考慮湍流模型不確定性量化的噴管伴隨優化設計

摘要：為提高工程中廣泛采用的基于雷諾平均Navier-Stokes （RANS）模型設計優化的可靠性和穩健性，針對RANS模型存在的結構不確定性，通過質心圖和雷諾應力的可實現性對其進行合理量化，采用自適應非均勻擾動方法對湍流各向異性張量的特征值和特征空間施加擾動，并對模型預測的不確定區間進行數值估計。提出了一種RANS模型不確定性量化框架下的伴隨設計優化方法，探索了該方法在拉瓦爾噴管優化設計中的應用，通過6次模擬獲得了不同擾動下的優化幾何型線，不同型線所圍成的區域（置信區間）反映了模型結構不確定性引起的幾何優化差異。研究結果表明：在不同擾動下，優化后的噴管總壓損失降低了6.7%～19.2%，實現了噴管性能的穩健提升，獲得的置信區間降低了對制造公差的敏感性，從而在一定程度上降低了精度要求和制造成本。研究結果展示了考慮RANS模型不確定性量化的優化設計在航空航天工程應用中的潛在價值和指導作用。

關鍵詞：不確定性量化；伴隨優化設計；湍流模型；噴管；制造公差

中圖分類號：V211.3 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202503001 文章編號：0253-987X（2025）03-0001-08

Adjoint Optimization Design of Nozzle Considering Uncertainty "Quantification of Turbulence Model

LI Anna， SUN Zhongguo， HUANG Zhu， XI Guang

（School of Energy and Power Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：In order to improve the reliability and robustness of design optimization based on the Reynolds-averaged Navier-Stokes （RANS） models， which are widely used in engineering， this paper addresses the structural uncertainties present in RANS models. By using centroidal diagrams and the feasibility of Reynolds stresses， these uncertainties are reasonably quantified. An adaptive non-uniform perturbation method is employed to apply disturbances to the eigenvalues and eigenspaces of the turbulence anisotropy tensor， and a numerical estimation of the uncertainty interval predicted by the model is conducted. This paper proposes a method for adjoint design optimization under the uncertainty quantification framework of the RANS model and explores its application in the optimization design of a Laval nozzle. Through six simulations， optimized geometric shapes under different perturbations are obtained， and the areas enclosed by different shapes （confidence intervals） reflect the geometric optimization differences caused by structural uncertainties in the model. The results indicate that after optimization under different perturbations， the total pressure loss of the nozzle is reduced by 6.7% to 19.2%， achieving a robust improvement in nozzle performance. The resulting confidence intervals reduce sensitivity to manufacturing tolerances， thus lowering precision requirements and manufacturing costs to some extent. The findings demonstrate the potential value and guiding role of optimization design considering the uncertainty quantification of the RANS model in aerospace engineering applications.

Keywords：uncertainty quantification; adjoint method design; turbulence model; nozzle; manufacturing tolerance

美國國家航空和宇宙航行局（NASA）在《CFD2030愿景》《2040愿景》報告^［1-2］中指出，計算流體動力學（CFD）中的不確定性量化（UQ）和考慮不確定性量化的優化設計是亟需完善的重要課題，是未來的研究重點和挑戰性工作，在航空航天領域具有重要的應用前景。受計算資源限制，目前計算湍流的主要數值方法為雷諾平均方法，雷諾平均Navier-Stokes（RANS）模型在預測工程湍流問題中已得到廣泛的應用，常用的k-ε和k-ω等湍流模型滿足了絕大多數的工程需求。然而，基于RANS模型的確定性設計，在制造過程中需嚴格滿足對加工精度的要求，通常成本較高，否則會引入加工制造的不確定性，從而降低產品設計性能^［3］。此外，由于RANS模型在模化過程中使用一系列假設而引入了不確定性，限制了模擬結果的可靠性^［4］。因此，如果RANS模型的不確定性能夠被有效地量化，那么一方面數值預測的可靠性將會提升，另一方面基于不確定性量化的氣動優化設計的區間估計可用于后續加工制造。

