具有記憶項(xiàng)的雙曲型Cahn-Hilliard方程時(shí)間依賴吸引子及其正則性

摘要： 考慮具有線性記憶項(xiàng)的雙曲型Cahn-Hilliard方程解的長時(shí)間動力學(xué)行為， 在時(shí)間依賴速度傳播的作用下， 利用漸近先驗(yàn)估計(jì)、 算子分解方法以及修正的拉回吸引子理論， 證明該方程在時(shí)間依賴空間中吸引子的存在性及正則性.

關(guān)鍵詞： 雙曲型Cahn-Hilliard方程； 線性記憶項(xiàng)； 時(shí)間依賴吸引子； 算子分解； 正則性

中圖分類號： O175.29文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0297-10

Time-Dependent Attractor and Its Regularity of HyperbolicCahn-Hilliard Equation with Memory Term

CAO Yuyu， JIANG Jinping， LIU Dan， WANG Biqi

（College of Mathematics and Computer Science， Yan’an University， Yan’an 716000， Shaanxi Province， China）

Abstract： We considered the long-term dynamic behavior of solutions to hyperbolic Cahn-Hilliard equations with linear memory terms. Under the

action of time-dependent velocity propagation， the existence and regularity of the attractor intime-dependentspace of the equation were proved by using asymptotic priorequation，

operatordecomposition method and modified pullback attractor theory.

Keywords： hyperbolic Cahn-Hilliard equation; linear memory term; time-dependent attractor; operator decomposition; regularity

收稿日期： 2024-04-09. 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期： 2024-11-19.

第一作者簡介： 曹宇宇（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事無窮維動力系統(tǒng)的研究， E-mail： 1762305571@qq.com. 通信作者簡介： 姜金平（1974—）， 男， 漢族， 博士，

教授， 從事無窮維動力系統(tǒng)的研究， E-mail： jpjiang@yau.edu.cn.

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： 12261090）、 陜西省數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)研究項(xiàng)目（批準(zhǔn)號： 23JSY050）、

陜西省大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（批準(zhǔn)號： S202410719100）和延安大學(xué)2022年度校級教改項(xiàng)目（批準(zhǔn)號： YDALK202203）.

網(wǎng)絡(luò)首發(fā)地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20241115.2351.001.

0 引 言

考慮如下帶有線性記憶項(xiàng)的雙曲型Cahn-Hilliard方程：

ε（t）utt+ut+Δ2u-∫∞0μ（s）Δ2（u（t）-u（t-s））ds-Δf（u）=h（x），（x，t）∈Ω×（τ，∞），

u=Δu=0，（x，t）∈（τ，∞）×Ω，u（x，τ）=u0， ut（x，τ）=u1（x），x∈Ω，（1）

其中Ω是瘙綆2中光滑邊界Ω的有界正則域， h∈L2（Ω）. 由文獻(xiàn)［1］可知， 時(shí)間依賴的慣性系數(shù)ε（t）是非負(fù)遞減的函數(shù)， 滿足

limt→∞ ε（t）=0，（2）

且存在常數(shù)Lgt;0， 使得

supt∈瘙綆［ε（t）+ε′（t）］≤L.（3）

非線性項(xiàng)^［1］f∈C2（瘙綆，瘙綆）， f（0）=0， 并且對c≥0滿足下列條件：

（i） 增長性條件

f′（s）≤c（1+s^4/（m-4））， s∈瘙綆， m≥5，（4）

lim infs→∞f（s）sgt;-λ1，（5）

其中λ1為算子A=Δ2滿足Dirichlet邊值條件的第一特征值.

（ii） 耗散性條件

2F（u）≥-（1-μ）u2-c，u∈瘙綆，2f（u）u≥2F（u）-（1-μ）u2-c，u∈瘙綆，（6）

其中F（u）=∫u0f（y）dy， 0lt;μlt;1， c為常數(shù).

記憶項(xiàng)μ（s）^［2］滿足下列條件：

（i） μ∈C1（瘙綆+）∩L1（瘙綆+）， μ′（s）≤0≤μ（s）， μ′（s）+ρμ（s）≤0， s∈瘙綆+， ρ是一個(gè)正常數(shù)；

（ii） ∫∞0μ（s）ds=μ0gt;0.

