Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形
2025-03-21 00:00:00趙思信盧博
吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版) 2025年2期
摘要： 考慮Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 首先證明在凝聚環(huán)上， 復(fù)形G是Gorenstein FP-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)存在FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列…→E-1→E0→E1→E2→…， 滿足G=Ker（E0→E1）; 其次證明在一定條件下， 復(fù)形G是Gorenstein FP-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的整數(shù)m， Gm是Gorenstein FP-內(nèi)射模.
關(guān)鍵詞： Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形; Gorenstein FP-內(nèi)射模; 凝聚環(huán)
中圖分類號(hào)： O154.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1671-5489（2025）02-0367-08
Gorenstin FP-Injective Complexes
ZHAO Sixin， LU Bo
（College of Mathematics and Computer Science， Northwest Minzu University， Lanzhou 730030， China）
Abstract： We consider Gorenstein FP-injective complexes， firstly， weprove thata complex G is
Gorenstein FP-injective if and only if there is an exact sequence …→E-1→E0→E1→E2→… of FP-injective complexes with G=Ker（E0→E1） on coherent rings.
Secondly， weprove thata complex G is Gorenstein FP-injective if and only if Gm is a Gorenstein FP-injective module for each m∈瘙綄 under certain conditions.
Keywords： Gorenstein FP-injective complex; Gorenstein FP-injective module; coherent ring
收稿日期： 2024-04-22.
第一作者簡(jiǎn)介： 趙思信（2000—）， 女， 白族， 碩士研究生， 從事同調(diào)代數(shù)的研究， E-mail： y231530348@stu.xbmu.edu.cn.
通信作者簡(jiǎn)介： 盧 博（1985—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事同調(diào)代數(shù)的研究， E-mail： lubo55@126.com.
基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 12061061）、 中央高校基本科研業(yè)務(wù)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)： 31920230173）和甘肅省第一批隴原青年英才項(xiàng)目.
1 引言與預(yù)備知識(shí)
Gorenstein同調(diào)代數(shù)是經(jīng)典同調(diào)代數(shù)的推廣， 關(guān)于Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究目前已取得了許多結(jié)果. Enochs等［1］在任意結(jié)合環(huán)上引入了Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein投射模的概念; Enochs等［2］將Gorenstein同調(diào)理論推廣到了復(fù)形范疇， 引入并研究了Gorenstein內(nèi)射與投射復(fù)形; Lu等［3-4］將Gorenstein同調(diào)代數(shù)理論推廣到了N-復(fù)形范疇.Stenstrm［5］引入并研究了凝聚環(huán)上的FP-內(nèi)射模： 如果對(duì)任意的有限表示左R-模P， 有Ext1R（P，M）=0， 則稱左R-模M是FP-內(nèi)射的. Mao等［6］給出了FP-內(nèi)射復(fù)形的定義： 如果對(duì)任意的有限表示復(fù)形F， 有Ext1（F，C）=0， 則稱復(fù)形C是FP-內(nèi)射的. Mao等［7］引入并研究了Gorenstein FP-內(nèi)射模. Gao等［8］給出了Gorenstein FP-內(nèi)射模的另一種定義， 并研究了其在凝聚環(huán)上的一些性質(zhì). Iacob［9］基于文獻(xiàn)［8］定義的Gorenstein FP-內(nèi)射模引入了Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形. 本文基于Gorenstein FP-內(nèi)射模， 研究Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形及其相關(guān)性質(zhì). 給定一個(gè)復(fù)形G， 自然會(huì)考慮復(fù)形G與其層次模Gm間的關(guān)系. 文獻(xiàn)［2-4，6，9-12］給出了不同類型的復(fù)形與其層次模間的關(guān)系. 受上述研究工作的啟發(fā)， 本文研究Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形與其層次模間的關(guān)系.
