Gorenstein FP-內射復形
2025-03-21 00:00:00趙思信盧博
吉林大學學報(理學版) 2025年2期
摘要： 考慮Gorenstein FP-內射復形， 首先證明在凝聚環上， 復形G是Gorenstein FP-內射的當且僅當存在FP-內射復形的正合列…→E-1→E0→E1→E2→…， 滿足G=Ker（E0→E1）; 其次證明在一定條件下， 復形G是Gorenstein FP-內射的當且僅當對任意的整數m， Gm是Gorenstein FP-內射模.
關鍵詞： Gorenstein FP-內射復形; Gorenstein FP-內射模; 凝聚環
中圖分類號： O154.2文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0367-08
Gorenstin FP-Injective Complexes
ZHAO Sixin， LU Bo
（College of Mathematics and Computer Science， Northwest Minzu University， Lanzhou 730030， China）
Abstract： We consider Gorenstein FP-injective complexes， firstly， weprove thata complex G is
Gorenstein FP-injective if and only if there is an exact sequence …→E-1→E0→E1→E2→… of FP-injective complexes with G=Ker（E0→E1） on coherent rings.
Secondly， weprove thata complex G is Gorenstein FP-injective if and only if Gm is a Gorenstein FP-injective module for each m∈瘙綄 under certain conditions.
Keywords： Gorenstein FP-injective complex; Gorenstein FP-injective module; coherent ring
收稿日期： 2024-04-22.
第一作者簡介： 趙思信（2000—）， 女， 白族， 碩士研究生， 從事同調代數的研究， E-mail： y231530348@stu.xbmu.edu.cn.
通信作者簡介： 盧 博（1985—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事同調代數的研究， E-mail： lubo55@126.com.
基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12061061）、 中央高校基本科研業務經費項目（批準號： 31920230173）和甘肅省第一批隴原青年英才項目.
1 引言與預備知識
Gorenstein同調代數是經典同調代數的推廣， 關于Gorenstein同調代數的研究目前已取得了許多結果. Enochs等［1］在任意結合環上引入了Gorenstein內射模和Gorenstein投射模的概念; Enochs等［2］將Gorenstein同調理論推廣到了復形范疇， 引入并研究了Gorenstein內射與投射復形; Lu等［3-4］將Gorenstein同調代數理論推廣到了N-復形范疇.Stenstrm［5］引入并研究了凝聚環上的FP-內射模： 如果對任意的有限表示左R-模P， 有Ext1R（P，M）=0， 則稱左R-模M是FP-內射的. Mao等［6］給出了FP-內射復形的定義： 如果對任意的有限表示復形F， 有Ext1（F，C）=0， 則稱復形C是FP-內射的. Mao等［7］引入并研究了Gorenstein FP-內射模. Gao等［8］給出了Gorenstein FP-內射模的另一種定義， 并研究了其在凝聚環上的一些性質. Iacob［9］基于文獻［8］定義的Gorenstein FP-內射模引入了Gorenstein FP-內射復形. 本文基于Gorenstein FP-內射模， 研究Gorenstein FP-內射復形及其相關性質. 給定一個復形G， 自然會考慮復形G與其層次模Gm間的關系. 文獻［2-4，6，9-12］給出了不同類型的復形與其層次模間的關系. 受上述研究工作的啟發， 本文研究Gorenstein FP-內射復形與其層次模間的關系.
