創(chuàng)新能力培育視角下一道經(jīng)典不定積分題目的多種解法探析

摘"要：本文基于應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才培養(yǎng)理念，對一道經(jīng)典的不定積分題目∫1ex+1dx進行全方位、多角度的分析，采用發(fā)散思維，討論變形的總體思路和多種解法.本文主要運用湊微分法、有理代換法、割代換法、雙曲代換法等方法得到此題目的12種解法，有助于提高學(xué)生的邏輯思維、辯證思維、創(chuàng)新思維和應(yīng)用知識認識問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生追求真理、精益求精、勇攀科學(xué)高峰的使命感和責(zé)任感，達到了一題多解的良好教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新能力；不定積分；一題多解

中圖分類號：O171""文獻標(biāo)識碼：A

黨的二十大報告中指出，我們要堅持教育優(yōu)先發(fā)展、科技自立自強、人才引領(lǐng)驅(qū)動，加快建設(shè)教育強國、科技強國、人才強國，堅持為黨育人、為國育才，全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，聚天下英才而用之.2024年政府工作報告中提到，完善拔尖創(chuàng)新人才發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)機制.從報告中可以看出，拔尖創(chuàng)新人才備受關(guān)注.

高等數(shù)學(xué)是理工科院校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，也是非數(shù)學(xué)專業(yè)理工科專業(yè)學(xué)生的必修數(shù)學(xué)課，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.作為一名高等數(shù)學(xué)教師，肩負著培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重任，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，以達到深化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育、落實創(chuàng)新人才培養(yǎng)機制、推動素養(yǎng)導(dǎo)向的教與學(xué)雙向互動的目的.解題是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個重要方式，美國著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞指出，解題是智力的特殊成就，而智力乃是人類的天賦，因此解題可以認為是人的最富有特征性的活動.研究題目能否一題多解，如何進行一題多解，需要深入理解分析問題的表征及所涉及知識點并有綜合處理分析的能力.因此，一題多解不僅能對已有知識進行充分復(fù)習(xí)鞏固、靈活運用，而且能夠在潛移默化中提高學(xué)生的發(fā)散思維能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力.

本文從一道經(jīng)典的不定積分題目∫1ex+1dx出發(fā)，進行全方位多角度分析，采用發(fā)散思維，討論變形的總體思路和多種解法.應(yīng)用湊微分法、有理代換法、割代換法、雙曲代換法等方法探究出十二種解法.在具體解答實施過程中，以學(xué)生為主體，鼓勵學(xué)生自主探索、小組討論、查找資料，引導(dǎo)學(xué)生勇于提出問題并積極解決問題，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)熱情.最終提高學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力、知識應(yīng)用能力、解決問題的能力以及消化知識的能力，從而突破思維定勢，開闊思路，掌握知識的縱橫聯(lián)系，達到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果.

1"問題的表征

用湊微分法求解不定積分時，先要認真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項內(nèi)容，同時為下一步積分做準(zhǔn)備，當(dāng)實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪.

基本積分公式中有∫exdx=ex+C，但不定積分∫1ex+1dx不是基本積分公式.

這道題目中會先注意到ex，要善于利用ex，因為其求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同時乘以ex，就可以將分子中的ex看作ex求導(dǎo)的結(jié)果，進行湊微分，見方法31；又（e-x）′=-e-x，故也可以分子分母同時乘以e-x進而湊微分，見方法3.2；也可以將ex或者ex+1看作整體進行直接換元，見方法3.3；通過分子加減項化簡出現(xiàn)ex可以湊微分，見方法3.4；根據(jù)1ex+1′=-ex（ex+1）2的特點進行湊微分，但此種方法不容易想到，見方法3.5；利用第二類換元進行三角代換，見方法3.6、方法3.7；也可以利用雙曲正弦雙曲余弦函數(shù)的關(guān)系進行換元，見方法3.8.以上方法中具體寫法也有所不同，因而本文整理出具體的12種解法，供教師和同學(xué)們學(xué)習(xí)借鑒.

2"考查知識點

2.1"基本積分公式

∫1xdx=ln|x|+C，∫exdx=ex+C.

2.2"第一類換元法（湊微分法）

設(shè)函數(shù)f（u）具有原函數(shù)F（u），則∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C，其中φ（x）可微.