根據(jù)Gronwall引理^［3］， 由（i）知， 對所有的s≥s0≥0， 下列指數(shù)衰退不等式成立：

μ（s）≤μ（s0）e^{-δ（s-s0）}.（7）

目前， 關(guān)于Cahn-Hilliard方程^［4］的研究已取得了很多成果. 例如： Kania^［5］通過在初始方程中加入慣性項(xiàng)εutt， 使初始Cahn-Hilliard方程變?yōu)殡p曲方程， 即

εutt+ut+Δ2u-Δf（u）=0， 將經(jīng)典理論擴(kuò)展到了強(qiáng)非平衡分解情形； 文獻(xiàn)［6］在二維情形下， 研究了加入慣性項(xiàng)的經(jīng)典Cahn-Hilliard方程

utt（t）+ut（t）-Δ（-Δu（t）+f（u（t）））=g

擬強(qiáng)解存在的充分性及整體吸引子的存在性； 文獻(xiàn)［7］討論了雙曲型Cahn-Hilliard方程在相應(yīng)初值條件下弱解的存在性及全局吸引子的存在性； 文獻(xiàn)［8］研究了帶有黏性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程

utt+ut+Δ2u-Δf（u）-Δ（βut）=h（x），（x，t）∈（0，∞）×Ω

在亞三次非線性情形下整體吸引子的存在性； 文獻(xiàn)［9］討論了具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程的拉回吸引子； 文獻(xiàn)［10］討論了具有擴(kuò)散項(xiàng)的雙曲型Cahn-Hilliard方程

ε2ux2+ux+Δ2u-Δf（u）+g（u）=0，瘙綆^*+×Ω

的全局吸引子.

上述研究均討論了當(dāng)ε為一個(gè)常數(shù)時(shí)， 在自治動力系統(tǒng)中全局吸引子的存在性或非自治動力系統(tǒng)中一致吸引子和拉回吸引子的存在性； 而當(dāng)ε為一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)時(shí)， 關(guān)于雙

曲型Cahn-Hilliar方程時(shí)間依賴吸引子的研究目前報(bào)道較少. 在考慮時(shí)間因素對方程的影響時(shí)， 經(jīng)典的動力系統(tǒng)理論不能用來刻畫時(shí)間依賴系統(tǒng). 為解決該問題， Conti等^［11-12］修正了拉回吸引子理論， 提出了

時(shí)間依賴吸引子， 并研究了波方程在有界域上的時(shí)間依賴吸引子. 近年來， 關(guān)于在時(shí)間依賴空間中板方程、 發(fā)展方程、 波動方程等方程的時(shí)間依賴吸引子研究備受關(guān)注^{［2，13-17］}.

受上述研究結(jié)果的啟發(fā)， 本文考慮在時(shí)間依賴空間中含記憶項(xiàng)的雙曲型Cahn-Hilliard方程的時(shí)間依賴吸引子及其正則性. 而具有記憶項(xiàng)的雙曲型Cahn-Hilliard方程可用來刻畫變量

受過去狀態(tài)影響的二元材料中兩相的相對濃度隨時(shí)間變化的狀態(tài)， 所以研究這類方程對材料科學(xué)的發(fā)展具有重要作用. 但記憶項(xiàng)的存在， 使在驗(yàn)證方程動力系統(tǒng)的緊性時(shí)

很困難， 本文利用文獻(xiàn)［18］的思想和方法， 通過引入歷史位移變量， 再結(jié)合算子分解等技巧， 得到了該方程時(shí)間依賴吸引子的存在性及正則性.

1 預(yù)備知識

不失一般性， 記H=L2（Ω）， 其內(nèi)積和范數(shù)分別為（·，·）和‖·‖. 對于0≤σ≤2， 定義由A生成的Hillbert空間族Hσ=dm（A^σ/4ω）， 并賦予如下內(nèi)積和范數(shù)：

（ω，v）σ=（A^σ/4ω，A^σ/4v），‖ω‖2σ=‖A^σ/4ω‖2.

對于σ∈瘙綆+， 設(shè)L2μ（瘙綆+;H^σ+2）是函數(shù)φ：瘙綆+→H^σ+2的Hilbert空間族， 具有如下內(nèi)積和范數(shù)：

（φ1，φ2）μ，σ=（φ1，φ2）μ，Hσ=∫∞0μ（σ）（φ1（σ），φ2（σ））Hσdσ，

‖φ‖2μ，σ=‖φ‖2μ，Hσ=∫∞0μ（σ）‖φ‖2σdσ.

對于t∈瘙綆及0≤σ≤2， 引入時(shí)間依賴空間

H^σt=H^σ+2×Hσ×L2μ（瘙綆+;H^σ+2），

并賦予范數(shù)

‖z‖2H^σt=‖（u，ut，ηt）‖2H^σt=‖u‖2σ+2+ε（t）‖ut‖2σ+‖ηt‖2μ，σ+2.

當(dāng)σ=0時(shí)， 記Ht=H2×H×L2μ（瘙綆+;H2）， 對應(yīng)的范數(shù)為

‖z‖2Ht=‖（u，ut，ηt）‖2Ht=‖u‖22+ε（t）‖ut‖2+‖ηt‖2μ，2.

