具有記憶項的雙曲型Cahn-Hilliard方程時間依賴吸引子及其正則性
2025-03-21 00:00:00曹宇宇姜金平劉丹王碧琪
吉林大學學報(理學版) 2025年2期
摘要： 考慮具有線性記憶項的雙曲型Cahn-Hilliard方程解的長時間動力學行為， 在時間依賴速度傳播的作用下， 利用漸近先驗估計、 算子分解方法以及修正的拉回吸引子理論， 證明該方程在時間依賴空間中吸引子的存在性及正則性.
關鍵詞： 雙曲型Cahn-Hilliard方程； 線性記憶項； 時間依賴吸引子； 算子分解； 正則性
中圖分類號： O175.29文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0297-10
Time-Dependent Attractor and Its Regularity of HyperbolicCahn-Hilliard Equation with Memory Term
CAO Yuyu， JIANG Jinping， LIU Dan， WANG Biqi
（College of Mathematics and Computer Science， Yan’an University， Yan’an 716000， Shaanxi Province， China）
Abstract： We considered the long-term dynamic behavior of solutions to hyperbolic Cahn-Hilliard equations with linear memory terms. Under the
action of time-dependent velocity propagation， the existence and regularity of the attractor intime-dependentspace of the equation were proved by using asymptotic priorequation，
operatordecomposition method and modified pullback attractor theory.
Keywords： hyperbolic Cahn-Hilliard equation; linear memory term; time-dependent attractor; operator decomposition; regularity
收稿日期： 2024-04-09. 網絡首發日期： 2024-11-19.
第一作者簡介： 曹宇宇（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事無窮維動力系統的研究， E-mail： 1762305571@qq.com. 通信作者簡介： 姜金平（1974—）， 男， 漢族， 博士，
教授， 從事無窮維動力系統的研究， E-mail： jpjiang@yau.edu.cn.
基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12261090）、 陜西省數理基礎科學研究項目（批準號： 23JSY050）、
陜西省大學生創新訓練計劃項目（批準號： S202410719100）和延安大學2022年度校級教改項目（批準號： YDALK202203）.
網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20241115.2351.001.
0 引 言
考慮如下帶有線性記憶項的雙曲型Cahn-Hilliard方程：
ε（t）utt+ut+Δ2u-∫∞0μ（s）Δ2（u（t）-u（t-s））ds-Δf（u）=h（x），（x，t）∈Ω×（τ，∞），
u=Δu=0，（x，t）∈（τ，∞）×Ω，u（x，τ）=u0， ut（x，τ）=u1（x），x∈Ω，（1）
其中Ω是瘙綆2中光滑邊界Ω的有界正則域， h∈L2（Ω）. 由文獻［1］可知， 時間依賴的慣性系數ε（t）是非負遞減的函數， 滿足
limt→∞ ε（t）=0，（2）
且存在常數Lgt;0， 使得
supt∈瘙綆［ε（t）+ε′（t）］≤L.（3）
非線性項［1］f∈C2（瘙綆，瘙綆）， f（0）=0， 并且對c≥0滿足下列條件：
（i） 增長性條件
f′（s）≤c（1+s4/（m-4））， s∈瘙綆， m≥5，（4）
lim infs→∞f（s）sgt;-λ1，（5）
其中λ1為算子A=Δ2滿足Dirichlet邊值條件的第一特征值.
（ii） 耗散性條件
2F（u）≥-（1-μ）u2-c，u∈瘙綆，2f（u）u≥2F（u）-（1-μ）u2-c，u∈瘙綆，（6）
其中F（u）=∫u0f（y）dy， 0lt;μlt;1， c為常數.
記憶項μ（s）［2］滿足下列條件：
（i） μ∈C1（瘙綆+）∩L1（瘙綆+）， μ′（s）≤0≤μ（s）， μ′（s）+ρμ（s）≤0， s∈瘙綆+， ρ是一個正常數；
（ii） ∫∞0μ（s）ds=μ0gt;0.
根據Gronwall引理［3］， 由（i）知， 對所有的s≥s0≥0， 下列指數衰退不等式成立：
μ（s）≤μ（s0）e-δ（s-s0）.（7）
目前， 關于Cahn-Hilliard方程［4］的研究已取得了很多成果. 例如： Kania［5］通過在初始方程中加入慣性項εutt， 使初始Cahn-Hilliard方程變為雙曲方程， 即
εutt+ut+Δ2u-Δf（u）=0， 將經典理論擴展到了強非平衡分解情形； 文獻［6］在二維情形下， 研究了加入慣性項的經典Cahn-Hilliard方程
utt（t）+ut（t）-Δ（-Δu（t）+f（u（t）））=g
擬強解存在的充分性及整體吸引子的存在性； 文獻［7］討論了雙曲型Cahn-Hilliard方程在相應初值條件下弱解的存在性及全局吸引子的存在性； 文獻［8］研究了帶有黏性項的Cahn-Hilliard方程
utt+ut+Δ2u-Δf（u）-Δ（βut）=h（x），（x，t）∈（0，∞）×Ω
在亞三次非線性情形下整體吸引子的存在性； 文獻［9］討論了具有慣性項的Cahn-Hilliard方程的拉回吸引子； 文獻［10］討論了具有擴散項的雙曲型Cahn-Hilliard方程
ε2ux2+ux+Δ2u-Δf（u）+g（u）=0，瘙綆*+×Ω
的全局吸引子.
