高階復線性差分方程的標準解
2025-03-21 00:00:00常春龍馬飛王師張婧婕
吉林大學學報(理學版) 2025年2期
摘要： 利用Nevanlinna理論的相關方法研究高階復線性差分方程的標準解， 獲得了當高階復線性差分方程的系數和解滿足某些條件時， 該方程的有窮級亞純解是標準解.
關鍵詞： 偏差值; 虧值; 增長級; 標準解; 線性差分方程
中圖分類號： O174.52文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0347-06
Standard Solutions of Higher OrderComplex Linear Difference Equations
CHANG Chunlong， MA Fei， WANG Shiwen， ZHANG Jingjie
（School of Mathematical Sciences， Guizhou Normal University， Guiyang 550025， China）
Abstract： By using the relevant methods of Nevanlinna theory， we studied the standard solution of higher order complex linear difference equations and obtained
the finite order meromorphic solution of the equation was standard solutions when the coefficients and solutions of the higher order complex linear difference equations satisfied certain conditions.
Keywords： deviated value; deficient value; order of growth; standard solution; linear difference equation
收稿日期： 2024-05-10. 網絡首發日期： 2024-11-15.
第一作者簡介： 常春龍（2001—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事函數論的研究， E-mail： 728490576@qq.com.
基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12261023; 11861023）.
網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.O.20241113.1725.001.
1 引言與預備知識
本文中的亞純函數均指在復平面上的亞純函數， 采用的記號為Nevanlinna理論的標準記號， 其基本概念和定義（如亞純函數f（z）的均值函數m（r，f）、 計數函數N（r，f）和特征函數T（r，f）等）可參見文獻［1-3］.如果亞純函數a（z）滿足T（r，a（z））=S（r，f）， 則稱亞純函數a（z）是f（z）的一個小函數， S（r，f）是任意滿足S（r，f）=ο（T（r，f））的量， 其中r→∞且rE， E是一個對數測度有窮的集合. 用C=C（·）表示一個絕對常數， 且常數值只與括號中的參數有關. ab表示存在一個常數C=C（·）gt;0， 使得a≤Cb； ab表示存在一個常數C=C（·）gt;0， 使得a≥Cb. 特別地， ab表示ab且ab.
定義1［3］設f（z）為亞純函數、 定義其增長級ρ（f）、 對數級ρlog（f）和超級ρ2（f）分別為
ρ（f）∶=limr→∞ log+T（r，f）log r， ρlog（f）∶=lim
r→∞ log+T（r，f）loglog r， ρ2（f）∶=limr→∞ log log+T（r，f）log r，
其中T（r，f）是f（z）的特征函數， 對于x≥0， log+x=max{0，log x}.
定義2［4］設f（z）是非零亞純函數， 對任意的a∈瘙綇， 定義虧量δN（a，f）和Petrenko偏差量δP（a，f）分別為
δN（a，f）∶=limr→∞ m（r，a，f）T（r，f）=1-limr→∞N（r，a，f）T（r，f），δP（a，f）∶=limr→∞ L（r，a，f）T（r，f），
其中L（r，a，f）∶=maxz=rlog+1f（z）-a，a∈瘙綇，
maxz=rlog+f（z），a=∞
是f（z）在a值點的對數最大模.
根據上述定義， 有0≤δN（a，f）≤1， 0≤δN（a，f）≤δP（a，f）≤∞.
若δN（a，f）gt;0， 則稱復數a是f（z）的虧值. 類似地， 若δP（a，f）gt;0， 則稱復數a是f（z）的Petrenko偏差值.
對任意的a∈瘙綇＼{0}， 若復線性差分方程的解f滿足δN（a，f）=0（δP（a，f）=0）， 即0是f唯一可能的有窮虧值（有窮Petrenko偏差值
）， 則稱f是該方程的一個N-標準解（P-標準解）. 特別地， 一個方程的P-標準解一定是該方程的N-標準解.
利用Nevanlinna理論研究復方程， 最初是針對復微分方程， 因此關于復微分方程的研究已取得了豐富的成果［3，5-6］.但關于復差分方程的研究發展緩慢， 直到差分方程的Nevanlinna理論相繼建立， 才極大
促進了差分方程理論的發展， 如平移差分方程、 q-差分方程等都取得了很多研究成果［7-9］.本文考慮差分方程標準解的問題.
對于高階復線性差分方程標準解的研究， 最初起源于對高階復微分方程標準解的研究. Wittich［10］考慮高階復微分方程
f（n）（z）+An-1f（n-1）（z）+…+A1f′（z）+A0f（z）=0（1）
的N-標準解， 獲得了以下結果， 其中系數A0，…，An-1是亞純函數且A0不恒為0.
