在醫用高等數學教學中引入生物數學建模的思考與實踐

摘"要：在醫學與科技迅速發展的背景下，數學在醫學中的應用日益廣泛。醫用高等數學作為醫學生的基礎課程，傳統教學更多地側重于理論知識的傳授。將生物數學建模思想融入教學中，通過在函數與極限、一元函數微積分學、多元函數微積分學、常微分方程、概率論與數理統計等內容中引入數學模型，如人口增長、腫瘤生長、血藥濃度、傳染病模型、捕食者食餌模型等，增強了數學的應用性和生動性。此方法不僅能提高學生的學習興趣和創新思維，還為其未來醫學研究和臨床實踐奠定基礎。

關鍵詞：醫用高等數學；生物數學建模；常微分方程

一、概述

在醫學與科技的發展下，數學在醫學領域應用廣泛且深入，從疾病診斷、治療、藥物研發到人體生理系統建模、醫學影像處理都離不開數學。醫用高等數學是醫學生的關鍵基礎課程，能夠培養學生的數學思維及實際應用能力，但傳統的教學方式往往側重理論知識的傳授，尤其是在數學公式推導和計算方法的訓練方面。盡管能夠讓學生掌握扎實的數學基礎知識，但難以讓學生體會到數學在醫學中的實際應用價值，導致學生在學習過程中缺乏足夠的動力和興趣。如何將數學與醫學實際問題相結合，已成為人們普遍關注的問題。

生物數學建模是通過運用數學語言和方法來描述生物系統結構、功能和動態行為的過程［1］。通過建立數學模型，可以將復雜的生物現象轉化為數學表達式和方程，從而進行定量分析和預測。這些模型可以涵蓋從分子和細胞水平到生態系統和全球生物地球化學循環等各個層次的生物系統。例如，在分子生物學中，數學模型可以用來描述基因表達的調控機制；在生態學中，數學模型可以用來預測生物種群的數量變化。

醫學領域充滿了各種復雜現象和問題，從疾病傳播與防控到藥物研發與療效評估，從人體生理系統的動態變化到生物種群的演化規律，這些問題都離不開數學的分析與建模。例如在傳染病的研究中，經典的SIR（SusceptibleInfectedRecovered）模型通過建立微分方程組，描述了易感、感染和康復人群在不同時間的數量變化，為制定傳染病防控策略提供了重要依據。此外，數學模型還可以用來描述藥物在體內的吸收、分布、代謝和排泄過程，有助于優化藥物的給藥方案，確定最佳給藥劑量、給藥間隔等。這些實際應用案例充分展示了數學在醫學中的巨大價值。

隨著信息技術的快速發展，大數據和人工智能在醫學領域的應用也日益廣泛［2］。生物數學建?？梢耘c這些先進技術相結合，為醫學數據分析和疾病預測提供更加精準和高效的方法［3］。例如，利用機器學習算法建立疾病診斷模型，通過對大量醫學數據的學習和分析，實現對疾病的準確診斷和風險評估。

將生物數學建模思想融入醫用高等數學教學，能夠加強數學與醫學學科之間的相互滲透，是一種創新且具有重要意義的嘗試。本文旨在探究將生物數學建模思想融入醫用高等數學教學中的方法和策略，以期為醫用高等數學教學改革提供新的思路和參考。通過將生物數學建模思想貫穿于醫用高等數學的各個章節，力求為醫學生打開一扇通往跨學科研究與創新的大門，培養具有扎實數學基礎和醫學應用能力的高素質醫學人才，為推動醫學科學的進步與發展貢獻力量。

二、實施策略

醫用高等數學包含了眾多重要的章節，每章節都有其獨特的知識重點和難點。要將生物數學建模思想融入醫用高等數學的教學之中，其核心要點在于把醫用高等數學各章所涵蓋的重點內容與相關的生物數學模型緊密地結合起來。

（一）函數與極限

1.馬爾薩斯人口增長模型

在講解函數概念時，引入馬爾薩斯人口增長模型［45］：P（t）=P0ert，其中P（t）表示t時刻的人口數量，P0是初始人口數量，r是人口增長率。該模型是一個典型的指數函數形式，當人口增長率為正時，具有增長迅速的特點。極限討論：當t→∞時，人口P（t）無限增長，即limt→∞P（t）=∞。

這種情況在自然界中不太現實，因為資源有限會導致增長受限。因此該模型可以引導學生進一步思考資源的有限性對種群增長的影響，引入更復雜的Logistic增長模型。

2.Logistic模型

模型描述了種群在初期快速增長，隨后因資源有限趨于穩定的過程，這一模型能夠更好地反映種群在現實中的增長規律。設N（t）是時間t時的種群數量，模型表示為［45］：N（t）=K1+Ae－rt。其中K是環境容納量。隨著時間t→∞時，N（t）→K，這就是種群數量的極限。