上述研究均討論了當ε為一個常數時， 在自治動力系統中全局吸引子的存在性或非自治動力系統中一致吸引子和拉回吸引子的存在性； 而當ε為一個關于時間t的函數時， 關于雙
曲型Cahn-Hilliar方程時間依賴吸引子的研究目前報道較少. 在考慮時間因素對方程的影響時， 經典的動力系統理論不能用來刻畫時間依賴系統. 為解決該問題， Conti等［11-12］修正了拉回吸引子理論， 提出了
時間依賴吸引子， 并研究了波方程在有界域上的時間依賴吸引子. 近年來， 關于在時間依賴空間中板方程、 發展方程、 波動方程等方程的時間依賴吸引子研究備受關注［2，13-17］.
受上述研究結果的啟發， 本文考慮在時間依賴空間中含記憶項的雙曲型Cahn-Hilliard方程的時間依賴吸引子及其正則性. 而具有記憶項的雙曲型Cahn-Hilliard方程可用來刻畫變量
受過去狀態影響的二元材料中兩相的相對濃度隨時間變化的狀態， 所以研究這類方程對材料科學的發展具有重要作用. 但記憶項的存在， 使在驗證方程動力系統的緊性時
很困難， 本文利用文獻［18］的思想和方法， 通過引入歷史位移變量， 再結合算子分解等技巧， 得到了該方程時間依賴吸引子的存在性及正則性.
1 預備知識
不失一般性， 記H=L2（Ω）， 其內積和范數分別為（·，·）和‖·‖. 對于0≤σ≤2， 定義由A生成的Hillbert空間族Hσ=dm（Aσ/4ω）， 并賦予如下內積和范數：
（ω，v）σ=（Aσ/4ω，Aσ/4v），‖ω‖2σ=‖Aσ/4ω‖2.
對于σ∈瘙綆+， 設L2μ（瘙綆+;Hσ+2）是函數φ：瘙綆+→Hσ+2的Hilbert空間族， 具有如下內積和范數：
（φ1，φ2）μ，σ=（φ1，φ2）μ，Hσ=∫∞0μ（σ）（φ1（σ），φ2（σ））Hσdσ，
‖φ‖2μ，σ=‖φ‖2μ，Hσ=∫∞0μ（σ）‖φ‖2σdσ.
對于t∈瘙綆及0≤σ≤2， 引入時間依賴空間
Hσt=Hσ+2×Hσ×L2μ（瘙綆+;Hσ+2），
并賦予范數
‖z‖2Hσt=‖（u，ut，ηt）‖2Hσt=‖u‖2σ+2+ε（t）‖ut‖2σ+‖ηt‖2μ，σ+2.
當σ=0時， 記Ht=H2×H×L2μ（瘙綆+;H2）， 對應的范數為
‖z‖2Ht=‖（u，ut，ηt）‖2Ht=‖u‖22+ε（t）‖ut‖2+‖ηt‖2μ，2.
由緊嵌入定理Hσ+1Hσ知， 當0≤σ≤2時， 有Hσt
Ht.
為得到本文的主要結果， 引入表示歷史位移的變量， 即
ηt（x，s）=u（x，t）-u（x，t-s），（x，s）∈Ω×（τ，∞），
則ηtt（x，s）=ut（x，t）-ut（x，t-s），（x，s）∈Ω×（τ，∞）.
于是方程（1）可轉化為
ε（t）utt+ut+Δ2u+∫∞0μ（s）Δ2ηt（s）ds-Δf（u）=h（x），（x，t）∈Ω×（τ，∞），
ηt=-ηs+ut，（x，t，s）∈Ω×（τ，∞）×（τ，∞），（8）
相應的邊界條件為
u=Δu=0， （x，t）∈Ω×瘙綆+，ηt=Δηt=0， （x，t，s）∈Ω×瘙綆+×瘙綆+，（9）
初值條件為u（x，τ）=u0（x，t）， ut（x，τ）=u1（x，t）， η0（x，s）=ηi0（x，s），（10）
其中
u0（x，t）=u0（x，τ），（x，t）∈Ω×瘙綆+，u1（x，t）=tu0（x，t）t=τ，ηt0（x，s）=u0（x）-u0（x，-s），
（x，s）∈Ω×瘙綆+.（11）
問題（8）等價于如下算子方程：
A-1/2ε（t）utt+A-1/2ut+A1/2u+∫∞0μ（s）A1/2ηt（s）ds+f（u）=A-1/2h（x），（x，
t）∈Ω×（τ，∞），ηt=-ηs+ut，（x，t，s）∈Ω×（τ，∞）×（τ，∞）.（12）
定義1［11］設{Ht}t∈瘙綆為一賦范線性空間， 對于雙參數算子族U（t，τ）： Hτ→Ht， t≥τ∈瘙綆， 若其滿足如下性質：
1） τ∈瘙綆， U（t，τ）是Ht上的恒等映射;
2） t（τ≤s≤t）， τ∈瘙綆， 有U（t，s）U（s，τ）=U（t，τ）.
