一類具有隔離的隨機埃博拉傳染病模型動力學分析
2025-03-21 00:00:00李錄蘋孔麗麗王曉玲陳富
吉林大學學報(理學版) 2025年2期
摘要： 利用隨機微分方程理論， 討論具有隔離倉室和動物倉室的埃博拉傳染病模型， 給出該模型動物子系統染病動物滅絕與持久之間的閾值以及動物-人整體系統疾病持久性的條件， 并證明系統存在遍歷平穩分布. 最后， 對理論結果進行數值模擬， 結果表明， 擾動強度較小時會形成地方病， 擾動強度足夠大時可導致疾病滅絕.
關鍵詞： 埃博拉病毒； Lyapunov函數； It公式； 平穩分布
中圖分類號： O175.1文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0307-14
Dynamics Analysis of a Stochastic EbolaInfectious Disease Model with Isolation
LI Luping， KONG Lili， WANG Xiaoling， CHEN Fu
（School of Mathematics and Statistics， Shanxi Datong University， Datong 037009， Shanxi Province， China）
Abstract： Using the theory of stochastic differential equations， we discussedan Ebola infectious disease model with isolated compartments and animal compartments.
We gave the threshold between extinction and persistence of infected animals within the animal subsystem of the model， as well as the conditions for persistence of the disease in the overall animal-human
system， and proved the existence ofergodic stationary distribution in the system. Finally， numerical simulations were conducted to validate the theoretical results. Theresults show that it can form endemic
diseases when the disturbance intensity is small， and it can lead to the extinction of disease when the disturbance intensity is large enough.
Keywords： Ebola virus; Lyapunov function; Itformula; stationary distribution
收稿日期： 2024-07-04.
第一作者簡介： 李錄蘋（1981—）， 女， 漢族， 碩士， 副教授， 從事微分方程動力系統的研究， E-mail： sxdtdxllp@163.com.
基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 61823241）、 山西省高等學校科技創新項目（批準號： 2022L416）和大同市科技計劃項目（批準號： 2022056； 2023061）.
0 引 言
埃博拉病毒是一種人畜共患的病原體， 它可以從野生動物傳播到人類， 且人與人之間的傳播可引起疾病的暴發［1-2］.鑒于埃博拉病毒的嚴重性和復雜性［3-4］， 許多學
者對其進行了深入研究［5-8］， 旨在揭示其傳播機制， 為該疾病的預防和控制提供科學依據. 在傳染病研究中， 數學模型是一種重要工具， 它可以模擬疾病的傳播過程， 預
測疾病的發展趨勢， 為制定有效的預防和控制策略提供理論支持. 在埃博拉病毒研究中， 一些學者通過建立確定性數學模型， 分析了該疾病的流行情況
［9-12］.文獻［10］提出了對感染者進行治療及對易感者進行預防接種的埃博拉傳染病模型. 文獻［11］考慮了人群和動物耦合的情況， 研究了一類具有預防接種且帶有治療措施的
埃博拉傳染病模型， 并指出控制傳染源是預防和控制埃博拉病毒傳播的一項重要措施， 其中對患者進行隔離是最有效的方法. 在此基礎上， 文獻［12］在人和動物共
存狀態下， 考慮了疾病傳播的情況， 建立了帶有隔離倉室和動物倉室的埃博拉傳染病確定性模型. 該模型綜合考慮了人類和動物之間的相互作用以及疾病在兩者之間的傳播過程， 模型如下：
S′b（t）=Λb-βbSb（t）Ib（t）-μbSb（t），I′b（t）=βbSb（t）Ib（t）-μbIb（t）-αbIb（t），
S′h（t）=Λh-βhSh（t）Ih（t）-βbhSh（t）Ib（t）-μhSh（t），
I′h（t）=βhSh（t）Ih（t）+βbhSh（t）Ib（t）-μhIh（t）-αhIh（t）-δhIh（t）-γhIh（t），
Q′h（t）=δhIh（t）-μhQh（t）-dhQh（t）-εhQh（t），
R′h（t）=γhIh（t）+εhQh（t）-μhRh（t），（1）
其中： Sb（t），Ib（t）分別表示t時刻動物易感者、 感染者的數量; Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t）分別表示t時刻人群易感者、 感染者、 隔離者、 移出者的數量; Λb表示動物的輸入率， Λh表示人群的輸入率; βb表示動物之間的傳染率， βbh表示動物與人之間的傳染率， βh表示人之間的傳染率; μb表示動物的自然死
亡率， μh（lt;μb）表示人群的自然死亡率; αb表示動物感染者的因病死亡率， αh表示人群感染者的因病死亡率; dh表示人群隔離者的因病死亡率; δh表示人群感染者的隔離率; γh表示人群感染者的恢復率; εh表示人群隔離者的恢復率. 由文獻［12］知， 系統（1）存在無病平衡點E0、 邊界平衡點E*和地方病平衡點. 動物患者基本再生數為R0d=Λbβbμb（μb+αb）， 人群患者基本再生數為R0r=Λhβhμh（μh+αh+δh+γh）， 系統（1）的基本再生數為R0=max{R0d，R0r}. 當R0lt;1時無病平衡點E0是全局漸近穩定的; 當R0dlt;1lt;R0r時邊界平衡點E是全局漸近穩定的; 當R0dgt;1時地方病平衡點是全局漸近穩定的.
