分配子及其應(yīng)用
2025-03-21 00:00:00楊雨澤海進科
吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版) 2025年2期
摘要： 首先， 通過引入群的分配子概念， 給出群分配子的若干性質(zhì); 其次， 對群論中換位子和p-換位子的相應(yīng)結(jié)果進行推廣， 并證明群G到群H的映射f為群同態(tài)當且僅當群G的f-分配子是1； 最后， 作為應(yīng)用， 計算出一類亞循環(huán)群到二面體群之間的同態(tài)個數(shù).
關(guān)鍵詞： 分配子; p-換位子; p-導(dǎo)群； 群同態(tài)
中圖分類號： O152.1文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0360-07
Distributors and Their Applications
YANG Yuze， HAI Jinke
（School of Mathematics and Statistics， Yili Normal University， Yining 835000， Xinjiang Uygur Autonomous Region， China）
Abstract： Firstly， by introducing the notion of distributors of groups， we give some properties of distributors of groups. Secondly， we generalizethe corresponding results of commutators and p-commutato
rs in group theory， andprove that the mapping f from group G to group H is a group homomorphism if and only if the f-distributor of group G is 1.
Finally， as an application， we calculate the number of homomorphisms from a class of metacyclic groups to dihedral groups.
Keywords： distributor; p-commutator; p-derived group; group homomorphism
收稿日期： 2024-06-24.
第一作者簡介： 楊雨澤（1999—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事群表示理論的研究， E-mail： m18762031876@163.com. 通信作者簡介： 海進科（1964—）， 男， 回族， 博士， 教授， 從事有限群理論及其表示的研究， E-mail： haijinke2002@aliyun.com.
基金項目： 國家自然科學(xué)基金（批準號： 12471021）.
群同態(tài)是保持群結(jié)構(gòu)不變的映射， 其研究內(nèi)容包括找到任意映射與同態(tài)之間的聯(lián)系. 設(shè)G，H為群， f： G→H為映射， 則對任意的a，b∈G， 元素a，b的f-分配子定義為f（b）-1f（a）-1f（ab）， 記為［a，b;f］［1］.顯然， 對任意的a，b∈G， 有f（ab）=f（a）f（b）［a，b;f］.它可視為群同態(tài)的度量， 也是換位子概念的推廣. 文獻［1］給出了分配子的一些性質(zhì)， 并利用分配子和任意映射共軛性的理論， 重新給出了Schur-Zassenhaus定理和Cauchy定理的證明. 文獻［2］利用分配子定義了f-中心列， 稱為Nil列， 給出了f-nil群的概念， 推廣了冪零群中心列的定義， 并研究了Nil列以及f-nil群的一些性質(zhì). 分配子推廣了p-換位子的概念， 而p-換位子是研究群p-交換性的度量. 文獻［3-5］研究了p-群的p-交換性及其特征. 在計算兩群間的同態(tài)個數(shù)方面， 文獻［6-9］通過一些特殊亞循環(huán)群的結(jié)構(gòu)， 利用數(shù)論的基本方法， 計算出一些特殊亞循環(huán)群之間的同態(tài)個數(shù). 本文討論分配子， 并將換位子和p-換位子的某些性質(zhì)推廣到分配子上， 給出映射的分配子群與映射為群同態(tài)間的聯(lián)系. 特別地， 作為應(yīng)用， 對于給出群的生成元與生成關(guān)系， 利用定義的映射， 通過計算f-分配子群［G，G;f］是否為1確定映射f： G→H是否為群同態(tài). 如基于亞循環(huán)群的結(jié)構(gòu)及該群元素的特征， 計算出一類2pn階亞循環(huán)群G2pn到二面體群D2m之間的同態(tài)個數(shù). 當p=1時， 有G2pn=D2n， 即亞循環(huán)群為2n階的二面體群D2n. 因此， 本文推廣了文獻［10］的結(jié)果， 且在方法上借助于分配子的概念， 使計算更具條理性. 當p=2時， 本文也推廣了文獻［11］的部分結(jié)果.