則稱U（t，τ）是一個過程.
定義2［11］若對每個t∈瘙綆， 均存在常數Rgt;0， 使得CtBt（R）， 則稱有界集CtHt的集合族C={Ct}t∈瘙綆是一致有界的.
定義3［11］若一個集族B={Bt}t∈瘙綆是一致有界的， 且對每個Rgt;0， 都存在常數t0=t0（t，R）≤t， 使得
τ≤t0， U（t，τ）Bτ（R）Bτ， 則稱B={Bt}t∈瘙綆是拉回吸引的.
定義4［11］若Rgt;0， 均存在常數θ=θ（R）≥0， 使得τ≤t-θ， U（t，τ），Bτ（R）Bt， 則稱一
致有界集族B={Bt}t∈瘙綆是過程U（t，τ）的時間依賴吸收集.
定義5［11］過程U（t，τ）的時間依賴吸引子是滿足如下性質的最小集族A={At}t∈瘙綆：
1） Ht中的每個At都是緊的；
2） A是拉回吸引的， 即對每個一致有界集族C={Ct}t∈瘙綆， 均有 limτ→-∞ δt（U（t，τ）Ct，At）=0，
其中δt（B，C）=supx∈Binfy∈C ‖x-y‖Ht為Xt中任意兩個非空集合B和C的Hausdorff半距離.
引理1［18］ν（0lt;νlt;1）和常數c1，c2≥0， 有不等式：
2（F（u），1）≥-（1-ν）‖u‖22-c1，（f（u），u）≥-（1-ν）‖u‖22-c2，
其中F（u）=∫u0f（y）dy.
引理2［19］t≥τ， 記憶核函數μ（s）的條件（i），（ii）成立， 則ηt∈（（t，τ）;L2μ（瘙綆+;Hσ））， 0≤σ≤2， 存在一個常數0lt;δlt;1， 使得
（ηt（s），ηts（s））μ，σ≥δ‖η‖2μ，σ/2.
2 時間依賴吸收集的存在性
定義6［16］tgt;τ， 設h∈L2（Ω）， 函數z（t）=（u（t），ut（t），ηt（s））滿足：
u∈C（［τ，t］，H2）， ut∈C（［τ，t］，L2）， ηt∈C（［τ，t］，L2μ（瘙綆+;H2）），
ηtt+ηts∈L∞（［τ，t］，L2μ（瘙綆+;H））∩L2（［τ，t］，L2μ（瘙綆+;H2））.
則z（t）稱為問題（1）當初值z（τ）=zτ時在區間［t，τ］上的弱解， 如果對任意的v∈H2， φ∈L2μ（瘙綆+;H2）及tgt;τ，
（A-1/2ε（t）utt，v）+（A-1/2ut，v）+（A1/2u，v）+（ηt（s），v）μ，1+（f（u），v）=（A-1/2h（x），v），
（ηtt（s）+ηts（s），φ（s））μ，2=（ut，φ（s））μ，2.
對于所有的v∈H2及tgt;τ成立.
由標準的Galerkin方法可得問題（12）解的存在唯一性結果：
定理1［16］設條件（2）～（6）成立， 則對任意給定的初值zτ， 使得在Ht中存在問題（1）
的唯一弱解z（t）=（u（t），ut（t），ηt（s））， 滿足z（t）∈C（［t，τ］;Ht）∩L∞（［t，τ］;Ht）.
根據定理1， 可定義如下過程：
U（t，τ）： Ht→Hτ，U（t，τ）z（τ）={u（t），ut（t），ηt（s）}，
其中z（τ）∈Ht， z（t）是方程（12）關于初值z（τ）的唯一解.
引理3 設條件（2）～（7）成立， 對z（τ）∈Ht， 記U（t，τ）z（τ）是問題（12）對初始時刻τ和初始值z（τ）的解， 則存在常數k≥0， 使得
τ≤t， ‖z（t）‖Ht=‖U（t，τ）z（τ）‖Ht≤k.
