Hom-李代數的廣義Reynolds算子和Hom-NS-李代數

摘要： 首先， 通過給定一個Hom-李代數及其表示， 證明Hom-李代數上的強擬跡函數可以誘導3-Hom-李代數及其表示， 從而證明Hom-李代數上的廣義Reynolds算子也是誘導3-Hom-李代數上的廣義Reynolds算子; 其次， 研究Hom-NS-李代數和廣義Reynolds算子的相互導出性質， 并給出相應范疇的伴隨關系.

關鍵詞： Hom-李代數; 廣義Reynolds算子; 3-Hom-李代數; Hom-NS-李代數

中圖分類號： O152.5文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0353-07

Generalized Reynolds Operators on Hom-Lie Algebrasand Hom-NS-Lie Algebras

XU Senrong1， WANG Wei1， ZHAO Jia2

（1. School of Mathematical Sciences， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， Jiangsu Province， China;

2. School of Sciences， Nantong University， Nantong 226019， Jiangsu Province， China）

Abstract： Firstly， by providinga Hom-Lie algebra and its representation，we proved that a strong quasi-trace function ona Hom-Lie algebra could induce a 3-Hom-Lie al

gebra and its representation， thereby proving that a generalized Reynolds operator on a Hom-Lie algebra was alsoa generalized Reynolds operator on theinduced

3-Hom-Lie algebra. Secondly， we studied the mutual derivation properties of Hom-NS-Lie algebras and generalized Reynolds operators， and gave the adjoint relation of the corresponding categories.

Keywords： Hom-Lie algebra; generalized Reynolds operator; 3-Hom-Lie algebra; Hom-NS-Lie algebra

收稿日期： 2024-04-17.

第一作者簡介： 徐森榮（1990—）， 男， 漢族， 博士， 副教授， 從事李代數的研究， E-mail： senrxu@163.com.

通信作者簡介： 趙 嘉（1989—）， 男， 漢族， 博士， 講師， 從事高階李理論的研究， E-mail： zhaojia@ntu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12201253）和江蘇省自然科學基金（批準號： BK20220510）.

Reynolds算子^［1］， 也稱為時間平均算子， 目前廣泛應用于泛函分析和不變理論中， 并且與幾何、 代數自同構、 導子、 有理G-模等有密切聯系. 在對扭曲Poisson理論的研究中， Uchino^［2］在結合代數上引入了廣義Reynolds算子（也稱為扭曲Rota-Baxter算子）的概念. 受Uchino工作的啟發， Das^［3］引入了李代數上廣義Reynolds算子的上同調， 并研究了其形變理論; Hou等^［4］建立了3-李代數上的廣義Reynolds算子的上同調， 并給出了廣義Reynolds算子、 Nijenhuis算子和NS-3-李代數之間的關系; Li等^［5］給出了3-Hom-李代數的廣義Reynolds算子的上同調， 并利用Hom-李代數的跡函數方法， 構造了3-Hom-李代數上的廣義Reynolds算子和3-Hom-NS-李代數.作為跡函數的推廣， 文獻［6］引入了李代數的擬跡函數的概念， 并證明其可以誘導3-李代數; 文獻［7］利用李代數的擬跡函數得到了相對Rota-Baxter算子的若干刻畫. 本文考慮跡函數在Hom-型代數上的推廣， 首先引入Hom-李代數的擬跡函數和強擬跡函數， 并證明Hom-李代數的強擬跡函數可以誘導出3-Hom-李代數及其表示; 其次， 證明在強擬跡函數條件下， 給定一個Hom-李代數及其表示， Hom-李代數的廣義Reynolds算子也是強擬跡函數誘導的3-Hom-李代數及其表示的廣義Reynolds算子; 最后， 研究Hom-NS-李代數與廣義Reynolds算子的相互導出性質， 得到了其對應范疇間的伴隨關系. 本文所有的線性空間和代數都在特征為零的域K上.