近幾十年，對于不確定性量化，包括RANS模型的不確定性一直備受關注^［4-5］。一種常見的量化模型結構不確定性的方式是檢查不同模型系數所導致的結果^［6-8］。考慮到湍流的物理意義，另一種有效方式則是借助雷諾應力的可實現性來量化雷諾應力張量的不確定性。Banerjee等^［9］提出了一種雷諾應力特征值和質心坐標之間的線性映射方法，將Lumley曲邊三角形^［10］轉換到質心坐標系統下的等邊三角形，即在質心圖上可視化湍流各向異性。基于質心圖，Emory等^［11-12］探索了一個包含渦黏性假設中的潛在不確定性的框架。在這個框架下，直接將模型的不確定性注入到雷諾應力張量中，通過特征分解對特征值進行擾動。Iaccarino等^［13］在此基礎上改進了特征值擾動方法，建立了特征向量擾動框架。對于分離流動，該框架在解釋RANS預測結果與實驗數據或高保真數據之間的差異上有了顯著改進。Huang等^［14］基于這一框架提出了一種非均勻擾動方法，通過執行6次特定的模擬來量化RANS模型的不確定性，結果表明該方法在二維和三維流動中均具有良好的收斂性。盡管國內也開展了CFD不確定性量化的若干研究^［15-17］，但目前尚未探究基于質心圖的RANS模型不確定性量化方法。

采用RANS模型進行幾何模型的優化設計，已成為指導實驗的有效數值手段。然而，由于RANS模型存在不確定性，通過某種湍流模型優化設計出的幾何未必滿足實驗要求，尤其對于復雜流動問題。基于RANS模型的不確定性量化的優化設計更為可靠，但相關研究仍然很少^［18-19］。此外，伴隨方法作為一種具有較高精度和效率的優化技術，在飛行器、火箭、翼型、發動機部件、管道等方面受到了較為廣泛的關注^［20-23］。因此，在課題組之前的研究^［24］中，提出了一種在RANS模型不確定性量化框架下的伴隨優化方法，探索了空氣動力學設計與制造加工之間的潛在橋梁，并將其應用于多種算例中進行了檢驗。

為了進一步探究伴隨設計優化方法在超音速流動中的應用，選取拉瓦爾噴管進行模擬和優化。拉瓦爾噴管作為火箭發動機和航空發動機的常用部件，廣泛應用于航空航天領域。本文基于RANS模型的不確定性量化框架，對拉瓦爾噴管的內部流動進行數值預測，通過對各向異性張量的特征值和特征空間進行特定擾動，從而實現對湍流模型的不確定性量化，提升了RANS預測的可靠性；此外，在不確定性量化結果的基礎上對噴管進行伴隨形狀優化，獲得了具有置信區間的優化噴管型線，實現了噴管性能的穩健提升。置信區間通常顯著大于制造公差區間，這使得置信區間對制造誤差的敏感性有所降低，從而為制造加工過程提供有效可靠的指導。

1 不確定性量化方法

Iaccarino等^［13］基于質心圖和雷諾應力的可實現性，提出了特征空間擾動框架，該不確定性量化框架在工程上具有很大的應用潛力。

基于渦黏性假設的湍流各向異性張量表示為

aij=uiuj2k－δij3=Rij2k－δij3（1）

式中：ui、uj為i、j方向流速；k為湍動能；Rij為雷諾應力張量；δij為克羅內克符號。對湍流各向異性張量進行特征分解可得

aij=υinΛnlυjl（2）

式中：υin和υjl是由各向異性張量的特征向量組成的矩陣；Λnl由特征值λk組成的對角矩陣，并以λ1 ≥ λ2 ≥ λ3的順序排列。

那么，雷諾應力張量可以寫為

Rij=2kυinΛnlυjl+δij3（3）

RANS模型在建模過程由于假設、簡化引入了大量的不確定性。例如，渦黏性假設假定模擬的雷諾應力與平均應變速率共享方向，這在簡單的剪切流動中是正確的，但在復雜流動中受限^［25-26］，此外渦黏性假設形式下雷諾應力各向異性特征值的表示不令人滿意^［27］。因此，將不確定性注入到雷諾應力張量的特征空間中，從而使得渦黏性假設的誤差被納入框架。擾動后的雷諾應力張量表示為

R*ij=2kυ*inΛ*nlυ*jl+δij3（4）

式中：上標*表示擾動變量。其中特征值的擾動代表雷諾應力橢球形狀的變化，特征向量的擾動代表雷諾應力橢球方向的變化。

通過質心圖對雷諾應力張量執行可實現性約束，任何可實現的湍流狀態都應位于質心圖上及其內部。如圖1所示，質心圖的3個頂點C1、C2、C3分別表示湍流不同的物理極限狀態，坐標分別為（xC1，yC2）、（xC2，yC2）、（xC3，yC3）。各向異性張量特征值和坐標（x， y）之間存在線性映射，質心圖中任意一點的空間坐標可以表示為

x=（λ1－λ2）xC1+2（λ2－λ3）xC2+（3λ3+1）xC3

y=（λ1－λ2）yC1+2（λ2－λ3）yC2+（3λ3+1）yC3（5）

在質心圖上，將任意一點朝著某一頂點方向進行擾動，擾動距離為ΔB（均勻擾動），根據線性映射關系計算得到擾動后的特征值，進而可求出擾動后的各向異性張量和雷諾應力張量。非均勻擾動方法^［14］則是先計算任意點到三邊的垂距，選取最短距離作為擾動量向某一頂點方向擾動。