在現實世界中， 流行病不可避免地受環境噪聲的影響. 與確定性模型相比， 將隨機擾動加入流行病模型中能使其更符合實際應用. 近年來， 隨著隨機微分方程理論的發展， 人們建立了許多隨機生物數學模型， 用于研究傳染病的動力學行為和環境噪聲的影響［13-18］.
基于文獻［12］提出的確定性模型，本文討論一類帶有隔離倉室和動物倉室的隨機埃博拉傳染病模型的動力學行為. 假設隨機白噪聲與Sb（t），Ib（t），Sh（t），I
h（t），Qh（t），Rh（t）成正比， 則在隨機環境中的系統（1）變為如下系統：
dSb（t）=（Λb-βbSb（t）Ib（t）-μbSb（t））dt+σ1Sb（t）dB1（t），
dIb（t）=（βbSb（t）Ib（t）-μbIb（t）-αbIb（t））dt+σ2Ib（t）dB2（t），
dSh（t）=（Λh-βhSh（t）Ih（t）-βbhSh（t）Ib（t）-μhSh（t））dt+σ3Sh（t）dB3（t），
dIh（t）=（βhSh（t）Ih（t）+βbhSh（t）Ib（t）-μhIh（t）-αhIh（t）-δhIh（t）-γhIh（t））dt+σ4Ih（t）dB4（t），
dQh（t）=（δhIh（t）-μhQh（t）-dhQh（t）-εhQh（t））dt+σ5Qh（t）dB5（t），
dRh（t）=（γhIh（t）+εhQh（t）-μhRh（t））dt+σ6Rh（t）dB6（t），（2）
其中： Bi（t）是定義在具有濾子{Ft}t≥0（濾子滿足一般條件， 即它是不減的、 右連續的， 且F0包含了所有概率為零的集
合）的全概率空間（Ω，F，{Ft}t≥0，P）上的獨立標準布朗運動; σi表示布朗運動
的強度（i=1，2，…，6）. 在確定性模型中， 基本再生數對流行病的傳播具有重要作用. 當考慮環境擾動時， 研究決定流行病傳播與否的閾值至關重要.
本文首先研究隨機系統（2）全局正解的存在性和唯一性; 其次， 分析隨機動物子系統， 給出染病動物持久和滅絕之間的閾值； 再次， 討論動物-人整
體隨機系統， 分析埃博拉病毒在人類世界傳播與否的條件， 并證明隨機系統（2）具有遍歷平穩分布； 最后， 通過數值模擬驗證理論結果， 揭示環境白噪聲的影響.
1 系統（2）全局正解的存在唯一性
定理1 定義瘙綆6+={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh，Rh）Sb，Ib，Sh，Ih，Qh，Rhgt;0}， 對任意給定的初值（Sb（0），
Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0））∈瘙綆6+， 系統（2）存在唯一的正解， 即當t≥0時， （Sb（t），Ib（t），Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t））∈瘙綆6+ a.s.
證明： 系統（2）中的系數滿足局部Lipschitz條件， 則對任意給定的初值（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0））∈瘙綆6+， 當t∈［0，τe）時， 系統（2）
總存在唯一的局部解（Sb（t），Ib（t），Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t））∈瘙綆6+， 其中τe為爆破時間. 為證明該解的全局性， 只需證τe=
∞幾乎處處成立即可. 令k0≥1充分大， 使得（Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0））均在區間［1/k0，k0］上. 對k≥k0， 定義停時
τk=inf{t∈［0，τe）： min{Sb（t），Ib（t），Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t）}≤1k，
max{Sb（t），Ib（t），Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t）}≥k}.
顯然當k→∞時， τk是遞增的. 令τ∞=limt→∞ τk， 則有τ∞≤τe幾乎處處成立. 若能證明τ∞=∞幾乎處處成立， 則即可證明τe
=∞幾乎處處成立. 下面只需證明τ∞=∞幾乎處處成立即可. 若上述結論不成立， 則存在兩個常數Tgt;0和ε∈（0，1）， 滿足P{
τ∞≤T}gt;ε. 因此存在k1≥k0， 使得對所有的k≥k1， 均有P{τk≤T}≥ε.
定義C2-函數V：瘙綆6+→瘙綆+為
（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh，Rh）=Sb+a-alnSba+（Ib+1-ln Ib）+Sh+a-alnS
ha+（Ih+1-ln Ih）+（Qh+1-ln Qh）+（Rh+1-ln Rh），
其中a=minμb+αbβb+βbh，μh+αhβh.