1 預備知識

定義1^［8］Hom-李代數（g，［·，·］，α）由一個線性空間g、 一個雙線性映射［·，·］： ∧2g→

g和一個線性映射α： g→g組成， 且滿足如下Hom-Jacobi恒等式：

［α（x），［y，z］］+［α（y），［z，x］］+［α（z），［x，y］］=0，x，y，z∈g.

如果α滿足α（［x，y］）=［α（x），α（y）］， 則稱（g，［·，·］，α）是保積Hom-李代數.

本文考慮保積Hom-李代數， 并簡稱為Hom-李代數. 由于任意一個李代數（g，［·，·］）均可視為一個

Hom-李代數（g，［·，·］，Idg）， 因此， Hom-李代數是李代數的一種推廣.

定義2^［9］設（g，［·，·］，α）是Hom-李代數， V是線性空間， g在線性空間V上關于A∈gl（V）

的表示是一個線性映射ρ： g→gl（V）， 滿足

ρ（α（x））A=Aρ（x），ρ（［x，y］）A=ρ（α（x））ρ（y）-ρ（α（y））ρ（x），x，y∈g.

Hom-李代數g在V上關于A∈gl（V）的表示記作（V，ρ，A）.

特別地， （g，ad，α）是Hom-李代數g在自身g上關于α的表示， 稱為Hom-李代數的伴隨表示， 其中ad： g→

gl（g）定義為ad（x）（y）=［x，y］， x，y∈g.

下面考慮Hom-李代數的上同調^［9］.設（g，［·，·］，α）是Hom-李代數， （V，ρ，A） 是g關于A的表示. 對任意的xi∈g， 定義g上且系數在（V，ρ，A）中的p-Hom-上鏈空間為

Cpα，A（g，V）={f∈Hom（∧pg，V）Af（x1，…，xp）=f（α（x1），…，α（xp））}.

令f∈Cpα，A（g，V）， 定義d： Cpα，A（g，V）→C^p+1α，A（g，V）為

d（f）（x1，…，xp+1）=∑p+1j=1（-1）^j+1ρ（αp（xj））f（x1，…，j，…，xp+1）+

∑1≤jlt;k≤p+1（-1）^j+kf（［xj，xk］，α（x1），…，j，…，k，…，α（xp+1）），（1）

其中αp表示線性映射α的p次復合. 于是dd=0，因此d是上邊緣算子. 用Zp（g，V）和Bp（g，V）分別表示p-階閉鏈和p-階上邊緣的集合，

則Hom-李代數（g，［·，·］，α）的p-階上同調群為

Hpρ（g，V）=Zpρ（g，V）/Bpρ（g，V）.

特別地， 將伴隨表示ad對應的p-階閉鏈、 p-階上邊緣和p-階上同調群分別記作Zpad（g），

Bpad（g）和Hpad（g）. 此時， 若f=-［·，·］， 即f（x，y）=-［x，y］， x，y∈g， 則f∈Z2ad（g）.

定義3^［10-11］設（g，［·，·］，α）是Hom-李代數， （V，ρ，A）是g關于A的表示， 令Φ∈Z2ρ（g，V）. 如果線性映射R： V→g滿足如下恒等式：

αR=RA，［Ru，Rv］=R（ρ（Ru）v-ρ（Rv）u+Φ（Ru，Rv）），u，v∈V，

則線性映射R稱為Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的Φ-廣義Reynolds算子.

定義4 設（g，［·，·］，α）是Hom-李代數， τ∈g*， 如果τ滿足

τ（α（x））τ（y）=τ（x）τ（α（y））， τ（［x，y，z]τ）=0， x，y，z∈g，

其中

［x，y，z］τ=τ（x）［y，z］+τ（y）［z，x］+τ（z）［x，y］∶=x，y，zτ（x）［y，z］，（2）

這里x，y，z表示對變量x，y，z的輪換求和， 則稱線性函數τ是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的擬跡函數. 如果τ滿足

τα=τ， τ（［x，y，z］τ）=0， x，y，z∈g，（3）

則稱線性函數τ是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的強擬跡函數.

