近可積Hamilton系統擬有效穩定性的推廣

摘要： 考慮對近可積Hamilton系統擬有效穩定性進行推廣. 在KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）型非退化條件下， 給出近可積廣義Hamilton系統和Poisson系統的擬有效穩定性定理， 與一般的Hamilton系統不同， 所討論的廣義Hamilton系統和Poisson系統的作用變量和角變量一般可以具有不同的維度.

關鍵詞： 擬有效穩定性; 近可積廣義Hamilton系統; Poisson系統; KAM型非退化條件

中圖分類號： O175.1文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0340-07

Generalisation ofQuasi-effective Stability forNearly Integrable Hamiltonian Systems

LI Hongtian1， ZUO Ping2， ZHANG Bosen3

（1. Department of Foundation， Criminal Investigation Police University of China， Shenyang 110854， China;

2. School of New Energy and Intelligent Networked Automobile， University of Sanya， Sanya 572022，Hainan Province， China;

3. College of Mathematics， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract： We considered extendingthe quasi-effective stability for nearly integrable Hamiltonian systems. We gavethe quasi-effective stability theorems

for nearly integrable generalized Hamiltonian systems and Poisson systems under the KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）

type non-degenerate condition. Unlike the general Hamiltonian systems， the action variables and angular variables of the generalized Hamiltonian systems

and Poisson systemsunder discussion could generally have different dimensions.

Keywords： quasi-effective stability; nearly integrable generalized Hamiltonian system; Poisson system; KAM typenon-degenerate condition

收稿日期： 2024-07-12. 網絡首發日期： 2024-11-08.

第一作者簡介： 李宏田（1986—）， 男， 滿族， 博士， 講師， 從事非線性系統穩定性的研究， E-mail： lihongtian@cipuc.edu.cn. 通信作者簡介：

左 平（1967—）， 女， 漢族， 博士， 教授， 從事圖像處理、 數值解及非線性系統穩定性的研究， E-mail： 363509677@qq.com.

基金項目： 遼寧省自然科學基金（批準號： 20180550271）和三亞學院人才引進項目（批準號： USYRC23-17）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.O.20241107.1527.001.

Hamilton系統是繼Newton力學、 Lagrange力學后又一重要的力學分析體系. KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理論^［1-3］是研究Hamilton系統或其他近可積保守系統擬周期運動存在性的重要理論， Wayne^［4］將經典KAM理論推廣到了無窮維空間中. KAM理論目前已成為研究無窮維Hamilton系統的重要工具， 并在研究波動方程、 梁方程、 Schrdinger方程等問題^［5-7］上也應用廣泛. 在Hamilton系統下， 近可積Hamilton系統的穩定性是備受關注的問題， 其中最著名的理論是KAM理論和Nekhoroshev理論. 目前， 近可積Hamilton系統穩定性的研究大多數是針對其中某一種穩定性進行穩定條件的弱化或對Hamilton系統進行推廣. 本文考慮兩種穩定性之間的聯系， 并對近可積Hamilton系統進行推廣.

KAM穩定性說明了在某些KAM型非退化條件下， 近可積Hamilton系統相空間中的大多數軌道是永恒穩定的； Nekhoroshev穩定性是指在某些陡性條件以及擬凸條件下， Hamilton系統相空間的所有軌道在指數長時間內是穩定的. 雖然近可積Hamilton系統的KAM穩定性和Nekhoroshev穩定性成立所滿足的條件不同， 但軌道的穩定性結論卻相似， 只不過前者是永恒穩定， 后者是指數長時間穩定. Cong等^［8-9］研究了KAM理論和Nekhoroshev理論之間的聯系， 證明了在滿足某些KAM型非退化條件下， 近可積Hamilton系統和保體積映射的相空間上存在一個幾乎滿測度的開子集， 使得起始點位于該開子集上的所有軌道都是Nekhoroshev穩定的， 并且將這種穩定性定義為擬有效穩定性.

1 預備知識與主要結果

考慮標準Hamilton系統

=IH（y，x），（1）

H（y，x）=N（y）+P（y，x，），（2）

其中： y∈G瘙綆n是作用變量; x∈Tn是角變量; Tn=瘙綆n/（2π瘙綄n）是通常的n

維環面; G為有界閉區域; N和P為定義在G×Tn上的實解析函數; 為擾動參數; I=（Iij）為結構矩陣， 是G上反對稱的光滑矩陣函數， 滿足Jacobi恒等式

∑mIimIjkzm+IjmIkizm+IkmIij

zm=0， z∈G×Tn， i，j，k.