特征向量的擾動由湍流產生機制即生成項指導，它以消耗平均流動能使湍動能增加，為了限制這種能量傳遞，通過對第一和第三特征向量進行置換以尋求生成項的極值。在由應變速率張量的特征向量定義的坐標系中，標準化的雷諾應力特征向量由下式^［11］給出

υ=100 010 001; υmin=001 010 100（6）

式中：擾動前的雷諾應力橢球方向與第一特征向量υ方向一致；υmin是擾動后的特征向量，此時的雷諾應力橢球與第三特征向量方向垂直。

本文采用非均勻擾動方法，通過6次特定模擬得到不同擾動下的結果。對于二維流動，各向異性張量的特征值為［a， 0， －a］且a ≥ 0，非均勻擾動下的湍動能生成項^［24］總結如下

－a*ij*Sij=a*ij*aij（k/νt）=

（k/νt）2a2（1－r）+ra，1C

2a2（1+r）－ra，1C-min

2a2（1－r）+ra/2，2C

2a2（1+r）－ra/2，2C-min

2a2（1－r），3C

2a2（1+r），3C-min（7）

式中：Sij表示應變速率張量；νt表示渦黏度；r表示擾動距離；1C、2C、3C代表朝C1、C2、C3方向進行特征值擾動，1C-min、2C-min、3C-min代表同時對特征值和特征向量進行擾動。

2 流場模擬

2.1 噴管模型及計算網格

對于平面噴管，當背壓較高時，噴管內部會發生流動分離，且在一定壓比范圍內分離是不對稱的^［28］，而RANS模型通常無法準確模擬流動分離。因此，有必要對噴管內部流動進行不確定性量化研究，以提高湍流模型對噴管內部流動預測的可靠性。

本文采用的是Verma和Manisankar^［29］在實驗中使用的平面噴管結構，主要由收縮段和擴張段兩部分組成，如圖2所示。其中，噴管喉部高度Th=28mm，噴管出口面積Ac與喉部面積At之比固定為1.79，擴張段的擴張半角θ=5.7°。流場計算采用二維結構化網格，在噴管壁面附近進行網格加密，且滿足壁面無量綱距離y+小于1，經網格無關性驗證，所選網格總數為398700，計算域和網格細節如圖3所示。

2.2 湍流模型及邊界條件

基于ANSYS Fluent平臺，采用SST k-ω湍流模型進行數值模擬。該模型對于模擬邊界層流動和分離流動具有良好的適用性。噴管進出口均采用壓力邊界條件，壁面采用絕熱無滑移邊界條件。環境壓力和溫度分別為100kPa和300K，入口滯止壓力設為290kPa，模擬壓比2.9工況下的噴管流場^［30］，這里的壓比指滯止壓力與環境壓力的比值。

2.3 流場結果分析

圖4和圖5分別給出了壓比為2.9工況下噴管上、下壁面的壓力pw與滯止壓力po之比沿軸向x的分布。該工況模擬的是低于設計高度的情況，噴管的排氣壓力低于環境壓力，噴管處于過膨脹區，在過膨脹期間，由于環境壓力較高，流動分離發生在噴管內部。將數值結果與文獻［29］的實驗結果進行定量比較可見，SST k-ω湍流模型在這一工況下對流動分離的預測不是很理想，上壁面的壓力分布與實驗相比有較大差異，分離發生的預測位置較實驗位置提前。在不確定性量化框架下，SST k-ω模型預測出的壓力分布的不確定區間覆蓋了大部分實驗數據，如圖4、圖5中灰色區域所示。這一區間估計是量化湍流模型結構不確定性的體現，給出了湍流模型數值預測的潛在范圍，提高了數值結果的可靠性。