由緊嵌入定理H^σ+1H^σ知， 當(dāng)0≤σ≤2時(shí)， 有H^σt

Ht.

為得到本文的主要結(jié)果， 引入表示歷史位移的變量， 即

ηt（x，s）=u（x，t）-u（x，t-s），（x，s）∈Ω×（τ，∞），

則ηtt（x，s）=ut（x，t）-ut（x，t-s），（x，s）∈Ω×（τ，∞）.

于是方程（1）可轉(zhuǎn)化為

ε（t）utt+ut+Δ2u+∫∞0μ（s）Δ2ηt（s）ds-Δf（u）=h（x），（x，t）∈Ω×（τ，∞），

ηt=-ηs+ut，（x，t，s）∈Ω×（τ，∞）×（τ，∞），（8）

相應(yīng)的邊界條件為

u=Δu=0， （x，t）∈Ω×瘙綆+，ηt=Δηt=0， （x，t，s）∈Ω×瘙綆+×瘙綆+，（9）

初值條件為u（x，τ）=u0（x，t）， ut（x，τ）=u1（x，t）， η0（x，s）=ηi0（x，s），（10）

其中

u0（x，t）=u0（x，τ），（x，t）∈Ω×瘙綆+，u1（x，t）=tu0（x，t）t=τ，ηt0（x，s）=u0（x）-u0（x，-s），

（x，s）∈Ω×瘙綆+.（11）

問題（8）等價(jià)于如下算子方程：

A^-1/2ε（t）utt+A^-1/2ut+A^1/2u+∫∞0μ（s）A^1/2ηt（s）ds+f（u）=A^-1/2h（x），（x，

t）∈Ω×（τ，∞），ηt=-ηs+ut，（x，t，s）∈Ω×（τ，∞）×（τ，∞）.（12）

定義1^［11］設(shè){Ht}t∈瘙綆為一賦范線性空間， 對于雙參數(shù)算子族U（t，τ）： Hτ→Ht， t≥τ∈瘙綆， 若其滿足如下性質(zhì)：

1） τ∈瘙綆， U（t，τ）是Ht上的恒等映射;

2） t（τ≤s≤t）， τ∈瘙綆， 有U（t，s）U（s，τ）=U（t，τ）.

則稱U（t，τ）是一個(gè)過程.

定義2^［11］若對每個(gè)t∈瘙綆， 均存在常數(shù)Rgt;0， 使得CtBt（R）， 則稱有界集CtHt的集合族C={Ct}t∈瘙綆是一致有界的.

定義3^［11］若一個(gè)集族B={Bt}t∈瘙綆是一致有界的， 且對每個(gè)Rgt;0， 都存在常數(shù)t0=t0（t，R）≤t， 使得

τ≤t0， U（t，τ）Bτ（R）Bτ， 則稱B={Bt}t∈瘙綆是拉回吸引的.

定義4^［11］若Rgt;0， 均存在常數(shù)θ=θ（R）≥0， 使得τ≤t-θ， U（t，τ），Bτ（R）Bt， 則稱一

致有界集族B={Bt}t∈瘙綆是過程U（t，τ）的時(shí)間依賴吸收集.

定義5^［11］過程U（t，τ）的時(shí)間依賴吸引子是滿足如下性質(zhì)的最小集族A={At}t∈瘙綆：

1） Ht中的每個(gè)At都是緊的；

2） A是拉回吸引的， 即對每個(gè)一致有界集族C={Ct}t∈瘙綆， 均有 limτ→-∞ δt（U（t，τ）Ct，At）=0，

其中δt（B，C）=supx∈Binfy∈C ‖x-y‖Ht為Xt中任意兩個(gè)非空集合B和C的Hausdorff半距離.

引理1^［18］ν（0lt;νlt;1）和常數(shù)c1，c2≥0， 有不等式：

2（F（u），1）≥-（1-ν）‖u‖22-c1，（f（u），u）≥-（1-ν）‖u‖22-c2，

其中F（u）=∫u0f（y）dy.

引理2^［19］t≥τ， 記憶核函數(shù)μ（s）的條件（i），（ii）成立， 則ηt∈（（t，τ）;L2μ（瘙綆+;Hσ））， 0≤σ≤2， 存在一個(gè)常數(shù)0lt;δlt;1， 使得

（ηt（s），ηts（s））μ，σ≥δ‖η‖2μ，σ/2.

2 時(shí)間依賴吸收集的存在性

定義6^［16］tgt;τ， 設(shè)h∈L2（Ω）， 函數(shù)z（t）=（u（t），ut（t），ηt（s））滿足：

u∈C（［τ，t］，H2）， ut∈C（［τ，t］，L2）， ηt∈C（［τ，t］，L2μ（瘙綆+;H2）），

ηtt+ηts∈L∞（［τ，t］，L2μ（瘙綆+;H））∩L2（［τ，t］，L2μ（瘙綆+;H2））.

