三維變式設計大單元深度學習問題

【摘要】問題性學習是數學學習主要方式，深度學習依賴于數學問題功能化結構設計和學法感悟.三維變式設計大單元學習問題.設計思路：基于一個好的題設作為題胎Q0，設計出系列變式問題Qi（i=1，2，…），讓問題學習的功能有三重維度.前向維度x旨在：讓學生活化大單元重要數學知識與變式圖形的聯系；橫向維度y重在：激活學生數學思維，滲透與鞏固大單元重要數學思想方法；垂向維度z意在：學生通過感悟數學學習的過程、方法和經驗，育化相應數學素養，促成數學覺悟，提升數學能力，達成深度學習的效能.

本文用“相似形”單元復習教學的案例，闡明這種設計和教法思路，并提出相關教學建議.

【關鍵詞】大單元;變式問題;三維設計;數學素養;深度學習

1基于三維變式的大單元深度學習設計

問題性學習是數學學習主要方式，深度學習依賴于數學問題功能化結構設計和學法感悟.三維變式設計大單元學習問題.設計思路：基于一個好的題設作為題胎Q0，設計出系列變式問題Qi（i=1，2，…），讓問題學習的功能有三重維度.前向維度x旨在：讓學生活化大單元重要數學知識與變式圖形的聯系；橫向維度y重在：激活學生數學思維，滲透與鞏固大單元重要數學思想方法；垂向維度z意在：學生通過感悟數學學習的過程、方法和經驗，育化相應數學素養，促成數學覺悟，提升數學能力，達成深度學習的效能.

圖1從學生數學學習內容看，幾乎都是問題性學習.因而數學問題的學習功能，決定著培育學生數學素養效能，而教師又是學習問題主要的選擇、設計、教法者，設計好題能“借題發揮”：通過問題三維變式設計，巧以變式問法，推進學生認知層級深入（參見圖1）：活化與問題相關數學知識，學生能再現大單元重要知識與系列基本圖形的各種聯系^[1]；隨著變式問題的綜合性和靈活性提高，推進學生學習能級躍遷：解構問題的觀點、角度和方法更具有多樣性和靈活性，分析與解決問題的數學方法也更具有創新性、選擇性，讓學生對解題思維效能：有甄別、反思、優化的自省意識；隨系列問題的解決，數學認知層級的深入，解題思維方法學習能級的同步推進，教師就創設了育化素養的支撐面：啟發學生從解題波折的豐富感受中，獲得重要數學經驗感悟，借此打造相關數學素養所具備的數學思維與精神品質，使得數學覺悟與能力固化到數學素養的品質中.2案例

選擇意圖題胎Q0構圖雖簡潔，但具備多種解構圖形數學視角，不僅數學聯系豐富，而且可構造圖形變式，生成系列變式問題，涵蓋大單元重要的知識、數學思想方法.

設計意圖維度x：活化旋轉變換、三角形全等知識；維度y：緊扣圖形特征，用旋轉變換改變線段CH的位置，構造三條線段有數學聯系的圖形；維度z：獲得旋轉變換優化圖形經驗，培養“全等形”直觀想象的數學素養.根據證明需求，找到聯系與轉化條件，形成邏輯推理的數學素養.

教法簡介啟發：嘗試構造“AG+CH”的幾何意義；探究：在BA的延長線上，截取AK=CH，發現：△DAK≌△DCH，得∠KDA=∠HDC，KD=HD；再發現：△KDG≌△HDGAG+CH=AG+KA=KG=GH，且∠DHC=∠GHD；感悟：旋轉變換能優化圖形，構建出滿足解題需求的關鍵圖形.

設計意圖維度x：活化旋轉變換、三角形全等、勾股定理知識；維度y：用旋轉變換構造全等三角形，發現三條線段圍成直角三角形；維度z：同Q1（解題經驗遷移，舉一反三，自主學習）.