本文中的環均指有單位元的結合環， 模均指酉模， R-模均指左R-模， 復形均指左R-模的復形， 并記C為左R-模的復形構成的Able范疇. 本文中用右下和右上標區別模和復形. 例如， 若{Ci}i∈I是一簇復形， 則Cim表示復形Ci的第m層次上的模. 將R-模的復形
…δi+2Ci+1δi+1CiδiCi-1δi-1…
記為（C，δ）， 簡記為C. 定義Ker（δn） 為上述復形的第n個循環， 記作Zn（C）; Im（δn+1）為上述復形的第n個邊緣， 記作Bn（C）; 并記Hn（C）=Ker（δn）/
Im（δn+1）為上述復形的第n個同調. 對任意的復形X∈C， X的n次平移記為ΣnX， 其中（ΣnX）k=Xk-n且δΣnXk=（-1）
nδXk-n， 并將Σ1X簡記為ΣX. 給定R-模M， 用Dm（M）表示第m和（m-1）層次是M， 其余層次均為0的復形， 即
…→0→MidM→0→…;
用Sm（M）表示第m層次是M， 其余層次均為0的復形， 即…→0→M→0→….
并記D0（M）=， S0（M）=M.
設X，Y是復形. 復形Hom（X，Y）表示Abel群的復形， 即
…→∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n）
δn∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n-1）→….
第n層次的Abel群為
Hom（X，Y）n∶=∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n），n∈瘙綄，
第n次微分定義為： 若f=（fk）k∈瘙綄∈Hom（X，Y）n， 則
dnf=（（dnf）k）k∈瘙綄∈Hom（X，Y）n-1=∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n-1），
其中（dnf）k=δYn+kfk-（-1）nfk-1δXk∈HomR（Xk，Yk+n-1）.
本文用Hom（X，Y）表示所有從X到Y的復形同態所構成的Abel群， Exti表示Hom的第i個右導出函子. 將復形C的投射
維數和內射維數分別記作pd（C）和id（C）， 將整數集記作瘙綄.
定義1［8］若存在FP-內射模的正合列
E=…→E1→E0→E-1→E-2→…，
滿足M=Ker（E0→E-1）， 并且對任意投射維數有限的有限表示模P， HomR（P，E）正合， 則稱左R-模M是Gorenstein FP-內射的.
定義2［2］若環R是雙邊Noether環并且它作為模時雙邊自內射維數有限至多為n， 則稱環R是n-Gorenstein環.
定義3［13］若Gorenstein FP-內射模類關于擴張封閉， 則稱環R是Gorenstein FP-內射封閉環.
定義4［14］若存在內射復形的正合列…→I-2→I-1→I0→I1→I2→…，
滿足G=Ker（I0→I1）， 并且對任意內射復形I， 該序列在Hom（I，-）函子作用后保持正合， 則稱復形G是Gorenstein內射的.
引理1［12］復形C是有限生成的當且僅當C有界， 并且對任意的n∈瘙綄， Cn是有限生成
R-模; 復形C是有限表示的當且僅當C有界并且對任意的n∈瘙綄， Cn是有限表示R-模.
命題1［12］設R是凝聚環， 則任意FP-內射復形的正向極限是FP-內射的.
命題2［12］設C是復形， 則C是FP-內射的當且僅當對任意的n∈瘙綄， Cn是FP-內射
模， 并且對任意有限表示復形F， Hom（F，C）正合.
命題3［6］設R是任意環， 則任意復形有FP-內射預包絡.
注1［6］FP-內射復形關于擴張封閉， 對直積、 直和及直和項均封閉.
注2［12］設R是凝聚環， C是FP-內射復形， 則對任意的正整數i和有限表示復形F， Exti（F，C）=0.
2 Gorenstein FP-內射復形與維數
下面基于文獻［9］引入的Gorenstein FP-內射復形的概念， 繼續討論Gorenstein FP-內射復形及其與其他復形之間的關系.
定義5 如果存在FP-內射復形的正合序列
E： …→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）， 并且對任意投射維數有限的有限表示復形P， 該序列在Hom（P，-）函子作用后保持正合， 則稱復形G是Gorenstein FP-內射的.
注3 1） 文獻［9］引入了Gorenstein FP-內射復形的概念， 說明了其定
義方式與Gorenstein FP-內射模一致， 但未給出具體形式. 因此， 本文先給出Gorenstein FP-內射復形的定義.
