基于“圖形的變化”視角下的中考壓軸題解法探究及教學建議

【摘要】通過對2024年江蘇省連云港市中考數學壓軸題的后三問進行了不同角度的解法分析與求解，給出教學建議的三個視角：用變換的眼光看圖形、用溯源的眼光思問題、用聯系的眼光研問題，以發展學生的幾何直觀、推理能力、模型觀念等核心素養．

【關鍵詞】中考壓軸題；解法探究；圖形變化；教學建議

1試題呈現

【問題情境】

（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2），這時候就容易發現大正方形面積是小正方形面積的倍．

由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；

【操作實踐】

（2）如圖3，①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a，b，c，d之間存在某種數量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內一點P為端點的四條線段之間的數量關系；圖3

【探究應用】

（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉，他發現旋轉過程中∠DAP存在最大值．若PE=8，PF=5，當∠DAP最大時，求AD的長；

（4）如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D，E分別在邊AC和BC上，連接AE，BD．若AC+CD=5，BC+CE=8，求AE+BD的最小值．

本研究聚焦于2024年連云港市中考數學壓軸題中的第（2）（3）（4）小題，旨在探究圖形變化在解決復雜數學問題中的應用.盡管第（1）小題相對簡單，但其核心思想——圖形變化是解決問題的有效策略為后續題目提供了解題方向.

第（2）小題針對對角線互相垂直的四邊形，如何探究其四邊關系，給出具體的操作過程，提供了基本活動經驗，形成如圖4的矩形基本結構，考查了矩形的性質；第（3）小題考查對三角形旋轉變換的理解與運用，讓學生在圖形的動態變化中尋找、發現不變性，理解和感悟“隱圓”的存在及所求角存在最大值的狀態；第（4）小題考查學生綜合運用圖形變化創造性解決未知問題的能力，思維層次要求更高.總體來看，試題設計難易層次分明，考查圖形變化前后一致，邏輯連貫.具體來說，本壓軸題綜合考查了旋轉變換、平移、軸對稱這三種重要的圖形變化，三角形、四邊形、圓的相關性質與一些線段之間的位置關系、數量關系.試題主要涉及化歸思想、方程思想、數形結合思想、函數思想、不等式思想，主要考查學生的幾何直觀、推理能力、運算能力、模型觀念等數學核心素養.

2解法探究

2.1分析與求解第（2）小題

思路1利用矩形性質和勾股定理

考慮到PA，PB，PC，PD在矩形中的位置類似，所以從點P作垂線，利用勾股定理和矩形的性質就可以發現四條線段之間的關系.

解法1如圖7，過點P作PE⊥AB于點E，交線段CD于點F.易知四邊形AEFD、EBCF都是矩形，則AE=DF，BE=CF.由勾股定理得PA2=AE2+PE2，PB2=BE2+PE2，PC2=CF2+PF2，PD2=DF2+PF2，所以PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2=DF2+PE2+BE2+PF2=PB2+PD2.

評注圖7揭示了四邊之間的關系不僅是一個特定案例，而是可以推廣為矩形的一個普遍性質：對于矩形ABCD所在平面內任意一點P，都有PA2+PC2=PB2+PD2.這一性質的證明與解法1中的方法一致，顯示了幾何圖形的普適性和對稱性.

思路2利用幾何模型和平移

受解法1的啟發，發現PA2-PB2=AE2-BE2，利用圖形變化中的平移，把線段PF平移至EG，連結GA，GB，便可求得關系式.

解法2如圖8，過點P作PE⊥AB于點E，交CD于點F，則PF⊥CD.平移PF至EG.

則PA2-PB2=AE2-BE2.同理GA2-GB2=AE2-BE2，所以PA2-PB2=GA2-GB2.

因為GA=PD，GB=PC，所以PA2-PB2=PD2-PC2，即PA2+PC2=PB2+PD2.