則z（t）稱為問題（1）當(dāng)初值z（τ）=zτ時(shí)在區(qū)間［t，τ］上的弱解， 如果對任意的v∈H2， φ∈L2μ（瘙綆+;H2）及tgt;τ，

（A^-1/2ε（t）utt，v）+（A^-1/2ut，v）+（A^1/2u，v）+（ηt（s），v）μ，1+（f（u），v）=（A^-1/2h（x），v），

（ηtt（s）+ηts（s），φ（s））μ，2=（ut，φ（s））μ，2.

對于所有的v∈H2及tgt;τ成立.

由標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin方法可得問題（12）解的存在唯一性結(jié)果：

定理1^［16］設(shè)條件（2）～（6）成立， 則對任意給定的初值zτ， 使得在Ht中存在問題（1）

的唯一弱解z（t）=（u（t），ut（t），ηt（s））， 滿足z（t）∈C（［t，τ］;Ht）∩L∞（［t，τ］;Ht）.

根據(jù)定理1， 可定義如下過程：

U（t，τ）： Ht→Hτ，U（t，τ）z（τ）={u（t），ut（t），ηt（s）}，

其中z（τ）∈Ht， z（t）是方程（12）關(guān)于初值z（τ）的唯一解.

引理3 設(shè)條件（2）～（7）成立， 對z（τ）∈Ht， 記U（t，τ）z（τ）是問題（12）對初始時(shí)刻τ和初始值z（τ）的解， 則存在常數(shù)k≥0， 使得

τ≤t， ‖z（t）‖Ht=‖U（t，τ）z（τ）‖Ht≤k.

證明： 設(shè)0lt;δlt;1， 用ut+δu與方程（12）的第一式在L2中做內(nèi)積， 有

12ddt［ε（t）‖A^-1/4ut‖2+δε（t）（A^-1/4u，A^-1/4ut）+‖A^1/4u‖2+

（F，1）-（A^-1/4h，A^-1/4u）］+∫∞0μ（s）A^1/2ηt（s）ds，ut+δu+1-12ε′（t）+δε（t）‖A^-1/4ut‖2+δ‖A^1/4u‖2+δ（f，u）-δ（A^-1/4h，

A^-1/4u）=（δε′（t）+δ）（A^-1/4u，A^-1/4ut）.（13）

對于記憶項(xiàng)， 利用Hlder不等式和Young不等式， 并結(jié)合ε（t）所滿足的條件， 得

∫∞0μ（s）A^1/2ηt（s）ds，ut=∫Ω∫∞0（ηtt+ηts）μ（s）A^1/2

ηt（s）dsdx=ddt‖ηt‖2μ，1+（ηt（s），ηts（s））μ，1≥ddt

‖ηt‖2μ，1+ρ2‖ηt‖2μ，1，（14）

∫∞0μ（s）A^1/2ηt（s）ds，δu=δ∫∞0μ（s）（A^1/4ηt（s），A^1/4u）ds≥

-δ∫∞0μ（s）‖A^1/4ηt（s）‖‖A^1/4u‖ds≥-ρ4‖

ηt‖2μ，1-δ2ρ‖A^1/4u‖2.（15）

將式（14），（15）代入式（13）， 得

12ddt［ε（t）‖A^-1/4ut‖2+δε（t）（A^-1/4u，A^-1/4

ut）+‖A^1/4u‖2+（F，1）-（A^-1/4h，A^-1/4u）+‖ηt‖2μ，1］+ρ4‖ηt‖2μ，1+1-12ε′（t）+δε（t）‖A^-1/4ut‖2+δ1-δρ‖A^1/4u‖2+δ（f，u）-

δ（A^-1/4h，A^-1/4u）≤（δε′（t）+δ）（A^-1/4u，A^-1/4ut）.（16）

定義泛函

E（t）=ε（t）‖A^-1/4ut‖2+δε（t）（A^-1/4u，A^-1/4ut）+‖A^1/4u‖2+（F，1）-（A^-1/4h，A^-1/4u）+‖ηt‖2μ，1.（17）