2.3"第二類換元積分法

設(shè)函數(shù)f（x）在某區(qū)間I上連續(xù)，又x=φ（t）在t對應(yīng)的區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)φ′（t）連續(xù)，且φ′（t）≠0，則有換元公式：∫f（x）dx=∫f［φ（t）］φ′（t）dtt=φ-1（x），其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數(shù).

3"綜合處理分析

3.1"分子分母同時乘以ex再湊微分

解法一：∫1ex+1dx=∫exex（ex+1）dx=∫1ex（ex+1）dex=∫1ex-1ex+1dex=lnex-ln（ex+1）+C=lnexex+1+C.

解法二：∫1ex+1dx=∫exex（ex+1）dx=∫1ex（ex+1）d（ex+1）.

令t=ex+1，則上式=∫1（t-1）tdt=∫1t-1-1tdt=lnt-1-lnt+C=lnt-1t+C=lnexex+1+C.

3.2"分子分母同時乘以e-x再湊微分

解法三：∫1ex+1dx=∫e-xe-x（ex+1）dx=-∫11+e-xd（e-x+1）=-ln（1+e-x）+C.

3.3"直接換元

解法四：令t=ex+1，則∫1ex+1dx=∫1td（ln（t-1））=∫1t（t-1）dt=∫1t-1-1tdt=lnt-1-lnt+C=lnt-1t+C=lnexex+1+C.

解法五：令t=ex，則∫1ex+1dx=∫1t+1d（lnt）=∫1t（t+1）dt=∫1t-1t+1dt=lnt-lnt+1+C=lntt+1+C=lnexex+1+C.

解法六：令x=lnt，則∫1ex+1dx=∫1elnt+1d（lnt）=∫1t+1d（lnt）=∫1t（t+1）dt=∫1t-1t+1dt

=lnt-lnt+1+C=lntt+1+C=lnexex+1+C.

3.4"分子加項減項再湊微分

解法七：∫1ex+1dx=∫1+ex-exex+1dx=∫1-exex+1dx=∫1dx-∫exex+1dx

=∫1dx-∫1ex+1d（ex+1）=x-ln（ex+1）+C.

3.5"直接湊微分

解法八：∫1ex+1dx=-∫ex+1exd1ex+1=令t=1ex+1-∫1t1t-1dt

=-∫11-tdt=ln1-t+C=ln1-1ex+1+C=lnexex+1+C.

3.6"第二類換元，利用sec2x-1=tan2x

解法九：∫1ex+1dx=∫ex-1e2x-1dx=令ex=sect∫sect-1tan2td（lnsect）

=∫sect-1tan2t1sectsecttantdt=∫sect-1tantdt=∫1sint-costsintdt

=∫csctdt-∫1sintd（sint）=lncsct-cott-lnsint+C

=lncsct-cottsint+C=ln1-costsin2t+C.

圖1

根據(jù)ex=sect，t∈（0，π2），做輔助直角三角形（如圖1），可得sint=e2x-1ex，cost=1ex，因此，∫1ex+1dx=ln1-1exe2x-1ex2+C=lnexex+1+C.

3.7"第二類換元，利用tan2x+1=sec2x

解法十：∫1ex+1dx=∫ex+1（ex+1）2dx=∫ex+1e2x+1+2exdx.

令ex=tant，t∈0，π2，則∫1ex+1dx=∫ex+1e2x+1+2exdx=∫tant+1sect+2tantd（lntant）

=∫tant+1sect+2tant1tantsec2tdt=∫sint+cost1+2sintcost1sintdt=

∫sint+costsin2t+cos2t+2sintcost1sintdt=∫1sint+cost1sintdt=∫（sint+cost）2-2sintcostsint+cost1sintdt

=∫sint+costsint-2costsint+costdt.

其中，∫sint+costsintdt=∫1dt+∫1sintd（sint）=t+lnsint+C，∫costsint+costdt=12∫cost+sint-sint+costsint+costdt=12∫1dt+∫1sint+costd（sint+cost）

=12t+lnsint+cost+C，故∫1ex+1dx=lnsint-lnsint+cost+C=lnsintsint+cost+C.

圖2

根據(jù)ex=tant，t∈（0，π2），做輔助直角三角形（如圖2），可得sint=exe2x+1，cost=1e2x+1，故∫1ex+1dx=lnexe2x+1exe2x+1+1e2x+1+C=lnexex+1+C.