本文用Hom（A，G）表示群A到群G的同態(tài)個數(shù)， 用（a，b）表示整數(shù)a與b的最大公因數(shù)， 用φ表示Euler函數(shù)， 用o（a）表示群中元素a的階， 其他相關(guān)記號和術(shù)語參見文獻［12］.
1 預(yù)備知識
定義1［1］設(shè)G，H為群， f為G到H的映射， 對任意的a，b∈G， 定義元素a，b的f-分配子為f（b）-1f（a）-1f（ab）， 記作［a，b;f］.
定義2［3］設(shè)G為群， 對任意的a，b∈G及素數(shù)p， 定義元素a，b的p-換位子為b-pa-p（ab）p， 記作［a，b;p］.
引理1 設(shè)G為群， f： G→G（xxp）為映射， 則對任意的a，b∈G， 有［a，b;f］=［a，b;p］.
證明： 由定義知，［a，b;f］=f（b）-1f（a）-1f（ab）=b-pa-p（ab）p=［a，b;p］.
引理2 設(shè)G為群， f： G→G（xx-1）為映射， 則對任意的a，b∈G， 有［a，b;f］=［a-1，b-1］-1.
證明： 由定義知， ［a，b;f］=f（b）-1f（a）-1f（ab）=bab-1a-1=［b-1，a-1]=［a-1，b-1］-1.
定義3［1］設(shè)G為群， f為G到G的映射， A，B-G. 定義
A，B的f-分配子群為〈［a，b;f］，［b，a;f］a∈A， b∈B〉， 記為［A，B;f］.
定義4［3］設(shè)G為群， A，B-G， 定義A，B的p-換位子群為〈［a，b;p］，［b，a;p］a∈A，b∈B〉， 記為［A，B］p.
根據(jù)定義3和定義4， 可得引理1和引理2的直接推論.
推論1 設(shè)G為群， f： G→G（xxp）為映射， A，B-G， 則［A，B;f］=［A，B;p］.
推論2 設(shè)G為群， f： G→G（xx-1）為映射， A，B-G， 則［A，B;f］=［A，B］.
定義5［1］設(shè)G為群， f為G到G的映射， 則［G，G;f］=〈［x，y;f]x，y∈G〉稱為群G的f-分配子群， 簡稱為f-導(dǎo)群.
定義6［3］設(shè)G為群， 則［G，G;p］=〈［x，y;p］x，y∈G〉稱為群G的p-導(dǎo)群.
定義7［3］設(shè)G為群， 對任意的a，b∈G， 如果a，b的p-換位子［a，b;p］=1， 則稱G是p-交換的.
引理3 設(shè)G，H為群， f： G→H為映射， 則f為群同態(tài)當且僅當［G，G;f］=1.
證明： 若f為群同態(tài)， 則對任意x，y∈G， 均有f（xy）=f（x）f（y）. 又因為［x，y;f］=f（y）-1f（x）-1f（xy）， 所以［x，y;f］=f（y）-1f（x）-1f（x）f（y）=1. 故［G，G;f］=1.
反之， 若［G，G;f］=1， 則對任意的x，y∈G， 均有［x，y;f］=1， 而［x，y;f］=f（y）-1f（x）-1×f（xy）=1， 即f（xy）=f（x）f（y）. 故f為群同態(tài).
引理4 設(shè)G為群， 則G為p-交換的當且僅當［G，G;p］=1.
證明： 令f： G→G（xxp）， 則［G，G;p］=［G，G;f］.由引理3知， G為p-交換的當且僅當［G，G;p］=1.
引理5 設(shè)G為群， f： G→G為映射， 則［G，G;f］-〈f（G）〉≤G， 其中f（G）={f（g）g∈G}.
