運用割補法解題的五種技巧

摘要：立體幾何中，割補法在求面積和體積類的問題中有著廣泛的應用.在解題過程中若能巧妙地對幾何體實施“割”或“補”，就能變整體為局部、化不規則為規則，有利于找到解決問題的突破口，快速解決問題.本文中結合實例給出了五種解題技巧，即補“臺”為“錐”巧求值，切割補形巧證明，補“柱”為“體”巧代換，補“形”轉化求距離，補“錐”為“柱”求體積.

關鍵詞：割補法；解題技巧

“割”，就是把不規則的幾何圖形分割成幾個規則的圖形，“補”就是把不規則的幾何圖形補充成一個規則的圖形，再按照規則圖形的計算公式求面積或體積.割補法是立體幾何中一種非常實用的解題思路與方法，該方法有助于彌補學生空間想象力不足的缺陷，能夠將抽象、陌生的立體幾何問題轉化為直觀、熟悉的幾何問題，幫助學生發現已知幾何體與未知幾何體之間的內在聯系，從而快速找到解題思路與方法.本文中結合典型實例探究了高中立體幾何學習中割補法的具體應用技巧，供同學們參考.

1 補“臺”為“錐”巧求值

例1（2024年新課標Ⅱ卷第7題）已知正三棱臺ABCA1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，求A1A與平面ABC所成角的正切值.

解析：將正三棱臺ABCA1B1C1補成正三棱錐PABC，如圖1，則A1A與平面ABC所成角就是PA與平面ABC所成的角.

因為PA1PA=A1B1AB=13，所以VPA1B1C1VPABC=127，則VABCA1B1C1=2627VPABC=523.故VPABC=18.

設正三棱錐PABC的高為d，則VPABC=13d×12×6×6×32=18，解得d=23.

設底面ABC的中心為O，則PO⊥底面ABC，且AO=23.所以PA與平面ABC所成角的正切值tan∠PAO=POAO=1即為所求.

思路與技巧：本題采用了補棱臺為棱錐的方法，將正三棱臺ABCA1B1C1補成正三棱錐PABC，A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，根據比例關系可得VPABC=18，可求出正三棱錐PABC的高，進而可得結果.

2 切割補形巧證明

例2三棱錐PABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線段ED=h，求證：三棱錐PABC的體積V=16l2h.圖2

證法1：如圖2，連接AD，PD.

因為BC⊥PA，BC⊥ED，PA∩ED=E，所以BC⊥平面PAD.

又ED⊥PA，則S△PAD=12PA5ED=12lh，所以VBADP=13S△PAD5BD，VCADP=13S△PAD5DC.

故V=VBADP+VCADP=13S△PAD5（BD+DC）=16lh5BC=16l2h.

證法2：如圖3，以AB，BC為鄰邊作平行四邊形ABCF，得四棱錐PABCF，顯然有

Vp-ABC=VPACF=VC-PAF，

BC=AF=l.

因為BC∥AF，PA⊥BC，所以PA⊥AF，則S△PAF=12PA5AF=12l2.

易證BC∥平面PAF，又ED⊥PA，ED⊥AF，所以ED即為BC到平面PAF的距離，也即點C到平面PAF的距離是h.

故V=VC-PAF=13S△PAF5h=16l2h.

思路與技巧：本題的證法1采用了切割法，把已知三棱錐分為兩個小三棱錐，并適當選擇底面，是為了讓條件能直接為證明所用；證法2則巧妙地運用了補形技巧，補形后，使異面垂直關系轉化為共面垂直關系，將公垂線段長轉化為三棱錐的高，從而保證了證明的順利進行.

3 補“柱”為“體”巧代換

例3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為2，側棱與底面所成的角為60°，且側面ABB1A1⊥底面ABC.

（1）求證：B1C⊥AC1；

（2）求三棱錐B1ABC1的體積.

