透過映射看函數(shù)定義

摘"要：函數(shù)的定義歷來是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點與難點，同時也是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的難點之一。為了解決函數(shù)定義的教與學(xué)難題，本文從映射定義出發(fā)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，從映射的對應(yīng)關(guān)系以及集合的角度再次分析函數(shù)的定義，更精準(zhǔn)理解概念本質(zhì)。通過對概念的再次分析和理解，從高中數(shù)學(xué)的新課標(biāo)實施角度出發(fā)，從三個方面入手精細設(shè)計了函數(shù)定義的教學(xué)方案，聯(lián)系前后知識內(nèi)容，最后使函數(shù)的定義被學(xué)生更容易理解和掌握。

關(guān)鍵詞：映射；函數(shù)；對應(yīng)關(guān)系；集合

函數(shù)概念至少在古希臘時代已經(jīng)萌芽，中文的“函數(shù)”一詞最早出現(xiàn)在李善蘭翻譯的《代數(shù)學(xué)》中［1］，現(xiàn)階段我國高中函數(shù)定義的表述是黎曼對應(yīng)說與布爾巴基學(xué)派關(guān)系說的融合，采納了“對應(yīng)”和“關(guān)系”的表述方式［2］。本文從映射定義的角度出發(fā)，就如何把握函數(shù)定義與函數(shù)定義的教學(xué)方法做了討論與分析，給出函數(shù)定義教學(xué)的幾點建議。

1"從映射定義出發(fā)認(rèn)識函數(shù)定義

有許多的學(xué)者在文獻中也討論了函數(shù)定義教學(xué)相關(guān)問題。張波［3］認(rèn)為對于函數(shù)的定義應(yīng)該先給出變量關(guān)系的函數(shù)的定義，給出集合對應(yīng)觀點下的函數(shù)的定義，由此拓展到映射的定義。趙思林等［4］認(rèn)為現(xiàn)階段的高中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則，并且同一符號意義不一，定義敘述不簡明。保繼光等［1］給出函數(shù)的一個定義，此定義沒有特別地強調(diào)實數(shù)y所在的實數(shù)子集，或者認(rèn)為此處集合B為整個實數(shù)集。這些觀點都對函數(shù)的定義做了深刻的思考，分析函數(shù)定義的內(nèi)涵，幫助數(shù)學(xué)教師理解、掌握函數(shù)定義。但是僅僅從函數(shù)定義本身出發(fā)還是不夠，應(yīng)該梳理知識脈絡(luò)，從更高層面去認(rèn)識函數(shù)的定義。

高中新課標(biāo)中提到了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？史寧中等［5］認(rèn)為要實現(xiàn)教育目標(biāo)必須遵循兩個原則，一個原則是把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，另一個原則是設(shè)計并且實施合理的教學(xué)活動。對于函數(shù)定義的認(rèn)知也可通過把握函數(shù)的本質(zhì)——映射來實現(xiàn)，在研究映射的基礎(chǔ)上設(shè)計并開展教學(xué)活動。

首先，給出映射的定義：

“設(shè)A、B是非空的集合，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個映射，記作y=f（x）x∈A”。從映射的定義可知，函數(shù)是特殊的映射，為了把握函數(shù)的定義，應(yīng)該從映射概念的認(rèn)知入手。

1.1"對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識

1.1.1"映射中對應(yīng)關(guān)系的分析

討論了對應(yīng)關(guān)系在映射中所起到的作用，接下來看看對應(yīng)關(guān)系的“類型”。集合之間的對應(yīng)關(guān)系實際是一種人為的規(guī)定：沒有理論邏輯或者對應(yīng)規(guī)律可遵循，如式（1）的對應(yīng)關(guān)系所示，而這種無序的對應(yīng)關(guān)系沒有什么研究的價值。常見映射中所規(guī)定的對應(yīng)關(guān)系一般都是給出元素之間有規(guī)律的對應(yīng)［如式（2）的對應(yīng)關(guān)系］或者每個元素（或若干個元素）都與同一個元素對應(yīng)［如式（3）的狄利克雷函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系］。