利用Hlder不等式、 Young不等式和Poincaré不等式以及式（2），（3）， 得

δε（t）（A^-1/4u，A^-1/4ut）≤δL‖A^-1/4u‖‖A^-1/4ut‖≤α2‖A^-1/4ut‖2+2δ2L2α‖A^-1/4u‖2≤

α2‖A^-1/4ut‖2+2δ2L2λ1α‖A^1/4u‖2，（18）

-（δε′（t）+δ）（A^-1/4u，A^-1/4ut）≥-δv2‖A^1/4u‖2-2δ（L-1）2vλ1‖A^-1/4ut‖2，（19）

（A^-1/4h，A^-1/4u）≤‖A^-1/4h‖‖A^-1/4u‖≤δ2‖A^-1/4u‖2+2δ‖A^-1/4h‖2.（20）

由條件（5）知，

（F（u），1）=∫F（u）dx≤c∫（u2+u^2m/（m-2））dx≤c‖u‖^2m/（m-2）2.（21）

由條件（6）知， 存在足夠小的常數(shù)ν（0lt;νlt;1）， 使得

（F（u），1）≥-（1-ν）‖u‖22-c1.（22）

從而對足夠小的δ， 存在常數(shù)C，C1， 使得

C‖z‖2Ht≤E（t）≤C‖z‖2Ht+C1.（23）

將式（17），（19）代入式（16）， 得

12ddtE（t）+δE（t）-12ε′（t）+δε（t）-1+2δ（L-1）2νλ1‖A^-

^1/4ut‖2+δ‖A^1/4u‖2+ρ-2δk0ν-δ‖ηt‖2μ，1≤δc.（24）

取δ足夠小， 使得

12ε′（t）+δε（t）-1+2δ（L-1）2νλ1≤0，ρ-2δk0ν-δ≥0，（25）

則有dE（t）dt+2δE（t）≤2δc. 利用Gronwall引理有E（t）≤e^{-δ（t-τ）}E（τ）+C， 再結(jié)合式（25）可得結(jié)論成立， 證畢.

引理4 假設(shè)條件（2）～（7）成立， 方程（12）生成的過程族U（t，τ）（t≥τ∈瘙綆）， 對給定的初值zi（τ）∈Hτ， 滿足‖zi（τ）‖

Hτ≤R（i=1，2）， 則存在正常數(shù)C1=C1（R）gt;0， 使得下式成立：

‖U（t，τ）z1（τ）-U（t，τ）z2（τ）‖Hτ≤e^C1（t-τ）‖z1（τ）-z2（τ）‖Hτ，t≥τ.

證明： 對給定的初值zi（τ）， 根據(jù)引理3的能量估計(jì)可得‖U（t，τ）zi（t）‖Hτ≤c. 令z（τ）=（u（t），ut

（t），ηt（s））=U（t，τ）z1（τ）-U（t，τ）z2（τ）， 則初值兩個(gè)解之間的差z（τ）=z1（τ）-z2（τ）滿足

ε（t）A^-1/2utt+A^-1/2ut+A^1/2u+∫∞0μ（s）A^1/2ηt（s）ds+f（u1）-f（u2）=0.（26）

用2ut與式（26）做內(nèi)積， 有

dz（t）2Htdt+（1-ε′（t））A^-1/4ut+δ‖ηt

‖2μ，1≤-2（f（u1）-f（u2），ut）.（27）

由Hlder不等式和Young不等式以及嵌入定理， 有

-2（f（u1）-f（u2），ut）≤c∫Ω（1+u1^4/（n-4）+u2^4/（n-4））·u·utdx≤

c‖u‖2‖ut‖∫Ω（1+u1^4/（n-4）2+u2^4/（n-4）2）dx≤c‖u‖

2‖ut‖≤c（‖u‖22+‖ut‖2）.（28）

將式（28）代入式（27）有

dz（t）2Htdt≤cz（t）2Ht.（29）

在區(qū)間［τ，t］上利用Gronwall引理， 得

‖z（t）‖2Ht≤‖z（t）‖2Hte^c（t-τ）=‖z1（t）-z2（t）‖2Hte^c（t-τ）.

根據(jù)上述討論， 對每個(gè)常數(shù)Rgt;0， 存在常數(shù)ρ和t0=t0（R）， 記Bt（R）={z（t）∈Ht： ‖z（t）‖Ht≤R}， 則根據(jù)引理3可得

如下時(shí)間依賴吸收集的存在性定理：

定理2 若條件（2）～（5），（7）成立， 存在R0gt;0， 則方程（14）產(chǎn)生的過程U（t，τ）有時(shí)間依賴吸收集B={Bt（R0）}， 且對

于M0gt;R0， 有

supz∈Bτ（R0）‖U（t，τ）zi（t）‖Hτ+∫∞τ‖ut（y）‖2dy≤M0.

