求解?求源?求新：結構化視角下的解題探索及教學啟示

【摘要】針對解題教學中重記憶輕理解，重結果輕過程等問題，通過對一道試題的解題探索，分析知識結構化整合的過程，歸納結構化視角下數學解題的三個階段：求解、求源、求新.由此啟發解題的課時教學中，教師應該重視鼓勵學生開拓思維，一題多解；引導學生追求本質，建立聯系；帶領學生變式推廣，更新結構.

【關鍵詞】結構化；解題探索；解題教學

解題是數學學習與研究的基本活動.隨著教育思想觀念的發展，數學解題不僅僅是獲得結論或解，更要注重解決問題的過程、策略和思維^[1].《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出課程內容要結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑.重視數學結果的形成和過程，處理好過程與結果的關系^[2].結構化指的是將知識碎片整合為一個知識體系，解題作為關聯知識、思維、問題的紐帶，是知識進行結構化整合的重要載體.

然而，受傳統解題觀的影響，實際解題教學過程重記憶輕理解，重結果輕過程，忽視了學生知識結構的構建和遷移，導致知識碎片化、學科思維被虛化^[3].波利亞在著作《怎樣解題》中，提出了解題的四個環節：理解題目、設計方案、執行方案和回顧.眾多學者對此進行了實踐，但大多追求一般化推廣，而忽視了揭示如何實現知識結構化的路徑^[4].

鑒于此，本文以一道幾何題的解題探索過程為例，基于結構化視角，揭示通過數學解題實現知識結構化的路徑，為解題教學提供一些啟發.

1結構化視角下的解題理念

在數學解題過程中，由于問題的條件多、聯系多，使得解題的方向多、方法多，故如何找準方向，精準定位問題的本質，是解題的關鍵.結構化視角下的數學解題，就是要搭建問題、條件之間的橋梁，形成知識結構，在遇到同一類問題時，能夠迅速調動知識結構，解決問題.基本過程可以概括如下：

（1）求解.調動已有零碎經驗或已形成的部分結構，進行解題探索，不能滿足于一種方法，而是要從不同視角分析，獲得同一視角下的多種解法，不同視角下的不同解法.

（2）求源.回顧解題的思維過程，分析每種解法的數學本質.第一，回顧基本路徑，即“一般的解決過程”；第二，回顧關鍵原理，即“解決過程的依據”；第三，回顧思想方法，即“解決過程的思維”，層層遞進.進一步的，分析不同解題方法的相同與不同之處，從特殊到一般，建立解決同一類問題的知識結構.

（3）求新.結構建立后，回歸到問題的變式推廣，經歷知識結構的具體運用，在問題解決中強化舊結構，在發現新思路中更新結構.變式推廣主要的三個方向：其一，對條件的一般化推廣，獲得更一般的規律；其二，對條件的特殊化處理，發現特殊結論；其三，置換問題背景，變中尋找不變.

通過“求解—求源—求新”三個進階過程，從組織零碎經驗，到發現解決一類數學問題背后的基本路徑、關鍵原理和思想方法，進而以此為錨點建立結構，通過一般化、特殊化、置換背景等變式推廣，強化和更新結構，提高遷移水平.下面，以一道幾何題為例，闡明結構化視角下的數學解題探索過程，并總結歸納經驗，啟發解題教學.

2結構化視角下數學解題探索

題目如圖1，在圓內接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點E，使AE=AC，延長BA至點F，連結EF，使∠AFE=∠ADC.

（1）若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數.

（2）求證：①EF∥BC；②EF=BD.

2.1求解——多元視角下探索問題

本文僅討論該題的最后一問.最后一問直接讓學生證明線段相等，省去猜想的過程，簡化了問題難度，但如果改成“線段EF與BD有怎樣的數量關系？”則更有數學探究的味道.通過探索，有以下7種解法.

視角一通過構造全等三角形，證明線段相等

解法1如圖2，在BCD上取點G，使得DG=AC，因為DG=AC，所以∠DBG=∠ADC，AC=DG，因為AC=AE，所以DG=AE，因為∠DGB=∠BCD=∠EAF，所以△DGB≌△EAF（AAS），所以EF=BD.如圖3所示，還可以過點C作CG∥AD交圓于點G，由圓周角相等易證AC=DG，后續證明同前.