A=1，2，3，B=4，5，6（1）

f1：A→B"f1：1→5，2→4，3→5

f2：R→R（R為實數(shù)集）"f2：x→x+1（2）

f3：［0，1］→R（R為實數(shù)集）"f3：x→1，x是有理數(shù)

x→0，x是無理數(shù)（3）

1.1.2"函數(shù)定義中對應(yīng)關(guān)系引入的必要性

在初中階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)是以“變量說”來定義概念的：如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)。它強調(diào)的是用函數(shù)描述一個變化過程，而高中的函數(shù)定義強調(diào)的是對應(yīng)結(jié)果。兩種函數(shù)的定義由對應(yīng)量之間的量變上升為兩個集合之間元素的相對應(yīng)，人為規(guī)定的法則產(chǎn)生的對應(yīng)比直觀的量變抽象、難以理解。但是函數(shù)定義會隨著學(xué)習(xí)深度的加強，出現(xiàn)諸多的問題：首先，有些函數(shù)不能用初中的函數(shù)定義表述出來。函數(shù)的表達方式有列表式、圖像法及解析式法，但如式（3）的狄利克雷函數(shù)就無法用這三種方法來表示，只能用元素對應(yīng)的方法來描述。其次，初中函數(shù)的定義由于變量有現(xiàn)實意義，所以函數(shù)不能進行加、減、乘、除的運算，只能將集合中元素的現(xiàn)實意義剔除，保留其抽象本質(zhì)，然后才能進行函數(shù)的運算。最后，初中函數(shù)定義也制約后續(xù)學(xué)習(xí)中函數(shù)性質(zhì)、圖像等的研究。

1.1.3"映射定義中對應(yīng)關(guān)系的理解

在映射定義中，“使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)”這句話是用來限制對應(yīng)關(guān)系的，也就是說，映射定義中的對應(yīng)關(guān)系必須要給集合A中每一個元素在集合B中找到與之對應(yīng)的元素，即A中不能有元素“剩下”來。并且對于A中的每一個元素在B中找到的元素必須是唯一的，即對應(yīng)關(guān)系不能讓集合A中的元素出現(xiàn)“以一對多”的情況。映射定義中的對應(yīng)關(guān)系必須遵循以上的原則，那又有哪些“漏洞”可以讓對應(yīng)關(guān)系來“鉆”呢？首先，通過分析映射定義可以得出在對應(yīng)關(guān)系之下，集合B中的元素可以“剩下”來；其次，集合A中可以允許出現(xiàn)多個元素對應(yīng)B中一個元素的現(xiàn)象即“以多對一”的情況。函數(shù)是特殊的映射，所以函數(shù)定義中的對應(yīng)關(guān)系也滿足以上的情況，并且可以利用以上的分析結(jié)果幫助理解學(xué)習(xí)函數(shù)，現(xiàn)以“以多對一”為例來說明這一點。在初次學(xué)習(xí)高中函數(shù)定義后，很多學(xué)生在判斷很多特殊的函數(shù)時感覺無從下手，例如：判斷f（x）=c（c為常數(shù)）是否為函數(shù)。雖然滿足函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的條件，但受到初中函數(shù)定義的影響，學(xué)生通常無法判斷，而這恰恰是“極端”的“以多對一”情況，故可以判斷為函數(shù)。除了判斷特殊函數(shù)外，理解好“以多對一”的情況，還能夠幫助到后續(xù)周期函數(shù)的學(xué)習(xí)。

1.2"映射定義中集合的認(rèn)識

1.2.1"映射定義中集合元素的再認(rèn)識

在初中和高中所學(xué)習(xí)的函數(shù)中集合的元素均是數(shù)字，而映射中的集合并沒有規(guī)定集合的元素必須為數(shù)字，這是函數(shù)與映射定義中的一個不同之處。集合中的元素可以是多樣的，如集合的冪集，其元素為集合。因此，映射中集合元素的變化也導(dǎo)致了映射不能再沿用初中函數(shù)利用“變量說”來定義。

1.2.2"映射定義中集合的再認(rèn)識

映射定義中的集合與函數(shù)定義中的集合除了元素不同外，還有集合本身的形式也發(fā)生了改變。在這里主要探討集合以若干個集合的積的形式出現(xiàn)時，映射的再認(rèn)識。

定義［6］：令A(yù)1，A2，…，An分別是n個集合，由一切從A1，A2，…，An里順序取出的元素組（a1，a2，…，an）（ai∈Ai）做成集合A1，A2，…，An的積。

記成"A1×A2×…×An（若干個集合的積仍是一個集合）。

令集合A=A1×A2×…×An，B是一個集合，定義A與B的一個映射f。

f：A1×A2×…×An→B"f：（a1，a2，…，an）→bb∈B

由定義可以看出這是一個序組與一個元素對應(yīng)的映射。如果理解了這個映射，把A1，A2，…，An，B換成數(shù)集，就會成為我們研究的某個多元函數(shù)。通過討論集合的積及相關(guān)映射，會發(fā)現(xiàn)映射的定義具有高度的概括性和抽象性，函數(shù)定義只是映射定義一種特殊情況下的表述。所以站在映射的角度去認(rèn)識函數(shù)定義是非常有必要的。

在這一部分通過分析研究映射的定義，在梳理知識脈絡(luò)的基礎(chǔ)上了解初中函數(shù)、高中函數(shù)與映射定義之間的區(qū)別、聯(lián)系。對函數(shù)定義的再認(rèn)識能幫助教師把握教學(xué)深度和教學(xué)內(nèi)容，做到收放自如、成竹在胸，為教學(xué)環(huán)節(jié)的順利進行奠定一定的基礎(chǔ)。

