近可積Hamilton系統(tǒng)擬有效穩(wěn)定性的推廣

摘要： 考慮對(duì)近可積Hamilton系統(tǒng)擬有效穩(wěn)定性進(jìn)行推廣. 在KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）型非退化條件下， 給出近可積廣義Hamilton系統(tǒng)和Poisson系統(tǒng)的擬有效穩(wěn)定性定理， 與一般的Hamilton系統(tǒng)不同， 所討論的廣義Hamilton系統(tǒng)和Poisson系統(tǒng)的作用變量和角變量一般可以具有不同的維度.

關(guān)鍵詞： 擬有效穩(wěn)定性; 近可積廣義Hamilton系統(tǒng); Poisson系統(tǒng); KAM型非退化條件

中圖分類號(hào)： O175.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1671-5489（2025）02-0340-07

Generalisation ofQuasi-effective Stability forNearly Integrable Hamiltonian Systems

LI Hongtian1， ZUO Ping2， ZHANG Bosen3

（1. Department of Foundation， Criminal Investigation Police University of China， Shenyang 110854， China;

2. School of New Energy and Intelligent Networked Automobile， University of Sanya， Sanya 572022，Hainan Province， China;

3. College of Mathematics， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract： We considered extendingthe quasi-effective stability for nearly integrable Hamiltonian systems. We gavethe quasi-effective stability theorems

for nearly integrable generalized Hamiltonian systems and Poisson systems under the KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）

type non-degenerate condition. Unlike the general Hamiltonian systems， the action variables and angular variables of the generalized Hamiltonian systems

and Poisson systemsunder discussion could generally have different dimensions.

Keywords： quasi-effective stability; nearly integrable generalized Hamiltonian system; Poisson system; KAM typenon-degenerate condition

收稿日期： 2024-07-12. 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期： 2024-11-08.

第一作者簡(jiǎn)介： 李宏田（1986—）， 男， 滿族， 博士， 講師， 從事非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究， E-mail： lihongtian@cipuc.edu.cn. 通信作者簡(jiǎn)介：

左 平（1967—）， 女， 漢族， 博士， 教授， 從事圖像處理、 數(shù)值解及非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究， E-mail： 363509677@qq.com.

基金項(xiàng)目： 遼寧省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 20180550271）和三亞學(xué)院人才引進(jìn)項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)： USYRC23-17）.

網(wǎng)絡(luò)首發(fā)地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.O.20241107.1527.001.

Hamilton系統(tǒng)是繼Newton力學(xué)、 Lagrange力學(xué)后又一重要的力學(xué)分析體系. KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理論^［1-3］是研究Hamilton系統(tǒng)或其他近可積保守系統(tǒng)擬周期運(yùn)動(dòng)存在性的重要理論， Wayne^［4］將經(jīng)典KAM理論推廣到了無窮維空間中. KAM理論目前已成為研究無窮維Hamilton系統(tǒng)的重要工具， 并在研究波動(dòng)方程、 梁方程、 Schrdinger方程等問題^［5-7］上也應(yīng)用廣泛. 在Hamilton系統(tǒng)下， 近可積Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性是備受關(guān)注的問題， 其中最著名的理論是KAM理論和Nekhoroshev理論. 目前， 近可積Hamilton系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究大多數(shù)是針對(duì)其中某一種穩(wěn)定性進(jìn)行穩(wěn)定條件的弱化或?qū)amilton系統(tǒng)進(jìn)行推廣. 本文考慮兩種穩(wěn)定性之間的聯(lián)系， 并對(duì)近可積Hamilton系統(tǒng)進(jìn)行推廣.

