激發內在動機實現素養生成

摘要：文章結合CNKI數據庫檢索，經數據分析歸納出數列單元教學需要重點關注的核心素養為邏輯推理和數學抽象，并針對這兩個核心素養，分別設計了一個教學案例，對于如何培養學生的學習興趣，給出了教學內容選擇的建議.

關鍵詞：邏輯推理;數學抽象;學習興趣;內在動機

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0064-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：楊心達，碩士研究生，從事數學教學研究；王文，博士，教授，從事數學教學研究.

基金項目：合肥師范學院2024年研究生創新基金項目（項目編號：2024yjs059）；合肥師范學院校級科研成果（項目編號：2022JCJYZD10）.

“順木之天，以致其性”，教育要避免急功近利、拔苗助長.我國現在的數學教育，很多時候背離了學生的天性，讓他們或是在沒有能力學好數學的時候討厭上了數學，或是成了唯分數論的機器.本文嘗試將悖論、智力題等融入高中數學教學中，以期激發學生的學習興趣和好奇心，培養學生對于數學的熱愛，實現不以應試為目的的素養生成.

1研究背景

在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中，規定了教學需要重點關注學生的必備品格和關鍵能力，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大數學核心素養[1].

要著力發展核心素養，根本是要面對新時代對提高全體國民素質和人才培養質量的新要求，進一步提升學生的綜合素質[2].而這種新要求，一定不是建立在一定時期內的唯分數論的單一評價模式上的，這一點

在高中數學中體現得格外明顯.我們需要學生更靈活地運用數學，能更好地用數學的語言、數學的方法、數學的思維去發現、分析并解決現實生活中的問題，而這樣超出應試化、更高維度的能力要求是同時針對教師和學生的.這種要求既體現在知識、技能、思想上，也體現在情感態度價值觀上.本文在激發學生的內在動機的基礎上，以激發學生對數學的喜愛、更高效地培養核心素養為目標，進行部分教學設計.

在《數列》這一章節的教學中，具體的目標包括：要求學生能夠通過生活的實例，

理解數列的概念、通項的意義；掌握等比數列的前n項和公式，理解通項公式與前n項和公式的關系；能解決具體情境中的

問題.

筆者以兩種途徑，在CNKI數據庫中搜索，其一以數列為主題，以每個具體的核心素養為關鍵詞進行搜索，檢索到碩士及博士論文共131篇，其中大部分集中在邏輯推理、數學運算、數學抽象三大核心素養中.其二聚焦在等比數列主題上，也有類似的情況.我們認為，在《數列》章節的教學中，應該重點關注學生的邏輯推理、數學運算、數學抽象三種具體的核心素養，而這一規律在等比數列這一具體的數列中同樣適用且也與《課標》中對應主題（選修性必修函數主題之數列與一元函數導數及其應用）的學業要求相契合（檢索結果如圖1）.

基于該章節教學需要重點培養三種具體的核心素養這一觀念，本文重點關注在等比數列這一具體的課例教學中，應當如何設計并實施教學，主要是教學內容的設計.

2問題提出

數學教學中，關注學生的學習動機是必要的，能夠影響學生數學學習效果，除了“Skill”，還有“Will” [3].內在動機的行為是基于興趣而進行的，培養學生對數學的熱愛，應當是數學教育的基點.

心理學家對產生興趣的因素進行歸納，主要集中在謎語、謎題和帶有轉折的故事等.馬丁·加德納認為，選擇趣味性的智力題或者是悖論等，能喚醒學生的學習興趣，調動學生學習的積極性；談祥柏會把數學發展過程中的經典問題加入學習內容中.那么作為一線教師，選擇什么樣的教學內容能更好地培養學生的數學學習興趣呢？

3教學建議

教學當中可以適當融入典型的悖論及智力題來激發學生的學習動機.典型的悖論更傾向于邏輯推理，智力題則更傾向于實際應用，而這也正是數學學習動機培養的兩個關鍵[4].

3.1提供典型的悖論

一些似是而非的問題更有利于引發學生的思考，在思考的過程中，更容易感悟該問題的本質[5].學生若要驗證問題的真偽，就需要嚴密的數學論證，這也正是從歸納推理到演繹推理、從猜想到證明的過程.而學生完成證明的成就感便可激發學生內在動機，進而演化成對數學的喜愛.

3.2提供典型的智力題

在智力題中應用數學，能讓學生更直觀地感受到數學的價值，數學的學習是可以應用于實際生活的.這種智力題的選擇，以學生此前參與過的智力題為最佳.選取學生年幼時玩過的智力題，能更好地將學生帶入其中，發現生活中的數學.智力題內容的選擇不僅限于智力測試中紙面上的題目，一些益智類的游戲本質也能回歸到智力題上.

4數列教學案例設計

選擇能激發學生學習興趣的教學內容實際上是試誤，就像我們沒法從一個孩子嘴里了解到他喜愛吃什么，只能看哪個食物他吃得更多.同理，我們很難通過詢問了解到什么可以激發學生的興趣，只能嘗試

把我們認為他們會喜歡的東西優先提供給他們，看他們對這類事物的反應.下面兩個教學內容的設計，就是兩個嘗試.

4.1基于邏輯推理的教學設計案例——提供典型的悖論

在數列的課程設計中，可以適當融入一些要求學生具備邏輯思維能力的問題，以培養學生的邏輯推理素養.譬如可以引入遞歸問題，培養學生的遞推思維；引入需要類比解決的問題，培養學生的比較思維；引入需要反證法解決的問題，培養學生的逆向思維等.如下述案例借助了數列培養學生的遞推思維.