2） 根據Gorenstein FP-內射復形的定義， FP-內射復形是Gorenstein FP-內射的.
3） Gorenstein FP-內射復形類關于直積與直和封閉. 當環R是凝聚環時， Gorenstein FP-內射復形類關于正向極限封閉.
4） 設G是Gorenstein FP-內射復形， 則對任意投射維數有限的有限表示復形P， Ext1（P，G）=0.
5） 設 E： …→E-1→E0→E1→E2→…是FP-內射復形的正合列， 滿足G=Ker（E0→E1）， 并且對任意投射維數有限的有限表示復
形P， 該序列在Hom（P，-）函子作用后得到的序列仍是正合的. 則由對稱性可知， 對 E的所有核， 像和余核都是Gorenstein FP-內射復形.
引理2 設G是Gorenstein FP-內射復形， 則對任意的 m∈瘙綄， Gm是Gorenstein FP-內射模， 并且對任意投射維數有限的有限表示復形F， Hom（F，G）正合.
證明： 設G是Gorenstein FP-內射復形， 則存在FP-內射復形的正合列
E： …→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）， 并且對任意投射維數有限的有限表示復形P， Hom（P，E）正合. 因此對任意的整數m， 存在FP-內射模的正合列
Em： …→E-1m→E0m→E1m→E2m→…，
滿足Gm=Ker（E0m→E1m）. 設M是任意投射維數有限的有限表示模， 則 D-m-1（M）是投射維數有限的有限表示復形. 因此由
假設可知， Hom（D-m-1（M），E）正合. 又因為對任意的復形H， 有Hom（D-m-1（M），H）HomR（M，Hm）. 所以存在以下交換圖：
因此， 有下行正合. 即Gm是Gorenstein FP-內射模.
對任意投射維數有限的有限表示復形F， Hom（F，G）正合當且僅當對任意的整數m以及態射f， 復形的態射f： F→Σ-mG同倫于零. 等價于對任意的整數m以及態射f， 正合列
0→Σ-mG→M（f）→Σ-1F→0可裂， 即正合列0→G→ΣmM（f）→Σm-1F→0可裂，
其中M（f）是f的映射錐. 又因為F是投射維數有限的有限表示復形， 所以Σm-1F也是投射維數有限的有限表示復形， 并且G是Gorenstein FP-內射復形. 所以有
Ext1（Σm-1F，G）=0. 因此Hom（F，G）正合.
命題4 設C是正合復形， 對任意的n∈瘙綄， Zn（C）是Gorenstein FP-內射模， 則對任意投射維數有限的有限表示復形F， Hom（F，C）正合.
證明： 因為F是有限表示復形， 所以F是有界復形. 因此可設
F=∶…→0→Fn→Fn-1→…→F2→F1→F0→0→….
又因為Hom（F，C）是復形， 并且
Hom（F，C）=∶ …δn+1∏i∈瘙綄HomR（Fi，Cn+i）δ
n∏i∈瘙綄HomR（Fi，Cn-1+i）δn-1…，
所以對任意的n∈瘙綄， 只需證Ker（δn-1）Im（δn）. 設g∈Ker（δn-1）， 則
δn-1（g）=（δCn-1+tgt-（-1）n-1gt-1δFt）t∈瘙綄=0.
下面構造態射f滿足
f∈Hom（F，C）n=∏i∈瘙綄HomR（Fi，Cn+i），
并且
δn（f）=（δCn+tft-（-1）nft-1δFt）t∈瘙綄=（gt）t∈瘙綄.
因為對任意的t≤-1， gt=0. 所以若t≤-1， 則ft=0. 又因為若t=0， 則δCn-1g0=0， 所以
Im（g0）Ker（δCn-1）=Im（δCn）.
