反演變換視角下的阿氏圓

【摘要】以一道杭州市命題比賽的試題為背景，從問題的解法、思路來源、試題的出處及指向的核心素養進行評析.聚焦第3問，對一類線段和最值問題展開探究，挖掘問題背后所蘊含的數學文化、數學本質并給出教學建議.

【關鍵詞】動點問題；幾何最值；轉化；阿氏圓；反演變換

在幾何學習中，會經常遇到求線段和（差）的最大（小）值問題，這類問題往往最終依據“兩點之間線段最短”這一基本事實來求解.因此，解決問題的關鍵在于如何將多條線段拼接起來轉化到一條直線上，而這恰恰是問題的難點所在.文章以一道杭州市初中數學命題比賽的試題為例，從問題解法、試題評析、問題背景、教學建議四個方面展開，聚焦第3問，揭示問題背后所蘊含的數學文化，從反演變換的視角揭示問題所蘊含的數學本質.

1知其然——問題和問題解答

1．1問題呈現

如圖1，在正方形ABCD中，AB=42.

（1）M為AD的中點，N為BD上的動點，求AN+MN的最小值.

（2）M為AD的中點，O為BD上的動點，⊙O的半徑為2，N為⊙O上的動點，求MN的最小值.

（3）O為BD與AC的交點，以O為圓心AO的一半為半徑畫弧交OD于F，N為弧EF上的動點，求12DN+AN的最小值.

1.2問題解答

（1）如圖2，作M關于BD的對稱點M′，連接AM′.由正方形的對稱性可知，M′為CD的中點，NM′=NM.當N在AM′與BD的交點時，AN+MN最小，此時AN+MN=AM′=（22）2+（42）2=210.

（2）如圖3，連接OM，交⊙O于點E，當N與E點重合時，MN最小.當MO⊥BD時，MO長度最小為2，此時，MN=EM=OM-OE=2-2.

（3）如圖4，取OF的中點G，連接AG，GN，ON，設AG與⊙O交于點H.

因為OGON=ONOD=12，∠NOG=∠DON，所以△NOG∽△DON，所以NGDN=ONOD=12，所以NG=12DN.于是求12DN+AN的最小值轉化為求AN+NG的最小值，此時A，G在⊙O的異側，當N與H重合（A，N，G三點共線）時，12DN+AN的值最小，最小值為AG=17.

2知其所以然——思路來源和試題評析

2.1思路來源

（1）第一問為將軍飲馬問題，兩定點A，M位于直線BD的同側，利用軸對稱變換，將其中一點轉化到BD的另一側，當A，N，M′三點共線時，MN的值最小（兩點間線段最短）.

（2）第二問求定點M到圓上動點N距離的最小值，此時O，N均為動點.先將雙動點問題轉化為單動點問題，即當O點固定時，當N與E點重合時，MN最小，再將O點移動，問題就轉變為求MO的最小值問題，根據連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，作MO⊥BD即可.

（3）第三問求12DN+AN的最小值，而“兩點間距離最短”是處理線段和最短問題的一條重要依據，當看到“A，D都在某界線（⊙O）的同側”，很容易想到“將軍飲馬”問題，將“A，D轉化到⊙O的異側”.接下來處理的關鍵問題就是：如何將12DN轉化為一條線段，且在界線的另一側，自然聯想到“相似三角形”，構造為12比例系數即可.

2.2試題評析

本題考查的主要知識點是正方形的性質、圖形的軸對稱、相似三角形的判定與性質，涉及的知識點還有勾股定理、兩點之間線段最短等，綜合性較強.本題考查的題型為解答題，屬于較難題，區分度也較大.

課標內容標準對以上知識點的要求如下：探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理;通過具體實例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質;了解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓的軸對稱性質;了解相似三角形的性質定理;探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題;掌握基本事實：兩點之間線段最短^[1].對此要求的把握恰到好處，符合課標要求.

本題中第（1）小問考察了正方形的的軸對稱性質、兩點之間距離最短、勾股定理等知識，是學生所熟悉的“將軍飲馬”問題.第（2）小問要將一條線段的最小值問題轉化為求⊙O的異側兩點到圓上一點距離和的最小值，考察了學生知識運用能力，轉化與化歸思想.第（3）小問根據相似三角形的性質構造12DN，同時將兩定點轉移到⊙O的兩側，對學生的構圖能力有較高要求.上述三個小題的設置，由易到難，層層遞進，問題在變，解決問題的基本方法不變，指向推理能力、幾何直觀等核心素養.

