遷移能力培養(yǎng)下的小學主題單元教學

隨著時代的發(fā)展，“運算能力”作為核心素養(yǎng)被提出來，它的意義不再僅僅局限于簡單的計算技能，而是追求對運算背后知識、方法、思想、原理的理解。核心素養(yǎng)下的數(shù)學運算被賦予了更多維度的要求和更深層次的內涵。

蘇教版教材中整數(shù)乘法教學始于二年級上冊第三單元“表內乘法”，止于四年級下冊第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。在這期間，三年級上冊安排“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算（含估算）”，三年級下冊安排了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”。每個單元學習內容相互關聯(lián)、層層遞進，進一步分析，可以將整數(shù)乘法分為兩個層次進行教學，第一層次是乘法的意義及表內乘法；第二層次是多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和兩位數(shù)乘三位數(shù)，目標是運用分與合的思想遷移運用表內乘法相關知識進行計算。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”屬于整數(shù)乘法第二層次教學內容，在筆算乘法中具有承前啟后的重要作用，有著與兩、三位數(shù)乘一位數(shù)相同的口算算理和算法，又是筆算教學中的一個轉折點，即從以前的“一層”跨入了“兩層”，也是四年級下冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”教學的一個正遷移。教學時可以通過遷移運用多位數(shù)乘一位數(shù)的相關知識來解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)。但在以往單課時的教學實踐中，筆者有這樣的感受：“只見樹木，不見森林。”即不僅忽視了不同階段筆算學習之間的內在關聯(lián)性，而且沒有從乘法的意義、算理等高位視角進行整合。因此，學生在缺乏聯(lián)系的點狀學習中難以遷移運用已有知識結構解決問題，導致遷移能力的培養(yǎng)未能達到預期效果。這種現(xiàn)象不禁讓人反思，能否以相同的算理和算法作為遷移點，以單元主題教學的形式，幫助學生構建筆算乘法的整體知識，培養(yǎng)學生的運算能力和推理能力呢？這就是筆者研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”主題單元教學想要突破的。

一、促進遷移能力培養(yǎng)的數(shù)學主題單元教學

在新知識的初學階段，其意義的建構和獲得還沒有真正完成。按照有意義學習理論，新舊意義之間的聯(lián)系有一個同化、遷移的過程。所謂遷移，就其字面意思而言，就是搬動、轉移；從心理學視角來說，是指一種學習對另一種學習的一個影響。在學習活動中，遷移能力的培養(yǎng)與形成至關重要。具備遷移能力意味著學生能夠通過已學過的知識，尋找到前后知識之間的關聯(lián)性，將未知問題轉化為已知問題來解決，并能做到舉一反三、靈活運用。這一能力對于提高學生自主學習效率具有積極的促進作用。主題單元教學以知識結構為線索，以落實素養(yǎng)為根基，以促進意義理解和實現(xiàn)遷移運用為目的，通過結構化和整合化的教學活動，促進學生深度學習，同時深化學生對單元主題的理解和掌握。

二、學生遷移能力現(xiàn)狀分析

學情分析是主題單元教學的邏輯起點。為了了解學生的遷移能力，筆者對所帶兩個班級90名學生進行了前測：想一想，24×12的意義是什么？怎么計算？嘗試將你的計算方法表示出來。該題側重對以下兩方面內容進行分析：（1）學生能否將多位數(shù)乘一位數(shù)的算理和算法經(jīng)驗遷移運用到兩位數(shù)乘兩位數(shù)的運算中。（2）若無法遷移，學生計算時的主要難點是什么？需要教師如何進行指導？

（一）學生的遷移能力

前測結果顯示，17%的學生計算過程和結果完全正確，10%的學生只有結果；22%的學生無論用橫式還是豎式計算時都出現(xiàn)了共性錯誤：24×12=2×24＋1×24=72，這種算法是學生受到了多位數(shù)乘一位數(shù)的影響，忽略了中間交叉乘積的計算，其根本原因是不理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的本質；50%以上的學生雖然能夠理解乘法算式的意義，并能借助點子圖進行表征，但對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法卻無法用準確的語言進行表述，如先算什么、后算什么，更無法提煉兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法規(guī)律。

（二）學生的難點分析

將24×12的運算過程進行分解：首先是2×4等于8，然后是2×2等于4，當然是40，接下來是1×4等于4，也是40，最后是1×2等于2，然后再將它們相加。這里存在五個步驟，哪一步是學生的學習難點呢？從調研數(shù)據(jù)來看，學生對個位數(shù)上的2×4、2×2的計算基本沒有困難，這是之前學過的一位數(shù)乘一位數(shù)的計算；學生真正的計算難點在于12中十位上的1×4為什么是40，而且在列豎式時為什么要從左下方往右上方去乘，且這個4的書寫位置為什么對應的是十位，而不是個位。這也是學生計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)頻繁出錯的點。這個難點的根源在于學生對算理的不理解。豎式計算從以前的一層跨入現(xiàn)在的兩層，怎樣突破這個難點，也是筆者本次教學研究的重點。