注1 由定義4可知， Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的強擬跡函數一定是擬跡函數. 另一方面， 當α=Idg時， Hom

-李代數上的強擬跡函數和擬跡函數等價， 其含義即為李代數（g，［·，·］）上的擬跡函數^［6］.因此， Hom-李代數上的強擬跡函數和擬跡函數是李代數上擬跡函數概念的推廣.

定義5^［12］3-Hom-李代數（g，［·，·，·］，α）由一個線性空間g

、 一個三元反對稱線性映射［·，·，·］： ∧3g→g和一個線性映射α： g→g組成， 滿足

α（［x1，x2，x3］）=［α（x1），α（x2），α（x3）］，x1，x2，x3∈g，

且對x，y，z，w，t∈g有下列3-Hom-Jacobi恒等式成立：

［α（x），α（y），［z，w，t］］= ［［x，y，z］，α（w），α（t）］+［α（z），［x，y，w］，α（t）］+ ［α（z），α（w），［x，y，t］］.

引理1 設τ是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的強擬跡函數， 則（g，［·，·，·］τ，α）是3-Hom-李代數， 稱為由強擬跡函數誘導的3-Hom-李代數， 簡記為gτ， 其中三元括號［·，·，·］τ由式（2）給出.

證明： 由定義5直接驗證即得.

定義6^［13］設（g，［·，·，·］，α）是3-Hom-李代數， V是線性空間， g在線性空間V上關于A∈gl（V）的表示是一個線性映射ρ： ∧2g→gl（V）， 滿足如下恒等式：

ρ（α（x），α（y））A=Aρ（x，y），（4）ρ（α（x），α（y））ρ（z，w）-ρ（α（z），α（w））ρ

（x，y）=（ρ（［x，y，z］，α（w））+ρ（α（z），［x，y，w］））A，（5）ρ（［x，y，z］，α（w））A-ρ（α（x），α（y））ρ（z，w）=

ρ（α（y），α（z））ρ（x，w）+ρ（α（z），α（x））ρ（y，w）， x，y，z，w∈g.（6）

3-Hom-李代數g在V上關于A∈gl（V）的表示記作（V，ρ，A）.

顯然， （g，ad，α）是3-Hom-李代數g在自身g上關于α的表示， 稱為3-Hom-李代數g的伴隨表示

， 這里 ad： ∧2g→gl（g）定義為 ad（x，y）（z）=［x，y，z]， x，y，z∈g.

引理2 設（V，ρ，A）是Hom-李代數（g，［·，·］，α）的表示， τ∈g*是（g，

［·，·］，α）的強擬跡函數. 定義ρτ： ∧2g→gl（V）為

ρτ（x，y）=τ（x）ρ（y）-τ（y）ρ（x），x，y∈g，（7）

則（V，ρτ，A）是誘導3-Hom-李代數（g，［·，·，·］τ，α）的表示.

證明： 由定義6， 只需證式（4）～（6）成立. 不失一般性，

下面只證式（6）成立. 對任意的x，y，z，w∈g和v∈V， 由式（3）可知

ρτ（［x，y，z］τ，α（w））A-ρτ（α（x），α（y））ρτ（z，w）=-τ（α（w））ρ（［x，y，z］τ）A-（τ（α（x））ρ（α（y））-τ（α（y）

）ρ（α（x）））（τ（z）ρ（w）-τ（w）ρ（z））=-τ（w）τ（x）ρ（［y，z］）A-τ（w）τ（y）ρ（［z，x］）A-τ（w）τ（z）ρ（［x，y］）A-τ（x）τ（z）ρ（α（y））ρ（w）+τ（x）τ（w）ρ（α（y））ρ（z）+τ（y）τ（z）ρ（α（x））ρ（w