這里可以引入一個典型的問題——芝諾悖論：若烏龜（跑得慢的人）只要比兔子（跑得快的人）先出發，就永遠不會被追上，因為當兔子跑到烏龜先前所在的地方時，烏龜一定也向前移動了一定的距離，這樣會導致兔子每追上烏龜一段路程，烏龜都又向前移動了，最終永遠也追不上.顯然，這是一個似是而非的解釋，可以讓學生嘗試用不同的方式，闡述這個悖論錯在哪里，要求做到邏輯自洽.

設計意圖這樣的一個悖論，即便是用普通人最樸素的想法理解，也是一定能追上的，但是往往難以在相同的邏輯層面予以解釋.我們在引導學生思考時，可以讓學生嘗試把它抽象成一個數學問題，用數學的方法予以闡釋.而這個闡釋過程，就是在培養學生的邏輯推理能力，因為需要學生以自洽的證明方式解釋問題.

比如可以將該問題轉化成一個求等比數列前n項和的問題予以證明.

即證明了總時間Tn是不大于一個定值dv2-v1的，也就是會在一定時間內追上.

設計意圖這里由于學生還沒有學到極限的內容，可以考慮用放縮的方法，最終證明總時間是不超過定值的，這與學生小學時學到的追擊問題，追擊路程=速度差×時間是契合的.而后續在選修中講解到數列極限的問題時，可以再把這個生動的問題拿出來讓學生回顧，以加深學生對極限的理解.這樣的一個問題，可以同時發展學生的數學建模思想以及數學運算能力.

4.2基于數學抽象的教學設計案例——提供典型的智力題

在課程設計中，可以融入下面一個情境化的問題，嘗試讓學生完成問題的解決，并在問題解決的過程中體會用數學的視角、數學的語言去表達生活中的情境，用數學的思維、抽象的方法解決生活中的問題.

漢諾塔是著名數學家愛德華·盧卡斯發明的一款以印度神話為背景的休閑數學游戲（如圖2），具體的玩法如下.

共有3根木棒，A木棒上擺放著由下到上逐漸變小的n個木塊，要求每次只能移動一個木塊，且無論如何移動，必須保證小木塊擺在大木塊的上面.

試問：（1）當有3塊木塊時（即n=3時），最少需要幾次才能將所有木塊從A木棒全部移動至C木棒.

（2）當有4塊木塊時（即n=4時），最少需要幾次才能將所有木塊從A木棒全部移動至C木棒.

（3） n塊木塊，最少需要幾次才能將所有木塊從A木棒全部移動至C木棒.

設計意圖解決這樣的一個具體問題，需要學生具備一定的能力.首先需要學生對問題嘗試歸納出n=1時，最小的移動次數a1=1（以下記為an），n=2時，a2=3 ，n=3時，a3=7等.其次是發現邏輯中的遞歸關系，如4個木塊從A移動到C，本質上可以轉化成先將最小的3個木塊從A移動到B，再將最大的木塊從A移動到C，最后完成將3個最小的木塊從B移動到C，而這樣的遞歸關系也是發現此游戲本質的關鍵.最后還需要用數學歸納法將n=k時的情況推廣到n=k+1時成立.最終得出an=2n-1這一結論.而在嚴密證明前對結論的猜測，需要對等比數列以及等比數列的變形性質的敏感，即聯想到等比數列和等比數列+常數c的模型的重要特征——每相鄰兩項的差依舊是等比數列，歸納猜測出n為不同值時，最小移動次數的規律，同時掌握1，3，7，15，31數列的特征，也有利于問題的解決.

而以整理、抽象、轉化為下列數學問題：

a1=1，a2=3，an=2an-1+1，求an的通項公式.

進而轉化成典型的數列問題進行求解：

因為an=2an-1+1，

所以an+1=2an-1+2.

令bn=an+1，

則bn=2bn-1.

bn是公比為2的等比數列，

所以b1a1+1=2.所以bn=2n.所以an=2n-1.

數學歸納法在學生的數學思維培養中起著重要作用，而其中所蘊藏的文化內涵，也正是文化育人的好素材[6].上述的問題，除了有助于數學抽象素養的培養外，也在一定程度上

增加了學生對數學的喜愛之情的養成，讓學生可以發現數學是能夠切實解決現實問題的，不只是能夠解決相對工作化場景的問題，同樣可以解決相對生活化、游戲化的問題.

5結束語

我們會發現，上述兩個問題的引入，都融合了數學抽象、數學推理、數學建模、數學運算等核心素養.此前學界更多的關注點是將趣味性問題融入小學學段的數學教學中，而鮮有融入中學，尤其是高中.而筆者在此前的教學實踐中發現即便是初中生，甚至是高中生，也會對這樣趣味性的問題表現出較高的興致，故作一個簡單的結合，將這種趣味性嘗試應用于高中生核心素養的培養中.

教師可以在教學中適當引入一些典型的智力題或是悖論等內容引發學生興趣，以此來調動學生的學習積極性，激發學生的學習欲望，而這也與著名數學家馬丁·加德納的思想相契合.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 張奠宙，馬文杰.簡評“數學核心素養”[J].教育科學研究，2018（09）：62-66，85.

[3] 王婷婷.自我調節學習過程中的動機研究[D].上海：華東師范大學，2008.

[4] 劉振達，王青建，邵茹.從數學史角度研究數學學習動機[J].數學教育學報，2012，21（03）：26-30.

[5] 林玉慈.高中數學課程中的邏輯推理及教學策略研究[D].長春：東北師范大學，2019.

[6] 紀定春，蔣紅珠，王若飛.數學歸納法的應用與建議[J].數理化解題研究，2020（10）：44-46.

［責任編輯：李慧嬌］