基于核心素養培養的高中數學教學實踐

一、教材分析

“二項式定理”是高中數學課程中的重要內容，不僅涉及代數運算和組合思想，還蘊含著豐富的數學文化和思維方式。掌握二項式定理能夠幫助學生理解多項式的展開規律，為后續概率、統計等內容的學習奠定基礎。在這一過程中，教師可以通過引導學生探究定理的推導過程、應用以及解決實際問題，幫助學生提升邏輯推理能力和問題解決能力。研究表明，基于核心素養的教學設計能夠有效提升學生的學習興趣和主動性。在“二項式定理”的教學中，教師采用生動的實例和靈活的教學方法，可激發學生的探究興趣。例如，教師通過與生活實際相結合，展示二項式在概率計算、金融模型等方面的應用，讓學生在真實情境中體會數學的價值和樂趣。此外，核心素養的培養還要求教師關注學生的情感、態度與價值觀。在教學過程中，教師通過鼓勵學生表達自己的見解，尊重不同的思維方式，可以培養學生的合作意識和溝通能力，使他們在數學學習中不僅是知識的接受者，更是積極的參與者。

二、學情分析

高中生已經掌握了計數原理、排列組合、合情推理等相關知識，為理解和應用二項式定理奠定了基礎。而且高中生的認知能力逐漸增強，能夠進行較復雜的邏輯推理，且對新知識有著較強的接受能力，快速掌握二項式定理相關知識點，并通過具體的實例和練習理解、鞏固相關知識點，提高二項式定理學習成效。但二項式定理的證明涉及符號的抽象性和組合數性質的恰當運用，學力較弱的學生在推導二項式定理時可能會遇到困難，也容易混淆二項式系統的性質、通項公式等相關概念。教師可設計多樣化的教學活動，以提升學生的深度理解和應用能力，增強學生的學習效果。

三、核心素養目標

1.數學抽象與邏輯推理：能理解二項式定理的核心概念，理解其符號表達和數學結構；能運用邏輯推理來證明二項式定理，增強嚴密的邏輯思維和推理能力。

2.數學建模與問題解決：能將實際問題轉化為二項式定理的應用場景，建立數學模型，并運用定理解決問題；通過小組合作和對比實驗，學生能參與數學建模的過程，提升解決實際問題的能力。

3.數學運算與符號表達：能熟練運用二項式定理進行多項式的展開和計算，能準確使用數學符號和表達式，提高數學運算的準確性和效率。

4.直觀想象與空間觀念：能通過圖形和幾何直觀來理解二項式定理，培養空間想象力和幾何直觀能力。

5.數學思維與創新能力：能將二項式定理應用于新的情境，展現數學思維的靈活性和創造性。

四、教學重難點

1.二項式定理的理解與應用

學生在初次接觸這一概念時，可能會對公式的記憶和理解產生困難。因此，教師可以通過圖示化的方式展示二項式定理的展開過程，幫助學生直觀理解公式。同時，結合實際例題，進行多次重復練習，加深學生的印象。

2.推導過程的掌握

推導二項式定理的過程涉及組合數的概念，學生需要理解組合數的意義及其計算方法。教師可以讓學生進行分組討論，互相講解組合數的計算，來增強對該概念的理解。此外，通過引導學生進行不同n值情況下的推導，幫助他們建立綜合性思維。

五、教學過程

（一）課題導入

教師：小明在2012年準備投入100萬元與朋友做生意，他有兩種回報方式可以選擇：一種是年利率12%的單利計算，另一種是年利率10%的復利計算。10年后，他可以選擇收回本金和利息。我們來計算一下，哪種投資方式更有利？

學生：如果選擇單利計算，10年后本金和利息和為100×（1+12%×10）=220萬元。

教師：很好，單利的計算確實簡單。那么，復利計算呢？我們知道復利是每年都會計算利息，然后加到本金上，再計算下一年的利息。但是，這種公式比較復雜，如果不使用計算工具，我們如何快速得到答案呢？