）-τ（y）τ（w）ρ（α（x））ρ（z）=τ（w）τ（x）ρ（α（z））ρ（y）-τ（w）τ（y）ρ（α（z））ρ（x）-τ（w）τ（z）ρ（α（x））ρ（y）+τ（w）τ（z）ρ（α（y））ρ（x）-τ（x）τ（z）ρ（α（y））ρ（w）+τ（y）τ（z）ρ（α（x））ρ（w

）=ρτ（α（y），α（z））ρτ（x，w）+ρτ（α（z），α（x））ρτ（y，w），

因此式（6）成立， 證畢.

下面給出3-Hom-李代數的上同調^［13］.設（g，［·，·，·］，α）是3-Hom-李代數， （V，ρ，A）是g關于A的表示， g上并且系數在（V，ρ，A）中的p-Hom-上鏈空間pα，A（g，V）定義為如下集合：

{f∈Hom（^p-1（∧2g）∧ g，V）Af（X1，…，Xp-1，z）=f（α（X1），…，α（Xp-1），α（z））}，

其中Xi=xi∧yi∈∧2g， α（Xi）=α（xi）∧α（yi）， z∈g， 1≤i≤p-1.

對任意的f∈pα，A（g，V）， 定義： pα，A（g，V）→^p+1α，A（g，V）為

（f）（X1，…，Xp，z）=∑1≤jlt;k≤p（-1）jf（α（X1），…，j，…，α（Xk-1），［Xj，Xk］F，α（Xk+1），…，α（Xp），α（z））

+∑pj=1（-1）jf（α（X1），…，j，…，α（Xp），［Xj，z］）+∑pj=1（-1）^j+1ρ（αp（Xj））f（X1，…，

j，…，Xp，z）+（-1）^p+1ρ（αp（yp），αp（z））f（X1，…，Xp-1，xp）

+（-1）^p+1ρ（αp（z），αp（xp））f（X1，…，Xp-1，yp），（8）

這里Xi=xi∧ yi∈∧2g， z∈g， 1≤i≤p，［Xj，z］=［xj，yj，z］， 并且［Xj，Xk］F定義為

［Xj，Xk］F=［xj，yj，xk］∧α（yk）+α（xk）∧［xj，yj，yk］.

由于=0， 因此是上邊緣算子. 用pρ～（g，V）和pρ～（g，V）分別表示p

-階閉鏈和p-階上邊緣的集合， 則3-Hom-李代數（g，［·，·，·］，α）的p-階上同調群為

pρ～（g，V）=pρ～（g，V）/pρ～（g，V）.

特別地， 伴隨表示 ad對應的p-階閉鏈、 p-階上邊緣和p-階上同調群分別記為pad（g），

pad（g）和pad（g）.

定義7^［5］設（g，［·，·，·］，α）是3-Hom-李代數， （V，ρ，A）是g關于A

的表示， 令Φ∈2ρ～（g，V）. 對任意u，v，w∈V， 如果線性映射R： V→g滿足如下恒等式：

αR=RA，（9）［Ru，Rv，Rw］=R（ρ（Ru，Rv）w+ρ（Rv，Rw）u+ρ（Rw，Ru）v+Φ（Ru，Rv，Rw）），（10）

則線性映射R稱為3-Hom-李代數（g，［·，·，·］，α）上的Φ-廣義Reynolds算子.

引理3 設（V，ρ，A）是Hom-李代數（g，［·，·］，α）的表示， τ∈g*是（g，［·，·］，α）的強擬跡函數， 則下列結論成立：

1） Z1ρ（g，V）1ρτ（gτ，V）;

2） 令Φ∈Z2ρ（g，V）， 定義

（x，y，z）∶=τ（x）Φ（y，z）+τ（y）Φ（z，x）+τ（z）Φ（x，y），x，y，z∈g，

則∈2ρτ（gτ，V）， 其中ρτ是強擬跡函數τ誘導的3-Hom-李代數gτ的表示， 由式（7）給出.