證明： 設0lt;δlt;1， 用ut+δu與方程（12）的第一式在L2中做內積， 有
12ddt［ε（t）‖A-1/4ut‖2+δε（t）（A-1/4u，A-1/4ut）+‖A1/4u‖2+
（F，1）-（A-1/4h，A-1/4u）］+∫∞0μ（s）A1/2ηt（s）ds，ut+δu+1-12ε′（t）+δε（t）‖A-1/4ut‖2+δ‖A1/4u‖2+δ（f，u）-δ（A-1/4h，
A-1/4u）=（δε′（t）+δ）（A-1/4u，A-1/4ut）.（13）
對于記憶項， 利用Hlder不等式和Young不等式， 并結合ε（t）所滿足的條件， 得
∫∞0μ（s）A1/2ηt（s）ds，ut=∫Ω∫∞0（ηtt+ηts）μ（s）A1/2
ηt（s）dsdx=ddt‖ηt‖2μ，1+（ηt（s），ηts（s））μ，1≥ddt
‖ηt‖2μ，1+ρ2‖ηt‖2μ，1，（14）
∫∞0μ（s）A1/2ηt（s）ds，δu=δ∫∞0μ（s）（A1/4ηt（s），A1/4u）ds≥
-δ∫∞0μ（s）‖A1/4ηt（s）‖‖A1/4u‖ds≥-ρ4‖
ηt‖2μ，1-δ2ρ‖A1/4u‖2.（15）
將式（14），（15）代入式（13）， 得
12ddt［ε（t）‖A-1/4ut‖2+δε（t）（A-1/4u，A-1/4
ut）+‖A1/4u‖2+（F，1）-（A-1/4h，A-1/4u）+‖ηt‖2μ，1］+ρ4‖ηt‖2μ，1+1-12ε′（t）+δε（t）‖A-1/4ut‖2+δ1-δρ‖A1/4u‖2+δ（f，u）-
δ（A-1/4h，A-1/4u）≤（δε′（t）+δ）（A-1/4u，A-1/4ut）.（16）
定義泛函
E（t）=ε（t）‖A-1/4ut‖2+δε（t）（A-1/4u，A-1/4ut）+‖A1/4u‖2+（F，1）-（A-1/4h，A-1/4u）+‖ηt‖2μ，1.（17）
利用Hlder不等式、 Young不等式和Poincaré不等式以及式（2），（3）， 得
δε（t）（A-1/4u，A-1/4ut）≤δL‖A-1/4u‖‖A-1/4ut‖≤α2‖A-1/4ut‖2+2δ2L2α‖A-1/4u‖2≤
α2‖A-1/4ut‖2+2δ2L2λ1α‖A1/4u‖2，（18）
-（δε′（t）+δ）（A-1/4u，A-1/4ut）≥-δv2‖A1/4u‖2-2δ（L-1）2vλ1‖A-1/4ut‖2，（19）
（A-1/4h，A-1/4u）≤‖A-1/4h‖‖A-1/4u‖≤δ2‖A-1/4u‖2+2δ‖A-1/4h‖2.（20）
由條件（5）知，
（F（u），1）=∫F（u）dx≤c∫（u2+u2m/（m-2））dx≤c‖u‖2m/（m-2）2.（21）
由條件（6）知， 存在足夠小的常數ν（0lt;νlt;1）， 使得
（F（u），1）≥-（1-ν）‖u‖22-c1.（22）
從而對足夠小的δ， 存在常數C，C1， 使得
C‖z‖2Ht≤E（t）≤C‖z‖2Ht+C1.（23）
將式（17），（19）代入式（16）， 得
12ddtE（t）+δE（t）-12ε′（t）+δε（t）-1+2δ（L-1）2νλ1‖A-
1/4ut‖2+δ‖A1/4u‖2+ρ-2δk0ν-δ‖ηt‖2μ，1≤δc.（24）
取δ足夠小， 使得
12ε′（t）+δε（t）-1+2δ（L-1）2νλ1≤0，ρ-2δk0ν-δ≥0，（25）
則有dE（t）dt+2δE（t）≤2δc. 利用Gronwall引理有E（t）≤e-δ（t-τ）E（τ）+C， 再結合式（25）可得結論成立， 證畢.
引理4 假設條件（2）～（7）成立， 方程（12）生成的過程族U（t，τ）（t≥τ∈瘙綆）， 對給定的初值zi（τ）∈Hτ， 滿足‖zi（τ）‖
Hτ≤R（i=1，2）， 則存在正常數C1=C1（R）gt;0， 使得下式成立：
‖U（t，τ）z1（τ）-U（t，τ）z2（τ）‖Hτ≤eC1（t-τ）‖z1（τ）-z2（τ）‖Hτ，t≥τ.
證明： 對給定的初值zi（τ）， 根據引理3的能量估計可得‖U（t，τ）zi（t）‖Hτ≤c. 令z（τ）=（u（t），ut
（t），ηt（s））=U（t，τ）z1（τ）-U（t，τ）z2（τ）， 則初值兩個解之間的差z（τ）=z1（τ）-z2（τ）滿足
ε（t）A-1/2utt+A-1/2ut+A1/2u+∫∞0μ（s）A1/2ηt（s）ds+f（u1）-f（u2）=0.（26）
用2ut與式（26）做內積， 有
dz（t）2Htdt+（1-ε′（t））A-1/4ut+δ‖ηt
‖2μ，1≤-2（f（u1）-f（u2），ut）.（27）
由Hlder不等式和Young不等式以及嵌入定理， 有
-2（f（u1）-f（u2），ut）≤c∫Ω（1+u14/（n-4）+u24/（n-4））·u·utdx≤
c‖u‖2‖ut‖∫Ω（1+u14/（n-4）2+u24/（n-4）2）dx≤c‖u‖
2‖ut‖≤c（‖u‖22+‖ut‖2）.（28）
將式（28）代入式（27）有
dz（t）2Htdt≤cz（t）2Ht.（29）
在區間［τ，t］上利用Gronwall引理， 得
‖z（t）‖2Ht≤‖z（t）‖2Htec（t-τ）=‖z1（t）-z2（t）‖2Htec（t-τ）.
