破解中考“新定義”函數問題

新定義型函數問題是近年來各地中考考查的熱點與難點. 下面舉例介紹此類問題的解答策略.

類型1：函數內部新定義——對函數圖像、性質進行新定義

此類題通常針對函數本身進行新定義，如針對函數圖像提出某個新定義名稱、新定義自變量范圍或新定義兩個函數之間的關系等. 解決此類問題關鍵是緊扣定義，靈活運用性質.

例1 若一個二次函數y = a（x - m）2 + k（a ≠ 0）中存在一點P（x'，y'），使得x' - m = y' - k ≠ 0，則稱2[x'-m]為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線[y] = [-12x2] + [13x] + 3的“開口大小”為 .

解析：對照拋物線“開口大小”的定義，求2[x'-m]的值即可.

解法1：將二次函數[y] = [-12x2] + [13x] + 3化為頂點式[y] = [-12x-132] + [5518]，所以[a] = [-12]，[m] = [13]，[k] = [5518]. 由x' - m = y' - k ≠ 0，得[x'-13=-12x'-132+5518-5518≠0]，化簡得[x'-13] = -2. 依據定義，拋物線[y] = [-12x2] + [13x] + 3的“開口大小”為2[x'-m] = 2 × [-2] = 4.

解法2：對于二次函數y = a（x - m）2 + k（a ≠ 0）而言，x' - m = y' - k ≠ 0，即x' - m = a（x' - m）2 + k - k ≠ 0，x' - m = a（x' - m）2 ≠ 0，x' - m = [1a]. 依據定義，拋物線[y] = [-12x2] + [13x] + 3的“開口大小”為2[x'-m] = 2 × [1a] = 4.

點評：解題關鍵是緊扣定義，將二次函數轉化為定義中的形式，依據“開口大小”的定義代入計算. 方法2通過對一般二次函數進行推理運算，發現“開口大小”為2[1a]，只與二次項系數a有關，體現了二次函數的本質屬性.

例2 【定義與性質】

記二次函數y = a（x - b）2 + c和y =" - a（x - p）2 + q（a ≠ 0）的圖像分別為拋物線C和C1.

定義：若拋物線C1的頂點Q（p，q）在拋物線C上，則稱C1是C的伴隨拋物線.

性質1：一條拋物線有無數條伴隨拋物線；

性質2：若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點P（b，c）在C1上.

【理解與運用】

（1）若二次函數y = [-12]（x - 2）2 + m和y = [-12]（x - n）2 + [12]的圖像都是拋物線y = [12]x2的伴隨拋物線，則m = ，n = .

【思考與探究】

（2）設函數y = x2 - 2kx + 4k + 5的圖像為拋物線C2.

①若函數y = -x2 + dx + e的圖像為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，求d，e的值；

②在①的基礎上，若拋物線C2與x軸有兩個不同的交點（x1，0），（x2，0）（x1 lt; x2），請直接寫出x1的取值范圍.

解析：（1）運用性質②將拋物線y = [12]x2的頂點（0，0）代入即可快速解決；（2）綜合運用性質1和性質2，借助圖像直觀突破.

（1）根據性質2，拋物線y = [12]x2也是y = [-12]（x - 2）2 + m和y = [-12]（x - n）2 + [12]的伴隨拋物線，將頂點（0，0）分別代入可求得m = 2，n = ±1.

（2）①C2始終是C0的伴隨拋物線，即C2的頂點（k，-k2 + 4k + 5）始終在函數y = -x2 + dx + e的圖像上. 代入得-k2 + 4k + 5 = -k 2 + dk + e，4k + 5 = dk + e，不論k為何值，等式恒成立，則d = 4，e = 5.

②由性質1和性質2知，C2：y = x2 - 2kx + 4k + 5是C0：y = -x2 + 4x + 5的伴隨拋物線，則C2的頂點在C0上. 易知C0：[y=-x2+4x+5]與x軸的交點為（-1，0），（5，0）. 因為拋物線C2與x軸有兩個不同的交點，故C2的頂點在點（-1，0）的左側或點（5，0）的右側.

如圖1，當[C2]頂點在（-1，0）的左側時，x1 lt; -1；

如圖2，當[C2]頂點在（5，0）的右側時，2 lt; x1 lt; 5.

綜上，x1 lt; -1或2 lt; x1 lt; 5.