證明： 1） 對任意的f∈Z1ρ（g，V）， 有Af=fα， 且

d（f）（x，y）=ρ（α（x））f（y）-ρ（α（y））f（x）-f（［x，y］）=0，x，y∈g.

令x，y，z∈g， 由式（7），（8）和τα=τ， 直接計算可知

（f）（x，y，z）=ρτ（α（x），α（y））f（z）+ρτ（α（y），α（z））f（x）+ρτ（α（z），α（x））f（y）-f（［x，y，z］τ）=τ（x）d（f）（y，z）+τ（y）d（f）（z，x）+τ（z）d（f）（x，y）=0.

2） 由于Φ∈Z2ρ（g，V）， 所以對任意的x，y∈g， 有AΦ（x，y）=Φ（α（x），α（y））且d（Φ）=0. 其中，

d（Φ）（x，y，z）=ρ（α2（x））Φ（y，z）+ρ（α2（y））Φ（z，x）+ρ（α2（z））Φ（x，y）-

Φ（［x，y］，α（z））-Φ（［y，z］，α（x））-Φ（［z，x］，α（y））， x，y，z∈g.

一方面， 對任意的x，y，z∈g， 由于AΦ（x，y）=Φ（α（x），α（y））且τα=τ， 因此

A（x，y，z）=A（τ（x）Φ（y，z）+τ（y）Φ（z，x）+τ（z）Φ（x，y））=τ（x）Φ（α（y），α（z））+τ（y）Φ（α（z），α（x））+τ（z）Φ（α（x），α（y））

=τ（α（x））Φ（α（y），α（z））+τ（α（y））Φ（α（z），α（x））+τ（α（z））Φ（α（x），α（y））=（α（x），α（y），α（z）），

從而∈2α，A（gτ，V）. 另一方面， 對任意的X1=x1∧x2， X2=x3∧x4∈∧2g， x5∈g， 有

（）（X1，X2，x5）=-（［X1，X2］F，α（x5））-（α（x3），α（x4），［x1，x2，x5］τ）+（α（x1），α（x2），［x3，x4，x

5］τ）+ρτ（α2（x1），α2（x2））（x3，x4，x5）-ρτ（α2（x3），α2（x4））（x1，x2，x5）-

ρτ（α2（x4），α2（x5））（x1，x2，x3）-ρτ（α2（x5），α2（x3））（x1，x2，x4）=τ（x1）τ（x3）d（）（x2，x4，x

5）+τ（x1）τ（x4）d（）（x2，x5，x3）+τ（x1）τ（x5）d（）（x2，x3，x4）-τ（x2）τ（x3）d（）（x1，x4，x5）

-τ（x2）τ（x4）d（）（x1，x5，x3）-τ（x2）τ（x5）d（）（x1，x3，x4）=0，

從而得∈2ρτ（gτ，V）. 證畢.

設（V，ρ，A）是Hom-李代數（g，［·，·］，α）的表示， τ∈g*是（g，［·，·］，α）的強擬跡函數. 由引理1和引理2

知， （g，［·，·，·］τ，α）是強擬跡函數τ誘導的3-Hom-李代數， 且（V，ρτ，A）是 （g，［·，·，·］τ，α）的表示. 進一步， 由引理3可得如下定理.

定理1 若R： V→g是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的Φ-廣義

Reynolds算子， 則R也是誘導3-Hom-李代數（g，［·，·，·］τ，α）上的-廣義Reynolds算子.