根據上述討論， 對每個常數Rgt;0， 存在常數ρ和t0=t0（R）， 記Bt（R）={z（t）∈Ht： ‖z（t）‖Ht≤R}， 則根據引理3可得
如下時間依賴吸收集的存在性定理：
定理2 若條件（2）～（5），（7）成立， 存在R0gt;0， 則方程（14）產生的過程U（t，τ）有時間依賴吸收集B={Bt（R0）}， 且對
于M0gt;R0， 有
supz∈Bτ（R0）‖U（t，τ）zi（t）‖Hτ+∫∞τ‖ut（y）‖2dy≤M0.
3 時間依賴吸引子的存在性
將f分解為f=f0+f1， 其中f0，f1∈C2（瘙綆）， 且k≥0， 滿足
f′1（u）≤k， u∈瘙綆，f′1（u）≤k（1+u
4/（m-2））， u∈瘙綆，f0（0）=f′0（0）=0，f0（u）u≥0， u∈瘙綆.（30）
由引理4知B={Bt（R0）}是一個時間依賴吸收集， 則z（τ）∈B（R0）， U（t，τ）z（τ）可分解為
U（t，τ）z（τ）={u（t），ut（t），ηt（s）}=U1（t，τ）z（τ）+U2（t，τ）z（τ），
其中U1（t，τ）z（τ）=（v（t），vt（t），ζt（s））和U2（t，τ）z（τ）=（ω（t），ωt（t），ξt（s））為下列問題的解：
A-1/2ε（t）vtt+A-1/2vt+A1/2v+∫∞0μ（s）A1/2ζt（s）ds+f0（v）=0，
ζtt=-ζts+v，v=Av=0， ζt=Aζt=0，v（x，τ）=v0（x，t）， vt（x，τ）=v1（x，t），ζt（x，τ）=0， ζt（x，s）=ηt（x，s），（31）
A-1/2ε（t）ωtt+A-1/2ωt+A1/2ω+∫∞0μ（s）A1/2ξt（s）ds+f（u）-f0（v）=A1/2h，
ξtt=-ξts+ω，ω=Aω=0， ξt=Aξt=0，ω（x，τ）=0， ωt（x，τ）=0， ξt（x，s）=0.（32）
引理5 存在δ=δ（B）gt;0， 使得‖U1（t，τ）z（τ）‖Ht≤Ce-δ（t-δ）， t≥τ.
證明： 此時有‖U0（t，τ）z（τ）‖Ht≤C， 設0lt;δlt;1， 用vt+δv與式（31）的第一式做內積， 得
12ddt［ε（t）‖A-1/4vt‖2+δε（t）（A-1/4v，A-1/4vt）+‖A1/4v‖2+（F0（v），1）+‖ζ
t‖2μ，1］+1-12ε′（t）+δε（t）‖A-1/4vt‖2+δ1-δρ‖A1/4v‖2-（δε′（t）+δ）（A-1/4
v，A-1/4vt）+ρ4‖ζt‖2μ，1+δ（f0（v），u）≤0.（33）
定義泛函
I0=ε（t）‖A-1/4vt‖2+δε（t）（A-1/4v，A-1/4vt）+‖A1/4v‖2+（F0（v），1）+‖ζt‖2μ，1=
‖U1（t，τ）z（τ）‖2Ht+δε（t）（A-1/4v，A-1/4vt）+‖A1/4v‖2-（F0（v），1），（34）
其中F0（s）=∫s0f0（y）dy. 則有
12‖U1（t，τ）z（τ）‖2Ht≤I0（t）≤C‖U1（t，τ）z（τ）‖2Ht.（35）
根據式（30）， 得
ddtI0（t）+δ‖U1（t，τ）‖2Ht≤0.
利用Gronwall引理以及式（35）可知結論成立. 證畢.
由上述證明可知， 下式成立：
supt≥τ{‖U（t，τ）z（τ）‖Ht+‖U0（t，τ）z（τ）‖Ht+‖U1（t，τ）z（τ）‖Ht}≤C.
引理6 存在M=M（B）gt;0， 使得‖U2（t，τ）z（τ）‖Ht≤M.