KAM穩(wěn)定性說明了在某些KAM型非退化條件下， 近可積Hamilton系統(tǒng)相空間中的大多數(shù)軌道是永恒穩(wěn)定的； Nekhoroshev穩(wěn)定性是指在某些陡性條件以及擬凸條件下， Hamilton系統(tǒng)相空間的所有軌道在指數(shù)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)是穩(wěn)定的. 雖然近可積Hamilton系統(tǒng)的KAM穩(wěn)定性和Nekhoroshev穩(wěn)定性成立所滿足的條件不同， 但軌道的穩(wěn)定性結(jié)論卻相似， 只不過前者是永恒穩(wěn)定， 后者是指數(shù)長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定. Cong等^［8-9］研究了KAM理論和Nekhoroshev理論之間的聯(lián)系， 證明了在滿足某些KAM型非退化條件下， 近可積Hamilton系統(tǒng)和保體積映射的相空間上存在一個(gè)幾乎滿測(cè)度的開子集， 使得起始點(diǎn)位于該開子集上的所有軌道都是Nekhoroshev穩(wěn)定的， 并且將這種穩(wěn)定性定義為擬有效穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)與主要結(jié)果

考慮標(biāo)準(zhǔn)Hamilton系統(tǒng)

=IH（y，x），（1）

H（y，x）=N（y）+P（y，x，），（2）

其中： y∈G瘙綆n是作用變量; x∈Tn是角變量; Tn=瘙綆n/（2π瘙綄n）是通常的n

維環(huán)面; G為有界閉區(qū)域; N和P為定義在G×Tn上的實(shí)解析函數(shù); 為擾動(dòng)參數(shù); I=（Iij）為結(jié)構(gòu)矩陣， 是G上反對(duì)稱的光滑矩陣函數(shù)， 滿足Jacobi恒等式

∑mIimIjkzm+IjmIkizm+IkmIij

zm=0， z∈G×Tn， i，j，k.

結(jié)構(gòu)矩陣I為

I=0-InIn0.（3）

定義1^［8］若對(duì)任意的∈（0，0］， 都存在正參數(shù)α，γ，c，0，d滿足以下條件：

1） D=meas D-O（d）;

2） 對(duì)所有（y0，x0）∈D×Tn， 當(dāng)t≤exp{c^-α}時(shí)， 都滿足

y（t）-y0≤cγ.

則稱Hamilton系統(tǒng)（1）具有擬有效穩(wěn)定性.

定義2^［9］若存在正常數(shù)a，b，c，d，0及定義在G×Tn上的函數(shù)ω**， 使得當(dāng)t

≤exp{cε^-α}時(shí)， 對(duì)任意的∈［0，0］， 都有y（t）-y0≤cb和x（t）-x0-tω**（y0，x0）≤cd， 則起始點(diǎn)稱為

（y0，x0）的軌道（y（t），x（t））具有近不變環(huán)面性質(zhì).

文獻(xiàn)［8］證明了標(biāo)準(zhǔn)Hamilton系統(tǒng)的擬有效穩(wěn)定性， 其證明框架如圖1所示， 根據(jù)文獻(xiàn)［10］， 有廣義Hamilton系統(tǒng)的不變環(huán)面和擬有效穩(wěn)定性定理.

圖1 標(biāo)準(zhǔn)Hamilton系統(tǒng)擬有效穩(wěn)定性證明的框架

Fig.1 Framework of proving quasi-effective stability for standard Hamiltonian systems

考慮廣義Hamilton系統(tǒng)， 即作用變量和角變量不同維度的情況， 設(shè)系統(tǒng)（1）中作用變量y∈G瘙綆l， 角變量x∈Tm

， Tm=瘙綆m/（2π瘙綄m）， 則結(jié)構(gòu)矩陣I可化為如下形式：

I= 0BT

-BC，（4）

其中0=0l，l為零矩陣， B=Bl，m， CT=-C， 滿足l≤m且l+m為偶數(shù). 若不然， 則結(jié)構(gòu)矩陣I為奇異矩陣.

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1 如果廣義Hamilton系統(tǒng)（1）-（4）滿足以下條件：

max‖y‖，‖P‖，‖N‖，‖I‖，‖ω‖，

ωy≤M，（5）

rankωy=r，（6）

rankω，αωyα： α∈瘙綄l+， 0lt;α≤m-r+1

=m，y∈Re（G+ρ），（7）

則廣義Hamilton系統(tǒng)（1）-（4）具有擬有效穩(wěn)定性， 其中·和‖·‖分別表示歐氏范數(shù)和上確界范數(shù)， αωyα=αω1yα，…，αωmyαT.