因為Zn（C）是Gorenstein FP-內射模， 并且F0是投射維數有限的有限表示模， 所以存在以下交換圖：
即存在模同態f0： F0→Cn， 使得δCnf0=g0. 若t=1， 則
δCn（g1-（-1）n-1f0δF1）=δCng1-（-1）n-1δCnf0δF1=0，
并且
Im（g1-（-1）n-1f0δF1）Ker（δCn）.
令h1=g1-（-1）n-1f0δF1. 因為Zn+1（C）是Gorenstein FP-內射模， 并且F1是投射維數有限的有限表示模， 所以存在以下交換圖：
即存在模同態f1： F1→Cn+1， 使得g1=δCn+1f1-（-1）nf0δF1. 重復上述步驟可得f∈Im（δn）， 并且δn（f）=g. 所以Hom（F，C）正合.
命題5 設R是左凝聚環， G是復形， 則以下條件等價：1） G是Gorenstein FP-內射的;
2） 存在FP-內射復形的正合列
E： …→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）.
證明： 1）2）. 由Gorenstein FP-內射復形的定義可知結論顯然成立.
2）1）. 由Gorenstein FP-內射復形的定義可知， 只需證對任意投射維數有限的有限表示復形N， Hom（N，E）正合. 設
pd（N）=mlt;∞， 下面對m進行歸納. 當m=0時， 結論顯然成立. 當m≥1時， 存在短正合列
0→L→P0→N→0，
其中P0是有限生成投射復形， 并且pd（L）≤m-1. 因為R是凝聚環， 所以復形L是有限表示的. 考慮復形的正合列：
因為P0是投射復形， 所以Hom（P0，E）正合. 又由歸納假設可知Hom（L，E）正合. 因此Hom（N，E）
正合， 即G是Gorenstein FP-內射復形.
文獻［9］得到了在凝聚環上， 若存在整數n使得任意內射模的平坦維數不超過n， 則復形G是Gorenstein FP-內射的當且僅當對任意的整數m， Gm是Gorenstein FP-內射模.
定理1 設R是左凝聚環， G是R-模的復形. 若R是Gorenstein FP-內射封閉環， 則下列條件等價：
1） G是Gorenstein FP-內射的；
2） Gm是Gorenstein FP-內射模.
證明： 1）2）. 由引理2可知結論顯然成立.
2）1）. 對任意的m∈瘙綄， Gm是Gorenstein FP-內射模. 下證G是Gorenstein FP-內射復形. 因為在C中， 任意
復形都有足夠的FP-內射預包絡， 所以存在短正合列0→G→I0→L→0， 其中I0是FP-內射復形. 由文獻［13］中命題1.4可知， Gorenstein
FP-內射模類是內射余可解的. 因此Lm是Gorenstein FP-內射模. 從而可得復形G和復形L具有相同的性質. 重復該步驟對L分解， 依次進行下去可構造G的一個FP-內射分解：
0→G→I0→I1→I2→…，（1）
滿足Ki=Ker（Ii→Ii+1）（i≥0）.
下面構造左邊FP-內射分解. 顯然存在以下層次可裂的正合列：
0→Σ-1G（1，δ）m∈瘙綄Dm（Gm）（δ，1）G→0，
其中δ是G的微分. 因為Gm是Gorenstein FP-內射模， 所以存在短正合列
0→CmαmEmβmGm→0，
其中Cm是Gorenstein FP-內射模， Em是FP-內射模. 從而存在短正合列
0→m∈瘙綄Dm（Cm）m∈瘙綄Dm（αm）
m∈瘙綄Dm（Em）m∈瘙綄Dm（βm）m∈瘙綄Dm（Gm）→0.
令I-1=m∈瘙綄Dm（Em）， 則I-1是FP-內射復形. 設β=（δ，1）（m∈瘙綄Dm（β
m））， K-1=Ker β， 則β： I-1→G是滿射. 從而有如下交換圖：
0→m∈瘙綄Dm（Cm）→I-1→m∈瘙綄Dm（Gm）→0
因此由蛇引理可得正合列
0→m∈瘙綄Dm（Cm）→K-1→Σ-1G→0.