證明： 設0lt;δlt;1， 用Aσωt+δAσω與方程（32）的第一式在H中做內積， 有
ddt［ε（t）‖A-1/4+σωt‖2+δε（t）（A-1/4+σ/2ω，A-1/4+σ/2ωt）+‖A1/4
+σω‖2+（f（u）-f0（v），Aσω）+‖ξt‖2μ，1+σ-δ（A1/2h，Aσω）］+2δ1-δρ‖A1/4
+σω‖2+21-12ε′（t）+δε（t）‖A-1/4+σωt‖2-2（δε′（t）+δ）（A-1/4+σ/2ω，A-1/4+σ/2
ωt）+ρ2‖ξt‖2μ，1+σ+2δ（f（u）-f0（v），Aσω）-2δ（A1/2h，Aσω）≤
2（f′（u）ut-f′（v）vt，Aσω）+2（f′1（v）vt，Aσω）.（36）
對合適的常數Cgt;0， 定義下列泛函：
Λ（t）=ε（t）‖A-1/4+σωt‖2+δε（t）（A-1/4+σ/2ω，A-1/4+σ/2ωt）+‖A1/4+σω‖
2+（f（u）-f0（v），Aσω）+‖ξt‖2μ，1+σ-δ（A1/2h，Aσω）+C.（37）
利用Hlder不等式、 Young不等式和Poincaré不等式， 并結合條件（3）， 可得
δε（t）（A-1/4+σ/2ω，A-1/4+σ/2ωt）≤δ‖ω1/4+σ‖2+δLε（t）λ1‖ω-1/4+σ‖2，（38）
δ（A1/2h，Aσω）≤δ‖ω1/4+σ‖2+1δλ1‖A1/2h‖2.（39）
利用f的增長性條件并結合嵌入定理， 可知
（f（u）-f0（v），Aσω）≤‖f（u）-f0（v）‖‖Aσω‖.（40）
取足夠小的δ， 使得
12‖U2（t，τ）z（τ）‖2Hσt≤Λ（t）≤2‖U2（t，τ）z（τ）‖2Hσt+C.（41）
估計式（36）右邊的兩項， 有
（f′（u）ut，Aσω）≤c（1+‖A1/4u‖2）‖A-1/4ut‖‖A1/4+σω‖≤δ8‖A1/4+σω‖2+C，
（-f′（v）vt，Aσω）≤c（1+‖A1/4v‖2）‖A-1/4vt‖‖A1/4+σω‖≤δ8‖A1/4+σω‖2η+C，（42）
（f′1（v）vt，Aσω）≤c（1+‖A1/4v‖2）‖A-1/4vt‖‖A1/4+σω‖≤δ8‖A1/4+σω‖2+C.（43）
取足夠小的δ， 將式（37），（42），（43）代入式（36）， 可得ddtΛ（t）+δΛ（t）≤C.
利用Gronwall引理和式（41）可知， U2（t，τ）z（τ）有界. 證畢.
下面討論記憶項的緊性.
引理7［20-21］若μ∈C1（瘙綆+）∩L2（瘙綆+）是個非負函數， 且滿足如下條件： 若s0∈瘙綆+， 使得μ（s0）=0， 則對sgt;s0， 有μ
（s）=0. 進一步， 設B0，B1，B2是Banach空間， B0，B1是自反的， 且滿足B0B1B2， 其中嵌入B0B1是緊的. 設C∈L2μ（瘙綆+，B1）滿足下列條件：
1） C∈L2μ（瘙綆+，B0）∩L2μ（瘙綆+，B0）;
2） supη∈C‖η（s）‖2B1≤g（s）， s∈瘙綆+， g（s）∈L2μ（瘙綆+）.
則C在空間L2μ（瘙綆+，B1）中是相對緊的.
對任意的ξt∈L2μ（瘙綆+，Hσ）， Cauchy問題
ξtt=-ξts+ut， t≥τ，ξτ=ξτ
有唯一的解ξt∈C（［τ，∞］;L2μ（瘙綆+;Hσ））， 因此對方程（32）， 有
ξt=ω（x，t）-w（x，t-s），τlt;slt;t，ω（x，t）-w（τ），s≥t.
設B是定理2中得到的一個時間依賴吸收集， 則可得如下結論.
引理8［22］假設非線性項f滿足條件（4），（5）， 外力項h∈L2（Ω）、 記憶項的條件（i）和式（7）成立， 對任意給定的Tgt;τ和任意的εgt;0， 令
κτ=∏（U2（T，τ），B）.
則存在正常數N1=N1（‖B‖Ht）， 使得下列結論成立：
1） κτ在空間L2μ（瘙綆+;Hσ+1）∩H1μ（瘙綆+;H1）中有界；
2） supξ∈κεT ‖ξ（s）‖2θ≤N1， 其中{U2（t，τ）}t≥τ是方程（32）的解過程， 且Π： Vθ×H×L2μ（瘙綆+;H1）→L2μ（瘙綆+;H1）為投影算子.
因此， 由記憶項的緊性可得κτ在空間L2μ（瘙綆+;H1）上是相對緊的. 進一步， 由嵌入Hσ+1Hσ可得下列結果.
引理9［22］若條件（7）、 記憶項的條件（i），（ii）、 非線性增長性條件以及式（30）成立
， 令{U1（t，τ）}t≥τ是方程（32）的解過程， 則對任意的Tgt;τ， U2（t，τ）B在Ht中是相對緊的.
定理3（時間依賴吸引子的存在性） 方程（11），（12）生成的過程U（t，τ）在Ht中有一個不變的時間依賴吸引
子A={At}t∈瘙綆.
證明： 根據引理6和引理9， 考慮κ={Kσt}t∈瘙綆， 其中Kσt={z（t）∈Hσt： ‖z（t）‖Hσt
≤M}. 由引理5和引理9可知， Kσt在Hσt是緊的. 此外， 由于常數M不依賴于時間t， 因此κ是一致有界的. 最后根據定理2、 引理4、 引理6和引理9， 即可證明κ是拉回吸引的. 又因為
δt（U（t，τ）Bτ（R0），Kσt）≤Ce-α（t-τ），t≥τ.