2 近可積廣義Hamilton系統(tǒng)的近不變環(huán)面性質(zhì)

定理2 若ω（y0）滿足小除數(shù)條件

〈k，ω（y0）〉≥αk^-τ，k∈瘙綄m＼{0}，（8）

且存在正常數(shù)0， 使得當(dāng)0lt;lt;0時(shí)， 存在y0的鄰域O， 滿足任意的（y*，x

*）∈O×Tm， 則起始點(diǎn)為（y*，x*）的軌道（y（t），x（t））具有近不變環(huán)面性質(zhì).

定理3 若系統(tǒng)（1）-（4）滿足式（5）～（7）， 并且對(duì)任意給定的ω（y0）， 均滿足以下小除數(shù)條件：

〈k，ω（y0）〉

≥αk^-τ， k∈瘙綄m， 0lt;k≤L（κ），（9）

其中α，τ為正常數(shù)， L（κ）為截?cái)嗟碾A數(shù)， 則存在一個(gè)僅依賴于M，K，τ，δ，α以及κ的常數(shù)0滿足0=4ακ^τ+335Mc52， 使得對(duì)任意的∈（

0，0）， 均存在O（0，1）×Tm上的坐標(biāo)變換Φ*：

x=x，y=y0+Y，

將Hamilton系統(tǒng)（2）化為

HΦ*Ψ=N*+P**，

N*（y，）=〈ω（y0），y〉+O（），

ω*（y，）=N*y（y，）=ω（y0

）+O（），‖P**‖≤c1exp-c2κ.

對(duì)所有的（y（0），x（0））∈O（y0，）×Tm

， 當(dāng)t≤c1expc24κ時(shí)， 存在不變環(huán)面

（t）=y（0），（t）=x（0）+ω**（y0，y（0），x（0），）t （mod 2π），（10）

使得以（y（0），x（0））為起始點(diǎn)的軌道（y（t），x（t））滿足

y（t）-（t）≤c3，

x（t）-（t）≤c4，

其中ω**（y0，y（0），x（0），

）=ω（y0）+O（）， c1，c2，c3，c4為正常數(shù).

下面證明定理2.

2.1 標(biāo)準(zhǔn)化

對(duì)系統(tǒng)（2）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化， 做變換Φ*： （O（0，1）×Tm）+ρ→（O（y0，）×Tm）+ρ， 令

Y=y-y0，X=x，

則Hamilton系統(tǒng)（2）化為

（Y，X）=N（y0）+〈ω（y0），Y〉+O（Y2）+P*（y0+Y，X，）.

不失一般性， 取H（y0）=0， ε=， ω0=ω（y0），

P0（Y，X，y0，ε）=O（Y2）+P*（y0+εY，X，ε2），

則Hamilton系統(tǒng)（2）可化為

（Y，X）=〈ω0，Y〉+P0（Y，X，y0，ε）.

簡(jiǎn)記〈ω0，Y〉=〈ω0，y〉， P0（Y，X，y0，ε）=εP0（y，x）， 則有

（y，x）=〈ω0，y〉+εP0（y，x），（11）

系統(tǒng)（1）-（4）改為如下形式：

=（y，x），（12）

其中= 0BT

-BC（εY+y0）.

2.2 KAM迭代

設(shè)實(shí)解析函數(shù)P為

P（y，x）=∑k∈瘙綄mPke^i〈k，x〉，

記（y）=P0（y），L（y，x）=∑k∈瘙綄m， 0lt;k≤LPk（y

）e^i〈k，x〉，

RLP（y，x）=∑k∈瘙綄m， kgt;LPk（y）e^i〈k，x〉.