學生：可以用公式100×（1+10%）10來計算。

教師：這是一個指數函數的計算。但是，我們今天不使用計算工具，而是通過探究來找到規律。我們先從這個公式入手來求一下解，然后再推導這個公式的規律。

（二）知識講解

教師：如何計算這個公式？

學生：我們可以嘗試將公式分解，比如，先計算（1+10%），然后是（1+10%）2，這樣逐步增加。

教師：讓我們進行小組合作，一起來嘗試推導這個公式。我們可以先計算（1+10%）1，然后是（1+10%）2，接著是（1+10%）3，看看能否發現其中的規律。

（學生和教師一起進行計算和推導）

教師：經過對比和推算，大家有什么發現？

（學生討論，教師引導）

小組代表：我們發現（1+10%）3實際上等于13+3×12×10%+3×1×10%2+10%3。

教師：這個規律很有趣，它實際上就是二項式定理的一個應用，那再回頭看我們課堂開始的問題，有沒有同學有什么思路？

學生：老師，我們是不是可以用這個方法來計算100×（1+10%）10？

教師：沒錯，這正是我們要學習的二項式定理。通過這個實際問題，我們不僅找到了計算復利的規律，還引出了今天的學習主題——（a+b）n的課題。

［教師板書：（a+b）2］

教師：（a+b）2的展開是什么？

學生：a2+2ab+b2。

教師：沒錯，這是二項式定理的一個簡單例子。在此基礎上，我們來嘗試推導（a+b）3的展開式。請大家翻閱一下課本，跟我一起重復這個公式的內容。

［教師板書：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3］

教師：我們可以看到a3和b3是顯而易見的，但是中間的項3a2b和3ab2是如何得來的呢？讓我們一起來探究這個問題。提示一下大家，這和組合數有關。

（有的學生面帶疑惑，有的學生稍微思索后脫口而出）

學生：也就是說在（a+b）3中，a和b可以以不同的方式組合。比如，a3意味著a取了3次，b取了0次；而3a2b意味著a取了2次，b取了1次。

教師：回答得非常棒，那么，我們如何用組合數來表示這些項呢？比如，a3的系數是什么？

學生：a3的系數是1。

教師：非常好！這代表在這個式子中，只有一種方式讓a取3次，b取0次。

學生：也就是說前面的系數是幾，就代表有幾種方法。

教師：沒錯?，F在，讓我們用具體的數字n來推導（a+b）4的展開式。我們可以先寫出a4和b4，然后是中間的項。

［教師板書：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4］

教師：在這個公式中你能發現什么規律呢？

學生：展開式中的項有a4、a3b、a2b2、ab3、b4。

學生：a4的系數是1，代表只有一種方式讓a取4次，b取0次。

學生：而4a3b的系數是4，因為我們可以選擇a取3次，b取1次，或者a取2次，b取2次等。

學生：老師，是不是每個不取b的情況有一種，即C04種，所以a4的系數是C04？

教師：完全正確。恰有一個取b的情況有C14，所以a3b的系數是C14。4個都取b的情況有C44，所以b4的系數是C44。

教師：現在，讓我們來歸納一下這個規律。對比（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開式，總結規律。

（出示板書如下）

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

學生：項數均為n+1項。

學生：（a+b）4是4個（a+b）相乘，展開式的每一項都是從4個（a+b）中各取一個字母相乘，每一項以an-kbk形式呈現，即a4b0、a3b、a2b2、ab3、a0b4，其中（k=0，1，2，3，4）。

學生：a2b2是從4個（a+b）中取2個b，和2個a相乘得到，所以該項的系數為C24。以此類推，其他項系數依次為C04，C14，C24，C34，C44。

教師：現在請大家進行小組討論，整理歸納我們剛才得出的規律和結論，該怎么總結（a+b）n的展開式規律呢？

（學生進行小組討論，教師巡視討論）

學生小組1：我們可以得出結論，（a+b）n的展開式是C0nan+C1nan-1b1+…+Cnnbn（k=0，1，2，3…n，n為任意正整數），所以二項式系數依次為C0n，C1n，C2n，C3n…Cnn。

學生小組2：我們還得到一個結論，以（a+b）4為例：

當k=0時，第1項=C04a4b0=a4；

當k=1時，第2項=C14a4-1b1=4a3b；

當k=2時，第3項=C24a4-2b2=6a2b2；

當k=3時，第4項=C34a4-3b3=4ab3；

當k=4時，第5項=C44a4-4b4=b4。

可得到一個項的通用公式，即Tk+1=Cknan-kbk。

教師：沒錯，這正是我們要推導的公式。在這個過程中，我們不僅發現了規律，還學會了如何通過歸納和猜想來得出結論。同學們，你們做得非常棒！

教師：接下來，讓我們在小組中一起探究，嘗試推導（a+b）5的展開式，并看看我們能否發現更多的規律。我在這里會巡視各個小組，幫助你們解決問題。記住，大家要注重合作，共同發現知識。