三、以遷移能力培養(yǎng)重構單元教學內容

基于以上分析，筆者嘗試以培養(yǎng)學生的遷移能力為主線，對教材內容進行整合，以“多位數(shù)乘兩位數(shù)”為單元主題，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算、筆算融入其中，讓學生經(jīng)歷算理探究和算法歸納的全過程，發(fā)展學生的運算能力，并遷移運用到多位數(shù)乘兩位數(shù)的運算中（見表1）。

重構后的主題單元教學將筆算乘法作為核心內容，同時聯(lián)結了四年級下冊第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算，通過4個課時的教學，幫助學生溝通筆算與其他算法之間的聯(lián)系，并將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法遷移運用到多位數(shù)乘兩位數(shù)的計算中，從而實現(xiàn)遷移能力的培養(yǎng)。

四、基于遷移能力培養(yǎng)的主題單元教學過程

基于遷移能力的培養(yǎng)，筆者在這里重點對口算乘法和筆算乘法兩個板塊教學活動的設計進行論述。

（一）口算乘法，回顧乘法運算算理

1.激活經(jīng)驗，回顧乘法意義和兩位數(shù)乘一位數(shù)算理

任務一：出示情境圖，李叔叔買了2盒草莓，每盒草莓14個，一共有多少個草莓？自主列式，說一說為什么用乘法，14×2表示什么，14是由什么組成的。

學生活動：大部分學生能夠列出算式14×2或2×14，表示的意義都是2個14是多少，只有極少部分學生會列出14+14。

教師提問：你能口算出14×2的結果嗎？并解釋自己的口算方法。這些口算方法各自有什么特點？說一說你喜歡哪種口算方法。（見圖1）

（設計意圖：這一環(huán)節(jié)從乘法的“零認知”出發(fā)，根據(jù)情境圖列算式，引導學生回顧乘法的意義和數(shù)的組成，奠定乘法的基礎知識，明確“先分后合”的計算思路，為新知學習打好基礎。）

2.自主探究，感悟從未知到已知的轉化過程

任務二：出示情境圖，李叔叔培育出一批新品種菜椒，送給敬老院10盒，每盒12個。一共送給敬老院多少個菜椒？12×10的結果是多少呢？

生：利用一位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法進行口算，把10盒分成9盒和1盒進行計算，12×9＝108，12×1＝12，108＋12＝120（個）。

生：我把每盒的12個菜椒分成10個和2個進行計算。10×10=100，2×10=20，100+20=120（個）。

生：把10盒分成2個5盒，先算5盒有多少個，再算2個5盒有多少個，12×5=60，60+60=120（個）。

教師提問：對比分析，這些口算方法，你最喜歡哪一種？它們有什么共同點？

顯而易見，三個學生都遷移運用了兩位數(shù)乘一位數(shù)口算中“先分后合”的計算思路。這樣一拆分就把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉化成了原來學過的兩位數(shù)乘整十數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)。

生：這樣太麻煩，我利用學過的一位數(shù)乘整十數(shù)的方法進行口算，直接算12×1等于12個一，12×10就等于12個十，也就是120。

追問：計算12×10，為什么可以先用12×1，然后再添0呢？道理是什么？

學生小組討論。小組討論結束后，師生共同總結算理：口算兩位數(shù)乘整十數(shù)時，先把0前面的數(shù)相乘，然后再把0添上去。特殊的，對于幾十乘幾十時，先算幾乘幾，再添兩個0。

（設計意圖：對于乘法口算而言，在計算時最關鍵的步驟是對因數(shù)進行拆分。在兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算中，學生發(fā)現(xiàn)將14拆分成10和4更容易口算。于是在兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算中，學生也嘗試遷移運用以上方法，以探尋最為簡便的方法。）

從未知到已知，初步實現(xiàn)了理解乘法算理和算法的正向遷移。

（二）筆算乘法，突破多位數(shù)乘兩位數(shù)計算難點

在筆算乘法部分，將其分為兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位）以及多位數(shù)乘兩位數(shù)三個部分。