3 時(shí)間依賴吸引子的存在性

將f分解為f=f0+f1， 其中f0，f1∈C2（瘙綆）， 且k≥0， 滿足

f′1（u）≤k， u∈瘙綆，f′1（u）≤k（1+u

4/（m-2））， u∈瘙綆，f0（0）=f′0（0）=0，f0（u）u≥0， u∈瘙綆.（30）

由引理4知B={Bt（R0）}是一個(gè)時(shí)間依賴吸收集， 則z（τ）∈B（R0）， U（t，τ）z（τ）可分解為

U（t，τ）z（τ）={u（t），ut（t），ηt（s）}=U1（t，τ）z（τ）+U2（t，τ）z（τ），

其中U1（t，τ）z（τ）=（v（t），vt（t），ζt（s））和U2（t，τ）z（τ）=（ω（t），ωt（t），ξt（s））為下列問題的解：

A^-1/2ε（t）vtt+A^-1/2vt+A^1/2v+∫∞0μ（s）A^1/2ζt（s）ds+f0（v）=0，

ζtt=-ζts+v，v=Av=0， ζt=Aζt=0，v（x，τ）=v0（x，t）， vt（x，τ）=v1（x，t），ζt（x，τ）=0， ζt（x，s）=ηt（x，s），（31）

A^-1/2ε（t）ωtt+A^-1/2ωt+A^1/2ω+∫∞0μ（s）A^1/2ξt（s）ds+f（u）-f0（v）=A^1/2h，

ξtt=-ξts+ω，ω=Aω=0， ξt=Aξt=0，ω（x，τ）=0， ωt（x，τ）=0， ξt（x，s）=0.（32）

引理5 存在δ=δ（B）gt;0， 使得‖U1（t，τ）z（τ）‖Ht≤Ce^{-δ（t-δ）}， t≥τ.

證明： 此時(shí)有‖U0（t，τ）z（τ）‖Ht≤C， 設(shè)0lt;δlt;1， 用vt+δv與式（31）的第一式做內(nèi)積， 得

12ddt［ε（t）‖A^-1/4vt‖2+δε（t）（A^-1/4v，A^-1/4vt）+‖A^1/4v‖2+（F0（v），1）+‖ζ

t‖2μ，1］+1-12ε′（t）+δε（t）‖A^-1/4vt‖2+δ1-δρ‖A^1/4v‖2-（δε′（t）+δ）（A^-1/4

v，A^-1/4vt）+ρ4‖ζt‖2μ，1+δ（f0（v），u）≤0.（33）

定義泛函

I0=ε（t）‖A^-1/4vt‖2+δε（t）（A^-1/4v，A^-1/4vt）+‖A^1/4v‖2+（F0（v），1）+‖ζt‖2μ，1=

‖U1（t，τ）z（τ）‖2Ht+δε（t）（A^-1/4v，A^-1/4vt）+‖A^1/4v‖2-（F0（v），1），（34）

其中F0（s）=∫s0f0（y）dy. 則有

12‖U1（t，τ）z（τ）‖2Ht≤I0（t）≤C‖U1（t，τ）z（τ）‖2Ht.（35）

根據(jù)式（30）， 得

ddtI0（t）+δ‖U1（t，τ）‖2Ht≤0.

利用Gronwall引理以及式（35）可知結(jié)論成立. 證畢.

由上述證明可知， 下式成立：

supt≥τ{‖U（t，τ）z（τ）‖Ht+‖U0（t，τ）z（τ）‖Ht+‖U1（t，τ）z（τ）‖Ht}≤C.

引理6 存在M=M（B）gt;0， 使得‖U2（t，τ）z（τ）‖Ht≤M.