教法簡介啟發：將一直線上的“AE，EF，FC”位置調整，如何找到它們有數學聯系的圖形？探究：將△DCF繞點D順時針旋轉90°，得到△DAP.連接PE，易證：∠PDE=∠FDE=45°，∠PAE=45°+45°=90°；發現：得到△PDE≌△FDE，PE=EF，于是PA2+AE2=PE2，即FC2+AE2=EF2；感悟：續用旋轉變換，新的構造方式，發現新的數學聯系與結論；點評：正方形與題設的特征具旋轉變換優勢（經驗），旋轉變換構圖價值是將已知與求證建立數學聯系（方法與本質）.

Q3：設CH=x，AG=y.試寫出y關于x的函數關系式，再將GH寫成x的函數關系式（參見圖5）.

設計意圖維度x：會用勾股定理、相似三角形性質，建立數量關系.會用等式進行代數推理，寫出函數解析式；維度y：由目標找到數學聯系的直角三角形或相似三角形，會將問題數學化，掌握代數推理技能；維度z：培育素養：數學建模、代數推理.圖形性質→數量關系→函數建模.

教法簡介啟發：已得AG+CH=GH和Rt△GHB對目標價值？設問：由HB2+GB2=HG2，即（a－x）2+（a－y）2=（x+y）2，怎么用？指導：先展開，再變量分離，得到y=a2－axa+x；設問：怎樣看出函數增減性？鋪墊：變形為y=2a2a+x－a；激勵：類比反比例函數，說出函數增減性；探究：GH=x+y=x+2a2a+x－aGH=x2+a2x+a；點評：圖形性質→等式→變量分離→函數建模，沙里淘金！再啟發：Q1構圖對研究GH有意義？鋪墊：等腰Rt△DHK，KH=2（x2+a2）；設問：通過KG=HG，能找到與KH建立聯系的圖形？指導：由Rt△BHK∽Rt△PGK，得KBKP=KHKGKG=KHKB·KP=2（x2+a2）x+a·2（x2+a2）2，GH=x2+a2x+a（方法2）.感悟：觀點多，思路廣，解法妙！點評：觀點決定數學聯系方式，建立數量關系是解題關鍵.圖6

Q4：求GH的取值范圍（參見圖6）.

設計意圖維度x：根據問題情境，聯想、活化二次函數知識；維度y：會用等式進行代數推理，利用換元技巧，變量觀點，化歸二次函數問題，利用函數圖象來分析、解決問題；維度z：培育數學素養：獲得代數推理進行函數建模經驗；利用換元，感悟將研究對象抽象為函數變量（數學抽象）的意義；領悟依據數式變形進行邏輯推理（方程求極值，也是二次抽象）的價值.

教法簡介指導變形：因GH=x+y，用（a－x）2+（a－y）2=（x+y）2，得a2－a（x+y）=xy，（x+y）24+a（x+y）=（x－y）24+a2，等式兩邊形式與意義？啟發：令t=x+y，s=（x－y）24+a2（1）s=t24+at（2）.發現：GH=t，可依據什么來研究？啟發：建立（2）的圖象.獲得：因對稱軸t=－2a，t=x+ygt;0，s隨t增大而增大；指導：由式（1），可知當x=a，y=0時，（x－y）2=a2（最大），s=54a2（s最大）式（2）中t同步最大，即GH=x+y=a+0（最大）；設問：怎樣的s對應t最小值？指導：由式（1）當x=y時，s=a2，s最小.由圖象，t隨之最小，由t24+at=a2，求得GH=t=2（2－1）a（最小）.所以GH的取值范圍：2（2－1）a≤GH≤a；感悟：性質→等式→函數→圖象→方程→結果，脫胎換骨！點評：用變量觀點看待數式，根據函數類型進行變量分離，利用函數圖象發現問題，解決問題，這是一種由籠統的關聯性轉化為具體、直觀的表達，看清問題的本質.

Q5：證明：DH=2DE，GH=2EF（參見圖7）.

設計意圖維度x：根據證明目標，聯想、活化特殊三角形、相似三角形知識；維度y：以數感（系數2與45°角？）引發解構圖形靈感，善于從“角”分析中，發現與證題關聯的相似三角形；維度z：培育素養：會把數據分析的觀點、方法，引入幾何問題探究；幾何直觀與邏輯推理為解題思路開源活水.