定理1［10］設方程（1）的系數A0，…，An-1是亞純函數， 若f是方程（1）的可允許亞純解， 且滿足
T（r，Aj）=ο（T（r，f））， rE， j=0，1，…，n-1，
則0是f唯一可能的有窮虧值， 其中E［0，∞）是有窮線性測度的集合.
針對方程（1）， 定理1表明當系數是方程解的小函數時， 該解是方程（1）的N-標準解. Heittokangas等［11］針對能否找到其他的系數條件， 使得方程（1）也存在N-標準解的問題進行了研究， 并獲得如下結果.
定理2［11］設方程（1）的系數A0，…，An-1是整函數， 其中至少有一個超越函數. 假設p∈{0，1，…，n-1}是使得下式成立的最小下標：
limr→∞∑n-1j=p+1log+M（r，Aj）log+M（r，Ap）lt;1，（2）
則Ap是超越的， 且方程（1）的每組基礎解系中有m≥（n-p）個解f滿足
log T（r，f）log M（r，Ap），rE，（3）
其中E［0，∞）是有窮線性測度集合， 對于每個解f， 0是唯一可能的有窮虧值.
針對如何刻畫復差分方程標準解的問題， Heittokangas等［11］研究了如下高階復差分方程的N-標準解：
Δnf（z）+An-1Δn-1f（z）+…+A1Δf（z）+A0f（z）=0，（4）
其中A0（不恒為0），…，An-1是整函數， Δf（z）=f（z+1）-f（z）， Δnf（z）=Δ（Δn-1f（z））. 此外， 由文獻［12］知， 方程（4）可與下列方程形式相互轉換：
Bnf（z+n）+Bn-1f（z+n-1）+…+B1f（z+1）+B0f（z）=0，（5）
其中Bk=∑nj=k（-1）j-kj！k！（j-k）！Aj（z）， k=0，1，…，n， 并得到如下結果.
定理3［11］設{f1，…，fn}是方程（4）的一組基礎解系， 系數A0，…，An-1是整函數， 其中至少存在一個非常數的整函數.
假設p∈{0，1，…，n-1}是使得下式成立的最小下標：
limr→∞∑n-1j=p+1log+ T（r，Aj）log+ T（r，Ap）lt;1.（6）
設每個解的超級小于1， ρ2為所有解的超級的最大值， 則Ap為非常數整函數， 且在{f1，…，fn}中至少有（n-p）個解f， 滿足對任意的εgt;0， 存在一個有窮對數測度I［1，∞）， 使得
T（r，f）≥r1-ρ2+εT（r，Ap），r（I∪［0，1］），
對于這些解f， 0是其唯一可能的有窮虧值.
受N-標準解研究結果的啟發， 本文研究復差分方程的P-標準解.
引理1［13］設f（z）是一個亞純函數， η是非零復常數， γgt;1， εgt;0是給定的實數， 則存在一個有窮對數測度子集E（1，∞）， 使得如下結論成立：
1） 若常數Agt;0僅依賴于γ和α， 則對所有的zE∪［0，1］， 有
logf（z+η）f（z）≤AT（γr，f）r+n（γr）rlogγrlog+n（γr）;
2） 若f（z）是有窮級ρ， 則對所有的zE∪［0，1］， 有
exp{-rρ-1+ε}≤f（z+η）f（z）≤exp{rρ-1+ε}.
引理2［14］設g是一個超越整函數， 且g（0）=1， 令δgt;0， mgt;1. 則存在一個對數密度 dens（F）lt;δ的集合F［0，∞）， 使得
logg（z）-1+log1δL（r，∞，g）·logmL（r，∞，g），z=rF.
引理3 設f（z）是一個超越整函數， 則 limr→∞logf（z）log r=∞.
證明： 因為f（z）是一個超越整函數， 設
f（z）=∑∞n=0anzn，（7）
式（7）中有無窮多個an不等于0. 則當r充分大時， 有
an-1rn-1≤anrn-an-1rn-1-…-a1r-a0≤f， rgt;0， n=0，1，…
故對每個整數k， 都有 limr→∞f（z）rk-1=∞， 于是 limr→∞logf（z）
log r≥k-1， 再由k的任意性即得limr→∞logf（z）log r=∞.
2 主要結果
方程（1）的特征函數T（r）為
T（r）∶=12π∫2π0log1+∑nk=1fk（reiθ）2dθ，（8）
其中{f1，…，fn}是方程（1）的一組基礎解系.
Boiko等［4］針對高階復線性微分方程（1）的P-標準解問題進行研究， 獲得了如下結果.
定理4［4］設方程（1）的系數A0，…，An-1是整函數， T（r）是方程（1）的一個特征函數. 若f是方程（1）的一個解， 且存在mgt;1， 使得
limr→∞logmT（r）T（r，f）lt;∞，
則f是方程（1）的P-標準解.