3.血糖水平的變化模型

血糖水平是隨時間波動的，特別是在進食后，血糖水平會迅速升高，隨后逐漸下降。血糖水平的變化可以用指數衰減模型來描述，以幫助理解人體的胰島素調節機制。設血糖濃度G（t）隨時間的變化為：G（t）=G0e－kt，其中G0為血糖的初始濃度，k為血糖下降的速率常數。模型描述了血糖水平在進食后逐漸回歸正常的過程。在數學上，當t→∞時，血糖濃度G（t）趨向于一個穩定值。

極限不僅是數學中的基礎工具，還描述了復雜系統在長期或極端情況下的行為。通過上述數學模型，學生可以更好地將數學概念應用于醫學和生態學等領域問題中，進一步增強對函數與極限的掌握。

（二）一元函數微分學

1.腫瘤生長模型

腫瘤的生長通常在早期是快速的，隨著腫瘤體積的增大，生長速度逐漸減緩。Gompertz模型常用于描述腫瘤生長的非線性過程［6］。設V（t）表示腫瘤體積，V（t）隨時間t的變化情況為：V（t）=V0e－ae－bt。其中V0是初始腫瘤體積，a，b是模型參數。為了得到腫瘤生長速度，對方程進行微分，得到腫瘤體積的變化率：dVdt=abV0e－ae－bt－bt。當腫瘤體積變化率過大時，腫瘤細胞的增殖速度加快，意味著人體處于某種不健康狀態，需要進行更密切的醫學觀察或采取進一步的治療措施。

2.藥物代謝模型

藥物進入人體后會在體內進行代謝。假設藥物在體內的代謝速率與藥物濃度成正比，C（t）表示t時刻體內的藥物濃度，k是代謝速率常數，藥物濃度隨時間的變化模型可以表示為［5］：dCdt=－kC。已知藥物的初始濃度和代謝速率常數時，通過求解該微分方程可以預測藥物在體內不同時間的濃度，從而為藥物治療提供參考。

3.人體代謝速率模型

人體的基礎代謝率是指人體在靜息狀態下消耗的能量。設代謝速率M（t）隨時間t的變化表示為：M（t）=M0e－kt。其中，M0為初始代謝率，k是代謝速率衰減的常數。對該函數進行微分，得到代謝速率的變化速度：dMdt=－kM。模型能夠幫助學生分析人體代謝率的變化，并為研究飲食、運動和代謝之間的關系提供理論支持。

微分可以描述系統的變化率，結合上述模型能夠幫助理解生物系統的動態行為。這種應用導向的教學方式可以激發學習興趣，幫助掌握將數學理論應用于現實中的醫學和生物學問題。

（三）一元函數積分學

1.血藥濃度時間曲線下面積（AUC）計算

對藥物濃度隨時間的變化模型積分，得到藥物濃度函數C（t）=C0e－kt，其中C0為初始藥物濃度。在講解定積分的幾何意義時，可以引入血藥濃度時間曲線下面積的計算。通過對藥物濃度函數C（t）在一定時間區間［0，T］上進行定積分∫T0C（t）dt，能得到血藥濃度時間曲線下面積，它是衡量藥物在體內暴露程度的重要指標，可以在實際中計算藥物的有效劑量及給藥方案的合理性［5，7］。

2.動脈血流量的計算

動脈血流量是指每分鐘通過動脈的血液體積，通常用于評估心血管系統的健康狀況。假設通過動脈的血流速度為v（t），動脈的橫截面積為A，則一段時間內通過該動脈的血流量Q可以表示為：Q=A∫t1t0v（t）dt。通過血流量的計算，能夠幫助醫生判斷血管是否狹窄或阻塞，診斷心血管疾病。

上述模型能使學生進一步了解一元函數積分在醫學領域中的應用，將數學概念與現實問題結合起來，從而更好地理解數學在解決復雜生物和醫學問題中的關鍵作用。

（四）多元函數微積分學

1.多因素影響疾病風險模型

數學模型可以描述多種因素對疾病風險的共同影響，并利用多元函數分析疾病風險的變化。設疾病風險模型為R（x，y，z），x，y，z表示三種不同因素。通過求偏導數分析每個因素對疾病風險的影響，例如，遺傳因素會使某些人更容易患上某種疾病，但良好的生活方式和環境可以降低疾病風險。