解法2如圖4，在BCD上取點G，使得BG=AC，所以∠BDG=∠ADC，AC=BG，因為AC=AE，所以BG=AE，因為∠DGB=∠BCD=∠EAF，所以△BGD≌△EAF（AAS），所以EF=BD.如圖5所示，還可以過點A作AG∥BC交圓于點G，由圓周角相等易證AC=BG，后續證明同前.

解法3如圖6，在ADC上取點H，使得AH=BD，所以AH=BD，∠ACH=∠BCD=∠EAF，因為∠AHC=∠ADC=∠EFA，AC=AE，所以△ACH≌△EAF（AAS），所以EF=AH=BD.如圖7所示，還可以過點B作BH∥AD交圓于點H，由圓周角相等易證AH=BD，后續證明同前.

解法4如圖8所示，在ADC上取點H，使得CH=BD，所以CH=BD，∠CAH=∠BCD=∠EAF，因為∠AHC=∠ADC=∠EFA，AC=AE，所以△CAH≌△EAF（AAS），所以EF=CH=BD.如圖9所示，還可以過點D作DH∥BC交圓于點H，由圓周角相等易證CH=BD，后續證明同前.

視角二通過平行構造相似三角形，利用等比關系證明線段相等

解法5如圖10所示，過點D作DM∥BC，交AF于點M，易得，EF∥BC，所以DM∥EF，所以△ADM∽△AEF，所以ADAE=DMEF，∠AFE=∠AMD=∠ADC因為∠ACD=∠ABD，所以△BDM∽△CAD，所以DMAD=BDAC，即DMBD=ADAC，因為AC=AE，所以DMEF=DMBD，所以EF=BD.

解法6如圖11所示，延長CB，EA，交于點N，由上一小題可知，EF∥BC，所以△AEF∽△ANB，所以ANAE=BNEF，所以ANAC=BNEF，因為∠ADB=∠ACB，所以△NDB∽△NCA，所以ANAC=BNBD，所以EF=BD.

視角三通過尺規作圖發現等圓心角所對弦相等

解法7如圖12所示，過EA作中垂線，以點A或點E為圓心，圓O的半徑長為半徑作圓，與中垂線交于點P（由AC與點O的位置決定），然后以點P為圓心，PA長為半徑作⊙P.假設點F不在⊙P上，在AQE上取一點Q，因為⊙P與⊙O為等圓，且EA=AC，所以∠AQE=∠ADC，若點F不在⊙P上，∠AFE≠∠ADC，與條件∠AFE=∠ADC矛盾，所以點F在⊙P上，又因為∠BCD=∠EAF，所以EF=BD.當然，此處采用正弦定理可以直接得到⊙P與⊙O為等圓，但是在初中階段并不鼓勵此方法.

2.2求源——不同解法間歸納聯系

解題除了解決問題，還要回顧過程，發現本質，形成套路.彭達浩等總結教解題既要教套路讓學生明白具體程序；也要教套路背后蘊含的原理；還要教套路形成過程中的數學思想^[5].基于此，本文在吸收以上觀點的基礎上，從基本路徑、關鍵原理和思想方法三個層面分析不同解法的本質，以發現內在聯系，抽象一般規律.

首先，分析視角一中的解法.無論哪種解法，都指向利用全等三角形證明線段相等.基本路徑主要是通過線段相等的問題，聯想到全等三角形，然后構造全等三角形.

在圓內通過平行線構造等弦，能夠精準定位構造點的位置，是一種常用的套路，體現課標強調的發展學生尺規作圖能力的要求.但是，無論是直接構造全等三角形，還是通過作平行線構造全等三角形，都是通過圓周角定理切入，所以全等三角形的性質、圓周角定理，是此類解法的關鍵原理.

從思想方法層面看，將線段長通過圓周角進行轉化，利用全等三角形證明線段相等，從二維聚焦到一維，都體現著化歸思想.

其次，分析視角二中的解法.視角二中，無論哪種解法，都指向利用相似三角形的等比例線段證明線段相等.基本路徑是先根據平行線條件，聯想到構造相似三角形，然后探索線段比例關系證明線段相等.此外，解法6的思維起點，也可以是已有兩組角相等，從而聯想到構造相似三角形.

