初中數學：學生邏輯思維的絕佳“演練場”

如何才能學好數學？這是令不少學生感到困擾的難題。一些學生認為多刷題就一定能取得好成績，好成績就等于學好數學，甚至因此陷入“只刷題”的思維誤區。隨著新課程標準的頒布，我們能看到，數學學習越來越注重思維和素養，應試的方法也越來越難見效。這啟示我們要更多地關注數學的本質，而非數學的外在表現。數學的本質是什么？我想，是從一些大家公認的約定出發，通過邏輯推演的方式逐層遞進，不斷總結模型、給出新定義、發展出新的數學工具，進而探索出更多性質。邏輯，始終是數學的內核。

在數學學習中，邏輯不清會有什么表現？面對同一道題，有的學生列了五行式子就能得出正確答案，有的學生則需要用十幾、二十幾行才能得出結果。觀察前者的卷面，他們從已知條件出發向外發散時，路徑清晰、思維連貫，而后者往往路徑散亂、很難歸攏。按照采分點看，兩類學生都能拿到滿分，但顯然前者的邏輯思維能力更強。實際上，邏輯思維差，很難學好數學。與此同時，數學學習又是訓練學生邏輯思維的有效途徑。

初中數學要教給孩子什么

“老師，將來我又不當數學家，現在學的很多知識都用不上，學它有什么用？”常有學生來向我訴苦。不光學生這樣想，一段時間內社會上也不乏“數學無用論”的聲音。成為一名數學教師不久，我就在思考應該教會學生什么，只是讓他們聽懂知識、做對題嗎？這顯然不能應答學生的上述困惑。長久以來，很多機構鋪天蓋地宣傳題型總結，鼓吹要熟練掌握某些固定的“套路”，這或許的確有助于學生提分，但從長遠看記住某類題目的具體解法意義并不大。

當學生面對不在總結范疇內的題時，該怎么辦？升入高中后題型更復雜、多樣，又該怎么辦？數學的具體題型永遠無法窮盡。正如每個人生命中勢必會遇到各種未曾有過前置經驗的問題，真正的問題永遠繞不開。如何基于現有條件和身邊資源，通過一步步的行動解決那些真問題，是每個人必須思考的課題。意識到這一點后，我明白數學教學并非知識教得越深越好，也并非題型提煉得越多越好，重要的是使學生通過學習找到知識背后的本質，擁有從已知條件出發，通過嚴謹判斷推導出未知結論的思維方式。

相較于其他階段的學習而言，初中數學是訓練學生邏輯思維的絕佳“演練場”。這一階段的數學知識相對小學較深，需要學生調用更多的學科思維，相對之后的學段又不算太難，處于大多數學生的學習拉伸區。在日常教學中，我期望引導學生習慣追問從“0”到“1”的過程，鼓勵他們在推演中找到正確路徑。為了評估學生的邏輯思維能力，我將“講出思路”“寫出依據”作為日常訓練的重要方式。通過有意識的思維鍛煉，學生能逐漸樹立一種信念：即便面對陌生的情境，憑借嚴密的邏輯推理、逐步推導，最終也能得出所需結論。

基于邏輯的初中學習法則

新課教學：引導學生經歷思維轉換、習慣刨根究底。對于不少初中數學教師而言，初一是最“難”的一年。“難”點不在于要講授的知識有多深奧難懂，而是如何幫助學生轉變思維。很多學生習慣了以算數的方法解題，不明白為何要用字母代替數字，存在很多理解障礙。例如，通過審閱作業，我注意到不少學生難以理解“代入”這一概念。以方程x+y=1為例，它可以被轉化為y=1-x，若我提出將此形式代入3x+y=9中求解時，一些學生會產生疑惑：“這已經是一個等式了，再代入不就得到兩個等號了？難道一個式子里出現兩個等號就是代入嗎？”為了使學生能理解這一新概念，我會讓他們通過自己的探究、辨析，真正理解何為“代入”。比如補充A=x2+1的式子，讓他們將A的值代入新的代數表達式1-x·A中。許多學生仍然會感到困惑，是否要將第一個式子整個放進新式子變成等式？是不是要帶上括號？在類似的追問和親身實踐中，他們才能真正理解，原來代入意味著將等號左側的部分替換為右側的部分。若是直接要求他們通過訓練熟悉什么是“代入”，要求他們機械地建立起一種知識聯結，那么在高中階段學習“映射”時，他們依然會遇到理解上的障礙。比如不少學生在高中數學學習一開始就會被 f（x）這種表達式所困擾，他們本就難以理解 f（x）是一個整體的函數表達式。若在初中階段又沒有真正理解代入的本質是將新表達式中的某個部分替換為原來的表達式，在看到 f（x+1）時，就更難以理解這表示要將 x+1作為一個整體代入函數 f 中進行計算。