證明： 由于R是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上的Φ-廣義Reynolds算子， 所以Φ∈ Z2ρ（g，V）. 由引理3可知，

∈2ρτ（gτ，V）. 因此， 只需證式（9）和式（10）成立， 其中式（9）成立顯然， 下證式（10）成立. 對任意的u，v，w∈V， 有

［Ru，Rv，Rw］τ=τ（Ru）［Rv，Rw］+τ（Rv）［Rw，Ru］+τ（Rw）［Ru，Rv］=τ（Ru）R（ρ（Rv）w-ρ（Rw）v+Φ（Rv，Rw））+τ（Rv）R（ρ（Rw）u-ρ（Ru）w

+Φ（Rw，Ru））+τ（Rw）R（ρ（Ru）v-ρ（Rv）u+Φ（Ru，Rv））=R（τ（Ru）ρ（Rv）w-τ（Rv）ρ（Ru）w+τ（Rv）ρ（Rw）u-τ（Rw）ρ（Rv）u+τ（Rw）ρ（Ru）v-τ（Ru）ρ（Rw）v+τ（Ru）Φ（Rv，Rw）

+τ（Rv）Φ（Rw，Ru）+τ（Rw）Φ（Ru，Rv））=R（ρτ（Ru，Rv）w+ρτ（Rv，Rw）u+ρτ（Rw，Ru）v+（Ru，Rv，Rw）），

結論得證.

注2 由定義4可知， 定理1是在τ∈g*強擬跡函數條件下得到的， 文獻［5］考慮了關于線性函數τ的其他條件， 即在

τ（α（x））ρ（y）=τ（x）ρ（y）， τ（［x，y］）=0， x，y∈g

的情況下也得到了定理1的類似結果.

2 主要結果

作為Hom-李代數的廣義Reynolds算子的底層結構， 下面考慮Hom-NS-李代數， 并給出Hom-NS-李代數和廣義Reynolds算子的相互導出性質. 進一步， 考慮Hom-NS-李代

數范疇和廣義Reynolds算子范疇， 并給出它們之間的伴隨關系.

定義8^［11］Hom-NS-李代數（g，{·，·}，·，

·，α）是一個向量空間g， 并賦予雙線性映射

{·，·}： gg→g，·，·： g∧g→g

和一個線性映射α： g→g， 滿足對任意的x，y，z∈g下式成立：

α（{x，y}）={α（x），α（y）}，α（x，y）=α（x），α（y），

{{x，y}，α（z）}-{α（x），{y，z}}-{{y，x}，α（z）}+{α（y），{x，z}}+{ x，y，α（z）}=0，

x，y，zα（x），［y，z］*+x，y，z

{α（x），y，z}=0，

其中［x，y］*={x，y}-{y，x}+x，y.

引理4^［11］設（g，{·，·}，·，·，α）是Hom-NS-李代數，

則（g，［·，·］*，α）是Hom-李代數， 稱為（g，{·，·}，·，·，α）的相鄰Hom-李代數

， 并且（g，{·，·}，·，·，α）稱為（g，［·，·］*，α）的兼容Hom-NS-李代數.

定義9 Hom-NS-李代數之間的態射η： （g，{·，·}，·，·

，α）→（g′，{·，·}′，·，·′，α′）是一個線性

映射η： g→g′， 滿足對任意的x，y∈g下式成立：

η（{x，y}）={η（x），η（y）}′， η（x，y）=η（x），η（y）′， ηα=α′η.

設（g，{·，·}，·，·，α）是Hom-NS-李代數，

線性映射β： g→gl（g）和Φ： ∧2g→g分別定義為

β（x）（y）={x，y}， Φ（x，y）=x，y， x，y∈g.

定理2 沿用上述記號， 則下列結論成立：

1） （g，β，α）是相鄰Hom-李代數（g，［·，·］*，α）的表示;

2） 恒等映射Idg： g→g是（g，［·，·］*，α）關于表示（g，β，α）的Φ-廣義Reynolds算子.

證明： 1） 因為對任意的x，y∈g， α（{x，y}）={α（x），α（y）}， 所以β（α（x））α=αβ（x）成立. 下面只需證

β（［x，y］*）α=β（α（x））β（y）-β（α（y））β（x）.