解法十一：令ex=tan2t，t∈0，π2，則x=lntan2t，dx=2tantsec2ttan2tdt=2sec2ttantdt，∫1ex+1dx=∫1tan2t+12sec2ttantdt=∫1sec2t2sec2ttantdt=2∫1tantdt=2∫1sintd（sint）

=2lnsint+C.

圖3

根據(jù)ex=tan2t，t∈0，π2，做輔助直角三角形（如圖3），可得sint=exex+1，故∫1ex+1dx=2lnexex+1+C=lnexex+1+C.

3.8"利用雙曲正弦雙曲余弦函數(shù)的關(guān)系cosh2x-sinh2x=1

解法十二：令ex=sinh2t，則x=lnsinh2t，dx=2sinhtcoshtsinh2tdt=2coshtsinhtdt，

∫1ex+1dx=∫1sinh2t+12coshtsinhtdt=∫1cosh2t2coshtsinhtdt=2∫1coshtsinhtdt=

2∫cosh2t-sinh2tsinhtcoshtdt=2∫coshtsinht-sinhtcoshtdt=2∫1sinhtd（sinht）-∫1coshtd（cosht）=2lnsinht-lncosht+C=2lnsinhtcosht+C=lnexex+1+C.

本文從高等數(shù)學(xué)中一道不定積分題目出發(fā)，用不同的方法進行解答，以上十二種解法展示了“一題多解”的基本過程，體現(xiàn)了題目解法的靈活性和多樣性.“一題多解”教學(xué)的目的在于拓寬學(xué)生的知識面，提高學(xué)生運用不同知識解答問題的技巧.雖然過程不同，但結(jié)果一致，這體現(xiàn)了一題多解的結(jié)論一致性、數(shù)學(xué)知識的融會貫通以及對發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力的培養(yǎng).教學(xué)設(shè)計豐富而有層次，由淺入深，符合本科一年級學(xué)生的認知規(guī)律和學(xué)習(xí)程度要求，學(xué)生通過學(xué)習(xí)、思考和對比能更深入地理解知識點及不同方法的區(qū)別和優(yōu)缺點，以便針對不同的實際應(yīng)用而選擇不同的處理方法.通過“一題多解”不僅能體現(xiàn)解題能力的強弱，也能彰顯它開放思維、創(chuàng)意創(chuàng)新的特點.因而，“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一種重要途徑.

通過對比不同解題方法的過程和優(yōu)缺點，同學(xué)們對所學(xué)知識間的縱橫關(guān)系有所了解，同時通過比較能找到更簡潔的解題途徑.以隱性課程思政的方式，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、精益求精的科研精神，進一步體現(xiàn)了科學(xué)研究的一般規(guī)律.同時，在小組合作討論交流、查閱資料的過程中，也提高了同學(xué)們的團隊協(xié)作能力和彼此的感情，這無疑也是一種很好的思政教育.

除此之外，高等數(shù)學(xué)課程中的很多題目都可以用多種思路和方法求解，在組織“一題多解”教學(xué)時，應(yīng)以學(xué)生為主體，充分引導(dǎo)以激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自我探索能力，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，弘揚學(xué)生的創(chuàng)新精神，鼓勵其積極參與教學(xué)活動，并敢于標(biāo)新立異，勇于提出問題，積極開展交流和討論，課后讓學(xué)生通過相應(yīng)的訓(xùn)練達到熟能生巧的程度，使學(xué)生深化知識的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的實踐和再創(chuàng)造能力.這樣才有利于學(xué)生突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和綜合能力，這對學(xué)生學(xué)習(xí)綜合運用多種積分技巧求解不定積分具有啟發(fā)意義.

參考文獻：

［1］王彩俠，戴智博.高等數(shù)學(xué)中一題多解及創(chuàng)造性思維培養(yǎng)探究［J］.教育現(xiàn)代化，2019，6（39）：173174.

［2］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué)（上）［M］.8版.北京：高等教育出版社，2023.

基金項目：2024年江蘇省高校人工智能通識教育教學(xué)改革研究專項課題：人工智能視域下大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)轉(zhuǎn)型探索研究（2024AIGE44）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項目：教育數(shù)字化背景下基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平提升研究（2409072015）;2024年蘇州城市學(xué)院高等教育改革研究項目：新工科背景下基于“一中心—三要素—四方位—多元化”數(shù)字化賦能大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)評價的探索研究（24JGJ24）

作者簡介：郝曉紅（1986—"），女，漢族，碩士，副教授，主要研究方向：微分方程、數(shù)學(xué)教育。