證明： 顯然〈f（G）〉≤G. 下證［G，G;f］-〈f（G）〉.
因為［G，G;f］=〈［x，y;f］x，y∈G〉， 所以［G，G;f］≤G. 則對任意的x，y∈G， f（a），f（b）∈〈f（G）〉， 均有
［x，y;f］f（a）f（b）= ［x，y;f］f（ab）［a，b;f］-1=（f（ab）-1［x，y;f］f（ab））［a，b;f］-1=
（f（ab）-1f（y）-1f（x）-1f（xy）f（ab））［a，b;f］-1=（f（ab）-1f（y）-1f（yab）f（yab）-1f（x）-1f（xy）f（ab））［a，b;f］-1=
［a，b;f］［y，ab;f］［x，yab;f］［xy，ab;f］-1［a，b;f］-1∈［G，G;f］.
又由定義1易驗證f（a）-1=f（a-1）［a，a-1;f］［a，1;f］.從而
［x，y;f］f（a）-1= ［x，y;f］f（a-1）［a，a-1;f］［a，1;f］=（［x，y;f］f（a-1））［a，a-1;f］［a，1;f］=
（f（a-1）f（y）-1f（x）-1f（xy）f（a-1））［a，a-1;f］［a，1;f］=
（f（a-1）f（y）-1f（ya-1）f（ya-1）-1f（x）-1f（xya-1）×f（xya-1）-1f（xy）f（a-1））［a，a-1;f］［a，1;f］
= ［a，1;f］-1［a，a-1;f］-1［y，a-1;f］［x，ya-1;f］× ［xy，a-1;f］-1［a，a-1;f］［a，1;f］∈［G，G;f］.
故［G，G;f］-〈f（G）〉≤G.
定義8 設(shè)ngt;2為整數(shù)， p為素數(shù)或p=1， 如果
G2pn=〈x〉〈y〉=〈x，yxn=1=y2p， xy=yx-1〉，
則G2pn稱為2np階的亞循環(huán)群. 特別地， 當p=1時， G2pn=D2n， 即亞循環(huán)群為2n階的二面體群D2n.
定義9 設(shè)mgt;2為整數(shù)， 如果D2m=〈a，bam=1=b2， ab=ba-1〉，
則D2m稱為2m階的二面體群.
引理6 設(shè)D2m為二面體群， 則：
1） 當m為奇數(shù)時， D2m的二階元為{arb0≤rlt;m}；
2） 當m為偶數(shù)時， D2m的二階元為{arb，am/20≤rlt;m}.
證明： 1） 因為（arb）2=（arb）（arb）=ar（bar）b=ar（a-rb）b=ara-rb2=1，
故當m為奇數(shù)時， D2m的二階元為{arb0≤rlt;m}.
2） 當m為偶數(shù)時， 顯然am/2為D2m的二階元. 故此時D2m的二階元為{arb，am/20≤rlt;m}.
2 分配子的若干性質(zhì)
定理1 設(shè)G為群， f： G→G為映射. 如果對任意的α∈Aut（G）， 均有αf=fα， 則［G，G;f］是G的特征子群.
證明： 對任意的α∈Aut（G），［x，y;f］∈［G，G;f］， 有
α（［x，y;f］）=α（f（y）-1f（x）-1f（xy））=α（f（y）-1）α（f（x）-1）α（f（xy））=（（αf）（y））-1（（αf）（x））-1（αf）（xy）
=（（fα）（y））-1（（fα）（x））-1（fα）（xy）=（f（α（y）））-1（f（α（x）））-1f（α（x）α（y））=［α（x），α（y）;f］∈［G，G;f］，
所以［G，G;f］是G的特征子群.
由定理1直接可得如下結(jié)論.
推論3 設(shè)G為群， 則［G，G;p］是G的特征子群.
