探究圖形性質關注一題多解聚焦思維發展

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出：數學課程要培養學生的核心素養，考試命題要堅持素養立意、凸顯育人導向、關注學科本質、關注通性通法.2024年河南中考數學第23題嚴格依標命制，增強幾何知識的應用體驗，彰顯數學思維價值，發展學生的核心素養，對數學課程的實施具有很強的導向作用.

【關鍵詞】圖形性質；解法探析；核心素養

中考數學壓軸題是中考試題創新的重要體現之一，是一線教師探索數學教學的風向標，因此，研究中考壓軸題的出題方向、解題策略、試題分析、教學導向就顯得意義重大.2024年河南中考數學壓軸題第23題探究鄰等對補四邊形的性質及應用，以新定義的方式考查學生的數學思維能力.試題強化基礎考查，淡化繁瑣運算和解題技巧，解題方法多樣，評價維度多元，緊扣學科本質，堅持素養立意，培養學生用已積累的數學研究經驗，建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的知識體系.

1試題呈現

（2024年河南中考第23題）綜合與實踐

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗．請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究．

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．

（1）操作判斷

用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有（填序號）．

（2）性質探究

根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補四邊形，AB＝AD，AC是它的一條對角線．

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的長（用含m，n，θ的式子表示）．

（3）拓展應用

如圖3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分別在邊BC，AC上取點M，N，使四邊形ABMN是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出BN的長．圖2圖3

2解法探析

本題第（1）問起點低，只要準確領會“新定義”的含義，就能得出答案②④；第（2）問有一定難度，其中①找出相等的角并說明理由是本道壓軸題的關鍵之處，也是解決問題（3）的突破口；第（3）問難度較大，綜合考察學生的作圖能力、幾何直觀、邏輯推理、應用意識等.

2.1對于第（2）問

視角1旋轉全等

解法1①∠ACD＝∠ACB.理由如下：如圖4，延長CB至點E，使BE＝DC，聯結AE.

因為四邊形ABCD是鄰等對補四邊形，所以∠ABC+∠D＝180°.因為∠ABC+∠ABE＝180°，所以∠ABE＝∠D，易證△ABE≌△ADC，則∠E＝∠ACD，AE＝AC，所以∠E＝∠ACB，因此∠ACD＝∠ACB.

②如圖4，過點A作AF⊥EC，垂足為點F.因為AE＝AC，所以CF=12CE=12BC+BE=12BC+DC=m+n2.因為∠BCD＝2θ，所以∠ACB＝∠ACD=θ.在Rt△AFC中，cosθ=CFAC，所以AC=CFcosθ=m+n2cosθ.

解法2①如圖5，延長CD至點E，使得DE＝BC，聯結AE，同解法1可證△ABC≌△ADE，從而可得∠ACD＝∠ACB.

②如圖5，過點A作AF⊥EC，垂足為點F.同解法1可得AC=CFcosθ=m+n2cosθ.

視角2角平分線的判定

解法3①如圖6，過點A分別作AM⊥BC于點M，AN⊥CD交CD的延長線于點N，同上可得∠B＝∠ADN，易證△ABM≌△ADN，因此AM＝AN，又因為AM⊥BC，AN⊥CD，所以點A在∠BCD的角平分線上，故CA平分∠BCD，所以∠ACD＝∠ACB.

②如圖6，由①知△ABM≌△ADN，因此BM＝DN，所以2CM=CM+CN＝BC+CD=m+n，故CM=m+n2，在Rt△AMC中，cos∠ACB=cosθ=CMAC，所以AC=CMcosθ=m+n2cosθ.

視角3四點共圓

解法4①因為四邊形ABCD是鄰等對補四邊形，所以∠B+∠ADC＝180°，所以A，B，C，D四點共圓，如圖7.在同圓中，因為弦AB＝AD，所以∠ACB＝∠ACD.

②過點A分別作AM⊥BC于點M，AN⊥CD交CD的延長線于點N，易證△ABM≌△ADN，所以BM＝DN.易知CM=CN，下同解法3②.

2.2對于第（3）問

第（3）問首先要根據題意畫出符合條件的圖形，然后再尋找方法求BN的長.

第一步，畫出圖形.要求四邊形ABMN是鄰等對補四邊形，且僅有一組鄰邊相等.

當AB=AN時，如圖8，易證MB=MN，此時鄰等對補四邊形ABMN有兩組鄰邊相等，不合題意；當MB=MN時，如圖8，則有AB=AN，仍不合題意;

當BA=BM時，如圖9；當NA=NM時，如圖10；顯然，圖9和圖10符合題意.

第二步，求BN的長.下面分別從三個視角入手，探究線段BN長的求解方法.

視角1三角形相似或銳角三角函數

解法1當BA=BM時如圖9，有MN⊥AC且BA=BM=3，由已知可得MC=1.易知△MNC∽△ABC，所以CNBC=MCAC=MNAB，即CN4=15=MN3，所以NC=45，MN=35，從而AN=215.類比（2）②中的結論可知，BN=AN+MN2cos∠ANB=215+352cos45°=1225.