任務三：結合點子圖（見圖2），在點子圖上圈一圈、畫一畫、找一找、算一算12×14，并具體說一說是怎么計算的。學生利用手中的點子圖自主探究，并匯報成果。

生：我將14分成10和4，12×10利用兩位數(shù)乘整十數(shù)的方法等于120，12×4等于48，120+48=168。

生：我將14分成7和7，12×7利用兩位數(shù)乘一位數(shù)的方法等于84，84+84=168。

生：我將12分成10和2，14×10=140，14×2=28，140+28=168。

教師提問：這些拆分法有什么區(qū)別嗎？小組比較不同的拆分方法，將其分類，并從中選出最優(yōu)的方法。大多數(shù)小組認為，將14拆成10和4，或將12分成10和2計算最簡便。

追問：我們通過分步計算得到了12×14的積。你能用一個豎式來計算12×14嗎？（見圖3）

在列豎式計算時，只有少數(shù)同學第二步計算是12×1=12，將2寫到個位上，得到48+12=60的錯誤結果。對于筆算乘法，這是學生第一次構建兩層樓的豎式，所有的豎式都需要經(jīng)歷表征、橫式到豎式記錄的過程。因此，針對學生的錯誤，筆者再次讓學生在點子圖上分一分，并把四次相乘得出的結果在圖上圈出來，以此幫助學生理解算法和算理的關系。

追問：比較我們計算兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的方法，看看它們有什么相同之處。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是什么？

師生討論發(fā)現(xiàn)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是根據(jù)數(shù)和乘法的意義，把其中一個因數(shù)拆分成不同計數(shù)單位的數(shù)之和的形式，然后再分別相乘，把積加起來。它們都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)這一新知識轉化成學過的兩位數(shù)乘整十數(shù)或一位數(shù)乘一位數(shù)的舊知識，其中運用到了遷移和轉化的思想方法。

（設計意圖：本環(huán)節(jié)引導學生通過把“兩乘一加”的橫式推算過程在豎式中表示出來，自主完成由橫式推算走向豎式算法建構的過程。）

任務四：列豎式計算43×65，并說明筆算過程及豎式中每一步的含義。（答案見圖4）

（設計意圖：43×65的計算涉及兩位數(shù)乘以兩位數(shù)進位的運算規(guī)律。這一環(huán)節(jié)讓學生遷移前面所學的規(guī)律自己列豎式計算，并說明筆算過程及豎式中每一個數(shù)字的含義。這樣既幫助學生進一步掌握豎式計算的順序和方法，又加深學生對豎式含義的理解，從而達到真正理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理，鞏固算法。）

（三）遷移探究，多位數(shù)乘兩位數(shù)計算方法

三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、算法與多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)是一致的，只不過三位數(shù)乘兩位數(shù)多了一個計算步驟。在教學過程中，筆者放手讓學生進行自主探究，將已有的乘法豎式方法遷移到當前的學習中，以促進學生遷移能力的提升。兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)，都是先用第一個因數(shù)去乘第二個因數(shù)的個位，得到幾個一，再用第一個因數(shù)去乘第二個因數(shù)的十位，得到幾個十，最后把兩次乘得的結果合起來。兩位數(shù)乘兩位數(shù)，先用兩位數(shù)去乘第二個因數(shù)的個位，得數(shù)從個位寫起，表示多少個一，再用兩位數(shù)去乘第二個因數(shù)的十位，得數(shù)從十位寫起，表示多少個十，最后再把兩次的得數(shù)合起來。三位數(shù)乘兩位數(shù)同樣也是先用第二個因數(shù)的個位去乘兩位數(shù)，得數(shù)從個位寫起，表示多少個一，再用兩位數(shù)去乘第二個因數(shù)的十位，得數(shù)從十位寫起，表示多少個十，最后再把兩次的得數(shù)合起來。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法相同，都是在“先分再合”，這樣自然而然地就把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中了。根據(jù)這樣的規(guī)律，學生可以進一步推理出三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)等的算理和算法，接著類推到多位數(shù)乘多位數(shù)。

五、結論

在本單元教學中，筆者利用前測結果了解學生遷移能力及對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學習起點，明確學生的學習難點在于對算理的理解；在教學中引領學生回顧乘法的意義、兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理，激活學生已有知識和經(jīng)驗。在這個基礎上，筆者牢牢抓住乘法的本質，引導學生明確兩位數(shù)乘兩位數(shù)運算的本質就是將其中一個因數(shù)進行拆分，將其轉化成一位數(shù)或整十數(shù)乘兩位數(shù)來計算。筆者在類比探究的過程中，幫助學生搭建新舊知識的溝通橋梁，學會遷移運用舊知識來解決新問題，最終促進學生遷移能力的提高。

（作者單位：泗陽縣實驗小學）

編輯：常超波