結構矩陣I為

I=0-InIn0.（3）

定義1^［8］若對任意的∈（0，0］， 都存在正參數α，γ，c，0，d滿足以下條件：

1） D=meas D-O（d）;

2） 對所有（y0，x0）∈D×Tn， 當t≤exp{c^-α}時， 都滿足

y（t）-y0≤cγ.

則稱Hamilton系統（1）具有擬有效穩定性.

定義2^［9］若存在正常數a，b，c，d，0及定義在G×Tn上的函數ω**， 使得當t

≤exp{cε^-α}時， 對任意的∈［0，0］， 都有y（t）-y0≤cb和x（t）-x0-tω**（y0，x0）≤cd， 則起始點稱為

（y0，x0）的軌道（y（t），x（t））具有近不變環面性質.

文獻［8］證明了標準Hamilton系統的擬有效穩定性， 其證明框架如圖1所示， 根據文獻［10］， 有廣義Hamilton系統的不變環面和擬有效穩定性定理.

圖1 標準Hamilton系統擬有效穩定性證明的框架

Fig.1 Framework of proving quasi-effective stability for standard Hamiltonian systems

考慮廣義Hamilton系統， 即作用變量和角變量不同維度的情況， 設系統（1）中作用變量y∈G瘙綆l， 角變量x∈Tm

， Tm=瘙綆m/（2π瘙綄m）， 則結構矩陣I可化為如下形式：

I= 0BT

-BC，（4）

其中0=0l，l為零矩陣， B=Bl，m， CT=-C， 滿足l≤m且l+m為偶數. 若不然， 則結構矩陣I為奇異矩陣.

下面給出本文的主要結果.

定理1 如果廣義Hamilton系統（1）-（4）滿足以下條件：

max‖y‖，‖P‖，‖N‖，‖I‖，‖ω‖，

ωy≤M，（5）

rankωy=r，（6）

rankω，αωyα： α∈瘙綄l+， 0lt;α≤m-r+1

=m，y∈Re（G+ρ），（7）

則廣義Hamilton系統（1）-（4）具有擬有效穩定性， 其中·和‖·‖分別表示歐氏范數和上確界范數， αωyα=αω1yα，…，αωmyαT.

2 近可積廣義Hamilton系統的近不變環面性質

定理2 若ω（y0）滿足小除數條件

〈k，ω（y0）〉≥αk^-τ，k∈瘙綄m＼{0}，（8）

且存在正常數0， 使得當0lt;lt;0時， 存在y0的鄰域O， 滿足任意的（y*，x

*）∈O×Tm， 則起始點為（y*，x*）的軌道（y（t），x（t））具有近不變環面性質.

定理3 若系統（1）-（4）滿足式（5）～（7）， 并且對任意給定的ω（y0）， 均滿足以下小除數條件：

〈k，ω（y0）〉

≥αk^-τ， k∈瘙綄m， 0lt;k≤L（κ），（9）

其中α，τ為正常數， L（κ）為截斷的階數， 則存在一個僅依賴于M，K，τ，δ，α以及κ的常數0滿足0=4ακ^τ+335Mc52， 使得對任意的∈（

0，0）， 均存在O（0，1）×Tm上的坐標變換Φ*：

x=x，y=y0+Y，

將Hamilton系統（2）化為

HΦ*Ψ=N*+P**，

N*（y，）=〈ω（y0），y〉+O（），

ω*（y，）=N*y（y，）=ω（y0

）+O（），‖P**‖≤c1exp-c2κ.

對所有的（y（0），x（0））∈O（y0，）×Tm

， 當t≤c1expc24κ時， 存在不變環面

（t）=y（0），（t）=x（0）+ω**（y0，y（0），x（0），）t （mod 2π），（10）

使得以（y（0），x（0））為起始點的軌道（y（t），x（t））滿足

y（t）-（t）≤c3，

x（t）-（t）≤c4，

其中ω**（y0，y（0），x（0），

）=ω（y0）+O（）， c1，c2，c3，c4為正常數.

下面證明定理2.