因此過程U（t，τ）是漸近緊的， 從而證明了U（t，τ）存在時間依賴吸引子A={At}t∈瘙綆. 由過程U（t，τ）t≥τ的連續性可得A的不變性.
4 吸引子的正則性
類似引理5的證明， τ∈瘙綆和z（τ）∈At， 將U（t，τ）z（τ）分解為
U（t，τ）z（τ）={u（t），ut（t），ηt（s）}=U3（t，τ）z（τ）+U4（t，τ）z（τ），
其中U3（t，τ）z（τ）={v（t），vt（t），ζt（s）}， U4（t，τ）z（τ）={ω（t），ωt（t），ξt（s）}， 分別滿足
A-1/2ε（t）vtt+A-1/2vt+A1/2v+∫∞0μ（s）A1/2ζt（s）ds=0，
ζtt=-ζts+v，v=Av=0， ζt=Aζt=0，v（x，τ）=u0（x，t）， vt（x，τ）=u1（x，t），ζt（x，s）=ηt（x，s），（44）
A-1/2ε（t）ωtt+A-1/2ωt+A1/2ω+∫∞0μ（s）A1/2ξt（s）ds+f（u）=A1/2h，
ξtt=-ξts+ω，ω=Aω=0， ξt=Aξt=0，ω（x，τ）=0， ωt（x，τ）=0， ξt（x，s）=0.（45）
由引理5有
‖U3（t，τ）z（τ）‖Ht≤Ce-δ（t-δ），t≥τ.
引理10 由條件（11），（12）知， 存在常數M1=M1（u）， 使得 supt≥τ ‖U4（t，τ）z（τ）‖Ht≤M1.
證明： 設0lt;δlt;1， 用Aωt+δAω與方程（44）的第一式在H中做內積， 得
12ddt［ε（t）‖A-1/4+ωt‖2+δε（t）（A-1/4
+/2ω，A-1/4+/2ωt）+‖A1/4+ω‖2+（f（u），Aω）+‖ξt‖2
μ，1+-δ（A1/2h，Aω）］+δ1-δρ‖A1
/4+ω‖2+1-12ε′（t）+δε（t）‖A-1/4+ωt‖2-
（δε′（t）+δ）（A-1/4+/2ω，A-1/4+/2ωt）+ρ4‖ξt‖2
μ，1++δ（f0（ω），Aω）≤δ（A1/2h，Aω）.（46）
對合適的常數Cgt;0， 令
Λ1=ε（t）‖A-1/4+ωt‖2+δε（t）（A-1/4+/2ω，A-1/4+/2ωt）+‖A1/4+ω‖2+（f（u），A
ω）+‖ξt‖2μ，1+-δ（A1/2h，Aω）.（47）
取足夠小的δ， 有
14‖U4（t，τ）z（τ）‖2Ht≤Λ1（t）≤2‖U4（t，τ）z（τ）‖2Ht+C，（48）
則
ddtΛ1（t）+δΛ1（t）≤2（f′（u）ut，Aω）+δC，（49）
2（f′（u）ut，Aω）≤C∫Ω（1+u2）3/（1+σ-）dx（1+σ-）/3∫Ωut
6/（3-2σ）dx（3-2σ）/6∫ΩAω6/（1+）dx1+/6
≤C（1+‖A1+σu‖2）‖Aσut‖2‖A1+ω‖≤δ2‖A1+ω‖2≤δ2Λ1（t）+C，（50）
其中Cgt;0是Ht中與At的界有關的常數.
故2dΛ1（t）dt+δΛ1（t）≤2C， 利用Gronwall引理并結合式（48）， 可知‖U4（t，τ）z（τ）‖2Ht一致有界.
定理4 若條件（2）～（7）成立， 則方程（12）的時間依賴吸引子{At}t∈瘙綆在Ht上有界且與時間t無關.
證明： 令Kt={z（t）∈Ht： ‖z（t）‖Ht≤M1}，
由式（48）和引理9可知， 對t∈瘙綆， 有limτ→∞ δt（U（t，τ）Aτ，Kt）=0， 從而由A的不變性知， δt（A
t，Kt）=0， 因此AtKt=Kt， 即證得At在Ht上有界且與時間t無關.
參考文獻
［1］蘇小虎， 姜金平. 梁方程時間依賴全局吸引子的存在性［J］.應用數學和力學， 2020， 41（2）： 195-203. （SU X H， JIANG J P. Existence of Time-Dependent Global Attract
ors for Beam Equations［J］.Applied Mathematics and Mechanics， 2020， 41（2）： 195-203.）
［2］LIU T T， MA Q Z. Time-Dependent Attractor of the Plate Equation with Nonlinear Damping and Linear Memory［J］.The Rock
y Mountain Journal of Mathematics， 2020， 50（4）： 1435-1450.
［3］ROBINSON J C . Infinite-Dimensional Dynamical Systems［M］.Cambridge： Cambridge University Press， 2001： 54-555.