對（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh，Rh）應用It公式得
d=Ldt+σ1（Sb-a）dB1（t）+σ2（Ib-1）dB2（t）+σ3（Sh-a）dB3（t）
+σ4（Ih-1）dB4（t）+σ5（Qh-1）dB5（t）+σ6（Rb-1）dB6（t），
其中
L≤Λb+Λh+（a+1）μb+αb+（a+3）μh+αh+δh+γh+dh+εh
+12（aσ21+σ22+aσ23+σ24+σ25+σ26）∶=K，
K為正常數. 則有
dV≤Kdt+σ1ShdB1（t）+σ2（Ih-1）dB2（t）+σ3（Qh-1）dB3（t）
+σ4（Rh-1）dB4（t）+σ5SbdB5（t）+σ6（Ib-1）dB6（t）.（3）
將式（3）兩邊從0到τk∧T積分并取期望， 由文獻［19］的定理5.8中（ii）得
EV（Sh（τk∧T），Ih（τk∧T），Qh（τk∧T），Rh（τk∧T），Sb（τk∧T），Ib（τk∧T））
≤V（Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0），Sb（0），Ib（0））+KT.
令Ωk={τk≤T}， 對k≥k1， 有P（Ωk）≥ε. 而對每個ω∈Ωk， （S（τk，ω），E（τk，ω），I（τk，ω），D（τk，ω））中某個分量的取值為1/k或k， 則
V（Sh（τk，ω），Ih（τk，ω），Qh（τk，ω），Rh（τk，ω），Sb（τk，ω），Ib（τk，ω））
≥mink+1-ln k，1k+1+ln k∶=G（k）.
因此
V（Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0），Sb（0），Ib（0））+KT≥E（IΩk（ω）V（Sh（τk，ω），Ih（τk，ω），Qh（τk，ω），Rh（τ
k，ω），Sb（τk，ω），Ib（τk，ω）））≥P（Ωk（ω））G（k）≥εG（k），
其中IΩk是Ωk的示性函數. 令k→∞， 則
∞gt;V（Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0），Sb（0），Ib（0））+KT=∞，
矛盾， 所以τe=∞幾乎處處成立. 即（Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t），Sb（t），Ib（t））是系統（2）的全局正解. 證畢.
引理1 若（Sb（t），Ib（t），Sh（t），Ih（t），Qh（t），Rh（t））是系統（2）滿足初始條件（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0），Rh（0））∈瘙綆6+的解， 則
limt→+∞Sb（t）t=0， limt→+∞Ib（t）t=0，
limt→+∞Sh（t）t=0，limt→+∞Ih（t）t=0，
limt→+∞Qh（t）t=0， limt→+∞Rh（t）t=0 a.s.，
且
limt→+∞1t∫t0Sb（r）dB1（r）=0， limt→+∞1t
∫t0Ib（r）dB2（r）=0， limt→+∞1t∫t0Sh（r）dB3（r）=0，
limt→+∞1t∫t0Ih（r）dB4（r）=0， limt→+∞1t
∫t0Qh（r）dB5（r）=0， limt→+∞1t∫t0Rh（r）dB6（r）=0 a.s.
證明： 根據系統（2）可得
d（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh+Rh）= ［（Λb+Λh）-μbSb-（μb+αb）Ib-μhSh-（μh+αh）Ih-（μh+dh）Qh-μhRh］dt
+σ1SbdB1+σ2IbdB2+σ3ShdB3+σ4IhdB4+σ5QhdB5+σ6RhdB6，（4）
解方程（4）， 可得
Sb（t）+Ib（t）+Sh（t）+Ih（t）+Qh（t）+Rh（t）≤Λb+Λhμh+Sb（0）+Ib（0）+Sh（0）
+Ih（0）+Qh（0）+Rh（0）-Λb+Λhμhe-μht+M（t），（5）
其中
M（t）=σ1∫t0Sb（r）e-μh（t-r）dB1（r）+σ2∫t0Ib（r）e-μh（t-r）dB2（r）+σ3∫t0Sh（r）e-μ
h（t-r）dB3（r）+σ4∫t0Ih（r）e-μh（t-r）dB4（r）+σ5∫t0Qh（
r）e-μh（t-r）dB5（r）+σ6∫t0Rh（r）e-μh（t-r）dB6（r）.
顯然， M（t）是一個連續的局部鞅且M（0）=0.
定義
X（t）=X（0）+L（t）-N（t）+M（t），
其中
X（0）=Sb（0）+Ib（0）+Sh（0）+Ih（0）+Qh（0）+Rh（0），L（t）=Λb+Λhμh（1-e-μht），
N（t）=（Sb（0）+Ib（0）+Sh（0）+Ih（0）+Qh（0）+Rh（0））（1-e-μht）.
由式（5）可知， 當t≥0時，
Sb（t）+Ib（t）+Sh（t）+Ih（t）+Qh（t）+Rh（t）≤X（t）.