證明： 設(shè)0lt;δlt;1， 用Aσωt+δAσω與方程（32）的第一式在H中做內(nèi)積， 有

ddt［ε（t）‖A^-1/4+σωt‖2+δε（t）（A^-1/4+σ/2ω，A^-1/4+σ/2ωt）+‖A^1/4

^+σω‖2+（f（u）-f0（v），Aσω）+‖ξt‖2μ，1+σ-δ（A^1/2h，Aσω）］+2δ1-δρ‖A^1/4

^+σω‖2+21-12ε′（t）+δε（t）‖A^-1/4+σωt‖2-2（δε′（t）+δ）（A^-1/4+σ/2ω，A^-1/4+σ/2

ωt）+ρ2‖ξt‖2μ，1+σ+2δ（f（u）-f0（v），Aσω）-2δ（A^1/2h，Aσω）≤

2（f′（u）ut-f′（v）vt，Aσω）+2（f′1（v）vt，Aσω）.（36）

對合適的常數(shù)Cgt;0， 定義下列泛函：

Λ（t）=ε（t）‖A^-1/4+σωt‖2+δε（t）（A^-1/4+σ/2ω，A^-1/4+σ/2ωt）+‖A^1/4+σω‖

2+（f（u）-f0（v），Aσω）+‖ξt‖2μ，1+σ-δ（A^1/2h，Aσω）+C.（37）

利用Hlder不等式、 Young不等式和Poincaré不等式， 并結(jié)合條件（3）， 可得

δε（t）（A^-1/4+σ/2ω，A^-1/4+σ/2ωt）≤δ‖ω^1/4+σ‖2+δLε（t）λ1‖ω^-1/4+σ‖2，（38）

δ（A^1/2h，Aσω）≤δ‖ω^1/4+σ‖2+1δλ1‖A^1/2h‖2.（39）

利用f的增長性條件并結(jié)合嵌入定理， 可知

（f（u）-f0（v），Aσω）≤‖f（u）-f0（v）‖‖Aσω‖.（40）

取足夠小的δ， 使得

12‖U2（t，τ）z（τ）‖2H^σt≤Λ（t）≤2‖U2（t，τ）z（τ）‖2H^σt+C.（41）

估計(jì)式（36）右邊的兩項(xiàng)， 有

（f′（u）ut，Aσω）≤c（1+‖A^1/4u‖2）‖A^-1/4ut‖‖A^1/4+σω‖≤δ8‖A^1/4+σω‖2+C，

（-f′（v）vt，Aσω）≤c（1+‖A^1/4v‖2）‖A^-1/4vt‖‖A^1/4+σω‖≤δ8‖A^1/4+σω‖2η+C，（42）

（f′1（v）vt，Aσω）≤c（1+‖A^1/4v‖2）‖A^-1/4vt‖‖A^1/4+σω‖≤δ8‖A^1/4+σω‖2+C.（43）

取足夠小的δ， 將式（37），（42），（43）代入式（36）， 可得ddtΛ（t）+δΛ（t）≤C.

利用Gronwall引理和式（41）可知， U2（t，τ）z（τ）有界. 證畢.

下面討論記憶項(xiàng)的緊性.

引理7^［20-21］若μ∈C1（瘙綆+）∩L2（瘙綆+）是個(gè)非負(fù)函數(shù)， 且滿足如下條件： 若s0∈瘙綆+， 使得μ（s0）=0， 則對sgt;s0， 有μ

（s）=0. 進(jìn)一步， 設(shè)B0，B1，B2是Banach空間， B0，B1是自反的， 且滿足B0B1B2， 其中嵌入B0B1是緊的. 設(shè)C∈L2μ（瘙綆+，B1）滿足下列條件：

1） C∈L2μ（瘙綆+，B0）∩L2μ（瘙綆+，B0）;

2） supη∈C‖η（s）‖2B1≤g（s）， s∈瘙綆+， g（s）∈L2μ（瘙綆+）.

則C在空間L2μ（瘙綆+，B1）中是相對緊的.

對任意的ξt∈L2μ（瘙綆+，Hσ）， Cauchy問題

ξtt=-ξts+ut， t≥τ，ξτ=ξτ

有唯一的解ξt∈C（［τ，∞］;L2μ（瘙綆+;Hσ））， 因此對方程（32）， 有

ξt=ω（x，t）-w（x，t-s），τlt;slt;t，ω（x，t）-w（τ），s≥t.

設(shè)B是定理2中得到的一個(gè)時(shí)間依賴吸收集， 則可得如下結(jié)論.

引理8^［22］假設(shè)非線性項(xiàng)f滿足條件（4），（5）， 外力項(xiàng)h∈L2（Ω）、 記憶項(xiàng)的條件（i）和式（7）成立， 對任意給定的Tgt;τ和任意的εgt;0， 令

κτ=∏（U2（T，τ），B）.

則存在正常數(shù)N1=N1（‖B‖Ht）， 使得下列結(jié)論成立：

1） κτ在空間L2μ（瘙綆+;H^σ+1）∩H1μ（瘙綆+;H1）中有界；

2） supξ∈κεT ‖ξ（s）‖2θ≤N1， 其中{U2（t，τ）}t≥τ是方程（32）的解過程， 且Π： Vθ×H×L2μ（瘙綆+;H1）→L2μ（瘙綆+;H1）為投影算子.

因此， 由記憶項(xiàng)的緊性可得κτ在空間L2μ（瘙綆+;H1）上是相對緊的. 進(jìn)一步， 由嵌入H^σ+1Hσ可得下列結(jié)果.

引理9^［22］若條件（7）、 記憶項(xiàng)的條件（i），（ii）、 非線性增長性條件以及式（30）成立

， 令{U1（t，τ）}t≥τ是方程（32）的解過程， 則對任意的Tgt;τ， U2（t，τ）B在Ht中是相對緊的.

定理3（時(shí)間依賴吸引子的存在性） 方程（11），（12）生成的過程U（t，τ）在Ht中有一個(gè)不變的時(shí)間依賴吸引

子A={At}t∈瘙綆.

證明： 根據(jù)引理6和引理9， 考慮κ={Kσt}t∈瘙綆， 其中Kσt={z（t）∈H^σt： ‖z（t）‖H^σt

≤M}. 由引理5和引理9可知， Kσt在Hσt是緊的. 此外， 由于常數(shù)M不依賴于時(shí)間t， 因此κ是一致有界的. 最后根據(jù)定理2、 引理4、 引理6和引理9， 即可證明κ是拉回吸引的. 又因?yàn)?/p>

δt（U（t，τ）Bτ（R0），Kσt）≤Ce^{-α（t-τ）}，t≥τ.

