關(guān)注階段性，落實“數(shù)與運算”的一致性

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對課程內(nèi)容進行了結(jié)構(gòu)化整合，將“數(shù)的認(rèn)識”和“數(shù)的運算”統(tǒng)稱為“數(shù)與運算”.主題的結(jié)構(gòu)化整合體現(xiàn)了相關(guān)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，每一個主題具有一致性的學(xué)科本質(zhì).然而，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個循序漸進的過程，同一個主題內(nèi)容在不同階段具有不同的表現(xiàn)形式和水平.因此，教師在實際教學(xué)中既要關(guān)注一致性，又要明確階段性，需要處理好一致性與階段性的關(guān)系.本文以“數(shù)與運算”的一致性和階段性教學(xué)為例，致力于將其在相關(guān)學(xué)段或單元的階段性表現(xiàn)體現(xiàn)在具體的教學(xué)設(shè)計之中，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：階段性；數(shù)與運算；一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出，數(shù)的運算教學(xué)要讓學(xué)生“經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”.^［1］

筆者在教學(xué)蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級下冊》中“簡單的小數(shù)加、減法”時發(fā)現(xiàn)，一方面，要著力引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握一位小數(shù)加、減法的算法和算理；另一方面，還要讓學(xué)生初步體會小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法的內(nèi)在關(guān)聯(lián).從數(shù)的運算本質(zhì)講，它們具有一致性，即相同計數(shù)單位的累加或遞減.然而，對于三年級的學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)“簡單的小數(shù)加、減法”時，他們還沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)小數(shù)的意義、數(shù)位和計數(shù)單位.學(xué)生對于數(shù)的運算本質(zhì)上一致性的理解不是一蹴而就的，所以在教學(xué)中，教師既要關(guān)注一致性，又要重視階段性，需要處理好一致性與階段性的關(guān)系.^［2］

本文以“簡單的小數(shù)加、減法”一課的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱膶嵺`與思考，以期為教學(xué)提供一些有益的參考.

1 喚醒經(jīng)驗，鏈接新知，搭建知識遷移橋梁

建構(gòu)主義教學(xué)理論主張教學(xué)要以學(xué)生為主體，以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗.“簡單的小數(shù)加、減法”一課屬于“小數(shù)的初步認(rèn)識”單元，本單元教學(xué)的重點是初步理解小數(shù)部分是一位小數(shù)的含義.學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)初步認(rèn)識了一位小數(shù)，“簡單的小數(shù)加、減法”的學(xué)習(xí)是在學(xué)生初步理解一位小數(shù)含義的基礎(chǔ)上進行的.因此，如何喚醒學(xué)生對一位小數(shù)已有的知識經(jīng)驗，并正向遷移到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，從而更加深刻地理解算理、掌握算法是本節(jié)課需要突破的難點.為了幫助學(xué)生突破上述難點，筆者注意引導(dǎo)他們聯(lián)系對一位小數(shù)含義的已有認(rèn)識，進行回憶和思考.

課前導(dǎo)入時，教師通過課件出示“數(shù)學(xué)”與“學(xué)數(shù)”兩個詞匯，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并調(diào)換兩個字的位置活躍課堂氣氛，巧妙引入數(shù)的多樣性，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù).學(xué)生積極回應(yīng)已學(xué)過的數(shù)的類型，特別是最近學(xué)習(xí)的小數(shù).為了喚醒學(xué)生對小數(shù)含義的理解，教師讓學(xué)生說出具體的小數(shù)，如0.5，并鼓勵學(xué)生聯(lián)想相關(guān)情境或圖形.學(xué)生給出多種答案，如0.5元的價格、把正方形平均分成10份涂其中的5份表示0.5等，展示了他們對小數(shù)含義的深入理解以及數(shù)形結(jié)合的思考方式.

