是對課堂教學的一個補充和延伸，是為了促進學生進一步了解證明正弦定理的方法，拓寬學生的知識面，加強學生對正弦定理的理解和掌握.而思考題則是為學有余力的學生提供新的思維發展空間，留給學生進一步探究的余地，并適時引出后面將要學習的內容，起到承上啟下的作用.

陶行知先生提出：“教育應當培植生活力，使學生向上長.”以“生長型”理念為指引，以“知識增長、學生生長、老師成長”為目標，以上教學設計中教師始終引領學生針對問題交流討論，變式問題遷移創新.在注重培養學生“發現問題、解決問題”能力的基礎上，進一步培養學生回顧反思“生成問題”的能力，在應有積累的基礎上進行知識的深化拓展，循序漸進地拓展學生思維深度，提升學生思維質量.讓學生不斷地在發現問題和解決問題的同時，體驗數學知識創造的歷程，讓學生思維的活水緩緩流進課堂，使課堂不斷生長！