又由Gorenstein FP-內射模類內射余可解可知， K-1m 是Gorenstein FP-內射模. 故K-1與復形G具有相同的性質. 從而重復上述步驟可構造G
的如下FP-內射分解：
…→I-2→I-1→G→0.（2）
將序列（1）和（2）結合可得FP-內射復形的正合列：
…→I-2→I-1→I0→I1→I2→…，
滿足G=Ker（I0→I1）. 因此G是Gorenstein FP-內射復形.
推論1 設R是左凝聚環， G是復形， 則以下條件等價：
1） 復形G是Gorenstein FP-內射的;
2） 存在FP-內射復形的正合列 …→E-1→E0→G→0;
3） 存在復形的短正合列0→K→E→G→0， 其中E是FP-內射復形， K是Gorenstein FP-內射復形.
證明：直接由定義5可得1）2）和1）3）. 下面證明2）1）和3）2）.
2）1）. 設G是復形， 并且滿足條件2）. 令0→G→E1→E2→…是G的一個FP-內射分解， 則結合條件2）可知存在FP-內射復形的正合列
…→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）. 因此， 由命題4可知G是Gorenstien FP-內射復形.
3）2）. 設存在復形的短正合列
0→K→E→G→0，（3）
其中E是FP-內射復形， K是Gorenstien FP-內射復形. 因為K是Gorenstien FP-內射復形， 所以存在正合列
…→（E-2）′→（E-1）′→（E0）′→K→0，（4）
其中（Ei）′是FP-內射復形. 結合序列（3）和（4）可得以下序列：
…→（E-2）′→（E-1）′→（E0）′→E→G→0，
其中E和（Ei）′是FP-內射復形. 即得所需正合列.
命題6 Gorenstein內射復形是Gorenstein FP-內射的. 特別地， 當環R是n-Gorenstein環時， Gorenstein FP-內射復形與Gorenstein內射復形等價.
證明： 設G是Gorenstein內射復形， 則存在內射復形的正合列
I=…→I-1→I0→I1→I2→…，
滿足G=Ker（I0→I1）. 下面證明對任意投射維數有限的有限表示復形P， Hom（P，I）正合.
先證明對任意投射維數有限的
復形M， Hom（M，I）正合. 不妨設任意復形pd（M）=mlt;∞， 下面對m進行歸納. 當m=0時結論顯然成立. 當m≥1 時存在復形的短正合列0→P1→P0→M→0
， 其中P0和P1是投射復形. 因此， Hom（-，I）作用該序列后正合. 因為Hom（P0，I）和Hom（P1，I
）正合， 所以Hom（M，I）正合. 設pd（M）=m-1時結論成立， 則當pd（M）=m時， 考慮復形的正合列0→K→P→M→0， 其中P是投射復形并且由維數轉
移可知pd（K）=m-1. 又因為Hom（K，I）和Hom（P，I）正合， 所以Hom（M，I）正合. 特別地，
對任意投射維數有限的有限表示復形P， Hom（P，I）正合. 因此G是Gorenstein FP-內射復形.
設R是n-Gorenstein環， G是Gorenstein FP-內射復形， 則存在內射復形的正合列
E=…→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）. 下面只需證明對任意內射維數有限的內射復形I， Hom（I，E）正合. 因為R是n-Gorenste
in環， 所以由文獻［2］中命題1.4可知， I的投射維數有限. 設pd（I）=mlt;∞. 下面對m進行歸納. 當m=0時， 結論成立. 當m≥1時， 存在復形的短正合列0→H
→P→I→0， 其中P是投射復形. 因此存在復形的正合列
0→Hom（I，E）→Hom（P，E）→Hom（H，E）→0.
顯然Hom（P，E）正合. 又由維數轉移可得pd（H）=m-1. 因此根據歸納假設可得Hom（H，E）正合. 從而Hom
（I，E）正合. 因此G是Gorenstein內射復形.