（1）證明：將三棱柱ABCA1B1C1補成為四棱柱ADBCA1D1B1C1.如圖4，連接B1D，則B1D∥C1A，則B1D與B1C所成的不大于90°的正角即為異面直線B1C與AC1所成的角.連接CD，作B1O⊥AB于點O.又平面ABB1A1⊥底面ABC，平面ABB1A1∩底面ABC=AB，所以B1O⊥平面ABC，則∠OBB1為側棱B1B與底面ABC所成的角，所以∠OBB1=60°.而BB1=2，則B1O=3，且BO=1，所以O為平行四邊形ADBC的對角線交點，易知△B1OC≌△B1OD.

又BC=AC=AD=DB=2，∠DBC=120°，則CO=3，所以∠DB1C=2∠DB1O=2arctanODB1O=2arctanCOB1O=2arctan 1=90°.

所以B1D⊥B1C，則B1C⊥AC1.

（2）解：由CC1∥BB1，易知CC1∥平面ABB1.

故VB1ABC=VC1ABB1=VCABB1=VB1ABC=12VB1ADBC=1213S平行四邊形ADBC5B1O=1125AB5CD5B1O=1.

思路與技巧：本題通過補三棱柱為平行六面體，起到了平移AC1至DB1處的作用；割平行六面體為四棱錐B1ADBC是為了作等積代換，便于間接求解三棱錐B1ABC1的體積.

4 補“形”轉化求距離

例4三棱錐PABC的底面是Rt△ABC，斜邊AB=10，側面PAB和PAC垂直于底面，它們的二面角是30°，側面PBC和底面成60°角，求三棱錐相對棱AC和PB間的距離.

解析：如圖5，把Rt△ACB補成矩形ACBD，連接PD.由AC∥BD，易得AC∥平面PBD，則AC和PB間的距離即為AC和平面PBD的距離，也即點A到平面PBD的距離.

因為BD⊥AD，又易證得BD⊥PA，所以BD⊥平面PAD.

作AE⊥PD于點E，則AE⊥平面PBD.

在Rt△PAD中，AE=PA5ADPD.

而BC⊥AC，PA⊥平面ABC，由三垂線定理可知BC⊥PC，所以∠PCA即為平面PBC與底面所成的角.

又PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC即為二面角BPAC的平面角.

所以∠PCA=60°，∠BAC=30°.在Rt△ACB中，AB=10，則BC=5，AC=53.在Rt△PAC中，PA=15.又PD=152+52=510，所以AE=15×5510=3210，即AC和PB間的距離是3210.

思路與技巧：本題是巧妙地把求異面直線間的距離問題，轉化為線面間或點面間的距離來解決，其中“補形”技巧的優越性主要體現在為作出這段垂線段提供了“立足”之點.

5 補“錐”為“柱”求體積

例5（2024年天津卷第9題）一個五面體ABCDEF（如圖6）.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，并已知AD=1，BE=2，CF=3.求該五面體的體積.

解析：如圖7，用一個完全相同的五面體HIJNML（頂點與五面體ABCDEF一一對應）與該五面體相嵌（互補），使得D與N，E與M，F與L重合.

這樣，就把原來一個不規則的錐形五面體“補”（組合）成了一個新的斜三棱柱.易知AH∥BI∥CJ，且兩兩之間的距離為1，所以該三棱柱的直截面（與側棱垂直的截面）是邊長為1的等邊三角形，且側棱長為1+3=2+2=3+1=4.

所以該五面體的體積為VABCDEF=12VABCHIJ=12×12×1×1×32×4=32.

思路與技巧：本題中如果直接求不規則五面體的體積，似乎有點麻煩；但如果采用互補的方法，將其組合成一個斜三棱柱，求出這個三棱柱的體積，進而求出不規則五面體的體積，這樣就簡便得多.

綜上所述，割補法充分體現了“化歸與轉化思想”，通過把多面體切割成錐體，把不規則的幾何體割補成規則的幾何體，把一個復雜圖形的長度、角度、面積或體積等計算問題分割成若干個簡單圖形的計算，凸顯了“化抽象為具體，化整體為局部、化繁瑣為簡易”的巨大優越性.希望同學們能夠從上述實例的五種解題技巧中得到啟發，多加練習，舉一反三，不斷提高數學解題能力.