定理5［4］設方程（1）的系數A0，…，An-1是整函數， 則方程（1）的每組基礎解系中至少有一個P-標準解.
Heittokangas等［14］考慮高階復線性微分方程（1）的P-標準解， 獲得了如下結果.
定理6［14］在定理2的條件下， 方程（1）的每組基礎解系都有（m≥n-p）個P-標準解， 且使得式（3）成立.
定理7［14］設方程（1）的系數A0，…，An-1是亞純函數， 且方程（1）的一個亞純解f滿足
L（r，∞，Aj）=ο（T（r，f））， rE， j=0，1，…，n-1，（9）
L（r，∞，A0）=ο（T（r，f）），rE，（10）
則0是f唯一可能的Petrenko偏差值， 即f是方程（1）的P-標準解， 其中E［0，∞）且 dens（E）lt;1.
受上述研究結果的啟發， 本文考慮以下高階復差分方程的P-標準解：
f（z+ηn）+An-1f（z+ηn-1）+…+A1f（z+η1）+A0f（z）=0，（11）
其中η0，…，ηn是互不相同的復常數， 系數A0，…，An-1是亞純函數且1+A0+…+An-1不恒為0.
定理8 設方程（11）的系數A0，…，An-1是亞純函數， 且f是方程（11）的非平凡有窮級亞純解， 滿足
L（r，∞，Aj）=ο（T（r，f））， rE， j=0，1，…，n-1，（12）L（r，0，1+A0+…+An-1）=ο（T（r，f）），rE，（13）
則f是方程（11）的P-標準解， 其中E［0，∞）且 dens（E）lt;1.
證明： 對任意的a∈瘙綇＼{0}， 設ρ（f）=ρ， 則由方程（11）可得
1f-a=-1a（1+A0+…+An-1）f（z+ηn）-ff-a+…+A1f（z+η1）-ff
-a+（1+A0+…+An-1）=-1a（1+A0+…+An-1）f（z+ηn）-af-a+…+A1f（z+η1）-af-a+A0，
由引理1中2）可得
log+1f-a≤log+11+A0+…+An-1+∑n-1
i=0log+Ai+∑nj=1log+f（z+ηj）-af-a+O（1）
≤L（r，0，1+A0+…+An-1）+∑n-1i=0L（r，∞，Ai）+O（rρ-1+ε）.
由式（12）和式（13）， 可得
log+1f（z）-a=ο（T（r，f）），z=rE1，（14）
其中E1［0，∞）是式（12）和式（13）中的集合E和引理1中集合E的并集. 因為對任意有窮對數測度或者有窮線性測度的集合F， 都有dens（F）=0， 因此 dens（E1）lt;1. 由于式（14）的右側不依賴于z， 所以
L（r，a，f）=ο（T（r，f）），z=rE1，
于是δp（a，f）=0成立， 即f是方程（11）的P-標準解. 證畢.
由定理2、 定理3和定理5， 考慮當方程（11）的系數為整函數時， 系數之間存在何種關系會使方程（11）的非平凡有窮級亞純解是它的一個P-標準解， 得到以下結果.
定理9 設方程（11）的系數A0，…，An-1都是整函數， 且存在正整數p∈{0，1，…，n-1}， 使得
limr→∞∑n-1j=0， j≠plog+Aj（z）
log+Ap（z）lt;1，rE1，（15）
其中E1［0，∞）具有有窮對數測度. 設f是方程（11）的非平凡有窮級亞純解， 則f是方程（11）的一個P-標準解.
證明： 由方程（11）有
-Ap=f（z+ηn）f（z+ηp）+An-1f（z+ηn-1）f（z+ηp）+…+A0f（z）f（z+ηp），
則
log+Ap≤∑ni=1， i≠plog+f（z+ηi）f（z+ηp）+log
+f（z）f（z+ηp）+∑n-1j=0， j≠plog+Aj+O（1）.
由式（15）及引理1中2）， 可得
log+Ap≤O（rρ-1+ε）+O（1）=ο（T（r，f）），z=rE′，（16）
其中E′包含引理1中2）的集合E和定理2中的E1， 則ρ（f）≥1. 由于E和E1都具有有窮對數測度， 因此 dens（E′）=0. 又由于式（16）右側不依賴于z， 因此有
L（r，∞，Ap）≤O（rρ-1+ε）=ο（T（r，f）），z=rE′.
由式（15）， 顯然有
L（r，∞，Aj）=ο（T（r，f））， z=rE′， j∈{0，1，…，n-1}.
情形1） A0，…，An-1是多項式或者常數. 由ρ（f）≥1， 有
L（r，∞，Aj）=O（log r）=ο（T（r，f））， rE， j∈{0，1，…，n-1}，
L（r，0，Aj）=O（1）=o（T（r，f））， rE， j∈{0，1，…，n-1}，
其中E［1，∞）具有有窮對數測度. 此時， 由定理1可知， f是方程（11）的P-標準解.