顯然， 當t≥0， L（0）=N（0）=0時， L（t），N（t）是連續的自適應遞增過程. 根據文獻［19］可知幾乎處處有limt→+∞ X（t）lt;+∞， 因此
lim supt→+∞ （Sb（t）+Ib（t）+Sh（t）+Ih（t）+Qh（t）+Rh（t））lt;+∞ a.s.（6）
從而由解的正性和式（6）可得
limt→+∞ Sb（t）t=0， limt→+∞Ib（t）t=0，
limt→+∞Sh（t）t=0，limt→+∞Ih（t）t=0，
limt→+∞Qh（t）t=0， limt→+∞Rh（t）t=0 a.s.，
limt→+∞1t∫t0Sb（r）dB1（r）=0， limt→+∞1t
∫t0Ib（r）dB2（r）=0， limt→+∞1t∫t0Sh（r）dB3（r）=0，
limt→+∞1t∫t0Ih（r）dB4（r）=0， limt→+∞1t
∫t0Qh（r）dB5（r）=0， limt→+∞1t∫t0Rh（r）dB6（r）=0 a.s.
2 動物隨機子系統分析
動物隨機系統為
dSb（t）=（Λb-βbSb（t）Ib（t）-μbSb（t））dt+σ1Sb（t）dB1（t），dIb（t）=（βbSb（t）Ib（t）-μbIb（t）-α
bIb（t））dt+σ2Ib（t）dB2（t），（7）
與人類隨機系統無關， 本文主要考慮Ib（t）的滅絕性和持久性. 為方便， 記
〈X〉t=1t∫t0X（r）dr.
定理2 假設Sb（t），Ib（t）是系統（7）滿足初始條件（Sb（0），Ib（0））∈瘙綆2+的解， 則下列結論成立：
1） 如果R10=Λbβbμb（μb+αb+σ22/2）lt;1， 則
limsupt→+∞ln Ib（t）t≤μb+αb+σ222（R1
0-1），limt→+∞ 〈Sb〉t=Λbμb a.s.；
2） 如果R10gt;1， 則
lim inft→+∞ 〈Ib〉t≥μb（μb+αb+σ22/2）（R10-1）βb（μb+αb） a.s.
證明： 首先， 證明結論1）. 由系統（7）可知
Sb（t）-Sb（0）t+Ib（t）-Ib（0）t=Λb-μb〈Sb〉t-（μb+αb）〈Ib〉t+σ1t
∫t0Sb（r）dB1（r）+σ2t∫t0Ib（r）dB2（r），
從而
〈Sb〉t=Λbμb-μb+αbμb〈Ib〉t+M1（t），（8）
其中
M1（t）=1μbσ1t∫t0Sb（r）dB1（r）+σ2t∫t0Ib（r）dB2（r）-S
b（t）-Sb（0）t-Ib（t）-Ib（0）t.
由引理1可知
limt→+∞ M1（t）=0 a.s.（9）
對系統（7）中第二個方程應用It公式后， 兩邊取從0到t的積分并除以t， 再將式（8）代入可得
ln Ib（t）-ln Ib（0）t=βb〈Sb〉t-μb+αb+σ222+σ2B2（t）t
≤Λbβbμb+βbM1（t）-μb+αb+σ222+σ2B2（t）t=μb+αb+σ222（R10-1）+βbM1（t）+σ2B2（t）t.（10）
由強大數定律， 得
limt→+∞Bi（t）t=0，i=1，2， a.s.（11）
結合式（9）和式（11）， 對式（10）兩邊取極限， 得
lim supt→+∞ln Ib（t）t≤μb+αb+σ222（R10-1） a.s.
因此， 如果R10lt;1， 則有
limt→+∞ Ib（t）=0 a.s.（12）
由式（8）和（12）， 可得
limt→+∞ 〈Sb〉t=Λbμb a.s.
其次， 證明結論2）. 由系統（7）中第二個方程可得
ln Ib（t）-ln Ib（0）t=Λbβbμb-βb（μb+αb）μb〈Ib〉t+βbM1（t）
-μb+αb+σ222+σ2B2（t）t=μb+αb+σ222（R10-1）-βb（μb+αb）μb〈Ib〉t+βbM1（t）+σ2B2（t）t.
當R10gt;1時， 由文獻［20］中引理4， 得
liminft→+∞ 〈Ib〉t≥μb（μb+αb+σ22/2）（R10-1）βb（μb+αb） a.s.
由定理2可知， 如果R10lt;1， 則染病動物將會滅絕， 即埃博拉病毒不會在動物界廣泛傳播； 如果R10gt;1， 則埃博拉病毒將在動物界傳播. R10小于確定性模型中
動物患者的基本再生數， 表明環境白噪聲有助于控制疾病.