令x，y，z∈g， 直接計算可得

β（［x，y］*）（α（z））={{x，y}-{y，x}+x，y，α（z）}={α（x），{y，z}}-{α（y），{x，z}}=β（α（x））（β（y）（z））-β（α（y））（β（x）（z）），

從而結論1）成立.

2） 一方面， αIdg=Idgα顯然成立. 另一方面， 對任意的x，y∈g， 有

Idg（β（Idgx）（y）-β（Idgy）（x）+Φ（x，y））

={x，y}-{y，x}+x，y= ［x，y］*=［Idgx，Idgy］*，

因此Idg是（g，［·，·］*，α）關于表示（g，β，α）的Φ-廣義Reynolds算子. 證畢.

引理5^［11］設R： V→g是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上關于表示（V

，ρ，A）的Φ-廣義Reynolds算子， 則（V，{·，·}V，·，·V，A）是一個Hom-NS-李代數， 其中

{u，v}V=ρ（Ru）v， u，vV=Φ（Ru，Rv）， u，v∈V.

定理3 設（g，［·，·］，α）是Hom-李代數， 則在g上存在一個

兼容的Hom-NS-李代數結構當且僅當存在（g，［·，·］，α）上關于一個表示 （V，ρ，A）的可逆的Φ-廣義Reynolds算子R： V→g. 進一步， g上兼容的Hom-NS-李代數結構如下：

{x，y}=Rρ（x）R^-1（y），x，y=RΦ（x，y）， x，y∈g.

證明： 由定理2可知必要性成立， 下證充分性. 假設存在（g，［·，·］，α）上關于一個表示（V，ρ，A）的可逆的Φ-廣義Reynolds算子R： V→g， 則由引理5可知， 在V上存在一個Hom-NS-李代數結構：

{u，v}V=ρ（Ru）v， u，vV=Φ（Ru，Rv）， u，v∈V.

因為R： V→g是可逆的Φ-廣義Reynolds算子， 所以

{x，y}∶=R{R^-1（x），R^-1（y）}V=Rρ（x）R^-1（y），

x，y∶=RR^-1（x），R^-1（y）V=RΦ（x，y），x，y∈g，

定義了g上的Hom-NS-李代數（g，{·，·}，·，·，α）. 下面只需證兼容性， 對任意的x，y∈g， 有

{x，y}-{y，x}+x，y=Rρ（x）R^-1（y）-Rρ（y）R^-1（x）+RΦ（x，y）

=R（ρ（x）R^-1（y）-ρ（y）R^-1（x）+Φ（x，y））= ［R（R^-1（x）），R（R^-1（y））］=［x，y］，

結論得證.

令HNSL表示Hom-NS-李代數范疇， 其對象是Hom-NS-李代數， 態射由定義9給出. 令GRO表示廣義Reynolds算子范疇， 其對象是Hom-李代數上的Φ-廣義Reynolds

算子， Φ為2-階閉鏈. 態射定義如下： 設R： V→g是Hom-李代數（g，［·，·］，α）上關于表示（V，ρ，A）的Φ-廣義Reynolds算子， R′： V

′→g′是Hom-李代數（g′，［·，·］′，α′）上關于表示（V′，ρ′，A′）的 Φ′-廣義Reynolds算子， 則R到R′的態射是線性映射：

g→g′和ψ： V→V′組成的二元組（，ψ）， 滿足α=α′， ψA=A′ψ， 且下式成立：

ψ（ρ（x）v）=ρ（（x））ψ（v）， ψΦ=Φ′（）， R=R′ψ， x∈g， v∈V.

由引理5可知， 給定一個Φ-廣義Reynolds算子， 可以構造Hom-NS-李代數， 因此， 這個構造給出了從GRO范疇到HNSL范疇的函子F： GRO→HNSL.