由文獻(xiàn)［10］取具有如下形式的Hamilton流tj+1：

ddttj+1=ε 0BT

-BCSj（tj+1），（13）

做辛變換1j+1=Φj+1Dj+1→Dj， 由Cauchy積分公式有

Hj+1（y，x）=HjΦj+1（y，x）=

Nj（y，ε）+εj（y，ε）+ε2∫10（1-t）{{Nj，Sj}，Sj}tj+1dt+εRLP

j（y，x）+ε{j，Sj}+ε2∫10{Pj，Sj}tj+1dt+ε（{N0，Sj}+j）.（14）

令

Pj+1∶=P1j+1+P2j+1+P3j+1+P4j+1，（15）

其中P1j+1=ε∫10（1-t）{{Nj，Sj}，Sj}tj+1dt，（16）

P2j+1=RLPj，（17）P3j+1={j，Sj}，（18）P4j+1=ε∫10{Pj，Sj}tj+1dt，（19）

Sj滿足同調(diào)方程{N0，Sj}+j=0.（20）

取σ0=116κ， ν=716κ， 則由文獻(xiàn)［8］， 在Dj-κ/2上有

‖P2j+1‖Dj-κ/2=‖RLPj‖Dj-κ/2≤2nen

‖Pj‖σⁿ⁺¹0e^-Lν≤18‖Pj‖Dj，（21）

進(jìn)一步， 可得

‖P2j+1‖Dj+1≤‖P2j+1‖Dj-2κ≤18‖Pj‖Dj，（22）

‖RLPj‖Dj-4κ≤14κ‖Pj‖Dj.（23）

考慮（Yt，Xt）=tj+1（y，x）， 由Cauchy積分公式， 對(duì)任意的（Yt，Xt）∈Dj-2κ， 有

（y，x）-（Yt，Xt）≤ε‖Sj（Yt，Xt）‖Dj-2κlt;κ.（24）

若ε滿足不等式

35Mc5ε32ακ^τ+3≤18，（25）

則由文獻(xiàn)［8］知， ‖P3j+1‖Dj+1，‖P4j+1‖Dj+1和‖P1j+1‖Dj+1有如下估計(jì)：

‖P3j+1‖Dj+1≤‖{j，Sj}‖Dj- 4κ≤18‖Pj‖Dj，（26）

‖P4j+1‖Dj+1≤ε‖{Pj，Sj}tj+1‖Dj+1≤18‖Pj‖Dj，（27）

‖P1j+1‖Dj+1≤ε‖（Pj+（1-t）{Nj，Sj}）‖Dj+1‖I‖D0‖Sj‖Dj+1≤18‖Pj‖Dj.（28）

綜上， 新擾動(dòng)項(xiàng)‖Pj+1‖Dj+1在Dj+1上滿足如下估計(jì)：

‖Pj+1‖Dj+1≤‖P1j+1‖Dj+1+‖P2j+1‖Dj+1+‖P3j+1

‖Dj+1+‖P4j+1‖Dj+1≤12^j+1M.（29）

取D0=（O（0，1）×Tm）+ρ， 令Ψ=Φ1…ΦJ， 取DJ=（O（0，1）×Tm）+12ρ→D0， 在DJ上有

HJ（r，θ）=Ψ（r，θ）

=NJ（r，ε）+εPJ（r，θ），（30）

=εBTPJθ，（31）

=ω0-B

Jr+εPJr+εCPJθ.（32）

由文獻(xiàn)［8］知， 對(duì)任意的t≤expc24κ， 有

θ（t）-ω*（r（0），ε） t-θ

（0）≤c7εexp-c24κ，（33）

這里ω*（r，ε）=ω0+Jr（r，ε）. 若κ充分小， 則有

Y（t）-Y（0）≤Y（t）-r（t）+Y（0）-r（0）+r（t）-r（0）≤c7ε，（34）

X（t）-ω*（r（0），ε）t-X（0）

≤X（t）-θ（t）+θ（t）-

ω*（r（0），ε）t-θ（0） +X（0）-θ（0）≤c8ε.（35）

令Φ*（Y，X）=（y，x）， 則有

（r（0），θ（0））=Ψ^-1（Y（0），X（0））=Ψ^-1y（0）-y0，x（0）.（36）

記

ω**（y0，y（0），x（

0），）=ω*BΨ^-1y（0）-

y0，x（0），，（37）

其中B表示將相空間映射到作用變量上的算子. 將式（36），（37）代入式（10），（34），（35）即完成了定理3的證明.