證明： 令f： G→G（xxp）， 則［G，G;p］=［G，G;f］. 對任意的α∈Aut（G）， y∈G， 因為
（αf）（y）=α（f（y））=α（yp）=（α（y））p=f（α（y））=（fα）（y），
所以αf=fα. 由定理1知，［G，G;p］是G的特征子群.
推論4 設(shè)G為群， 則［G，G］是G的特征子群.
證明： 令f： G→G（xx-1）， 則［G，G］=［G，G;f］.對任意的α∈Aut（G）， x∈G， 因為
（αf）（x）=α（f（x））=α（x-1）=（α（x））-1=f（α（x））=（fα）（x），
所以αf=fα. 由定理1知，［G，G］是G的特征子群.
定理2 設(shè)G為群且N-G， f： G→G為映射. 對任意的x∈G， 令f（x）=f（x）N， 則映射f： G→G/N為同態(tài)當且僅當［G，G;f］≤N.
證明： 因為映射f： G→G/N為同態(tài)， 故由引理3知［G，G;f］=1. 對任意的［a，b;f］∈［G，G;f］， 由于［a，b;f］=［
a，b;f］N， 所以［a，b;f］N∈［G，G;f］， 即［a，b;f］N=1. 于是［a，b;f］∈N. 故［G，G;f］≤N.
反之， 對任意的［a，b;f］∈［G，G;f］， 由于［a，b;f］=［a，b;f］N， 且［G，G;f］≤N， 所以
［a，b;f］=1， 從而［G，G;f］=1. 由引理3知， 映射f： G→G/N（xf（x）N）為同態(tài).
定理2中定義的映射f： G→G/N（xf（x）N）稱為由映射f誘導(dǎo)的映射.
由定理2直接可得如下結(jié)論.
推論5 設(shè)G為群， f： G→G為映射， f為映射f誘導(dǎo)的映射， 則f： G→〈f（G）〉/［G，G;f］（xf（x）［G，G;f］）為群同態(tài).
證明： 由引理5知，［G，G;f］-〈f（G）〉. 顯然f： G→〈f（G）〉/［G，G;f］（xf（x）［G，G;f］）為映射， 由定理2知， f為群同態(tài).
推論6 設(shè)G為群， N-G， 則G/N為p-交換的當且僅當［G，G;p］≤N.
證明： 令f： G→G（xxp）， 則［G，G;p］=［G，G;f］.由定理2知， G/N為p-交換的當且僅當［G，G;p］≤N.
推論7 設(shè)G為群， N-G， 則G/N為交換的當且僅當［G，G］≤N.
證明： 令f： G→G（xx-1）， 則［G，G］=［G，G;f］.由定理2知， G/N為交換的當且僅當［G，G］≤N.
定理3 設(shè)G為群， f： G→G為映射， 則［G，G;f］=∩{N-〈f（G）〉f誘導(dǎo)了G→〈f（G）〉/N的群同態(tài)}.
證明： 因為映射f： G→〈f（G）〉/N（xf（x）N）為群同態(tài)， 故由定理2知，［G，G;f］≤N. 從而［G，G;f］≤∩{N-〈f（G）〉f
誘導(dǎo)了G→〈f（G）〉/N的群同態(tài)}. 另一方面， 由引理5知，［G，G;f］-〈f（G）〉. 又由推論3可知， f誘導(dǎo)了G→〈f（G）〉/［G，G;f］的群同態(tài)，
所以［G，G;f］∈∩{N-〈f（G）〉f誘導(dǎo)了G→〈f（G）〉/N的群同態(tài)}， 從而
［G，G;f］=∩{N-〈f（G）〉f誘導(dǎo)了G→〈f（G）〉/N的群同態(tài)}.
由定理3直接可得如下結(jié)論.
推論8 設(shè)G為群， 則［G，G;p］=∩{N-G|G/N為p-交換}.