另一方面， 設（g，{·，·}，·，·，α）是Hom-NS-李代數， 由引理4知， 其相鄰Hom-李代數是（g，［·，·］*，α

）， 簡記為gHLie. 由定理2知， Hom-李代數gHLie在g上有一個表示（g，β，α）：

β（x）（y）={x，y}， x∈gHLie， y∈g.

進一步， 定義Φ： gHLiegHLie→g， Φ（x，y）=x，y， x，y∈

g， 則由定義8可知， Φ是Hom-李代數gHLie關于上述表示的2-階閉鏈， 且

恒等映射Idg： g→g是（g，［·，·］*，α）關于表示（g，β，α）的Φ-廣義Reynolds算子. 上述過程

給出了從Hom-NS-李代數到Φ-廣義Reynolds算子的構造， 并且保持函子性質， 從而可得從HNSL范疇到GRO范疇的函子G： HNSL→GRO. 因此， 有如下結果.

定理4 存在函子的伴隨對F： GROHNSL： G， 且存在伴隨關系

HomHNSL（g，F（R））HomGRO（G（g），R）.

參考文獻

［1］REYNOLDS O. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the D

etermination of the Criterion［J］.Philos Trans Roy Soc A， 1895， 186： 123-164.

［2］UCHINO K. Quantum Analogy of Poisson Geometry， Related Dendriform Algebras and Rota-Baxter Operators［J］.Lett Math Phys， 2008， 85（2/3）： 91-109.

［3］DAS A. Twisted Rota-Baxter Operators and Reynolds Operators on Lie Algebras and NS-Lie Algebras［J］.J Math Phys， 2021， 62（9）： 091701-1-091701-19.

［4］HOU S， SHENG Y H. Generalized Reynolds Operators on

3-Lie Algebras and NS-3-Lie Algebras［J］.Int J Geom Methods Mod Phys， 2021， 18（14）： 2150223-1-2150223-29.

［5］LI Y Z， WANG D G. Twisted Rota-Baxter Operators on 3-Hom-Lie Algebras［J］.Comm Algebra， 2023， 51（11）： 4662-4675.

［6］TAN Y J， XU S R. Quasi-trace Functions on Lie Algebras and Their Applications

to 3-Lie Algebras［J］.Czechoslovak Math J， 2022， 72（2）： 559-591.

［7］徐森榮， 譚易蘭， 趙嘉. 相對羅巴算子的擬跡函數方法和上同調［J］.吉林大學學報（理學版）， 2023， 61（6）： 1313-1318. （XU S R， TAN Y L， ZHA

O J. Quasi-trace Function Method and Cohomology of Relative Rota-Baxter Operators［J］.Journal of Jilin University （Science Edition）， 2023， 61（6）： 1313-1318.）

［8］HARTWIG J T， LARSSON D， SILVESTROV S. Deformations of Lie Algebras Using σ-Derivations［J］.J Algebra， 2006， 295（2）： 314-361.

［9］SHENG Y H. Representations of Hom-Lie Algebras［J］.Algebr Represent Theory， 2012， 15（6）： 1081-1098.

［10］XU S R， WANG W， ZHAO J. Twisted Rota-Baxter Operators on Hom-Lie Algebras［J］.AIMS Math， 2024， 9（2）： 2619-2640.

［11］DAS A， SEN S. Nijenhuis Operators on Hom-Lie Algebras［J］.Comm Algebra， 2022， 50（3）： 1038-1054.

［12］ATAGUEMA H， MAKHLOUF A， SILVESTROV S. Generalizati

on of n-Ary Nambu Algebras and Beyond［J］.J Math Phys， 2009， 50（8）： 083501-1-083501-15.

［13］MABROUK S， MAKHLOUF A， MASSOUD S. Generalized Representations of 3-Hom-Lie Algebras［J］.Extracta Math， 2020， 35（1）： 99-126.

（責任編輯： 趙立芹）