評注解法1和解法2都用到了一種常見的幾何模型：如圖9，若CD⊥AB于點D，則CA2-CB2=AD2-BD2.該模型的最大特點是“斜化直”，看似簡單，應用卻十分廣泛.

思路3利用三角形中線的性質

連接AC、BD交于點O，連接OP.由矩形的性質，可知線段OP既是△PAC的中線也是△PBD的中線，利用三角形中線的性質，可直接推導出所求四邊之間的關系.

解法3如圖10，連接AC，BD交于點O，連接OP.由三角形中線的性質可知：

PA2+PC2=2（OA2+OP2），PB2+PD2=2（OD2+OP2），

因為OA=OD，所以PA2+PC2=PB2+PD2.

評注該解法中運用的三角形中線的性質可以看作是平行四邊形性質的一種推論.而平行四邊形的各邊與對角線之間的關系為：其兩條對角線的平方和等于兩鄰邊平方和的兩倍.

2.2分析與求解第（3）小題

思路1利用直線與圓相切的性質

由旋轉變換的性質可知：在旋轉過程中，圖形中任意兩點間的距離保持不變，夾角也保持不變.如圖11—13，在旋轉過程中，可以看到∠DAP是先變大后變小，然后再變大又變小的過程，直觀感知當∠ADP為直角時，∠DAP最大.考慮到點D的運動軌跡是以點P為圓心以PD為半徑的圓，可以發現當AD與⊙P相切時，∠DAP最大.

解法1如圖14.因為△PDC繞點P逆時針旋轉，所以點D在以點P為圓心，PD為半徑的圓上運動.

因為A為圓外一個定點，所以當AD與⊙P相切時，∠DAP最大，所以PD⊥AD.所以AD²=AP²-PD²，由（2）可得：AE=DF.又因為PE=8，PF=5，所以AD²=AP²-PD²=PE²+AE²-（DF²+PF²）=PE2-PF2=8²-5²=39，解得AD=39.

評注本解法在△PDC繞點P逆時針旋轉過程中，利用幾何直觀，直覺發現AD與⊙P相切時，∠DAP最大.

那么如何證明這一個結論呢？

如圖15，過點P作PH⊥AD于H，則sin∠DAP=PHPA≤PDPA，

所以當AD與⊙P相切，點D為切點時，sin∠DAP取得最大值，此時∠DAP最大.

思路2利用正弦定理

對學有余力的學生，也可借助于正弦定理理解AD與⊙P相切時，∠DAP最大.這時可把復雜圖形進行提取，單獨研究△ADP.

解法2如圖16，不妨考查△ADP.根據正弦定理得PDsin∠DAP=PAsin∠ADP.

考慮到PD，PA都是定值，要使銳角∠DAP最大，只需sin∠ADP最大.

所以當sin∠ADP=1，即∠ADP=90°時，∠DAP最大.其余過程同解法1.

思路3利用余弦定理

仍然單獨研究△ADP，從余弦的角度試著解決問題.

解法3如圖17，過點D作DM⊥AP于M，記∠DAP=θ，AD=x，PA=a，PD=d.則

AD²-AM²=PD²-PM²，即x²-（xcosθ）²=d²-（a-xcosθ）²，

整理得x²-2axcosθ+a²-d²=0.

由Δ≥0得4a²cos²θ-4（a²-d²）≥0，

解得sinθ≤da，所以當sinθ=da，即∠ADP=90°

時，θ=∠DAP最大.其余過程同解法1.

評注1解法1后的評注、思路2、思路3，都是借助

于正弦或余弦三角函數來解釋方法1中為什么直線與圓

相切時∠DAP最大的原因，這樣就知其然也知其所以然了.

評注2由上面的分析解答，可得幾何模型：如圖18，在△ABC中，AB、BC均為定值，且ABgt;BC，則當∠ACB=90°時，∠CAB有最大值.