證明： 令f： G→G（xxp）， 則［G，G;p］=［G，G;f］.由推論1知，［G，G;p］-G. 此外， f誘導(dǎo)了G→G/N的群同態(tài)當且
僅當G/N為p-交換， 故由定理3可推出［G，G;p］=∩{N-G|G/N為p-交換}.
推論9 設(shè)G為群， 則［G，G］=∩{N-G|G/N為交換}.
證明： 令f： G→G（xx-1）， 則由定理3可得結(jié)論.
3 分配子的應(yīng)用
由引理3知， 映射f： G→H為群同態(tài)當且僅當［G，G;f］=1. 當具體給出群的生成元與生成關(guān)系時， 通過定義具體的映射，
計算f-分配子群［G，G;f］是否為1確定映射f： G→H是否為群同態(tài). 下面具體計算一類2pn階亞循環(huán)群G2pn到二面體群D2m之間的同態(tài)個數(shù).
定理4 設(shè)n，mgt;2為奇數(shù)， 則：
1） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=1+m（Σk（m，n）φ（k））;
2） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=p+m（Σk（m，n）φ（k））.
證明： 設(shè)f∈Hom（G2pn，D2m）， 因為f（y2p）=f（y）2p=1， 所以o（f（y））2p. 由于f（y）∈D2m， 故o（f（y））（2p，2m）.
若pm， 則o（f（y））2， 從而f（y）∈{1，arb}. 若pm， 則o（f（y））2p， 從而f（y）∈{as，arb0≤r， slt;m}.
因為f（xn）=f（x）n=1， 所以o（f（x））n. 又f（x）∈D2m且n為奇數(shù)， 因此f（x）∈{as0≤slt;m}. 進一步， o（f（x））m，于是o（f（x））（m，n）. 故
f（x）∈{as0≤slt;m， o（as）（m，n）}.
下面分3種情形完成證明.
① 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xas， y1）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0.
因為f為群同態(tài)當且僅當［G2pn，G2pn;f］=1， 所以對于G2pn生成元x，y， 有［x，y;f］=1， 即f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義
f（xy）=f（yx-1）=a-s， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=a-2s. 因為0≤slt;m， 且m為奇數(shù)， 所以要使a-2s=1， 則必有s=0.
② 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xar，yas）， 則f為群同態(tài)當且僅當r=0， o（as）p.
因為f為群同態(tài)當且僅當對于G2pn生成元x，y， 有［x，y;f］=1， 即f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義
f（xy）=f（yx-1）=as-r， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=a-2r. 因為0≤rlt;m， 且m為奇數(shù)， 所以要使a-2r=1， 則必有r=0. 注意到f（y）=as， 故o（as）p.
因為o（f（y））p， 所以f（y）有Σkpφ（k）=p種選擇. 故該情形下有p個群同態(tài).
③ 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yasb）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤slt;m， o（ar）（m，n）.
f為群同態(tài)當且僅當對于G2pn生成元x，y， 有［x，y;f］=1， 即f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義f（xy）=f（yx-1）=asba-r=ba-s-r， 有
f（y）-1f（x）-1f（xy）=asba-rba-s-r=1.
當f為群同態(tài)時， 由于f（x）=ar， 所以o（ar）（m，n）. 因此f為群同態(tài)當且僅當0≤slt;m， o（ar）（m，n）.
由于o（f（x））（m，n）， 從而f（x）有Σk（m，n）φ（k）種選擇， 又0≤slt;m， 于是f（y）有m種選擇， 故該情形下有m（Σk（m，n）φ（k））個群同態(tài).
綜上所述， 由情形①和③可推出結(jié)論1）成立； 由情形②和③可推出結(jié)論2）成立. 證畢.
定理5 設(shè)n為偶數(shù)， mgt;2為奇數(shù)， 則：
1） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=1+2m+m（Σk（m，n）φ（k））;
2） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=p+2m+m（Σk（m，n）φ（k））.