3知何由以知其所以然——命題背景

一個好的數學題，常常是一個發人深省，耐人尋味的問題.第三小問是本題的難點，這個問題是怎么設計出來的呢？N在圓上運動時，始終有NG=12DN，比例系數可以換成其他值嗎？比例系數12與⊙O、線段OD到底存在怎樣的聯系，我們可以進一步追問命題的背景.

3.1動點N的軌跡：阿式圓

帶著這些思考，我們可以將圖4中的無關線段擦除，得到圖5.由△NOG∽△DON，可得比例系數12=ONOD，所以當⊙O與點D的位置確定時，比例系數也隨之確定，點G的位置也隨之確定.我們不妨設⊙O的半徑為r，DG長度為a，比例系數為NGDN=k（k＜1），探究r，a，k三者之間的數量關系.由△NOG∽△DON得OG=kr，OD=rk；由DG=OD-OG，得a=rk-kr=r（1-k2）k………①，①式表明圓的半徑和邊比一旦確定，一邊的大小和位置也隨之確定，滿足既定條件的線段有且僅有一條．①式變形可得r=ak1-k2………②，OG=k2a1-k2，OD=a1-k2………③，②③兩式表明當a，k確定時，圓的位置和大小隨之確定，即N點的運動軌跡確定，這即是經典的阿波羅尼斯圓（以下簡稱阿氏圓）.阿式圓的圓心位于定邊（DG）的延長線上，半徑r=ak1-k2，圓心距定邊近端距離OG=k2a1-k2，遠端距離OD=a1-k2.

聚焦阿式圓，進行如下變式：

變式1如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙C的半徑為1，P為⊙C上的一動點，AP+13BP最小值為;14AP+BP最小值為.

解題思路：當0＜k＜1時，兩定點在圓外，向內構造點D，使△CPD∽△CBP，DP=13BP.

變式2如圖7，已知扇形COD，∠COD=90°，OB=1，OA=2，OC=3，點P是弧CD上的一動點，求BP+32AP的最小值.

解題思路：當k＞1時，兩定點在圓內，向外構造點E，使△OPA∽△OEP，EP=32AP.

變式3如圖8，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半徑為2，CD=1，P為⊙C上的一動點，求12AP+2DP的最小值.

解題思路：兩條線段的比例系數均不為1，比例系數均為圓的半徑與對應邊之比，需要分別將A，D兩點向內，向外構造.

變式4如圖9，在△ABC中，BC=3，AC=4，∠C=60°，⊙C的半徑為2，P為⊙C上的一動點，求3AP+2BP的最小值.

解題思路：兩條線段的比例系數均不為1，比例系數不是圓的半徑與對應邊之比.此時我們可以通過提取系數，將一條線段的系數化為1，另一條線段的系數化為圓的半徑與對應邊之比：3（AP+23BP）.

變式5如圖10，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半徑為2，P為⊙C上的一動點，求AP-12BP的最大值.

解題思路：求帶系數的兩條線段差的最大值，轉化方法和變式1完全一樣，只是最后求最大值有所不同，求差最大根據“三角形兩邊之差小于第三邊”來求解.

小結：阿式圓中涉及到四個關鍵點，即線段的兩端點、圓心、圓與定邊的交點；三個量，即半徑、定長、定比.解題時要根據提供的部分要素，去尋找相關的其他要素.

3.2點D和構造點G的變換關系：關于⊙C的的反演點

第3小題的難點在于如何構造點G，點D和點G背后又存在怎樣的變換關系？我們對圖5繼續擦除無關線段得到圖11，點G在射線OD上，且由△NOG∽△DON，可知r2=OD·OG，點G和點D是關于⊙O的反演點，G是D的反演點，反過來D也是G的反演點.通過反演使⊙O的外部點變換為圓內部點.

3.2.1反演點的幾何作圖

如何用尺規作一給定點P對⊙O的反演點P′？點P在圓O上，P′和P重合；點P位于圓心O上，P′不存在；點P位于⊙O外時（圖12），以點P為中心，OP為半徑畫一弧交⊙O于點R，S，以這兩點為中心，r為半徑畫圓弧，相交于點P′.在等腰三角形ORP和ORP′中，∠ORP=∠ROP=∠OP′R.