因此過程U（t，τ）是漸近緊的， 從而證明了U（t，τ）存在時(shí)間依賴吸引子A={At}t∈瘙綆. 由過程U（t，τ）t≥τ的連續(xù)性可得A的不變性.

4 吸引子的正則性

類似引理5的證明， τ∈瘙綆和z（τ）∈At， 將U（t，τ）z（τ）分解為

U（t，τ）z（τ）={u（t），ut（t），ηt（s）}=U3（t，τ）z（τ）+U4（t，τ）z（τ），

其中U3（t，τ）z（τ）={v（t），vt（t），ζt（s）}， U4（t，τ）z（τ）={ω（t），ωt（t），ξt（s）}， 分別滿足

A^-1/2ε（t）vtt+A^-1/2vt+A^1/2v+∫∞0μ（s）A^1/2ζt（s）ds=0，

ζtt=-ζts+v，v=Av=0， ζt=Aζt=0，v（x，τ）=u0（x，t）， vt（x，τ）=u1（x，t），ζt（x，s）=ηt（x，s），（44）

A^-1/2ε（t）ωtt+A^-1/2ωt+A^1/2ω+∫∞0μ（s）A^1/2ξt（s）ds+f（u）=A^1/2h，

ξtt=-ξts+ω，ω=Aω=0， ξt=Aξt=0，ω（x，τ）=0， ωt（x，τ）=0， ξt（x，s）=0.（45）

由引理5有

‖U3（t，τ）z（τ）‖Ht≤Ce^{-δ（t-δ）}，t≥τ.

引理10 由條件（11），（12）知， 存在常數(shù)M1=M1（u）， 使得 supt≥τ ‖U4（t，τ）z（τ）‖Ht≤M1.

證明： 設(shè)0lt;δlt;1， 用Aωt+δAω與方程（44）的第一式在H中做內(nèi)積， 得

12ddt［ε（t）‖A^-1/4+ωt‖2+δε（t）（A^-1/4

^+/2ω，A^-1/4+/2ωt）+‖A^1/4+ω‖2+（f（u），Aω）+‖ξt‖2

μ，1+-δ（A^1/2h，Aω）］+δ1-δρ‖A¹

^/4+ω‖2+1-12ε′（t）+δε（t）‖A^-1/4+ωt‖2-

（δε′（t）+δ）（A^-1/4+/2ω，A^-1/4+/2ωt）+ρ4‖ξt‖2

μ，1++δ（f0（ω），Aω）≤δ（A^1/2h，Aω）.（46）

對合適的常數(shù)Cgt;0， 令

Λ1=ε（t）‖A^-1/4+ωt‖2+δε（t）（A^-1/4+/2ω，A^-1/4+/2ωt）+‖A^1/4+ω‖2+（f（u），A

ω）+‖ξt‖2μ，1+-δ（A^1/2h，Aω）.（47）

取足夠小的δ， 有

14‖U4（t，τ）z（τ）‖2Ht≤Λ1（t）≤2‖U4（t，τ）z（τ）‖2Ht+C，（48）

則

ddtΛ1（t）+δΛ1（t）≤2（f′（u）ut，Aω）+δC，（49）

2（f′（u）ut，Aω）≤C∫Ω（1+u2）^{3/（1+σ-）}dx^{（1+σ-）/3}∫Ωut

^{6/（3-2σ）}dx^{（3-2σ）/6}∫ΩAω^6/（1+）dx^1+/6

≤C（1+‖A^1+σu‖2）‖Aσut‖2‖A¹⁺ω‖≤δ2‖A¹⁺ω‖2≤δ2Λ1（t）+C，（50）

其中Cgt;0是Ht中與At的界有關(guān)的常數(shù).

故2dΛ1（t）dt+δΛ1（t）≤2C， 利用Gronwall引理并結(jié)合式（48）， 可知‖U4（t，τ）z（τ）‖2Ht一致有界.

定理4 若條件（2）～（7）成立， 則方程（12）的時(shí)間依賴吸引子{At}t∈瘙綆在Ht上有界且與時(shí)間t無關(guān).

證明： 令Kt={z（t）∈Ht： ‖z（t）‖Ht≤M1}，

由式（48）和引理9可知， 對t∈瘙綆， 有l(wèi)imτ→∞ δt（U（t，τ）Aτ，Kt）=0， 從而由A的不變性知， δt（A

t，Kt）=0， 因此AtKt=Kt， 即證得At在Ht上有界且與時(shí)間t無關(guān).

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）