證明： 設(shè)f∈Hom（G2pn，D2m）， 因為f（y2p）=f（y）2p=1， 所以o（f（y））2p. 由于f（y）∈D2m， 因此o（f（y））（2p，2m）.
若pm， 則o（f（y））2， 從而f（y）∈{1，arb0≤rlt;m}. 若pm， 則o（f（y））2p， 從而f（y）∈{as，arb0
≤r，slt;m}. 若f（y）=as， 則o（f（y））m. 注意到m為奇數(shù)且pm， 從而
f（y）∈{as，arb0≤r，slt;m， o（as）p}.
因為f（xn）=f（x）n=1， 所以o（f（x））n. 又f（x）∈D2m， 因此f（x）∈{as，arb0≤r，slt;m}. 進一步， 若f（x）=as， 則o（f（x））m， 于是o（f（x））（m，n）. 故
f（x）∈{as0≤slt;m， o（as）（m，n）}∪{arb0≤rlt;m}.
下面分6種情形完成證明.
① 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xas， y1）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0.
類似定理4中情形①的證明， 故該情形下僅有平凡同態(tài).
② 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， y1）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤rlt;m.
因為f為群同態(tài)當且僅當對于G2pn生成元x，y， 有［x，y;f］=1， 而xy=yx-1， 于是由定義
f（xy）=f（yx-1）=arb， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=arbarb=1. 所以f為群同態(tài)當且僅當0≤rlt;m.
又因為0≤rlt;m， 所以f（x）有m種選擇， 故該情形下有m個群同態(tài).
③ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yas）， 則f為群同態(tài)當且僅當r=0， o（as）p.
類似定理4中情形②的證明， 故該情形下有p個群同態(tài).
④ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， yas）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0， 0≤rlt;m.
f為群同態(tài)當且僅當對于G2pn生成元x，y， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義計算得
f（xy）=f（yx-1）=as+rb， 于是f（y）-1f（x）-1f（xy）=a-2s. 因為0≤slt;m， 且m為奇數(shù)， 所以要使a-2s=1， 則必有s=0. 注意到0≤rlt;m， 故f為群同態(tài)當且僅當s=0， 0≤rlt;m.
因為0≤rlt;m， 所以f（x）有m種選擇， 故該情形下有m個群同態(tài).
⑤ 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yasb）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤slt;m， o（ar）（m，n）.
類似定理4中情形③的證明， 故該情形下有m（Σk（m，n）φ（k））個群同態(tài).
⑥ 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， yasb）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤r=slt;m.
f為群同態(tài)當且僅當對于G2pn生成元x，y， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義計算得f（xy）=f（yx-1）=as-r， 于是f（y）-1
f（x）-1f（xy）=a2s-2r. 因為0≤r，slt;m， 且m為奇數(shù)， 故要使a2s-2r=1， 即m（s-r）， 則必有s=r， 所以f為群同態(tài)當且僅當0≤r=slt;m.
因為0≤r=slt;m， 所以該情形下有m個群同態(tài).
綜上所述， 由情形①，②，⑤和⑥可推出結(jié)論1）成立； 由情形③～⑥可推出結(jié)論2）成立.
定理6 設(shè)m為偶數(shù)， ngt;2為奇數(shù)， 則：
1） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=2+m（Σk（m，n）φ（k））;
2） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=2p+m（Σk（m，n）φ（k））.
證明： 設(shè)f∈Hom（G2pn，D2m）， 因為f（y2p）=f（y）2p=1， 所以o（f（y））2p. 由于f（y）∈D2m， 故o（f（y））（2p，2m）.
若pm， 則o（f（y））2， 從而f（y）∈{1，arb0≤rlt;m}. 若pm， 則o（f（y））2p， 從而f（y）∈{as，a
rb0≤r，slt;m， o（as）2p}.