3 動物-人整體隨機系統分析
由于系統（2）的前5個方程與變量Rh（t）無關， 因此本文只需分析以下等價系統：
dSb（t）=（Λb-βbSb（t）Ib（t）-μbSb（t））dt+σ1Sb（t）dB1（t），dIb（t）=（βbSb（t）Ib（t）-μbIb（t）-αbI
b（t））dt+σ2Ib（t）dB2（t），dSh（t）=（Λh-βhSh（t）Ih（t）-βbhSh（t）Ib（t）-μhSh（t））dt+σ3Sh（t）dB3（t），dIh（t）=（β
hSh（t）Ih（t）+βbhSh（t）Ib（t）-μhIh（t）-αhIh（t）-δhIh（t）-γhIh（t））dt+σ4Ih（t）dB4（t），dQh（t）=（δhIh（t）-μhQh（t）-dhQ
h（t）-εhQh（t））dt+σ5Qh（t）dB5（t）.（13）
定理3 假設（Sb（t），Ib（t），Sh（t），Ih（t），Qh（t））是系統（13）滿足初始條件（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0））∈瘙綆5+的解， 則下列結論成立：
1） 如果R10lt;1且R20=Λhβhμh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）lt;1， 則
limt→+∞ Ib（t）=0， limt→+∞ Ih（t）=0， limt→+∞ Qh（t）=0 a.s.，
并且
limt→+∞〈Sb〉t=Λbμb，limt→+∞〈Sh〉t=Λhμh a.s.，
即埃博拉病毒不會廣泛傳播；
2） 如果R10lt;1且R20gt;1， 則 limt→+∞Ib（t）=0 a.s.， 并且
liminft→+∞ 〈Ih〉t≥μh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）（R20-1）βh（μh+αh+δh+γh），
liminft→+∞〈Qh〉t≥μhδh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）（R20-1）βh（μh+dh+εh）（μh+αh+δh+γh） a.s.，
即埃博拉病毒不會在動物界傳播， 但會在人類世界傳播.
證明： 當R10lt;1時， 由定理2可知limt→+∞ 〈Sb〉t=Λbμb， limt→+∞Ib（t）=0 a.s. 當t→+∞時，
埃博拉病毒在人類世界傳播的動力學系統為
dSh（t）=（Λh-βhSh（t）Ih（t）-μhSh（t））dt+σ3Sh（t）dB3（t），dIh（t）=（βhSh（t）Ih（t）-μhIh（t）-αhIh
（t）-δhIh（t）-γhIh（t））dt+σ4Ih（t）dB4（t），dQh（t）=（δhIh（t）-μhQh（t）-dhQh（t）-εhQh（t））dt+σ5Qh（t）dB5（t）.（14）
由系統（14）可知
Sh（t）-Sh（0）t+Ih（t）-Ih（0）t=Λh-μh〈Sh〉t-（μh+αh+δh+γh）〈Ih〉t
+σ3t∫t0Sh（r）dB3（r）+σ4t∫t0Ih（r）dB4（r），
即
〈Sh〉t=Λhμh-μh+αh+δh+γhμh〈Ih〉t+M2（t），（15）
其中M2（t）=1μhσ3t∫t0Sh（r）dB3（r）+σ4t∫t0Ih（r）dB4（r）-Sh（t）-Sh（0）t-Ih（t）-Ih（0）t，
且limt→+∞ M2（t）=0.
對系統（14）中第二個方程應用It公式后， 兩邊取從0到t的積分并除以t， 再將式（15）代入可得
ln Ih（t）-ln Ih（0）t=βh〈Sh〉t-μh+αh+δh+γh+σ242+σ4B4（t）t
=Λhβhμh-βh（μh+αh+δh+γh）μh〈Ih〉t+βhM2（t）-μh+αh+δh+γh+
σ242+σ4B4（t）t=μh+αh+δh+γh+σ242（R2
0-1）-βh（μh+αh+δh+γh）μh〈Ih〉t+βhM2（t）+σ4B4（t）t.
由文獻［20］中引理4可知， 當R20lt;1時， limt→+∞ Ih（t）=0 a.s.， 當R20gt;1時，
liminft→+∞〈Ih〉t≥μh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）（R20-1）βh（μh+αh+δh+γh） a.s.
當R20lt;1， t→+∞時， 由系統（14）中第三個方程可知
Qh（t）-Qh（0）t=-（μh+dh+εh）〈Qh〉t+σ5t∫t0Qh（r）dB5（r），
即〈Qh〉t=M3（t），
其中M3（t）=1μh+dh+εhσ5t∫t0Qh（r）dB5（r）-Qh（t）-Qh（0）t，
且 limt→+∞ M3（t）=0. 所以limt→+∞〈Qh〉t=0 a.s. 從而可得limt→+∞ Qh（t）=0 a.s. 事實
上， 如果limt→+∞ Qh（t）=c（cgt;0） a.s.， 則存在Tgt;0， 使得當tgt;T時， Qh（t）≥c2 a.s. 因此可知
1t∫t0Qh（r）dr=1t∫T0Qh（r）dr+∫tTQh（r）dr≥1t·c2（t-T）=c2-cT2t，
故
limt→+∞〈Qh〉t≥limt→+∞c2-cT2t=c2gt;0，
與limt→+∞〈Qh〉t=0 a.s.矛盾， 所以limt→+∞ Qh（t）=0 a.s.