2nbsp;函數(shù)定義的教學(xué)方法探討

由于教學(xué)資源分布不均和學(xué)生生源不同，筆者認(rèn)為函數(shù)定義的教學(xué)方法重點應(yīng)該從其本質(zhì)出發(fā)，遵循以學(xué)生發(fā)展為本的理念。下面在第一部分分析討論的基礎(chǔ)上，給出高中函數(shù)定義教學(xué)的幾點建議。

2.1"全盤考慮，精密布局

高中函數(shù)定義不是一個孤立的概念，之前有初中的函數(shù)定義，隨著內(nèi)容的延伸還會涉及函數(shù)的性質(zhì)、圖像、特殊的函數(shù)等，最后還要考慮與映射定義的銜接。兼顧前后的教學(xué)內(nèi)容，使初中函數(shù)定義→高中函數(shù)定義→（映射定義）這條主線貫穿在教學(xué)中。

2.1.1"溫故知新，引入函數(shù)定義

初中已經(jīng)給出了“變量說”的函數(shù)定義，在給出新的函數(shù)定義之前可以利用已知函數(shù)定義引入。這個過程操作起來不是太容易：第一，學(xué)生會對為何要引入新函數(shù)的定義產(chǎn)生疑問；第二，如何才能將變量變化的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€集合元素之間的對應(yīng)。根據(jù)學(xué)生對新知有探索欲望的心理特點，首先要解決第二個問題，引入新的函數(shù)定義。

引入新定義的步驟：

①利用初中函數(shù)定義，引導(dǎo)學(xué)生觀察自變量與應(yīng)變量所組成的集合元素之間的關(guān)系。如勻速運動中時間與路程之間的函數(shù)關(guān)系式，如果找出部分的時間點做成一個集合，可以得到一些相應(yīng)路程的值做成的集合，讓學(xué)生觀察兩個集合元素之間的關(guān)系：兩組對應(yīng)的值都滿足同一個關(guān)系式，即滿足同一個對應(yīng)關(guān)系。

②給出兩個非空數(shù)集，試著讓學(xué)生總結(jié)出用對應(yīng)關(guān)系的方法如何給出函數(shù)的定義，最后教師加以完善。學(xué)生經(jīng)過總結(jié)得出了新的函數(shù)定義，可能掌握不到位，但是可以明白高中的函數(shù)定義與初中函數(shù)定義之間的聯(lián)系。

2.1.2"提升認(rèn)識，解決疑問

此環(huán)節(jié)重點就是解決為什么要引進新的函數(shù)定義，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生不同的實際情況采用不同的解決辦法。如果學(xué)生的掌握情況良好并且整體理解能力不錯，教師可以給出兩個具有實際意義（如時間與路程、圓半徑與面積）的函數(shù)表達式，通過這兩個函數(shù)不能相加來說明初中函數(shù)定義的局限性。如果學(xué)生掌握情況一般，教師則可以利用反例說明初中函數(shù)定義不能表述所有函數(shù)。

2.1.3"預(yù)留問題，開拓思維

在整個函數(shù)定義的教學(xué)中，給學(xué)生預(yù)留幾個問題。例如，函數(shù)定義中的數(shù)字集合能否換成含有其他類型元素的集合？函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不出現(xiàn)“以多對一”時，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系又會出現(xiàn)幾種對應(yīng)的情況？學(xué)生在經(jīng)過思考、查閱資料解決這些問題時，拓寬了思維，提高了自學(xué)的能力。同時，也將所學(xué)知識延展，與映射定義相對接，完善了知識體系。

2.2"集中火力，突破難點

高中函數(shù)定義中最難理解的是“對應(yīng)關(guān)系”，在教學(xué)過程中應(yīng)該通過多種手段、方法，讓學(xué)生能夠突破理解的瓶頸，掌握“對應(yīng)關(guān)系”。

2.2.1"舉例說明，一目了然

給出多個不同的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生直觀感知集合之間的對應(yīng)關(guān)系就是人為規(guī)定的一種元素之間的對應(yīng)。下列的簡單例子，都是對應(yīng)關(guān)系。

給定集合A=1，2，3，4與B=7，8，9，10

f1：A→B，f1：1→7，2→8，3→9，4→10（4）

f2：A→B，f2：1→7，2→7，3→9，4→8（5）

f3：A→B，f3：1→7，1→8，2→10，3→8，4→7（6）

f4：A→B，f4：2→7，3→9，4→8（7）

2.2.2"分析討論，加深理解

以上面給出的例子為分析對象，說明函數(shù)定義下對應(yīng)關(guān)系需要滿足的要求：集合A中每一個元素都在集合B中找到唯一的元素對應(yīng)。