2.3分析與求解第（4）小題

分析已知條件AC+CD=5，BC+CE=8均表示兩條線段的和，線段之間的關系看不清楚，若能把兩條線段和轉化為一條線段或采用代數方法進行計算，則將是切實可行的方法.

思路1利用“兩點之間線段最短”

利用兩次軸對稱的方法把已知的兩組線段和都各自轉化為一條線段，然后平移其中一條線段，使之共端點，再利用“兩點之間線段最短”可使問題獲得解決.

解法1如圖19，分別延長AC，BC至D′，E′，使得CD′=CD，CE′=CE.連接AE′，BD′.

因為AC⊥BC，所以BD′=BD，AE′=AE.把線段BD′平移至AF，連接BF，E′F.則四邊形AD′BF為平行四邊形，且FB⊥BE′.

因為AC+CD=AC+CD′=AD′=5，BC+CE=BC+CE′=BE′=8，

所以AE+BD=AE′+BD′=AE′+AF≥E′F=82+52=89.

評注圖形的變化中的平移是處理非共點線段求最值問題常見的方法，線段平移后問題便轉化為三角形問題.這便是數學中經常采用的化歸思想.

兩次利用軸對稱變換，把AC+CD與BC+CE分別轉化為一條線段，然后把變換后的圖形放到一個矩形中，利用矩形的性質及兩點之間線段最短來求解.

解法2如圖20，同2.3解法1中添加輔助線那樣，同樣得BD′=BD，AE′=AE.

分別過點D′，E′作BC，AC的平行線交于點H，分別過點A，B作BC，AC的平行線交于點F，FA交HE′于點G，FB交HD′于點I，連接CI，CG.可知四邊形ACE′G，BCD′I，FGHI都是矩形.

因為AC+CD=AC+CD′=AD′=5，BC+CE=BC+CE′=BE′=8，

所以AE+BD=AE′+BD′=CG+CI≥GI=82+52=89，所以AE+BD的最小值為89.

評注這種解法是受題目“操作實踐”中圖形變化的啟發，構造與其類似的圖形結構.

思路2利用“將軍飲馬”數學模型

根據幾何圖形可用代數刻畫的想法，引入變量，把幾何最值問題轉化為代數最值問題，結合代數式特點，能聯想到“將軍飲馬”數學模型，問題便自然而然解決了.

解法3仍用圖6，設CD=x，CE=y.則AC=5-x，BC=8-y，其中0≤x≤5，0≤y≤8.

因為∠ACB為直角，所以AE+BD=（5-x）2+y2+x2+（8-y）2

=（x-5）2+（y-0）2+（x-0）2+（y-8）2.

這兩個二次根式的和可看成平面直角坐標系內一點P（x，y）到M（5，0）、N（0，8）兩點之間的距離和，則當點P在線段MN上時，（AE+BD）min=（5-0）2+（0-8）2=89.

評注這種方法利用從形到數、化歸及函數方程不等式的思想，把線段和的最值問題轉化為求兩定點間的距離公式問題，從而把幾何問題代數化.其中求最小值的依據還是借助于“兩點之間線段最短”.

思路3利用代數不等式

構造三個相關的直角三角形，把已知的兩組線段和分散在兩個不同的直角三角形中，然后利用勾股定理把待求的兩條線段和轉化為為斜邊和，再利用“兩點之間線段最短”，所求最小值問題的答案便呼之欲出.

解法4構造圖21，設MN=a，NP=b，PQ=c，QR=d，則a+c=5，b+d=8，且

AE+BD=MP+PR=a2+b2+c2+d2

≥MR=（a+c）2+（b+d）2=52+82=89.

評注此法也是利用從形到數及化歸的思想，把幾何求最小值問題轉化為不等式問題，把幾何問題代數化.用這樣的構圖方法，可以把上述不等式一般化.

不等式1^[1]188a2+b2+c2+d2≥（a+c）2+（b+d）2，

其中a，b，c，dgt;0.