當R20gt;1時， 由系統（14）中第三個方程可知
Qh（t）-Qh（0）t=δh〈Ih〉t-（μh+dh+εh）〈Qh〉t+σ5t∫t0Qh（r）dB5（r），
即
〈Qh〉t=δhμh+dh+εh〈Ih〉t+M3（t），
則
liminft→+∞〈Qh〉t≥μhδh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）（R20-1）βh（μh+dh+εh）（μh+αh+δh+γh） a.s.
由上述結論和式（15）知， 當R10lt;1且R20lt;1時，
limt→+∞〈Sb〉t=Λbμb， limt→+∞ Ib（t）=0，
limt→+∞〈Sh〉t=Λhμh，limt→+∞Ih（t）=0
， limt→+∞Qh（t）=0 a.s.，
即此時埃博拉病毒不會在動物界和人類世界傳播； 當R10lt;1且R20gt;1時， limt→+∞ Ib（t）=0，
lim inft→+∞〈Ih〉t≥μh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）（R20-1）βh（μh+αh+δh+γh），
lim inft→+∞〈Qh〉t≥μhδh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）（R20-1）βh（μh+dh+εh）（μh+αh+δh+γh） a.s.，
即此時埃博拉病毒不會在動物界傳播， 但會在人類世界傳播.
根據定理3， 如果不存在環境白噪聲， 則隨機系統（2）的滅絕性和持久性與確定性模型（1）的條件一致.
引理2［21］假設存在一個具有正則邊界Γ的有界開域U瘙綆d， 且下列條件成立：
1） 存在一個正數M滿足∑di，j=1aij（x）ξiξj≥Mξ2， x∈， ξ∈瘙綆d;
2） 對任意的瘙綆d＼U， 存在一個C2-函數V使得LV是負的.
則Markov過程X（t）具有遍歷平穩分布μ（·）且唯一.
定理4 如果R10gt;1， 則對任意的初值（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0））∈瘙綆5+， 模型（13）的解有唯一的平穩分布.
證明： 首先， 模型（13）的擴散矩陣為
A=σ21S2b00000σ22I
2b00000σ23S2h00000σ24I2h00000σ25Q2h.
令U瘙綆5+是有界開域， 且存在Mgt;0（M=min{σ21S2b，σ22I2b，σ23S2h，σ24I2h，σ25Q2h，（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh
）∈}）， 使得對所有的（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈， ξ∈瘙綆5+， 均有
∑5i，j=1aijξiξj=σ21S2bξ21+σ22I2bξ22+σ23S2hξ23+σ24I2hξ24+σ25Q
2hξ25≥Mξ2，
則引理2的條件1）滿足.
下面證明滿足引理2的條件2）. 考慮一個非負C2-函數V（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）：瘙綆5+→瘙綆+，
V=H（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）-H（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0））.
令H（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）=NV1+V2+V3，
其中
V1=-ln Ib-βbμb（Sb+Ib），V2=-（ln Sb+ln Sh+ln Ih+ln Qh），
V3=11+θ（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）1+θ，
0lt;θlt;1是一個充分小的常數， 正常數N和n滿足
N0-Nμb+αb+σ222（R10-1）+fu2≤-2，
n∶=μh-θ2（σ21∨σ22∨σ23∨σ24∨σ25）gt;0，
（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0））是H（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）的最小值點.
利用It公式得
LV1=-μb+αb+σ222（R10-1）+βb（μb+αb）μbIb，
LV2≤-ΛbSb+βbIb+μb+σ2
12-ΛhSh+βhIh+βbhIb+μh+σ232-βbhShIbIh+（μh+αh+δh+γh）+σ242-δhIhQh+（μh+dh+εh）+σ252，
LV3=（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）θ[Λb-μbSb-（μb+αb）Ib+Λh-μhSh-（μh+αh+δh+γh）Ih-（μh+dh+εh）Qh]+
θ2（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）θ-1（σ21S2b+σ22I2b+σ23S2h+σ24I2h+σ25Q2h）
≤（Λb+Λh）（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）θ-μh（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）θ+1+θ2（σ21∨σ22∨σ23∨σ24∨σ25）（S
b+Ib+Sh+Ih+Qh）θ+1≤A-n2（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）θ+1
≤A-n2（Sθ+1b+Iθ+1b+Sθ+1h+Iθ+1h+Qθ+1h），
其中
A=sup（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+（Λb+Λh）（Sb+Ib+Sh+Ih+Qh）θ-n2（Sb+Ib+S
h+Ih+Qh）θ+1，
因此
LV=L（NV1+V2+V3）≤A+μb+3μh+αh+δh+γh+dh+εh+σ21+σ23+σ24+σ252+
N-μb+αb+σ222（R10-1）+βb（μb+αb）μbIb+（βb+βbh）Ib-
n2Iθ+1b-ΛbSb-n2Sθ+1b-
ΛhSh-n2Sθ+1h+βhIh-n2Iθ+1h-βbhShIbIh-δ
hIhQh-n2Qθ+1h=N0+f1（Ib）+f2（Ih）-ΛbSb-n2Sθ+1b-ΛhSh-n2Sθ+1h-βbhShIbIh-δhIhQh-n2Qθ+1h，
這里
N0=A+μb+3μh+αh+δh+γh+dh+εh+σ21+σ23+σ24+σ252，
f1（Ib）=N-μb+αb+σ222（R10-1）+βb（μb+αb）μbIb+（βb+βb
h）Ib-n2Iθ+1b，
f2（Ih）=βhIh-n2Iθ+1h.