圖6顯示了數值計算的噴管馬赫數云圖與實驗紋影圖的對比。從中可以看出，SST k-ω湍流模型計算的流動分離位置比實驗更靠上游，氣流在上壁面過早地發生分離，并且分離后的氣流向下彎曲、失去對稱性，與實驗結果產生偏差。基于不確定性量化框架，在1C-min擾動下，流動分離發生的位置比實驗更加提前，偏離實驗結果；而在1C擾動下，流場分布整體上與實驗一致，分離后的氣流近似對稱，流動分離位置向下游移動，比實驗略靠后一些；在其他擾動下計算出的分離位置均在這一范圍內，其中在3C-min擾動下獲得的流場與實驗最為接近。通過對湍流各向異性應力張量的特定擾動，獲得了具有一定差異的不同流場結果，該差異是湍流模型結構的不確定性引起的，通過不確定性量化提高了SST k-ω湍流模型對復雜流動預測的可靠性。

3 伴隨優化設計

3.1 伴隨方法

伴隨方法通過求解伴隨方程，得到觀察量對輸入變量的導數，輸入變量可以是幾何、邊界條件、源項等，因此可以用來指導計算域內任意幾何特征的設計修改，從而實現形狀優化。

ANSYS Fluent平臺內置的伴隨求解器^［31］提供了一個基于梯度的優化器，可以自動創建一系列的設計迭代，采用基于多項式的變形方法來控制幾何和網格的變形，具體優化流程如圖7所示。此外，由用戶定義函數（UDF）將不確定性量化程序載入到Fluent中，分別對動量方程、湍動能方程和耗散率方程添加源項，通過擾動湍流各向異性張量的特征值和特征向量，實現對湍流模型的不確定性量化，求解并獲得了不同擾動下的流場。在不確定性量化的基礎上對噴管進行伴隨形狀優化，以實現噴管性能的穩健提升。

3.2 優化目標及設計結果

采用ANSYS Fluent伴隨求解器對噴管進行形狀優化，并設置y方向對稱約束，優化目標為降低噴管的總壓損失。在流場求解中，考慮SST k-ω湍流模型計算的基礎流場，以及在不確定性量化框架下施加6種特定擾動后的流場，并在此基礎上進行伴隨設計迭代。基于不確定性量化的氣動設計提供了優化幾何型線的不確定區間，稱之為置信區間。

圖8顯示了基于不確定性量化的優化噴管型線及其置信區間。紅線為原始幾何圖形，不同擾動下的優化型線形成了一個灰色的置信區間。在UQ框架下，噴管總壓損失的計算范圍從77468.1Pa到94139.1Pa，無擾動情況下的值為88567.4Pa；優化后，噴管的總壓損失下降至72305.1～81610.6Pa，各擾動下的降幅范圍為6.7%～19.2%，基于不確定性量化得到的優化噴管均實現了不同程度的性能改進。由圖8可見，盡管不同擾動下的優化型線很接近但并未重疊，形成了一個具有一定厚度并實現性能改進的置信區間，該區間的最大厚度約為1.2mm；與確定性設計相比，該區間顯然降低了對制造誤差的敏感性，從而在一定程度上降低了精度要求和制造成本。

圖9展示了壓比為2.9工況下優化后噴管的馬赫數分布云圖。雖然目標為降低噴管總壓損失，但從圖中可以發現，經過伴隨優化，不同擾動下獲得的優化后噴管內的流動分離基本對稱，分離位置在擴張段略有差異。流動的不對稱會導致不良的側向力，顯然優化后的流場結構更加符合期望，一方面降低了噴管的總壓損失，同時減弱了流動的不對稱性，改善了噴管性能。因此，基于雷諾應力可實現性的湍流模型不確定性量化框架下的伴隨優化設計，實現了噴管性能的穩健提升。

4 結 論

（1）基于渦黏性假設的RANS模型準確預測復雜的分離流動有較大難度，合理量化湍流模型的不確定性來提高模擬結果的可靠性是十分必要的。

（2）在基于質心圖和雷諾應力可實現性的不確定性量化框架下，采用非均勻擾動方法有效量化了SST k-ω模型結構的不確定性，獲得的壓力區間估計能夠很好地覆蓋實驗數據。

（3）在不同擾動下，優化后噴管的總壓損失降低了6.7%～19.2%，各噴管型線均實現了良好的性能改進，獲得了穩健的優化設計區間。

（4）不同擾動下的優化型線所形成的置信區間，一定程度上降低了對制造公差的敏感性，同時驗證了基于RANS模型不確定性量化框架下的伴隨優化方法的有效性。

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（編輯 杜秀杰）