因為f（xn）=f（x）n=1， 所以o（f（x））n. 又f（x）∈D2m， 且n為奇數(shù)， 因此f（x）∈{as0≤slt;m}. 進一步， 若f（x）=as， 則o（f（x））m， 于是o（f（x））（m，n）. 故f（x）∈{as0≤slt;m， o（as）（m，n）}.
下面分4種情形完成證明.
① 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xas， y1）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0.
f為群同態(tài)當且僅當對于G2pn生成元x，y， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義計算知， f（y）-1f（x）-1f（xy）=a-2s.
因為0≤slt;m， 且m為偶數(shù)， 故要使a-2s=1， 則必有s=0或s=m/2. 注意到o（as）（m，n）為奇數(shù)， 故s=0. 因此該情形下僅有平凡同態(tài).
② 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xas， yam/2）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0.
類似上述情形①的證明， 故該情形下僅有1個同態(tài).
③ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yas）， 則f為群同態(tài)當且僅當r=0， o（as）2p.
類似定理4中情形②的證明， 因為o（f（y））2p， 所以f（y）有Σk2pφ（k）=2p種選擇. 故該情形下有2p個群同態(tài).
④ 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yasb）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤slt;m， o（ar）（m，n）.
類似定理4中情形③的證明， 故該情形下有m（Σk（m，n）φ（k））個群同態(tài).
綜上所述， 由情形①，②和④可推出結(jié)論1）成立； 由情形③和④可推出結(jié)論2）成立.
定理7 設(shè)m，ngt;2為偶數(shù)， 則：
1） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=4+4m+m（Σk（m，n）φ（k））;
2） 當pm時， Hom（G2pn，D2m）=4p+2mp+2m+m（Σk（m，n）φ（k））.
證明： 設(shè)f∈Hom（G2pn，D2m）， 因為f（y2p）=f（y）2p=1， 所以o（f（y））2p. 由于f（y）∈D2m， 因此o（f（y））（2p，2m）.
若pm， 則o（f（y））2， 從而f（y）∈{1，am/2，arb0≤rlt;m}. 若pm， 則o（f（y））2p， 從而
f（y）∈{as，arb0≤r，slt;m， o（as）2p}.
因為f（xn）=f（x）n=1， 所以o（f（x））n. 又f（x）∈D2m， 因此f（x）∈{as，arb0≤r，slt;m}. 進一步， 若f（x）=as， 則o（f（x））m， 于是o（f（x））（m，n）. 故
f（x）∈{as0≤slt;m， o（as）（m，n）}∪{arb0≤rlt;m}.
下面分8種情形完成證明.
① 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xas， y1）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0或s=m/2.
f為群同態(tài)當且僅當對于Gn，2p生成元x，y， 有f（y）-1f（x）-1f（xy）=1. 注意到xy=yx-1， 由定義計算知，
f（y）-1f（x）-1f（xy）=a-2s. 因為0≤slt;m， 且m為偶數(shù)， 故要使a-2s=1， 則必有s=0或s=m/2. 從而該情形下有2個同態(tài).
② 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xas， yam/2）， 則f為群同態(tài)當且僅當s=0或s=m/2.
類似上述情形①的證明， 故該情形下有2個同態(tài).
③ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， y1）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤rlt;m.
類似定理5中情形②的證明， 故該情形下有m個同態(tài).
④ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， yam/2）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤rlt;m.
類似定理5中情形②的證明， 故該情形下有m個同態(tài).
⑤ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yas）， 則f為群同態(tài)當且僅當r=0， o（as）2p或r
=m/2， o（as）2p.
類似定理4中情形②的證明， 此時由于f（x）有2種選擇， 又因為o（f（y））2p， 所以f（y）有Σk2pφ（k）=2p種選擇. 故該情形下有4p個群同態(tài).
⑥ 當pm時， 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， yas）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤rlt;m， o（as）2p.
類似定理4中情形③的證明， 由于0≤rlt;m， 所以f（x）有m種選擇； 又因為o（f（y））2p， 所以f（y）有Σk2pφ（k）=2p種選擇. 故該情形下有2mp個同態(tài).