所以這兩個三角形相似，因此OPOR=OROP′，即OP·OP′=r2.從而P′為所求的P的反演，這就是我們所要求作的.當點P為⊙O內的情況，我們可以通過反向求作P′（圖13）.

如圖14，我們還可以作半徑OA⊥OP，連接AP，作BA⊥AP，交PO的延長線于點B，以O為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于P′.由△ABO∽△PAO，得OA2=OB·OP，因此OP·OP′=r2.當點P為⊙O內的情況，我們可以通過反向求作P′.

3.2.2反演的性質

由上述過程，我們可以得到：經過反演，把過O的一條直線變成過O的一條直線（直線→直線）.雖然直線上的點是交換了，但直線作為一個整體仍然變為它的本身.其實，反演最重要的性質是把直線和圓變成圓和直線，我們繼續推廣，還可以得到如下性質：經過反演，

（a）不過O的一條直線變成過O的一個圓（直線→圓）；

（b）過O的一個圓變成不過O的一條直線（圓→直線）；

（c）不過O的一個圓變成不過O的一個圓（圓→圓）.

如圖15，為了證明命題a，作OA垂直于直線l，交直線l于點A，P是l上任意一點，由上述作圖方法可以求得A，P關于⊙O的反演點A′，P′.由OA·OA′=OP·OP′=r2，得OA′OP′=OPOA.因此△OP′A′∽△OAP，∠OP′A′=90°.P′在以OA′為直徑的圓C上，所以直線l的反演就是這個圓C.反過來，過O的圓C的反演為直線l，命題b得證.

如圖16，接下來證明命題c，設在平面內取任意點M，以M為圓心，半徑為k，作不經過點O的⊙M.過點O作⊙M的切線OC，設OC長為c，作⊙M的割線交⊙M于A，B兩點，作A，B關于⊙O的反演點A′，B′.過A′作A′D∥BM交OM于點D.設OA，OB，OA′，OB′，OM，OD，A′D的長度分別為a，b，a′，b′，m，d，e.由反演的定義得aa′=bb′=r2……①，由切割線定理得ab=c2……②，①÷②得a′b=b′a=r2c2（常數）……③.由A′D∥BM得△OA′D∽△OBM，則dm=ek=a′b=r2c2，因此d=r2c2·m（常數），e=r2c2·k（常數）.這意味著A，B的位置改變時，D總是在OM的同一位置上，并且A′D的長度保持不變，即⊙M經過反演還是一個圓，命題c得證.

3.2.3反演的應用連桿

連桿是一組剛體小桿用軸以某種方式連接在一起，整個系統有適當的活動自由，使得它上面的某一點能描繪出特定的曲線，比如圓規就是一個簡單的連桿.利用平面對圓的反演性質可以制作連桿，把圓周運動變成直線運動.

波西里葉七連桿（圖17），其中O和R是兩個固定點，OS=OT，SP=PT=QT=QS，PR為任意長，當點P以R為圓心，PR為半徑描繪出一個圓時，Q將描出一條直線段.

波特五連桿（圖18），其中O和S是兩個固定點，AB=CD，BC=AD，SP是任意長，點O，P，Q分別固定在桿AB，AD，CB上，且使AOOB=APPD=CQQB=a（定值）.當連桿運動時，P描出一個以S為圓心過點O的圓，反演點Q描出一條直線.

4教學建議

在教學過程中，解題分析時做“減法”，挖掘圖形的基本結構，通過類比，轉化找到題目的本質，通過要素間的數量關系來刻畫圖形的性質，把握模型全等相似變換的數學本質，最后結合知識點、數學思想方法、課標要求完善課堂教學.阿氏圓是平面幾何中的經典模型，但是對于“a+kb”型線段和最值問題，系數k的界定不是隨意的，說明這類題目存在一定局限性.因此，在教學過程中，教師要根據學情，進行適度的延伸拓展.

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.”在教學過程中，教師應當引導學生能夠像看萬花筒一樣去看問題，在追求問題解的同時，更要引導學生從“幾何變換”的一般觀念來看問題，這樣會使問題更加清晰，并且可以關聯到一類問題，激發學生學習數學的興趣，發現數學的奧妙，提高數學的素養.長此以往，必將能夠展現出“會當凌絕頂，一覽眾山小”的氣勢.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：63-69.

作者簡介聞國梁（1990—），男，中學一級教師;主要從事初中數學教育教學研究.