2.生物種群的空間分布模型

生物種群在自然界中的分布通常受到地理位置、資源和環境的影響。多元函數可以描述種群在多維空間中的密度分布，并利用偏導數和梯度分析種群的空間變化。以種群在二維空間上的分布為例，設種群密度為P（x，y），x和y為空間坐標，對P（x，y）求偏導數Px和Py，分析種群密度在不同方向上的變化率。當Px為正，說明種群在x方向上的密度增加，可能是因為該方向上有更適宜的生存環境或資源。

多元微積分不僅用于分析復雜系統的動態變化，還能用于優化資源分配、分析空間分布等。上述模型能夠幫助理解多元函數微積分在生物系統中的廣泛應用，增強對多元微積分的興趣，并培養解決現實問題的能力。

（五）常微分方程

1.SIR模型

SIR模型是流行病學中的經典模型［4，8］，用于描述傳染病在人群中的傳播情況。設S（t）表示易感人群數量，I（t）表示感染人群數量，R（t）表示康復人群數量，β為傳染率，γ為恢復率，常微分方程組為：

dSdt=－βSI，dIdt=βSI－γI，dRdt=γI

能夠描述封閉人口群體中易感者、感染者和康復者的動態變化，分析該模型可以預測疾病的爆發時間、峰值以及最終感染人群的比例，進而揭示傳染病在人群中的傳播過程。

2.癌癥發展模型

癌癥發展模型也是一個典型的例子。設癌細胞數量為C（t），免疫系統的響應為I（t），建立以下常微分方程組描述癌細胞和免疫系統之間的相互作用。

dCdt=aC－bCI，dIdt=cCI－dI

其中a，b，c，d為常數。通過分析模型性質，能得到癌細胞和免疫系統的變化情況，為癌癥治療提供一些理論參考。類似地，考慮癌癥治療過程中的藥物作用和癌細胞的耐藥性發展時，也可以建立一個包含藥物濃度和癌細胞耐藥性的常微分方程組，求解模型分析不同治療方案的效果，進而理解常微分方程在醫學研究中的應用。

常微分方程不僅是一個數學工具，它還幫助我們描述和預測復雜的生物系統行為。這些實際應用案例可以增強學生對微分方程的興趣，并培養他們解決生物和醫學實際問題的能力。

（六）概率論與數理統計

1.遺傳概率模型

在講解概率論的基本概念（如概率、條件概率等）時［911］，以孟德爾遺傳定律為例。例如，在一對相對性狀的遺傳中，雜合子（AA）自交后子代出現顯性性狀（AA或AA）的概率為3/4，出現隱性性狀（AA）的概率為1/4。通過計算不同基因型組合的概率，理解概率在遺傳學中的應用。

2.醫學統計中的假設檢驗模型

醫學研究中臨床試驗通常用于檢驗某種治療是否有效。這涉及假設檢驗和P值的計算，進一步判斷實驗結果的顯著性，避免因樣本數據波動引起的錯誤結論。在講解假設檢驗方法時，以比較兩種藥物治療效果的臨床試驗為例。設兩種藥物治療后的有效率分別為p1和p2，建立假設檢驗模型（H0：p1=p2，H1：p1≠p2），根據樣本統計量（如z統計量或t統計量）的值判斷兩種藥物的治療效果是否存在顯著差異，進而展現假設檢驗在醫學研究中的應用。

上述模型展示了通過概率分析和統計推斷來解決復雜的醫學問題，如遺傳疾病的風險預測、傳染病的傳播分析、醫學檢測結果的準確性評估等。這種應用導向的教學方式將數學理論與實際問題結合起來，增強學生對概率和統計的理解與應用能力。

結論

將生物數學建模思想融入醫用高等數學教學是一種創新且具有重要意義的嘗試。在醫用高等數學的教學過程中，于各章節里引入生物數學建模案例，顯著增強了數學與醫學學科之間的相互滲透，進而為醫學生開啟了通往跨學科研究與創新的大門。以此方式，力求培育出擁有扎實數學基礎和醫學應用能力的高素質醫學人才，為推動醫學科學的進步與發展貢獻力量。學生在學習過程中，能夠更深入地理解醫學現象背后的數學原理，學會運用數學工具對醫學實際問題進行分析和解決，從而提升自身的綜合素質與能力。

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作者簡介：叢平平（1995—"），女，漢族，黑龍江勃利縣人，理學博士，專任教師，主要研究方向為生物數學。

*通信作者：單元闖（1994—"），男，漢族，河南鄧州人，工學博士，專任教師，主要研究方向為隨機分析及應用。