2.1 標準化

對系統（2）進行標準化， 做變換Φ*： （O（0，1）×Tm）+ρ→（O（y0，）×Tm）+ρ， 令

Y=y-y0，X=x，

則Hamilton系統（2）化為

（Y，X）=N（y0）+〈ω（y0），Y〉+O（Y2）+P*（y0+Y，X，）.

不失一般性， 取H（y0）=0， ε=， ω0=ω（y0），

P0（Y，X，y0，ε）=O（Y2）+P*（y0+εY，X，ε2），

則Hamilton系統（2）可化為

（Y，X）=〈ω0，Y〉+P0（Y，X，y0，ε）.

簡記〈ω0，Y〉=〈ω0，y〉， P0（Y，X，y0，ε）=εP0（y，x）， 則有

（y，x）=〈ω0，y〉+εP0（y，x），（11）

系統（1）-（4）改為如下形式：

=（y，x），（12）

其中= 0BT

-BC（εY+y0）.

2.2 KAM迭代

設實解析函數P為

P（y，x）=∑k∈瘙綄mPke^i〈k，x〉，

記（y）=P0（y），L（y，x）=∑k∈瘙綄m， 0lt;k≤LPk（y

）e^{i〈k，x〉}，

RLP（y，x）=∑k∈瘙綄m， kgt;LPk（y）e^{i〈k，x〉}.