下面構造一個有界閉集：
U=p≤Sb≤1p， p≤Ib≤1p， p≤Sh≤1p， p3
≤Ih≤1p3， p4≤Qh≤1p4，
其中p是一個足夠小的常數， 且滿足以下不等式：
N0+fu1+fu2-Λbp≤-1，（16）
N0-Nμb+αb+σ222（R10-1）+Nβb（μb+αb）μb+βb+βbhp+fu2≤-1，（17）
N0+fu1+fu2-Λhp≤-1，（18）N0+fu1+fu2-βbhp≤-1，（19）
N0+fu1+fu2-δhp≤-1，（20）N0+fu1+fu2-n2pθ+1≤-1，（21）
N0-n4pθ+1+N1≤-1，（22）N0-n4p3（θ+1）+N2≤-1，（23）
N0+fu1+fu2-n2p4（θ+1）≤-1，（24）
這里fu1=supIb∈（0，+∞） f1（Ib），fu2=supIh∈（0，+∞） f2（Ih），
N1=supIb∈（0，+∞） -Nμb+αb+σ222（R10-1）
+Nβb（μb+αb）μb+βb+βbhIb-n4Iθ+1b+fu2，
N2=supIh∈（0，+∞）fu1+βhIh-n4Iθ+1h.
將瘙綆5+＼U劃分為以下10個區域：
Uc1={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+0lt;Sblt;p}，
Uc2={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+0lt;Iblt;p}，Uc3={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+0lt;Shlt;p}，
Uc4={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Ib≥p， Sh≥p， 0lt;Ihlt;p3}，
Uc5={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Ih≥p3， 0lt;Qhlt;p4}，
Uc6={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Sb≥1/p}，
Uc7={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Ib≥1/p}，
Uc8={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Sh≥1/p}，
Uc9={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Ih≥1/p3}，
Uc10={（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+Qh≥1/p4}.
下面證明對任意的（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+＼U， 有LV（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）lt;0.
情形1） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc1， 則由式（16）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-ΛbSb≤N0+fu1+fu2-Λbp≤-1；
情形2） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc2， 則式由（17）可知
LV≤N0-Nμb+αb+σ222（R10-1）+Nβb（μb+αb）μb+βb+βbhIb-n2Iθ+1b+f2（Ih）≤N0-Nμb+αb+σ222（R1
0-1）+Nβb（μb+αb）μb+βb+βbhp+fu2≤-1；
情形3） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc3， 則由式（18）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-ΛhSh≤N0+fu1+fu2-Λhp≤-1；
情形4） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc4， 則由式（19）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-βbhShIbIh≤N0+fu1+fu2-βbhp≤-1；
情形5） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc5， 則由式（20）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-δhIhQh≤N0+fu1+fu2-δhp≤-1；
情形6） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc6， 則由式（21）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-n2Sθ+1b≤N0+fu1+fu2-n2pθ+1≤-1；
情形7） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc7， 則由式（22）可知
LV≤N0-Nμb+αb+σ222（R10-1）+Nβb（μb+αb）μb+βb+βbh
Ib-n2Iθ+1b+f2（Ih）≤N0-n4pθ+1+N1≤-1；
情形8） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc8， 則由式（21）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-n2Sθ+1h≤N0+fu1+fu2-n2pθ+1≤-1；
情形9） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc9， 則由式（23）可知
LV≤N0+f1（Ib）+βhIh-n2Iθ+1h≤N0-n4p3（θ+1）+N2≤-1；
情形10） 如果（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈Uc10， 則由式（24）可知
LV≤N0+f1（Ib）+f2（Ih）-n2Qθ+1h≤N0+fu1+fu2-n2p4（θ+1）≤-1.
綜合以上分析可得LV（Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）lt;0， （Sb，Ib，Sh，Ih，Qh）∈瘙綆5+＼U. 所以引理2的條件2）滿足. 因此， 模型（13）的解有唯一的平穩分布.