當NA=NM時如圖10，有MN⊥AC，設NA=NM=x，則NC=5-x，由△MNC∽△ABC可得NCBC=MCAC=MNAB，即5－x4=MC5=x3，所以x=157，MC=257，可得BM=37.類比（2）②中的結論可知，BN=AB+BM2cos∠ABN=3+372cos45°=1227.綜上，BN=1225或1227.

視角2托勒密定理

解法2由于四邊形ABMN是鄰等對補四邊形，所以∠ABM+∠ANM＝180°，所以A，B，M，N四點共圓.

當BA=BM時，如圖11，則BA=BM=3，AM=32.同解法1可求得MN=35，AN=215.由托勒密定理知，AB·MN+BM·AN=AM·BN，即3×35+3×215=32·BN，解得BN=1225.

當NA=NM時，如圖12，同解法1得，NA=NM=157，BM=37，所以AM=1527，由托勒密定理知，AB·MN+BM·AN=AM·BN，即3×157+37×157=1527·BN，解得BN=1227.

視角3借助45°角構造等腰直角三角形

解法3當BA=BM時，如圖13，由（2）的結論知，此時對角線BN平分∠ANM，所以∠ANB=45°.過點B作BH⊥AN，垂足為點H，則△BHN為等腰直角三角形.在Rt△ABC中，由等面積法可知BH=AB·BCAC=3×45=125，所以BN=1225.

當NA=NM時，如圖14，由（2）的結論知，此時對角線BN平分∠ABC，所以∠ABN=45°.過點N作NH⊥AB，垂足為點H，則△BHN為等腰直角三角形，不妨設BH=HN=x，則AH=3-x，因為HN∥BC，所以AHAB=HNBC，即3－x3=x4，解得x=127，所以BN=1227.

分析第（2）①問，學生可以根據圖形觀察猜想或直接度量得出∠ACB＝∠ACD，第（2）②問雖然不太好證明，但是由視角3可知其實并不影響第（3）問的求解，觀察出45°角后可以構造等腰直角三角形求解BN，并沒有用到②的結論，可見兩問之間可以聯系也可以各自獨立.解法3簡單快捷，是直觀感知與理性思考的完美結合，不失為一種好辦法.

3試題評價

3.1突出素養導向，彰顯數學本質

本題考查數學新概念的學習，在給出“鄰等對補四邊形”的新定義后，經歷研究新知識的過程，從特殊到一般有邏輯地開展思考，符合學生的認知路徑，考查學生對知識的理解能力、遷移能力及思維嚴謹性，同時發展了學生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力等核心素養.該題綜合了四邊形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、銳角三角形函數、勾股定理、隱圓等知識，創新了核心知識的考查方式.這在新教材使用時，有助于引導數學教學依標扣本，回歸學科本質，關注綜合實踐，在情境化教學中靈活應用舊知解決新問題.

3.2加大過程開放，啟迪創新思維

該壓軸題題目取材新穎，思維層次豐富，主要滲透了轉化、方程、分類討論、類比探究、從特殊到一般的數學思想方法，對學生思維的靈活性、發散性和創新性進行綜合考查，具有較強的選拔功能；尤其是第（3）問讓學生在前面經驗積累的基礎上先動手畫出符合條件的圖形再求線段BN的長度，可以用相似，可以用三角函數，也可以借助四點共圓用托勒密定理，甚至還可以用勾股定理，其解題過程開放、解題方法多元、解題視角多樣，充分彰顯了新課標的核心素養.

4教學導向

4.1堅持教考一致，引導回歸教材

本題創設了數學知識之間內在關聯的數學情境，在特殊四邊形已有學習經驗的基礎上，以“新定義”為背景，要求學生運用已有經驗，對一類新圖形的性質進行探究.試題引導教師數學教學要立足課本，用好教材、用活教材，做到“題在書外，理在書中”；關注課本例、習題，尤其是課本上關于知識點的推理，要重視知識的習得過程，幫助學生理解知識背后的數學原理.

4.2關注一題多解，發展數學思維

本題設計具有綜合性、創新性、開放性，著重考查學生思維過程以及創新素養發展水平，不論是第（2）問還是第（3）問都鼓勵學生從多角度、多途徑去思考和解決問題，為有不同經驗的學生提供更多的思考切入點，展現思維的廣度.在解題教學中，教師不僅要發散學生思維，鼓勵學生發現不同的解題思路和解題方法、一題多解，更要善于從一道舊題出發、一題多變，不斷衍生出新問題，幫助學生學會多元思考、掌握思辨能力、鍛煉整合能力、培養遷移能力等.

4.3踐行新課標理念，落實結構化教學

《課標（2022年版）》指出，要改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學，體現數學知識之間的內在邏輯關系，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，幫助他們建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系，形成科學的思維習慣^[1].在本道壓軸題中，學生能自覺地循著已積累的“特殊四邊形”的學習路徑，探究“鄰等對補四邊形的性質”，形成正確的結論和方法.在日常教學中，教師需要對教學內容進行結構化整合，引導學生用“聯系”的眼光去思考，把“新知”與“已有”和“已學”聯系、與“未有”和“未學”勾連，讓學生真正理解知識背后隱藏的思想方法，形成結構化的思維方式.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：85-86.

作者簡介化靜靜（1988—），女，河南新鄉人，碩士，中學一級教師；主要研究方向為數學教育.