可以說，初一的數學學習是整個初中乃至高中數學學習的基石。自初一起，教師就要注重引導學生在學習時建立起思考問題本質的習慣。進入初二、初三，學生已經具備一定的知識儲備，教師依然要啟發學生刨根究底地理解知識。比如在學習全等三角形時，學生會接觸到SAS（邊—角—邊）和SSS（邊—邊—邊）等判定定理。雖然教科書通常將這些定理作為公理來使用，從而簡化了理解過程，然而，有些學生會疑惑：為什么三條邊相等的三角形不能拼成其他形狀？有學生會嘗試用木棍進行實驗，發現確實只能拼成一種形狀，但內心仍會存疑：這是因為自己能力不足，還是確實再無其他可能？這種疑惑會進一步促使學生思考：如何證明三條邊相等時，三個角也必定相等？在探究過程中，他們可能會逐漸理解，幾何學需要建立在一套公理化體系之上，即先承認某些基本事實是正確的，而后基于這些事實進行推理。這一追本溯源的過程，實際上與《幾何原本》的探究歷程相近。如果有學生對這些公理持懷疑態度，那么可能還會發現其他不同的幾何體系，比如大學階段才會學習的非歐幾何。對于感興趣的學生來說，探索的種子已悄然種下。

復習課教學：鼓勵學生不斷試錯、拓寬思考路徑。很多時候，復習課往往會陷入題型總結的怪圈，然而題型常有創新，每道題的具體“參數”也不盡相同，重要的始終是讓學生知道如何邁出解決問題的第一步。以幾何題輔助線的繪制為例，一旦輔助線被正確地畫出，絕大多數原本無法解答的問題便能順利解決。難點在于，他們往往想不到在何處繪制輔助線。同樣，代數題的答案中常會提到設定一個新的函數，而后將某一部分變形，或者將某一部分整體代入，進而能推導出相應的結果。更為關鍵的依然是，如何想到采取這種處理方式？缺失了這部分“中間環節”的學習，很難被稱作真實的學習。

教師在講題時，關注的重點不應是識別某種特定的題型、選擇相應的解法，而是從無到有的思考過程。學生要想實現從“0”到“1”的突破，離不開不斷試錯。他們可能會嘗試各種不同的路徑，當發現某條路徑無法得出推論時，就要重新規劃思路；若能從題目的已知條件推出多個結論，應能從中理順思路，準確判斷可借由哪些結論得出想要的推論。若想盡早作出準確判斷，學生就必須提升邏輯思維能力，在不斷推演的過程中，逐漸確立恰當的邏輯框架。試錯的過程或許比得出正確答案更重要。有時學生在看到答案后覺得自己會做了，其實還可以啟發他們進一步反思：如果不采用這種解法，還能怎么做？這樣才能幫助他們實現進一步的思維進階。

進入初三后期的復習階段，學生大多已經基本建立起自己的知識網絡，解答每道題就像是在調用自己的邏輯框架去處理不同的參數，此時的教學重點是讓他們反思自己的推理邏輯，不斷地進行迭代優化。同時，不同個體思考問題的方法各異，師生之間可以相互分享各自的知識體系所訓練出的邏輯框架，介紹彼此在遇到問題時如何想到第一步、如何擴展思路、如何歸納總結，直至最終解決問題。在交流中，師生間、生生間都可以相互借鑒思路或探索更多解法，被采納的學生會因此感到滿足，認為自己構建的框架具有實際效用，不斷產生積極的反饋，從而享受數學學習的樂趣。

在數學教育中，教師應基于邏輯設計教與學的過程，唯有如此，學生才能真正以不變應萬變、接近數學的本質，收獲終身受益的能力。