不等式2∑ni=1a2i+b2i≥

∑ni=1ai2+∑ni=1bi2，

其中ai，bi≥0（i=1，2，…，n）.

上述推廣的不等式2稱為n維歐式空間的Minkowski不等式，它的證明方法與思路4提供的方式類似，也是構圖法.這個不等式在后繼數學課程的學習中有十分重要而廣泛的應用.

3教學啟示

3.1用變換的眼光看圖形，培養幾何直觀素養

2022年版的義務教育階段的新課標中“圖形的變化”強調從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉和平移時的變化規律和變化中的不變量^[2]63.本題采用圖形變化的語言描述條件，探究解題方法，求得解題結論，不僅體現了考查抽象素養的需要，還呼應了用圖形變換的視角研究幾何圖形的教學導向^[3]54.運用圖形的三大變換視角觀察、分析幾何圖形，探索圖形中線段、角之間的位置和數量關系，有利于借助動態的眼光發展學生的幾何直觀核心素養，建立形數聯系，構建數學問題的直觀模型^[2]73.

3.2用溯源的眼光思問題，探索問題歸本思路

在當前“遵循課標要求，嚴格以標命題”^[2]91的雙減背景下，重視、加強對課本典型例題和重要習題的深入研究就顯得十分必要.本文著重探究的中考壓軸題中3個小題的難點的突破——添加輔助線，都可以從教材中發現其蹤跡.比如，第（3）小題解法1中“直覺發現AD與⊙P相切時，∠DAP最大”.這個想法的來源可以追溯到人教版九年級下冊“銳角三角函數”這一章中第28.2.2節應用舉例中的例3所提到的解法.“萬變不離其宗”，可以說課本是中考試題命制的源頭活水.下大功夫深入鉆研教材，比較分析課本原題與中考試題的關聯，把具有基礎性特點的中考試題與課本原題有機串聯成問題鏈，有利于引導學生深入理解基礎知識，透徹理解核心知識，優化數學知識結構，牢固掌握數學基本概念、原理、技能和基本思維方法，深刻領悟數學基本思想，指導數學學習方法^[4]47，促進學生跳出題庫，重視、研究題源，由學會轉為會學，由被動到主動學習.

3.3用聯系的眼光研問題，尋覓問題本質解法

數學問題千變萬化，但從系統的角度用聯系的觀點看，這些問題之間或多或少都存在關聯.面對條件較多的幾何圖形，嘗試對題中關聯的元素進行標記，在復雜的圖形中標記對應的線段和相等的角，可以降低學生的認知負荷，有助于發現元素之間的聯系^[5].然后對問題進行去粗取精，對圖形進行精簡，去掉無關或次要部分，提煉、概括出具有一般意義的幾何結構，為以后知識、方法的正遷移做好準備.像本文中利用“圖形的變化”中的軸對稱、旋轉、平移這三個視角，借助“幾何直觀”，根據幾何圖形能夠用代數表示的教學實踐經驗，建立形與數的聯系，構建數學問題解決的3個幾何直觀模型，讓學生立足一道題，串起一類題；立足一種方法，牽出一種通法；立足一個圖形，研究一類圖形^[5].這樣就得到了問題的本質解法，對于后繼的學習能舉一反三，事半功倍.

參考文獻

[1]單墫.我怎樣解題[M].上海：上海教育出版社，2017：188.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學，2022：8-9，63，73，91.

[3]金敏，劉新春.立足核心知識，凸顯素養立意[J].數學通報，2024（4）：54.

[4]張濤，劉新春.深入理解高考題，充分發揮教學功能[J].數學通報，2024（3）：47.

[5]王黎強.通過聯系構建幾何復習教學的新樣態[J].中學教研（數學），2022（9）：23-26.

作者簡介孫志東（1975—），男，河南周口人，中學高級教師；主要研究方向為數學教育及教學，發表論文64篇.