假設(shè)定理3的條件成立， 若（y（t），x（t））以（y（0），x（0））為初值條

件是廣義Hamilton系統(tǒng)（1）-（4）的解， 滿足y（0）-y*lt;12ε和

x（0）∈Tm， 則當(dāng)t≤expc24κ時(shí)， 有

y（t）-y（0）≤c3ε，（38）x（t）-ω**-x（0）≤c4ε.（39）

由定義2， 軌道（y（t），x（t））具有近不變環(huán)面性質(zhì)， 此時(shí)O=

ω**-ω（y0）， 至此完成了定理2的證明.

3 廣義Hamilton系統(tǒng)的擬有效穩(wěn)定性

取0（α）=4α35Mc5^2（τ+4）， 記

Gτα，k={y∈G： 〈k，ω（y）〉≤αk^-τ}，（40）

Gτα=∪0≠k∈瘙綄mGτα，k.（41）

由式（5）有

meas（Gτα，k）=O（α^1/nk^{-（τ+1）/n}），（42）

根據(jù)文獻(xiàn)［8］， 有

G*∪gt;0G=τα=G＼Gτα.（43）

對(duì)任意的y0∈G*， 取

α（y0）=max{α： 0lt;α≤1， 〈k，ω（y0）〉

≥αk^-τ， 0≠k∈瘙綄m}，

（y0）=min{α（y0）^2（τ+4），0}.

記O（y0）=O（y0，）， 則由定理2知

， 當(dāng)t≤c1expc24^{-1/［2（τ+4）］}時(shí)，

對(duì)所有的（y（0），x（0））∈O（y0）×Tm， 均有

y（t）-y（0）≤c3^{1/2+1/［2（τ+4）］}.（44）

取E=∪y0∈{y∈G*： （y）≥}O（y0），（45）

顯然E為G上的開子集， 且滿足測(cè)度估計(jì)：

meas E=meas G-O（^{1/［2n（τ+4）］}），lim→0+ E=G*.

至此完成了定理1的證明.

4 Poisson系統(tǒng)的擬有效穩(wěn)定性

上述討論可應(yīng)用于Poisson系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題中， 根據(jù)文獻(xiàn)［9］， 令0（ν）=5MK^2ν+22， 則有

meas（Gτα，k）=O（γ^1/nk^{-（ν+1）/n}），（46）

其中νgt;n（n-1）. 由文獻(xiàn)［9］中定理4.1知， 當(dāng)tlt;exp{c3ε^{-1/（ν+2）}）時(shí)， 有

y（t）-y（0）lt;c1ε^{1+1/（ν+2）}.（47）

此時(shí)滿足測(cè)度估計(jì)：

meas E=meas G-O12n（ν+2），lim→0+ E=G*.

5 擬有效穩(wěn)定性應(yīng)用展望

擬有效穩(wěn)定性是用KAM型非退化條件代替Nekhoroshev陡性條件和擬凸條件， 得到一個(gè)弱于Nekhoroshev有效穩(wěn)定性的結(jié)論， 從而避免了證明過程的復(fù)雜性， 同時(shí)

適用性較好. 如瞬態(tài)近可積Hamilton系統(tǒng)^［11］、 小扭轉(zhuǎn)映射^［12-13］都具有擬有效穩(wěn)定性， 劉柏楓等^［14］證明了Hamilton系統(tǒng)低維不變環(huán)面的保持性， 可將該

思想應(yīng)用到無窮維Hamilton系統(tǒng)， 得到其低維近不變環(huán)面性質(zhì)定理， 進(jìn)而可得到梁方程、 波動(dòng)方程、 Schrdinger方程解的擬有效穩(wěn)定性.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）