溫故探新數(shù)形提能：指向啟發(fā)式教學的思考

摘要：本文以“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學為例，采用回顧舊知—創(chuàng)設(shè)情境—數(shù)形結(jié)合—鞏固應用的模式，闡述如何以指向啟發(fā)式教學為導向，揭示知識間的內(nèi)在關(guān)系，提升學生的數(shù)學能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;圖象變化;啟發(fā)式教學

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0036-03

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：鄧飛，碩士，一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式[1].在“新課程、新教程”背景下，教師應啟發(fā)學生圍繞知識間的聯(lián)系，通過合適的數(shù)學問題，積極主動地思考，使得知識“落地生根”.

1教學內(nèi)容分析

本節(jié)課選自人教版必修第一冊5.6.2“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”，它以具體的勻速圓周運動

模型筒車為例，抽象出一般的函數(shù)H=rsin（ωt+φ）+h，并在此基礎(chǔ)上研究一般的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0， ω＞0）的圖象特征.

2學生學習情況分析

從以往經(jīng)驗來看，學生在預習或者學習這部分內(nèi)容后，容易把知識當成“口訣”背誦來對待，只是停留在單純地背一些結(jié)論上.新高考改革以來，數(shù)學題目出發(fā)點都很基礎(chǔ)，但深度不淺.這也要求學生必須夯實數(shù)學“四基”“四能”“數(shù)學學科核心素養(yǎng)”，弄清知識的本質(zhì)，以不變應對千變?nèi)f化的數(shù)學試題.

3設(shè)計理念

本節(jié)課的教學設(shè)計過程是“建?！瘹w—遷移—探索”.首先通過生活中具體的周期變化的函數(shù)模型，突出數(shù)學的生活性和趣味性；接著通過一連串的目標問題引導學生觀察思考；再通過從特殊到一般的例題循序漸進不斷對知識進行提煉，讓學生體會y=Asin（ωx+φ）的生成過程；最后師生一起探索一般情況下的結(jié)論并加以總結(jié)升華.整節(jié)課中，教師通過信息技術(shù)的輔助用大量圖形和影像進行直觀動態(tài)關(guān)聯(lián)地呈現(xiàn)，既降低了教學難點，也提高了學生學習的興趣.

4教學目標

從生活實例入手，通過對勻速圓周運動函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)的研究，學生能夠體會建模過程，鍛煉思維能力.借助信息軟件工具，數(shù)形結(jié)合，三個參數(shù)逐一擊破，提高學生分析問題的能力.同時也能讓學生了解數(shù)學來源于生活，對生活又具有指導性，培養(yǎng)學生的數(shù)學觀.

5教學重點和難點

教學重點：參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響.

教學難點：ω對y=Asin（ωx+φ）的圖象的影響規(guī)律的概括.

6教學過程設(shè)計

6.1創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

6.1.1合情引入，激發(fā)興趣

通過計算機工具播放筒車的來源增加學生的學習興趣，接著利用幾何畫板輔助把筒車上盛水筒的運動抽象成質(zhì)點的勻速圓周運動（如圖1），教師通過直觀的動圖展示引導學生抽象出一般函數(shù)模型H=rsin（ωt+φ）+h.

6.1.2問題導向，目標引領(lǐng)

通過筒車的探索我們得到了形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，那么不由得思考函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與參數(shù)A，ω，φ的關(guān)系是怎樣的？

創(chuàng)設(shè)合理問題情景，能夠使學生感受大眾數(shù)學的意義，明白數(shù)學其實就發(fā)生在我們的身邊，在學習過程中感受數(shù)學的和諧美，進而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生學習數(shù)學的積極性，更好地促進學生的發(fā)展，體現(xiàn)了新課標的要求.同時，“問題引導學習”也是落實素養(yǎng)教學的一種有效途徑，是教師教學的一個重要教學原則[2].

6.2探究新知，突破難點

6.2.1探究φ對函數(shù)y=sinx的影響：

例1畫出函數(shù)y=sin（x+π3），x∈R和y=sin（x-π4），x∈R的簡圖（圖象如圖2）.

探究與歸納：與y=sinx的圖象作比較，啟發(fā)學生得出結(jié)論.

一般地，函數(shù)y=sin（x+φ），x∈R （其中φ≠0）的圖象，可以用口訣“左加右減”簡單記憶圖象變化.即若φ＞0時，圖象由y=sinx往左移動φ個單位得到；若φ＜0時，圖象由y=sinx往右移動-φ個單位得到.因兩圖象間可由左右平移變換得到，也稱之為相位變換.

6.2.2探究ω對函數(shù)y=sinx的影響：

例2畫出函數(shù)y=sin2x，x∈R與y=sin12x，x∈R的簡圖（圖象如圖3）.

探究與歸納：與y=sinx的圖象作比較，啟發(fā)學生得出結(jié)論.

（1）函數(shù)y=sinωx，x∈R（ωgt;0且ω≠1）的圖象，可以用口訣“倒數(shù)伸縮”簡單記憶圖象變化.即若ω＞1時，圖象由y=sinx橫坐標縮短1ω倍得到；若0＜ω＜1 時，圖象由y=sinx橫坐標伸展1ω倍得到.

（2）若ωlt;0，則由sin（ωx+φ）=-sin（-ωx-φ）將負號放到外面作圖，再關(guān)于x軸對稱即可.由公式T=2πω知圖象的周期發(fā)生了變化，故也稱之為周期變化.

6.2.3探究A對函數(shù)y=sinx的影響

例3畫出函數(shù)y=2sinx，x∈R和y=12sinx，

x∈R的簡圖（圖象如圖4）.

探究與歸納：與y=sinx的圖象作比較，啟發(fā)學生得出結(jié)論.

（1）y=Asinx，x∈R （Agt;0且A≠1）圖象，可以用口訣“原數(shù)伸縮”簡單記憶圖象變化.若A＞1時，圖象由y=sinx縱坐標擴大A倍得到；若0＜ω＜1時，圖象由y=sinx縱坐標縮小A倍得到.

（2）若A＜0 ，可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折.因為A決定最值，也稱為振幅，故也稱之為振幅變換.

6.2.4鞏固練習

例4如何由y=sinx變換得到y(tǒng)=3sin（2x+π3）？

給學生時間自行作圖，教師點評并用幾何畫板演示兩種方法的變化過程，總結(jié)（1）（2）兩種方法.

（1）y=sinx相位變換y=sin（x+φ） 周期變換y=sin（ωx+φ）振幅變換 y=Asin（ωx+φ） .

（2）y=sinx 周期變換 y=sin（ωx） 相位變換

y=sin（ωx+φ）振幅變換 y=Asin（ωx+φ）.

6.2.5遷移升華

例5如何由y=sinx變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）？

學生通過例4的練習講評，對于具體的函數(shù)變換有了清晰的認識，此時再拓展到一般情況，使知識升華（變換如圖5）.

7結(jié)束語

本節(jié)課從現(xiàn)實生活中的筒車運動開始，經(jīng)過數(shù)學建模得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ），再通過計算機軟件的作圖輔助，引導學生觀察、歸納、抽象、概括、綜合、分析、聯(lián)想、總結(jié).從已有的知識點中生成新的內(nèi)容，從特殊情境中了解到通用性質(zhì)，啟發(fā)學生解決問題的一般過程，并為研究數(shù)學問題打下堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李宏銘.數(shù)學現(xiàn)象教學的實施及評價概述[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（03）：15-19.

［責任編輯：李慧嬌］