[x][y] [x1][O][-1][5][C2][C0]" " " " [x][y] [x1][O][-1][5][C2][C0] [2]

圖1 圖2

點評：問題（2）中，第①小題的解題關鍵是將“C2始終是C0的伴隨拋物線”轉換成“與k無關”的問題；第②小題的解題關鍵是根據“伴隨拋物線”的定義，得出C2的頂點在已知拋物線y = -x2 + 4x + 5上運動，利用數形結合思想直觀求出C2與x軸交點橫坐標x1的取值范圍.

例3 已知y是x的函數，若存在實數m，n（m lt; n），當m ≤ x ≤ n時，y的取值范圍是tm ≤ y ≤ tn（t gt; 0），我們將m ≤ x ≤ n稱為這個函數的“t級關聯范圍”. 例如：函數y = 2x，存在m = 1，n = 2，當1 ≤ x ≤ 2時，2 ≤ y ≤ 4，即t = 2，所以1 ≤ x ≤ 2是函數y = 2x的“2級關聯范圍”. 下列結論：

①1 ≤ x ≤ 3是函數y = -x + 4的“1級關聯范圍”；

②0 ≤ x ≤ 2不是函數y = x2的“2級關聯范圍”；

③函數[y=kx]（k gt; 0）總存在“3級關聯范圍”；

④函數y = -x2 + 2x + 1不存在“4級關聯范圍”.

其中正確的為（ ）.

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

解析：結論①②結合一次函數、二次函數的增減性及 “t級關聯范圍” 的定義可作出判斷，③④是存在性問題，可通過假設法進行分析判斷.

y = -x + 4，y隨x的增大而減小，當1 ≤ x ≤ 3時，求得1 ≤ y ≤ 3. 按照定義，1 ≤ x ≤ 3是y = -x + 4的“1級關聯范圍”. 因此①正確.

同樣的方法，求得0 ≤ x ≤ 2是y = x2的“2級關聯范圍”. 因此②錯誤.

[y=kx]（k gt; 0）在每個象限內y隨x的增大而減小，不妨設0 lt; m lt; n，則當m ≤ x ≤ n時，[kn] ≤ [y] ≤ [km]. 假設存在“3級關聯范圍”，則有[kn] = 3[m]，[km] = 3[n]，得[n] = [k3m]. 由m lt; n，得[m] lt; [k3m]，所以只需取0 lt; m lt; [k3]，取[n] = [k3m]，m ≤ x ≤ n就是函數[y=kx]的“3級關聯范圍”. 因此③正確.

函數y = -x2 + 2x + 1的對稱軸為x = 1，當x lt; 1時，y隨x的增大而增大. 假設m ≤ x ≤ n ≤ 1是其“4級關聯范圍”，則-m2 + 2m + 1 = 4m，-n2 + 2n + 1 = 4n，解得[m] = -1 - [2]，[n] = -1 + [2]，所以函數y = -x2 + 2x + 1一定存在“4級關聯范圍”. ④錯誤.

故選A.

點評：解答存在性問題只需舉出一種存在情況即可.

類型2：函數外部新定義——在其他知識領域進行新定義，以函數為背景考查

此類題通常新定義某個概念或名稱，以函數為背景進行考查，一方面考查函數的性質，另一方面考查對新定義的理解和運用.

例4 在平面直角坐標系xOy中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為“完美點”. 拋物線y = ax2 - 2ax + 2a（a為常數且a gt; 0）與y軸交于點A.

（1）若a = 1，求拋物線的頂點坐標；

（2）若線段OA（含端點）上的“完美點”個數大于3個且小于6個，求a的取值范圍；

（3）若拋物線與直線y = x交于M，N兩點，線段MN與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“完美點”，求a的取值范圍.

解析：（1）（2）略.

（3）如圖3，拋物線的頂點為（1，a），線段[MN]與拋物線圍成的區域內拋物線上橫坐標為整數的點還有P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）. 直線y = x上“完美點”（1，1），（2，2），（3，3）必在區域內. 因為區域內恰有4個“完美點”，所以“完美點”（2，1）在區域內，同時“完美點”（3，2）不在區域內，則yP ≤ 1，yQ gt; 2，即2a ≤ 1，5a gt; 2，解得[25] lt; x ≤ [12].

點評：此題本質上考查二次函數圖像上點的坐標范圍問題. 解題關鍵是通過數形結合，確定關于a的不等式組，求出a的范圍.

新定義問題通過設置新情境，將“新定義”與所學知識關聯起來解決問題，不僅考查基礎知識，更考查核心素養和應用能力. 解決新定義問題，需要充分調動所學函數知識，靈活運用函數思想，結合題目信息理解并運用新定義.

（作者單位：江蘇省泰州市高港實驗初級中學）