（學生進行小組討論）

（三）課堂練習

教師：相信大家在小組的幫助下已經掌握了二項式的具體規律，現在請大家獨立思考：已知二項式（x+2）5，（1）求它的通項；（2）求它的第三項；（3）求它的第三項的二項式系數。

教師在黑板上寫下題目，并引導學生思考。

教師：同學們，我們知道二項式定理展開式的通項公式是什么？請大家回憶一下。

學生：是Tk+1=Cknan-kbk。

教師：很好！請大家開始計算。

（學生開始計算，幾分鐘后，教師巡視教室，觀察學生的思考過程?？吹侥承W生在計算過程中遇到了困難，教師主動詢問幫助學生解決疑惑）

（在學生完成第一個練習題后，教師展示完整展開結果）

教師出示PPT。

請證明：對于任意正整數n，（a+b）n的展開式中的每一項的系數均為正數。

教師：同學們，想一想，為什么展開式中的每一項系數是正數？

學生：因為n和k都是非負整數，并且0≤k≤n，所以二項式系數Ckn是正整數，而a和b為正數時，an-k和bk也是正數。

教師：非常好！你們的理解非常到位。這個練習不僅幫助你們鞏固了二項式定理的知識，還提升了你們的邏輯推理能力。

（四）課堂總結

教師：同學們，通過這次課堂練習，我們共同經歷了一段探索和發現的過程。你們在動手實踐中加深了對二項式定理的理解，解題能力也得到了顯著的提升。我非常高興看到大家積極參與，互相幫助，共同克服了難題。

這次課堂練習不僅是對知識的鞏固，更是對學習方法的實踐。我希望大家能夠將這種積極的學習態度和解決問題的能力應用到今后的學習中，不斷挑戰自我，追求卓越。讓我們一起期待在未來的學習中，你們能夠取得更好的成績！下課！

六、教學反思與改進

在教學實踐中，教師對“二項式定理”一課的效果評估是至關重要的。這一環節不僅有助于教師了解學生對知識的掌握情況，還能為后續的教學改進提供依據。通過觀察學生的課堂表現、作業完成情況以及測試成績，教師能夠全面評估教學效果。

（一）課堂觀察是評估的重要手段

在“二項式定理”的教學過程中，教師通過與學生的互動了解他們對新知識的接受程度。在導入環節，教師提出一個生活中的實例，激發學生的興趣。觀察到大部分學生積極參與討論，表現出濃厚的學習興趣，這表明導入環節有效激發了學生的學習動機。在新知講解時，教師通過具體的例題解釋“二項式定理”的應用，學生通過提問和回答，理解概念。

（二）課堂練習的結果是評估教學效果的重要依據

在課堂上，教師設計了多道練習題，涵蓋不同難度的內容，旨在加深學生對“二項式定理”的理解。通過對學生完成這些練習題的情況進行分析，教師發現絕大多數學生能夠正確解答基本題目，但在涉及較復雜的應用題時，部分學生感覺有困難。這提示教師在后續教學中需要加強對復雜問題的講解與訓練。

另外，課后作業也是評估的重要環節。教師布置了與“二項式定理”相關的作業，要求學生獨立完成。通過批改作業，教師發現學生的作業質量良莠不齊，尤其在計算過程中的細節處理上存在不少錯誤。教師在反饋中指出這些問題，并鼓勵學生在今后的學習中加以注意。這樣的反饋不僅能夠幫助學生認識到自己的不足，也為教師提供了針對性的改進方向。

（三）通過小測驗對教學效果進行評估

在教學結束后的下一周，教師安排了一次小測驗，內容涵蓋“二項式定理”的基本概念、公式推導及實際應用。測驗結果顯示，學生的整體成績較好，平均分達到了85以上，表明大部分學生已掌握了該章節的核心內容。然而，個別學生的成績明顯低于平均水平，需加強對相關知識的掌握。

綜合以上評估結果，我們可以看出“二項式定理”一課的教學效果總體良好。絕大多數學生對知識的接受度較高，課堂互動積極，作業和測驗的完成情況也反映出一定的學習成果。盡管如此，教師仍需關注部分學生的學習困難，在今后的教學中應適時調整教學策略，通過分層次的教學和個性化輔導，幫助每位學生更好地掌握數學知識。這樣的評估不僅為當前教學提供了依據，也為未來的教學實踐指明了方向。

（作者單位：甘肅省瓜州縣第一中學）

編輯：張俐麗