下面的IF-環均指環中的任意內射模是平坦的. 先給出一個實例說明存在復形是Gorenstein FP-內射的， 但不是Gorenstein內射的.
例1 設環R是非Noether的凝聚IF-環， 則存在一個復形是Gorenstein FP-內射的， 但不是Gorenstein內射的.
證明： 由文獻［15］中命題2.6可知， 存在一個R-模不是Gorenstein內射的， 不妨設其為M. 則復形M不是Gorenstein內射的
. 但由文獻［8］中定理3.2可知， M是Gorenstein FP-內射的. 因此， 由文獻［9］中命題9可知M是Gorenstein FP-內射復形.
命題7 設R是左凝聚環， G是復形.
1） 設G是Gorenstein FP-內射復形， 則對任意的正整數i和投射維數有限的有限表示復形P， 有Exti（P，G）=0;
2） 設存在復形的正合列0→G→E0→E1→…→En-1→N→0， 其中Ei
是Gorenstein FP-內射復形. 則對任意的正整數i和投射維數有限的有限表示復形P， 有Exti（P，N）=Extn+i（P，G）.
證明： 1） 設G是Gorenstein FP-內射復形， P是有限表示復形， 并且pd（P）=mlt;∞， 則存在以下正合序列：
0→N→Em-1→…→E0→G→0，
其中Ei是FP-內射復形. 由文獻［12］中引理2.25可知， 對任意的正整數i， 有Exti（P，Ej）=0， 其中0≤j≤m-1. 又因為pd
（P）=m， 所以由維數轉移得Exti（P，G）Extm+i（P，N）=0.
2） 由1）直接可得.
定義6 設G是復形， 則G的Gorenstein FP-內射維數記作GFP-id（G）， 定義為： GFP-id（G）=inf{n存在復形的正合列0→G→E0→E1→…
→En→0， 其中Ei是Gorenstein FP-內射復形}. 若n不存在， 則記GFP-id（G）=∞.
命題8 設R是左凝聚環， 并且存在復形的短正合列0→
M→E→N→0， 其中E是 FP-內射復形.
1） 設M是Gorenstein FP-內射復形， 則N也是Gorenstein FP-內射復形;
2） GFP-id（M）≤GFP-id（N）+1.
證明： 1） 由推論1可知結論顯然成立.
2） 設GFP-id（N）=nlt;∞， 則由定義6可知， 存在正合列
0→N→G0→…→Gn-1→Gn→0，
其中Gi是Gorenstein FP-內射復形. 又因為將序列0→M→E→N→0和序列0→N→G0→…→Gn-1→Gn→0結合可得以下交換圖：
因此可知， GFP-id（M）≤n+1.
命題9 設R是左凝聚環， 并且存在復形的短正合列0→E→M→N→0. 若N是Gorenstein FP-內射復形， E是FP-內射復形， 則M是Gorenstein FP-內射復形.
證明： 因為N是Gorenstein FP-內射復形， 所以存在復形的短正合列0→K→E′→N→0， 其中E′是FP-內射復形， K是Gorenstein FP-內射復形. 考慮以下拉回圖：
由該拉回圖可知存在正合列0→E→D→E′→0， 并且E和E′是FP-內射復形. 因此， D是FP-內射復形. 從而由推論1及正合列0→K→D→M→0可知M是Gorenstein FP-內射復形.
下面考慮每個復形均為Gorenstein FP-內射復形的環.
命題10 設R是環， 則任意復形是Gorenstein FP-內射復形當且僅當環R中的任意投射復形是FP-內射的， 并且任意投射維數有限的有限表示復形是投射的.