情形2） A0，…，An-1中至少有一個是超越整函數. 由式（15）可知， Ap是超越整函數. 假設1+A0+…+An-1不是超越整函數， 即1+A0+
…+An-1=Q（z）， 其中Q（z）是一個多項式， 則
-Ap（z）=1+Q（z）+∑n-1j=0， j≠pAj（z），
從而
logAp（z）≤∑n-1j=0， j≠plogAj（z）+O（log r）.
由引理3知， log r=ο∑n-1j=0， j≠plogAj（z）， 則
1gt;limr→∞∑n-1j=0， j≠plog+Aj（z）log+
Ap（z）≥limr→∞∑n-1j=0， j≠plogAj（z）∑n-1j=0， j≠plogAj（z）+O（log r）=1，
矛盾， 因此1+A0+…+An-1是超越整函數.
當1+A0（0）+…+An-1（0）=1時， 選擇δlt;1， 則對1+A0+…+An-1應用引理2， 有
L（r，0，1+A0+…+An-1）L（r，∞，1+A0+…+An-1）·logmL（r，∞，1+A0+…+An-1）
∑n-1j=0L（r，∞，Aj）·logmL（r，∞，Aj）=O（rρ-1+εlogmr）=o（T（r，f））， rG，
其中G= F∪E′， F是引理2中的例外集， 因此 dens（G）≤dens（F）+dens（E′）lt;δlt;1.
當1+A0（0）+…+An-1（0）=1時， 存在常數C∈瘙綇及k∈瘙綄， 使得函數B（z）=Czk［A0（z）+…+An-1（z
）+1］是整函數， 并且滿足B（0）=1， 從而可對B（z）應用引理2. 由A0（z）+…+An-1（z）是超越的， 有
L（r，0，B（z））=L（r，0，1+A0（z）+…+An-1（z））+O（log r）=（1+ο（1））L（r，0，1+A0（z）+…+An-1（z））.
同理對B（z）應用引理2， 可得
L（r，0，1+A0+…+An-1）=ο（T（r，f）），rG.
綜上， 由定理1可知， δp（a，f）=0即f是方程（11）的P-標準解. 證畢.
當方程（11）的系數是多項式時， 相應系數的條件可弱化， 從而有如下推論.
推論1 設方程（11）的系數A0，…，An-1是多項式， f是方程（11）的非平凡解， 且存在整數p（0≤p≤n-1）， 使得deg（P
p）gt;max0≤j≤n-1， j≠p{deg（Pj）}成立， 則f是方程（11）的P-標準解.
證明： 假設ρ（f）=ρlt;1， 則由方程（11）有
-Ap=f（z+ηn）f（z+ηp）+An-1f（z+ηn-1）f（z+ηp）+…+A0f（z）f（z+ηp）.（17）
由引理1中2）， 選擇0lt;εlt;1-ρ（f）， j，p是兩個任意的復常數， 則有
f（z+j）f（z+p）≤exp{rρ-1+ε}=exp{ο（1）}，rE，（18）
其中E（1，∞）有窮對數測度子集. 結合式（17）和式（18）， 有
Ap=∑0lt;j≤n-1， j≠pAjf（z+ηj）f（z+ηp）+f（
z+ηn）f（z+ηp）+A0f（z）f（z+ηp）≤O（1）∑0lt;j≤n-1， j≠pAj.（19）
當r→∞（E）時， 式（19）與deg（Ap）gt;max0≤j≤n-1， j≠p{deg（Aj）}矛盾. 因此， ρ（f）≥1. 又因為A0，…，An-1是多項式， 所以有
L（r，∞，Aj）=O（log r）=o（T（r，f））， rE， j=0，1，…，n-1，
L（r，0，1+A0+…+An-1）=O（1）=o（T（r，f）），rE，
其中E是一個有窮對數測度的例外集. 由定理1可知， f是方程（11）的P-標準解. 證畢.
3 應用實例
例1 考慮方程
f（z+c2）+f（z+c1）-（ec2（z+c2）2+ec1（z+c1）2）f（z）=0，（20）
其中c1，c2是任意復常數. 方程（20）的解f（z）=z2ez， 滿足定理1和定理2的條件， 顯然f（z）=z2ez是方程（20）的P-標準解.
例2 考慮方程
f（z+2）-（e+1）f（z+1）+ef（z）=0，（21）
對于方程解f（z）=ez+1， 顯然方程解f（z）=ez+1不是方程（21）的P-標準解. 但A2=1， A1=-e-1， A0=e， A2+A1+A0恒為0與方程（11）定義矛盾.
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（責任編輯： 趙立芹）