4 數值模擬
為驗證本文的結論， 下面對上述理論結果進行數值模擬. 類似文獻［21］可得系統（2）對應的離散系統如下：
Si+1b=Sib+（Λb-βbSibIib-μbSib）Δt+Sibσ1ξiΔt+σ212（ξ2i-1）Δt，
Ii+1b=Iib+（βbSibIib-μbIib-αbIib）Δt+Iibσ2ηiΔt+σ222（η2i-1）Δt，
Si+1h=Sih+（Λh-βhSihIih-βbhSihIib-μhSih）Δt+Sihσ3κiΔt+σ232（κ2i-1）Δt，
Ii+1h=Iih+（βhSihIih+βbhSihIib-μhIih-αhIih-δhIih-γhIih）Δt+Iihσ4χiΔt+σ242（χ2i-1）Δt，
Qi+1h=Qih+（δhIih-μhQih-dhQih-εhQih）Δt+Qihσ5ρiΔt+σ252（ρ2i-1）Δt，
這里Δt表示時間增量， ξi，ηi，κi，χi，ρi表示相互獨立的隨機變量， 且ξi，ηi，κi，χi，ρi～N（0，1）.
圖1 R0dgt;1， R0rgt;1時確定性系統（1）
中Ib（t），Ih（t），Qh（t）的模擬路徑
Fig.1 Simulatedpaths of Ib（t），Ih（t），Qh（t） indeterministic system （1） when R0dgt;1， R0rgt;1
本文按照文獻［12］選取參數， 然后與確定性系統比較. 取Λb=100， Λh=10， μb=0.8， μh=0.1， γh=0.3， αb=0.7， αh=0.4， δh=0.45， dh=0.3， εh=0.3， β
h=0.03， βb=0.02， βbh=0.03， 初值（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh（0））=（90，20，30，78，70）. 此時確定性系統中的R0d=Λbβbμb（μb+αb）=2.4gt;1， R0r=Λhβhμh（μh+αh+δh+γh）=1.67gt;1， 疾病在動物界傳播， 如圖1所示.
例1 在隨機系統（2）中， 取σ1=0.2， σ2=2， σ3=02， σ4=2， σ5=02， σ6=02， 則R10=Λbβbμb（μb+αb+σ22/2）=0.714 3lt;1， R
20=Λhβhμh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）=0.923 1lt;1. 由定理3中1）可知， 此時埃博拉病毒不會在動物界傳播， 如圖2所示.
例2 在隨機系統（2）中， 取σ1=0.2， σ2=2， σ3=02， σ4=05， σ5=02， σ6=02，
則R10=Λbβbμb（μb+αb+σ22/2）=0.714 3lt;1， R20=Λhβhμh（μh+αh+δh+γh+σ24/2）
=2.181 8gt;1. 由定理3中2）可知， 此時埃博拉病毒不會在動物界傳播， 但會在人類世界傳播， 如圖3所示.
圖2 R10lt;1， R20lt;1時隨機系統（2）中Ib（t），Ih（t），Qh（t）的模擬路徑
Fig.2 Simulatedpaths of Ib（t），Ih（t），Qh（t） instochastic system （2） when R10lt;1， R20lt;1
圖3 R10lt;1， R20gt;1時隨機系統（2）中Ib（t），Ih（t），Qh（t）的模擬路徑
Fig.3 Simulatedpaths of Ib（t），Ih（t），Qh（t） instochastic system （2） when R10lt;1， R20gt;1
例3 在隨機系統（2）中， 取σ1=σ2=σ3=σ4=σ5=
σ6=0.1， 則R10=Λbβbμb（μb+αb+σ22/2）=1.661 1gt;1. 由定理4可知， 此時埃博拉病毒會在動物界和人類世界傳播， 如圖4和圖5所示.
圖4 R10gt;1時隨機系統（2）中Ib（t），Ih（t），Qh（t）的模擬路徑
Fig.4 Simulated paths of Ib（t），Ih（t），Qh（t） in stochastic system （2） when R10gt;1
例4 在隨機系統（2）中， 取σ1=σ2=σ3=σ4=σ5=σ6=01， Λb=35， Λh=2， μb=04， μh=0.014， αb=0.7
， αh=0.1， δh=0.25， dh=0.05， εh=0.2， βh=0.16， βb=0.13， βbh=0.015， 初值（Sb（0），Ib（0），Sh（0），Ih（0），Qh
（0））=（5 000，200，54 300，281，58，21）， 部分參數來源于研究人員對西非埃博拉疫情的研究結果［22-26］.此時， 結論與圖4相似， 如圖6所示.
圖5 R10gt;1時隨機系統（2）中Ib（t），Ih（t），Qh（t）的密度函數
Fig.5 Density function of Ib（t），Ih（t），Qh（t） instochastic system （2） when R10gt;1
圖6 隨機系統（2）中Ib（t），Ih（t），Qh（t）的模擬路徑
Fig.6 Simulated paths of Ib（t），Ih（t），Qh（t） in stochastic system （2）
綜上所述， 本文討論了一個受環境白噪聲擾動的動物-人整體埃博拉病毒傳播模型. 首先， 對于動物子系統， 本文獲得了受感染動物種群滅絕和持續之間的閾值. 其次，
對于完全隨機的動物-人系統， 討論了其持久性， 并證明了隨機系統存在遍歷平穩分布. 最后， 數值模擬結果表明， 擾動強度較小時會形成地方病， 擾動強度足夠大時可導致疾病滅絕.
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（責任編輯： 李 琦）