證明： 心要性. 根據題意可得任意復形是Gorenstein FP-內射的. 特別地， 當G是投射復形時， 它是Gorenstein FP-內射的. 因此考慮復形的短正合列0→M→E→G→0， 其中E是FP-內射復形. 又因為G是投射復形， 所以正合列可裂. 因此， G作為E的直和項是FP-內射復形. 又由注3可知， 對任意投射維數有限的有
限表示復形P和任意復形M， 有Ext1（P，M）=0.充分性. 設M是復形， 則由條件可知投射復形是FP-內射的. 考慮M的任意投射分解：
…→E-2→E-1→M→0（5）
及M的任意FP-內射分解：
0→M→E0→E1→….（6）
將序列（5）和（6）結合可得FP-內射復形的正合序列
E： …→E-2→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足M=Ker（E0→E1）. 又因為投射維數有限的有限表示復形P是投射的. 因此， Hom（P，E）正合， 即M是Gorenstein FP-內射復形.
參考文獻
［1］ENOCHS E E， JENDA O M G. Gorenstein Injective and Projective Modules［J］.Methematische Zeitschrift， 1995， 220（4）： 611-633.
［2］ENOCHS E E， GARCA ROZAS J R. Gorenstein Injective and Projective Complexes［J］.Communications in Algebra， 1998， 26（5）： 1657-1674.
［3］LU B. Gorenstein Objects in the Category of N-Comple
xes［J］.Journal of Algebra and Its Applications， 2021， 20（10）： 2150174-1-2150174-26.
［4］LU B， DI Z X. Gorenstein Cohomology of N-Comple
xes［J］.Journal of Algebra and Its Applications， 2020， 19（9）： 2050174-1-2050174-14.
［5］STENSTRM B. Coherent Rings and FP-Injective Modules［J］.Journal of the London Mathematical Society， 1970， 2（2）： 323-329.
［6］MAO L X， DING N Q. FP-Injective Complexes［C］//Ring and Module Theory. Basel： Springer， 2010： 135-142.
［7］MAO L X， DING N Q. Gorenstein FP-Injective and Gore
nstein Flat Modules［J］.Journal of Algebra and Its Applications， 2008， 7（4）： 491-506.
［8］GAO Z H， WANG F G. Coherent Rings and Gorenstein FP-Injective Modules［J］.Communications in Algebra， 2012， 40（5）： 1669-1679.
［9］IACOB A. Weakly Ding Injective Modules and Complexes［J］.Communications in Algebra， 2023， 51（12）： 4899-4912.
［10］汪鑫， 盧博. 強Gorenstein AC-內射復形及維數［J］.浙江大學學報（理學版）， 2024， 51（4）： 426-433. （WANG X， LU B. Strongly Gorenstein AC-I
njective Complexes and Dimensions［J］.Journal of Zhejiang University （Science Edition）， 2024， 51（4）： 426-433.）
［11］尹俊琦， 楊剛. Gorenstein DG-內射復形［J］.山東大學學報（理學版）， 2022， 57（10）： 28-33.
（YIN J Q， YANG G. Gorenstein DG-Injective Complexes［J］.Journal of Shandong University （Natural Science）， 2022， 57（10）： 28-33.）
［12］WANG Z P， LIU Z K. FP-Injective Complexes and FP-
Injective Dimension of Complexes［J］.Journal of the Australian Mathematical Society， 2011， 91（2）： 163-187.
［13］楊燕妮， 楊剛. 關于Gorenstein FP-內射模及維數［J］.四川師范大學學報（自然科學版）， 2016， 39（1）： 47-50. （
YANG Y N， YANG G. On Gorenstein FP-Injective Modules and Dimensions［J］.Journal of Sichuan Normal University （Natural Science）， 2016， 39（1）： 47-50.）
［14］GARCA ROZAS J R. Covers and Envelopes in the Category of Complexes of Modules［M］.New York： Routledge， 2022： 50.
［15］BENNIS D， MAHDOU N. Global Gorenstein Dimensions［J］.Proceedings of the American Mathematical Society， 2010， 138（2）： 461-465.
（責任編輯： 趙立芹）