為了加強學(xué)生對小數(shù)表現(xiàn)形式的認(rèn)識，教師先后出示了表示0.1和0.5的正方形圖，通過動畫演示直觀展示涂色部分與小數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.在視頻的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅能準(zhǔn)確辨別0.1和0.5，還能通過數(shù)涂色部分小直條的數(shù)量確定小數(shù)值.這一過程鍛煉了學(xué)生的觀察能力，加深了他們對小數(shù)表現(xiàn)形式的理解.學(xué)生厘清了一位小數(shù)的含義及表現(xiàn)形式后，學(xué)習(xí)后續(xù)“簡單的小數(shù)加、減法”時，就能借助前期經(jīng)驗，深刻理解算理.

2 多元表征，明理悟法，強化運算本質(zhì)理解

教師需要在“數(shù)與運算”的教學(xué)中，合理設(shè)置算理和算法對應(yīng)的關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié)，將算理和算法自然交融.計算教學(xué)中可以合理安排動手操作活動，讓學(xué)生利用多元表征等方式厘清思路，在比較和交流中感悟表征方式之間的相互融通，明晰數(shù)與形的聯(lián)系、算理與算法的聯(lián)系，從而真正掌握算法、理解算理，提高運算能力.

在本節(jié)課的教學(xué)中，教師可以出示問題情境“老師在微信群里搶到了4個紅包，①號紅包0.5元，②號紅包0.7元，③號紅包2.8元，④號紅包3.4元，你能提出哪些一步計算的問題”.學(xué)生自由提問后，先聚焦解決“①號紅包和②號紅包一共多少元”，在學(xué)生列出算式“0.5＋0.7”后，教師提出核心問題“0.5＋0.7應(yīng)該怎樣計算，為什么可以這樣計算”.學(xué)生充分借助人民幣、正方形圖、計數(shù)器和豎式計算等多種模型進行了“化新為舊”的探索，從直觀到半直觀、半直觀到半抽象、半抽象再到抽象，通過三個層次的多元表征展開說理辨析，在觀察、操作和對比等活動的基礎(chǔ)上，對“0.5＋0.7”的算理和算法進行探究與討論.

2.1 擺人民幣：將小數(shù)加法轉(zhuǎn)化為整數(shù)加法

在解決“0.5＋0.7”的問題時，學(xué)生將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)進行計算.通過擺人民幣，學(xué)生先將0.5元和0.7元分別轉(zhuǎn)化為5角和7角，然后利用整數(shù)加法得出5角＋7角＝12角，也就是1.2元.這種方法不僅降低了問題的難度，還幫助學(xué)生理解了小數(shù)加法的本質(zhì)，即相同計數(shù)單位的數(shù)相加.

2.2 繪制計數(shù)器與正方形圖：去單位化，直觀展示小數(shù)加法

在沒有具體情境的情況下，學(xué)生可以借助圖形來理解.例如，通過繪制計數(shù)器或正方形，學(xué)生直觀地看到小數(shù)的相加過程.在計數(shù)器圖中，學(xué)生創(chuàng)造性地在“個位”的右邊再畫一個數(shù)位來表示小數(shù)部分，并通過珠子的數(shù)量來表示小數(shù)的大小，清晰地看到0.5和0.7分別表示5個0.1和7個0.1，相加后得到12個0.1，即1.2.同樣，在正方形圖中，學(xué)生可以將正方形平均分成若干份，通過涂色來表示小數(shù)的大小.這些圖形工具的使用不僅幫助學(xué)生理解了小數(shù)加法的計算方法，還培養(yǎng)了他們的空間想象力和邏輯思維能力.

2.3 豎式計算：抽象成數(shù)學(xué)符號，提升運算能力

如果不用這些材料和工具，有的學(xué)生也能夠遷移運用整數(shù)加法豎式的方法，來對小數(shù)加法“0.5＋0.7”進行豎式計算.在計算中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來整數(shù)中最低位是個位，而現(xiàn)在是小數(shù)點后面的一位.由此，豎式計算中發(fā)生了兩處細微的變化：一是數(shù)位對齊時增加了小數(shù)部分的數(shù)位；二是運算順序從由個位算起延伸到從低位算起.這種變化不是必然發(fā)生的，它是學(xué)生對加法算理充分感知后的創(chuàng)造，是經(jīng)驗激活后的有效遷移.