平行線與相似三角形之間的關系緊密，因為平行線為相似三角形提供了角相等的條件，而此題中在已知EF∥BC的基礎上，構成相似三角形的平行線有3種可能，即（1）過點D作平行線；（2）延長EA和CB交于一點；（3）連接EC并延長與FB延長線交于一點.但最后只有（1）與（2）可用，關鍵在于第（3）種思路未將已知條件有效勾連.此外，解法5中將ADAE轉化為ADAC，解法6中，將ANAE轉化為ANAC也是突破問題的關鍵，因此，利用平行線構造相似三角形，以及線段的等量代換，是此類解法的關鍵原理.

從思想方法層面看，利用一組相似三角形的邊長比例關系，通過等量代換獲得另一組相似三角形，從而獲得線段的等比關系，巧妙地在數與形之間轉化，充分體現了數形結合的數學思想.

最后，分析視角三中的解法.在圓背景下，要證明等角所對的弦相等，容易聯想到在同圓或等圓中，圓周角相等，所對的弦相等.因此，從線段相等的問題，以及所對角相等的條件出發，聯想到構造等圓進行證明，是此類解法的基本路徑.

那么如何根據AE=AC以及∠AFE=∠ADC構造等圓呢？方法有2種，第一種是通過構造△AEF的外接圓，證明兩個圓的半徑相等；另一種是先構造等圓再證明點A，E，F均在等圓上.如解法7采用第二種.而無論是構造外接圓還是構造等圓，均指向學生尺規作圖的能力，所以通過中垂線交點或中垂線及半徑長，從而找到另一個圓的圓心位置，是這此類解法的關鍵原理.

從思想方法層面看，此類解法將線段相等的問題轉化為等圓中弧或圓周角相等的問題，把直線問題轉化為曲線問題，體現了化歸思想.

分析三種解題視角本質上的區別與聯系，構建一般化的知識結構，如圖13所示.在化歸思想的統攝下，從二維到一維，而相似三角形的解法則體現了數形結合之美.

2.3求新——變式推廣中更新結構

數學要重視創新，就是要不斷改變習慣性思維.知識的結構化雖有助于遷移，但不能成為限制創新的枷鎖.在不同背景下，有解決問題的新方法、新思路應該吸收到原結構中，不斷更新結構.因此，知識結構是動態變化的，必須在不斷實踐中繼承、完善和發展.

2.3.1對條件的一般化處理

變式1將問題中AE=AC的條件改為AE=2AC，如圖14所示，求線段EF與BD數量關系.問題起點由相等問題變成了比例問題，調整解題思路如下：

條件的一般化處理

思路1將比例問題轉化為線段相等問題.如圖15所示，分別取AE和AF的中點G和H，連接GH為△AEF的中位線，EF=2GH.這樣就將圖形轉化為原題的圖形，結合前述的7種解法，均可以證明GH=BD，得EF=2BD.

思路2直接利用相似三角形處理，如圖16，類比原題視角一的4種全等構造法，構建△BDG∽△FEA，相似比為1∶2，得EF=2BD.

進一步將問題中AE=AC的條件改為AE=nAC，求線段EF與BD數量關系.有了上述經驗，思路如下：

思路3將比例問題轉化為線段相等問題.分別取AE和AF的n等分點，G和H，易得EF=nGH.這樣就將圖形轉化為原題圖形，易得EF=nBD.

思路4直接利用相似三角形處理.類比視角一的4種構造法，構建△BDG∽△FEA，相似比為1∶n，得EF=nBD.

通過條件的一般化推廣，知識結構可以更新為如圖17所示.

2.3.2對條件的特殊化處理

條件的特殊化處理變式2在原問題基礎上，增設條件AB∥CD，如圖18所示，則可得特殊的結論EF=AE=BD=AC.思路如下：

思路5利用平行證明等腰三角形，根據等腰三角形性質切入.由前述經驗可得EF=BD，又因為AB∥CD，所以∠ADC=∠EAF=∠EFA，因為EF=AE，又因為AE=AC，所以EF=AE=BD=AC.

思路6利用平行獲得等圓周角，利用圓周角與弦的關系切入.由前述經驗可得EF=BD，又因為AB∥CD，所以∠BDC=∠ABD，因為AD=BC，所以AC=BD，所以EF=AE=BD=AC.