［4］CAHN J W， HILLIARD J E. Free Energy of a Nonuniform System.Ⅰ. Interfacial Free Energy［J］.The Journal of Chemical Physics， 1958， 28（2）： 258-267.
［5］KANIA M B. Global Attractor for the Perturbed Viscou
s Cahn-Hilliard Equation［J］.Colloquium Mathematicum， 2007， 109（2）： 217-219.
［6］GRASSELLI M， SCHIMPERNA G， ZELIK S. On the 2D Cahn-Hilliard Equation with Ine
rtial Term［J］.Communications in Partial Differential Equations， 2009， 34（1/2/3）： 137-170.
［7］KHANMAMEDOV A， YAYLA S. Global Attractors for the 2D Hyperbolic Chan-Hilliard
Equations［J］.Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik， 2018， 69（1）： 1-17.
［8］史苑， 任永華. 具有慣性項和阻尼項的Cahn-Hilliard方程的整體吸引子［J］.應用數學， 2020， 33（3）： 539-549. （SHI Y， REN Y H. Global Attractor for the Cahn-Hi
lliard Equation with Inertial Term and Damping Terms［J］.Applicata Mathematica， 2020， 33（3）： 539-549.）
［9］姜金平， 張曉雨， 王小霞. 具有慣性項的Cahn-Hilliard方程的拉回吸引子［J］.黑龍江科技大學學報， 2022， 32（2）： 251-255. （JIANG J P， ZHANG X Y， WANG X X.
Attractors Pullback for Cahn-Hilliard Equation with Inertial Term［J］.Journal of Heilongjiang University of Science and Technology， 2022， 32（2）： 251-255.）
［10］BADIETI MATALA P B， MOUKOKO D， EVRARD ISSERET GOYAUD M. Global Attractor for a Hyperbo
lic Cahn-Hilliard Equation with a Proliferation Term［J］.Asymptotic Analysis， 2022， 127（1/2）： 143-165.
［11］CONTI M， PATA V， TEMAM R. Attractors for Processes on Time-Dependent Space Applications to Equations［J］.Journal of Differential Equations， 2013， 255（6）： 1254-1277.
［12］CONTI M， PATA V. Asymptotic Structure of the Attractor for Processes on Time
-Dependent Spaces［J］.Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2014， 19： 1-10.
［13］WANG X， DUAN F X， HU D D. Attractors for a Class of Abstract Evolution Equat
ions with Fading Memory［J］.Mathematical Problems in Engineering， 2017， 2017： 1-16.
［14］MA Q Z， WANG J， LIU T T. Time-Dependent Attractor of Wave Equations
with Nonlinear Damping and Linear Memory［J］.Open Mathematics， 2019， 17（1）： 89-103.
［15］LUO X D， MA Q Z. The Existence of Time-Dependent Attractor for Wave Eq
uation with Fractional Damping and Lower Regular Forcing Term［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems （Series B）， 2022， 27（9）： 4817-4835.
［16］汪璇， 田凱鴻. 具有結構阻尼的Kirchhoff型波方程的時間依賴全局吸引子［J］.數學年刊A輯（中文版）， 2023， 44（2）： 163-198. （WANG X， TIAN K H. The Time-Depen
dent Global Attractors for Kirchhoff-Type Wave Equation with Structural Damping［J］.Chinese Annals of Mathematics （Series A）， 2023， 44（2）： 163-198.）
［17］蘇潔， 汪璇. 帶有非局部強阻尼的Kirchhoff型波方程的時間依賴全局吸引子［J］.中山大學學報（自然科學版）（中英文）， 2023， 62（4）： 165-177. （SU J， WANG X. The Tim
e-Dependent Global Attractors for Kirchhoff-Type Wave Equation with Strong Nonlocal Samping［J］.Acta Scientiarum Naturalium Universtatis Sunyatseni， 2023， 62（4）： 165-177.）
［18］WANG X， HU D D， GAO C H. Asymptotic Regularity and Existence of Time-Dependent Attractors for Second-Order Undamped Evolut
ion Equations with Memory［J］.Mathematics， 2022， 10（13）： 2198-1-2198-21.
［19］FRANCESCO D P， GREGORY S D， ROGER T. Time-Depende
nt Attractor for the Oscillon Equation［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems， 2011， 29（1）： 141-167.
［20］PATA V， ZUCCHI A. Attractors for a Damped Hyperbolic Equation with Linear Memory［J］.Advances in Mathematical Sciences and Application， 2001， 11（2）： 505-529.
［21］BORINI S， PATA V. Uniform Attractor for a Strongly Damped Wave Equations with Linear Memory［J］.Asymptotic Analysis， 1999， 20（3/4）： 263-277.
［22］汪璇， 段奮霞． 記憶型抽象發展方程全局吸引子的存在性［J］． 蘭州大學學報： 自然科學版， 2016， 52（4）： 523-529.
（WANG X， DUAN F X. Existence of Global Attractors for AbstractEvolution Equations with Fading Memory［J］.Journal of Lanzhou University： Natural Sciences， 2016， 52（4）： 523-529.）
（責任編輯： 趙立芹）