此外，為了幫助學(xué)生更好地理解算理，教師可以組織學(xué)生觀察、比較不同方法之間的相同之處，透過形式抓本質(zhì)，深刻感悟“相同單位上的數(shù)才能直接相加”這一基本原理.學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、比較等思維過程，真正做到“知其然，又知其所以然”.這樣教學(xué)，實現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)符號與形象的操作活動之間的內(nèi)在溝通，將“明理”和“悟法”有機結(jié)合，使得學(xué)生不僅掌握了方法，還理解了方法背后的數(shù)學(xué)道理.

3 整體建構(gòu)，溝通聯(lián)系，感悟知識內(nèi)在一致性

數(shù)學(xué)本身具有嚴(yán)密的邏輯性，而教材內(nèi)容一般分散編排，按照學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知規(guī)律分散在不同學(xué)段，所以學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有階段性.從蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排來看，關(guān)于“小數(shù)的加、減法”的教學(xué)，被劃分為兩個階段：第一階段安排在三年級下冊，內(nèi)容是“簡單的小數(shù)加、減法”，要求學(xué)生在初步理解一位小數(shù)含義的基礎(chǔ)上，能結(jié)合具體情境，會進行一位小數(shù)的加、減法運算，了解運算的一致性，形成數(shù)感、符號意識和運算能力；第二階段安排在五年級上冊，內(nèi)容是“筆算小數(shù)加法和減法”，要求學(xué)生在掌握了整數(shù)加、減法和一位小數(shù)加、減法以及小數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，能結(jié)合具體情境，會進行小數(shù)加、減法運算，感悟運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識.因此，基于新課標(biāo)和教材，厘清這兩個階段的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示，有利于教師有結(jié)構(gòu)地教學(xué)，也有助于學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)習(xí).

基于以上認(rèn)識，筆者在教學(xué)完本課的例題后，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)加減法的計算方法，如“50＋70”的計算，通過計數(shù)器撥珠和豎式計算等方式，讓學(xué)生明白其算理是“5個10＋7個10＝12個10”.接著出示小數(shù)加法“0.5＋0.7”的探究過程，學(xué)生通過回憶得出“5個0.1＋7個0.1＝12個0.1”這一算理.

隨后，對比整數(shù)和小數(shù)的豎式計算，不僅發(fā)現(xiàn)計算方法相似，即從低位算起，還進一步感悟，無論是整數(shù)還是小數(shù)加法，本質(zhì)上都是在算“5個（ ）＋7個（ ）＝12個（ ）”，其背后的計算道理也是一致的.經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生將不同學(xué)段學(xué)習(xí)的加法計算連點成線，形成同一體系，有助于他們建立與完善系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化知識體系，豐富已有的思維過程，并積累思維活動經(jīng)驗.

值得注意的是，對于三年級的學(xué)生來說，本節(jié)課是他們初次接觸“小數(shù)加、減法”，還未系統(tǒng)地學(xué)習(xí)小數(shù)的“數(shù)位”和“計數(shù)單位”，在教學(xué)時教師不能用第三學(xué)段時才應(yīng)該達成的學(xué)段目標(biāo)來要求和評價正處于第二學(xué)段的學(xué)生.因此，新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)不能急于求成，只關(guān)注到一致性，也應(yīng)重視階段性，聚焦當(dāng)下，循序漸進，逐步達標(biāo).

4 結(jié)語

新課標(biāo)理念下“數(shù)與運算”的教學(xué)需要基于整體的視角關(guān)注一致性，引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)知識，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識.同時，還要重視階段性，按照學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的節(jié)奏，把握好學(xué)段目標(biāo)和課時目標(biāo)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷理解算理和掌握算法的過程.如此，學(xué)生才能立足數(shù)學(xué)思考探究計算本質(zhì)，真正地做到在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，從而提升運算能力和思考能力，使發(fā)展核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)在數(shù)學(xué)課堂上落地生根.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］馬云鵬.如何理解“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?qū)W習(xí)內(nèi)容的一致性和階段性［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2023（3）：4-6.