教法簡介觀察：DH=2DE，GH=2EF，設問：求證與哪些含45°直角三角形有關？探究：連接BD，易證：∠HDC=∠EDO，Rt△HDC∽Rt△EDO∠DHC=∠DEO，DH=2DE；由∠DHC=∠DHG易得△EDF∽△HDGGH=2EF.感悟：角和特殊三角形的分析能為解題開山辟路.

Q6：列出圖中所有與△DGH相似的三角形（參見圖7）.

設計意圖同Q5.思路方法遷移與拓展，讓學生自主探究，提升對圖形深度解構與再發現能力.

教法簡介觀察：因∠DHC=∠DHG，∠DGA=∠DGH，∠EAG=∠FCH=45°；發現：△DGH∽△DFE∽△AGE∽△CFH；感悟：好的觀點與方法能發現更多數學聯系，大觀園里有好戲！

Q7：當EF∥GH時（參見圖7），求EF∶FC.

設計意圖維度x：從位置關系與數量關系的對應、轉化意識中，活化等腰三角形邊角關系知識；維度y：會用邊角關系分析觀點發現線段數量關系；維度z：培育素養：幾何直觀與推理分析并駕齊驅；數據計算為圖形解構明確方向，也為邏輯推理提供依據.

教法簡介觀察：當EF∥GH時，易得CH=AG，△HDC≌△GDA；分析：∠HDC=∠GDA=22.5°，∠ADF=∠AFD=67.5°，得AD=AF；意義：FC=AE，EF∶FC=（2－2）∶（2－1）=2.感悟：特殊位置必有特殊圖形和具體的性質.

Q8：設M為GH中點，連接AM與過H點的BC垂線交于點N，連接CN，試證：S△GHB=2S△CHN（參見圖8）.

設計意圖維度x：會從特定的數量關系發現圖形面積關系；維度y：從面積觀點把握代數推理方法與技巧；維度z：培育素養：圖8從數式推演敏感到面積關系（數到形的數學抽象）；

圖形性質數式化是幾何建模重要思想方法；代數推理應與幾何意義相關聯.

教法簡介觀察：M為GH中點，HN∥AG，易得△HNM≌△GAM；思考：HN=y，S△CHN=12xy（1）；啟發：HB2+GB2=HG2意義？探究：由（a－x）2+（a－y）2=（x+y）2a2－a（x+y）=xy（2）；發現：S△GHB=12（a－x）（a－y）=12［a2－a（x+y）+xy］=12（xy+xy）（3）；由式（1）（2）（3）S△GHB=2S△CHN；感悟：數式推演生新意，“數”有“形”之影，優“數”識“形”性.3說明

1.大單元學習應考究：用資源優勢打造深度學習強勢.選好“數學基因”健全的“題胎”，編創系列變式問題，省時節力地整合大單元重點知識，貫通重要數學思想方法，實現數學深度學習，為數學素養課程化創造條件.

2.三維變式設計旨在以數學知識、思想方法立面，靠解題歷練的過程與方法的體驗，形成的經驗與覺悟，才能育化數學素養.

3.編創應考慮到當前學生認知水平和發展潛力，應遵循由淺入深、開源導流、承前啟后原則.

4.在教法上，依據學情，鋪墊導學，設問引思，點評開悟，必要時，扶上馬，送一程.

5.關鍵之處，一個變式學完，要說理道義，學一程，覺一悟，價值感才是數學素養扎根之本.

參考文獻

[1]韓子榮，韓怡.核心素養視角下概念教學有效性的探索與思考：以空間角的教學為例［J］.數學通訊，2021（20）：14-15，49.

作者簡介杜建國（1974—），男，安徽黃山人，市級優秀班主任，區級優秀教師，學校年級組組長；主要研究方向為數學課堂教學.

凌云志（1965—），男，安徽滁州人，區數學教研員，市學科帶頭人，區級拔尖人才；主要研究方向為數學課堂教學，發表文章35篇，其中有4篇被中國人民大學報刊復印資料《初中數學教與學》全文轉載.