⑦ 設(shè)f： G2pn→D2m（xar， yasb）， 則f為群同態(tài)當且僅當0≤slt;m， o（ar）（m，n）.
類似定理4中情形③的證明， 故該情形下有m（Σk（m，n）φ（k））個群同態(tài).
⑧ 設(shè)f： G2pn→D2m（xarb， yasb）， 則f為群同態(tài)當且僅當r-s=0或m/2， 且0≤rlt;m.
類似定理5中情形⑥的證明， 故該情形下有2m個群同態(tài).
綜上所述， 由情形①～④，⑦和⑧可推出結(jié)論1）成立； 由情形⑤～⑧可推出結(jié)論2）成立.
參考文獻
［1］HAWTHORN I， GUO Y. Arbitrary Functions in Group Theory［EB/OL］.（2015-06-24）［2024-03-15］.https：//doi.org/10.48550/arXiv.1506.07235.
［2］HAWTHORN I. Nil Series from Arbitrary Functions in Group Theory［J］
. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae， 2018， 59（1）： 1-13.
［3］HOBBY C. A Characteristic Subgroup of a p-Group［J］.Pacific Journal of Mathematics， 1960， 10（3）： 853-860.
［4］XU M Y. A Theorem on Metabelian p-Groups and Some Consequences［J］.Chinese Annals of Mathematics， 1984， 5（1）： 1-6.
［5］WEICHSEL P M. On p-Abelian Groups［J］.Proceedings of the American Mathematical Society， 1967， 18（4）： 736-737.
［6］任小強， 高百俊. 兩類特殊亞循環(huán)群之間的同態(tài)數(shù)量［J］.吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2023， 61（1）： 66-72. （REN X Q， GAO B J. Number of Homomorphisms
between Two Classes of Special Metacyclic Groups［J］.Journal of Jilin University （Science Edition）， 2023， 61（1）： 66-72.）
［7］張良. 一類非交換內(nèi)循環(huán)群到有限群的同態(tài)個數(shù)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2020， 58（6）： 1299-1302. （ZHANG L. Number of Homomorphis
ms from a Class of Noncommutative Inner Cyclic Groups to Finite Groups［J］.Journal of Jilin University （Science Edition）， 2020， 58（6）： 1299-1302.）
［8］張良， 海進科. 一類亞循環(huán)群同態(tài)個數(shù)的計算［J］.吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2018， 56（5）： 1045-1048.
（ZHANG L， HAI J K. Calculation of Number of Homomorphisms of a Class of
Metacyclic Groups［J］.Journal of Jilin University （Science Edition）， 2018， 56（5）： 1045-1048.）
［9］馬雪麗， 郭繼東， 海進科. 四元數(shù)群到一類亞循環(huán)群之間的同態(tài)個數(shù)［J］.云南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2019， 41（3）： 442-448.
（MA X L， GUO J D， HAI J K. The Number of Homomorphisms from the Quateer
nion Group into a Class of Metacyclic Groups［J］.Journal of Yunnan University （Nature Sciences Edition）， 2019， 41（3）： 442-448.）
［10］JOHNSON J. The Number of Group Homomorphisms from Dm to Dn［J］.The College Mathematics Journal， 2013， 44（3）： 190-192.
［11］李紅霞， 郭繼東， 海進科. 二面體群到一類亞循環(huán)群之間的同態(tài)個數(shù)［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2019， 54（6）： 34-40.
（LI H X， GUO J D， HAI J K. The Number of Homomorphisms from Dihedral Groups to a Class of Metacyclic Groups［J］.Journal of Shandong University （Natural Science）， 2019， 54（6）： 34-40.）
［12］ROSE J S. A Course on Group Theory［M］.Cambridge： Cambridge University Press， 1978： 301-306.
（責(zé)任編輯： 李 琦）