由文獻［10］取具有如下形式的Hamilton流tj+1：

ddttj+1=ε 0BT

-BCSj（tj+1），（13）

做辛變換1j+1=Φj+1Dj+1→Dj， 由Cauchy積分公式有

Hj+1（y，x）=HjΦj+1（y，x）=

Nj（y，ε）+εj（y，ε）+ε2∫10（1-t）{{Nj，Sj}，Sj}tj+1dt+εRLP

j（y，x）+ε{j，Sj}+ε2∫10{Pj，Sj}tj+1dt+ε（{N0，Sj}+j）.（14）

令

Pj+1∶=P1j+1+P2j+1+P3j+1+P4j+1，（15）

其中P1j+1=ε∫10（1-t）{{Nj，Sj}，Sj}tj+1dt，（16）

P2j+1=RLPj，（17）P3j+1={j，Sj}，（18）P4j+1=ε∫10{Pj，Sj}tj+1dt，（19）

Sj滿足同調方程{N0，Sj}+j=0.（20）

取σ0=116κ， ν=716κ， 則由文獻［8］， 在Dj-κ/2上有

‖P2j+1‖Dj-κ/2=‖RLPj‖Dj-κ/2≤2nen

‖Pj‖σⁿ⁺¹0e^-Lν≤18‖Pj‖Dj，（21）

進一步， 可得

‖P2j+1‖Dj+1≤‖P2j+1‖Dj-2κ≤18‖Pj‖Dj，（22）

‖RLPj‖Dj-4κ≤14κ‖Pj‖Dj.（23）

考慮（Yt，Xt）=tj+1（y，x）， 由Cauchy積分公式， 對任意的（Yt，Xt）∈Dj-2κ， 有

（y，x）-（Yt，Xt）≤ε‖Sj（Yt，Xt）‖Dj-2κlt;κ.（24）

若ε滿足不等式

35Mc5ε32ακ^τ+3≤18，（25）

則由文獻［8］知， ‖P3j+1‖Dj+1，‖P4j+1‖Dj+1和‖P1j+1‖Dj+1有如下估計：

‖P3j+1‖Dj+1≤‖{j，Sj}‖Dj- 4κ≤18‖Pj‖Dj，（26）

‖P4j+1‖Dj+1≤ε‖{Pj，Sj}tj+1‖Dj+1≤18‖Pj‖Dj，（27）

‖P1j+1‖Dj+1≤ε‖（Pj+（1-t）{Nj，Sj}）‖Dj+1‖I‖D0‖Sj‖Dj+1≤18‖Pj‖Dj.（28）

綜上， 新擾動項‖Pj+1‖Dj+1在Dj+1上滿足如下估計：

‖Pj+1‖Dj+1≤‖P1j+1‖Dj+1+‖P2j+1‖Dj+1+‖P3j+1

‖Dj+1+‖P4j+1‖Dj+1≤12^j+1M.（29）

取D0=（O（0，1）×Tm）+ρ， 令Ψ=Φ1…ΦJ， 取DJ=（O（0，1）×Tm）+12ρ→D0， 在DJ上有

HJ（r，θ）=Ψ（r，θ）

=NJ（r，ε）+εPJ（r，θ），（30）

=εBTPJθ，（31）

=ω0-B

Jr+εPJr+εCPJθ.（32）

由文獻［8］知， 對任意的t≤expc24κ， 有

θ（t）-ω*（r（0），ε） t-θ

（0）≤c7εexp-c24κ，（33）

這里ω*（r，ε）=ω0+Jr（r，ε）. 若κ充分小， 則有

Y（t）-Y（0）≤Y（t）-r（t）+Y（0）-r（0）+r（t）-r（0）≤c7ε，（34）

X（t）-ω*（r（0），ε）t-X（0）

≤X（t）-θ（t）+θ（t）-

ω*（r（0），ε）t-θ（0） +X（0）-θ（0）≤c8ε.（35）

令Φ*（Y，X）=（y，x）， 則有

（r（0），θ（0））=Ψ^-1（Y（0），X（0））=Ψ^-1y（0）-y0，x（0）.（36）

記

ω**（y0，y（0），x（

0），）=ω*BΨ^-1y（0）-

y0，x（0），，（37）

其中B表示將相空間映射到作用變量上的算子. 將式（36），（37）代入式（10），（34），（35）即完成了定理3的證明.

假設定理3的條件成立， 若（y（t），x（t））以（y（0），x（0））為初值條

件是廣義Hamilton系統（1）-（4）的解， 滿足y（0）-y*lt;12ε和

x（0）∈Tm， 則當t≤expc24κ時， 有

y（t）-y（0）≤c3ε，（38）x（t）-ω**-x（0）≤c4ε.（39）

由定義2， 軌道（y（t），x（t））具有近不變環面性質， 此時O=

ω**-ω（y0）， 至此完成了定理2的證明.

3 廣義Hamilton系統的擬有效穩定性

取0（α）=4α35Mc5^2（τ+4）， 記

Gτα，k={y∈G： 〈k，ω（y）〉≤αk^-τ}，（40）

Gτα=∪0≠k∈瘙綄mGτα，k.（41）

由式（5）有

meas（Gτα，k）=O（α^1/nk^{-（τ+1）/n}），（42）

根據文獻［8］， 有

G*∪gt;0G=τα=G＼Gτα.（43）

對任意的y0∈G*， 取

α（y0）=max{α： 0lt;α≤1， 〈k，ω（y0）〉

≥αk^-τ， 0≠k∈瘙綄m}，

（y0）=min{α（y0）^2（τ+4），0}.

記O（y0）=O（y0，）， 則由定理2知

， 當t≤c1expc24^{-1/［2（τ+4）］}時，

對所有的（y（0），x（0））∈O（y0）×Tm， 均有

y（t）-y（0）≤c3^{1/2+1/［2（τ+4）］}.（44）

取E=∪y0∈{y∈G*： （y）≥}O（y0），（45）

顯然E為G上的開子集， 且滿足測度估計：

meas E=meas G-O（^{1/［2n（τ+4）］}），lim→0+ E=G*.

至此完成了定理1的證明.

4 Poisson系統的擬有效穩定性

上述討論可應用于Poisson系統穩定性的問題中， 根據文獻［9］， 令0（ν）=5MK^2ν+22， 則有

meas（Gτα，k）=O（γ^1/nk^{-（ν+1）/n}），（46）

其中νgt;n（n-1）. 由文獻［9］中定理4.1知， 當tlt;exp{c3ε^{-1/（ν+2）}）時， 有

y（t）-y（0）lt;c1ε^{1+1/（ν+2）}.（47）

此時滿足測度估計：

meas E=meas G-O12n（ν+2），lim→0+ E=G*.

5 擬有效穩定性應用展望

擬有效穩定性是用KAM型非退化條件代替Nekhoroshev陡性條件和擬凸條件， 得到一個弱于Nekhoroshev有效穩定性的結論， 從而避免了證明過程的復雜性， 同時

適用性較好. 如瞬態近可積Hamilton系統^［11］、 小扭轉映射^［12-13］都具有擬有效穩定性， 劉柏楓等^［14］證明了Hamilton系統低維不變環面的保持性， 可將該

思想應用到無窮維Hamilton系統， 得到其低維近不變環面性質定理， 進而可得到梁方程、 波動方程、 Schrdinger方程解的擬有效穩定性.

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（責任編輯： 趙立芹）