式（4）是一個函數(shù)，學(xué)生剛剛接觸函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系時常常會舉出類似這樣的例子來，但此例不足以說明函數(shù)定義中對應(yīng)關(guān)系的特殊性。式（5）中有兩個元素對應(yīng)同一個元素，教師可引導(dǎo)學(xué)生反觀函數(shù)定義中對應(yīng)關(guān)系的要求，通過思考、討論得知式（5）也是函數(shù)。這道例題使學(xué)生對函數(shù)定義中對應(yīng)關(guān)系又加深了認(rèn)識：對應(yīng)關(guān)系中可以出現(xiàn)“以多對一”的情況。式（6）是個反例，重點說明函數(shù)定義中對應(yīng)關(guān)系不能出現(xiàn)“以一對多”，加深學(xué)生對元素通過對應(yīng)關(guān)系只能找到唯一的對應(yīng)元的理解。式（7）同樣也是一個反例，主要是想提醒學(xué)生注意函數(shù)定義中“每一個”元素必須通過對應(yīng)關(guān)系找到對應(yīng)元，而不是存在部分元素能找到對應(yīng)元。

2.2.3"集合“B”的探討

給定一個函數(shù)f：A→B，關(guān)于集合B有哪些注意事項呢？首先，通過函數(shù)定義可以知道函數(shù)的值域包含在集合B中。其次，引導(dǎo)學(xué)生注意函數(shù)定義中是否還有關(guān)于集合B的限制條件？給出一個例子。

給定集合A=1，2，3，4與B=7，8，9，10

f：A→B，f：1→7，2→6，3→10，4→8

雖然通過對應(yīng)關(guān)系給集合A中每個元素都找到了唯一的元素與之對應(yīng)，但是，其中有一個元素2所對應(yīng)的元素6不在集合B中，所以不是函數(shù)。利用這個反例提醒學(xué)生注意集合A中每一個元素的對應(yīng)元素必須都要在集合B中。

2.3"化整為零，提升認(rèn)知

函數(shù)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)中一個重要的教學(xué)內(nèi)容，它是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。所以，其定義絕非通過一兩節(jié)課時的講授就能掌握好的，需要在后續(xù)課程以及課余來補充知識，提升認(rèn)知。

2.3.1"課余時間“查一查”

教師可以指導(dǎo)學(xué)生在課余時間通過上網(wǎng)查閱或者翻閱紙質(zhì)資料等方式，搜集整理函數(shù)定義的發(fā)展史，寫一篇小論文或者讀書筆記。學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識后，能夠了解函數(shù)定義產(chǎn)生的研究背景，積累一定的數(shù)學(xué)文化。同時，函數(shù)與數(shù)學(xué)建模之間有著非常緊密的聯(lián)系，函數(shù)是構(gòu)建數(shù)學(xué)建模的有力工具，從這個方面也反映了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。學(xué)生通過課余的學(xué)習(xí)增加了對函數(shù)研究背景及應(yīng)用的了解，提高了學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，同時提升了對函數(shù)定義的認(rèn)知，在學(xué)生的眼里，函數(shù)不再只是數(shù)學(xué)概念與練習(xí)題，而是一個充滿吸引力的未知領(lǐng)域。

2.3.2"后續(xù)課程中對函數(shù)定義的鞏固

整個高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)這部分內(nèi)容在必修課程課時建議表中給出了52個課時［2］，在課時總數(shù)中所占比重非常大。后續(xù)的課程在講授過程中會一直用到函數(shù)的定義，應(yīng)該利用這個有利機會，繼續(xù)深化函數(shù)定義的教學(xué)。例如，在講授指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，不僅可以反復(fù)鞏固函數(shù)的定義，還能在學(xué)習(xí)這些特殊函數(shù)圖像、性質(zhì)的過程中再次體會高中函數(shù)定義給出的必要性及定義的抽象性。舊知新學(xué)，不斷進行深入的思考、體會，才能使函數(shù)定義掌握得更好。

結(jié)語

本文通過研究映射來再次認(rèn)識高中函數(shù)的定義，并據(jù)此制定函數(shù)定義的教學(xué)思路以及教學(xué)方法。希望通過這樣的探討能夠提升函數(shù)定義教學(xué)的效果，并且為類似的教學(xué)內(nèi)容在教學(xué)思路和教學(xué)設(shè)計上提供有用的方法。

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基金項目：寧夏回族自治區(qū)高等教育教學(xué)改革與實踐項目（項目編號：bjg2021077）；寧夏自然科學(xué)基金（No.2022AAC03331）

作者簡介：張慧（1977—"）女，漢族，寧夏固原人，碩士，教授，研究方向：代數(shù)學(xué)教育研究。