通過條件的特殊化處理，發現新思路，知識結構更新為如圖19所示.

（3）置換問題的背景

在不同的背景下，是否所有問題都可以遷移此知識結構進行處理呢？因此，有必要進一步拓展，改變問題背景.

變式3如圖20所示，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點（不與點B，C重合），連結AE，過點E作EF⊥AE交正方形外角∠DCG的平分線于點F，求證AE=EF.

根據已有知識結構，線段相等問題，可以關聯到構造全等三角形、構造相似三角形、構造隱圓、構造等腰三角形，分別進行嘗試.

思路1如圖21所示，關注到∠ECF角度不變為135°，聯想到可以在AB上取一點H，連結EH，使得∠AHE=135°，可得BE=BH，AH=EC進而證明△AHE≌△ECF（ASA），得AE=EF.

思路2如圖22所示，連結AC，則∠ACF=90°，因為∠AEF=90°，所以點A，E，C，F同在⊙O上，又因為∠ACB=45°，所以∠AFE=45°，所以△AEF是等腰直角三角形，所以AE=EF.

整體上，在化歸思想指引下，結合運動變化思想和數形結合的思想，對條件進行加工，指向問題解決的一般過程.如構造全等三角形時，不僅可以考慮線段轉化，還可以考慮角度的轉化，但尋找的線段、角度都是變化中的不變量.如構造隱圓后，眼光不僅要關注圓周角，還應該關注弦、弧等不變的量，從而獲得其他相關要素的關系.

3教學啟示

通過對一道幾何題的解題探索過程，揭示了數學知識結構化建構的過程，將其歸納為求解、求源、求新三個階段.基于此，在解題教學中，有如下啟示.

3.1一題多解組織零碎經驗

解題過程要注重探究到位，形成一題多解.教師的思維要開放，不要固化思想，而限制了學生的思路.解題教學中可以引導學生從不同條件或問題為起點聯想.如本題中從平行線條件出發聯想到相似三角形，從等邊等對角條件聯想到隱圓，從線段相等問題出發聯想到全等三角形、等腰三角形等.

3.2求同存異構建知識結構

事物都有聯系，而尋找不同解法的聯系，是對解題過程的進一步抽象.解題教學中，教師應在已有多解的基礎上引導學生進行歸納總結，發現不同解法的相同與相異之處，構建知識結構.如本題分析了三種視角下不同解法共通的基本路徑、關鍵原理和思想方法，挖掘本質，然后又聯系三種不同視角，從相等線段出發，構建知識網絡.

3.3變式推廣更新固有觀念

通過一道或幾道題的經驗構建的知識結構是不完善的，通過學習的深入，認知提高，知識結構必定要不斷被更新.因此，解題教學中，學生構建的知識結構，需要通過變式推廣獲得更一般的結論、發現特殊結論等.如本文通過對條件的一般化、特殊化、置換問題背景等處理，對知識結構進行了更新.

3.4尺規作圖創新思維方式

平面幾何問題，特別是運動問題背景下，尺規作圖能夠體現幾何圖形構成對象之間的內在關系，是分析幾何圖形結構的重要有效手段.幾何教學中，教師應該要讓學生親身體驗尺規作圖，提升尺規作圖能力.

總之，數學解題的一般過程可以分為求解、求源、求新三個階段，而在三個階段不斷交替的過程中，解題能力才能循序漸進的提升.因此，在解題的課時教學中，教師也應基于解題的這三個階段，設計教學內容，實現知識的結構化.

參考文獻

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[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]王紅權.思維教學：發揮數學解題教學的過程價值[J].中學教研（數學），2023（7）：18-22.

[4]朱清波，曹廣福.例談探究式解題課教學[J].數學教育學報，2020，29（2）：49-52.

[5]彭達浩，李祎.數學解題需要套路嗎[J].數學通報，2022，61（5）：43-45，51.

作者簡介

李德寶（1972—），男，安徽宿州人，中學高級教師；主要從事初中數學教學設計及教材教法研究.

謝耀聰（1994—），男，浙江杭州人，中學一級教師；主要從事初中數學教學及教學方法研究.