本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)， 模均指酉模， R-模均指左R-模， 復(fù)形均指左R-模的復(fù)形， 并記C為左R-模的復(fù)形構(gòu)成的Able范疇. 本文中用右下和右上標(biāo)區(qū)別模和復(fù)形. 例如， 若{Ci}i∈I是一簇復(fù)形， 則Cim表示復(fù)形Ci的第m層次上的模. 將R-模的復(fù)形
…δi+2Ci+1δi+1CiδiCi-1δi-1…
記為（C，δ）， 簡(jiǎn)記為C. 定義Ker（δn） 為上述復(fù)形的第n個(gè)循環(huán)， 記作Zn（C）; Im（δn+1）為上述復(fù)形的第n個(gè)邊緣， 記作Bn（C）; 并記Hn（C）=Ker（δn）/
Im（δn+1）為上述復(fù)形的第n個(gè)同調(diào). 對(duì)任意的復(fù)形X∈C， X的n次平移記為ΣnX， 其中（ΣnX）k=Xk-n且δΣnXk=（-1）
nδXk-n， 并將Σ1X簡(jiǎn)記為ΣX. 給定R-模M， 用Dm（M）表示第m和（m-1）層次是M， 其余層次均為0的復(fù)形， 即
…→0→MidM→0→…;
用Sm（M）表示第m層次是M， 其余層次均為0的復(fù)形， 即…→0→M→0→….
并記D0（M）=， S0（M）=M.
設(shè)X，Y是復(fù)形. 復(fù)形Hom（X，Y）表示Abel群的復(fù)形， 即
…→∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n）
δn∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n-1）→….
第n層次的Abel群為
Hom（X，Y）n∶=∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n），n∈瘙綄，
第n次微分定義為： 若f=（fk）k∈瘙綄∈Hom（X，Y）n， 則
dnf=（（dnf）k）k∈瘙綄∈Hom（X，Y）n-1=∏k∈瘙綄HomR（Xk，Yk+n-1），
其中（dnf）k=δYn+kfk-（-1）nfk-1δXk∈HomR（Xk，Yk+n-1）.
本文用Hom（X，Y）表示所有從X到Y(jié)的復(fù)形同態(tài)所構(gòu)成的Abel群， Exti表示Hom的第i個(gè)右導(dǎo)出函子. 將復(fù)形C的投射
維數(shù)和內(nèi)射維數(shù)分別記作pd（C）和id（C）， 將整數(shù)集記作瘙綄.
定義1［8］若存在FP-內(nèi)射模的正合列
E=…→E1→E0→E-1→E-2→…，
滿足M=Ker（E0→E-1）， 并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示模P， HomR（P，E）正合， 則稱左R-模M是Gorenstein FP-內(nèi)射的.
定義2［2］若環(huán)R是雙邊Noether環(huán)并且它作為模時(shí)雙邊自內(nèi)射維數(shù)有限至多為n， 則稱環(huán)R是n-Gorenstein環(huán).
定義3［13］若Gorenstein FP-內(nèi)射模類關(guān)于擴(kuò)張封閉， 則稱環(huán)R是Gorenstein FP-內(nèi)射封閉環(huán).
定義4［14］若存在內(nèi)射復(fù)形的正合列…→I-2→I-1→I0→I1→I2→…，
滿足G=Ker（I0→I1）， 并且對(duì)任意內(nèi)射復(fù)形I， 該序列在Hom（I，-）函子作用后保持正合， 則稱復(fù)形G是Gorenstein內(nèi)射的.
引理1［12］復(fù)形C是有限生成的當(dāng)且僅當(dāng)C有界， 并且對(duì)任意的n∈瘙綄， Cn是有限生成
R-模; 復(fù)形C是有限表示的當(dāng)且僅當(dāng)C有界并且對(duì)任意的n∈瘙綄， Cn是有限表示R-模.
命題1［12］設(shè)R是凝聚環(huán)， 則任意FP-內(nèi)射復(fù)形的正向極限是FP-內(nèi)射的.
命題2［12］設(shè)C是復(fù)形， 則C是FP-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的n∈瘙綄， Cn是FP-內(nèi)射
模， 并且對(duì)任意有限表示復(fù)形F， Hom（F，C）正合.
命題3［6］設(shè)R是任意環(huán)， 則任意復(fù)形有FP-內(nèi)射預(yù)包絡(luò).
注1［6］FP-內(nèi)射復(fù)形關(guān)于擴(kuò)張封閉， 對(duì)直積、 直和及直和項(xiàng)均封閉.
注2［12］設(shè)R是凝聚環(huán)， C是FP-內(nèi)射復(fù)形， 則對(duì)任意的正整數(shù)i和有限表示復(fù)形F， Exti（F，C）=0.
2 Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形與維數(shù)
下面基于文獻(xiàn)［9］引入的Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的概念， 繼續(xù)討論Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形及其與其他復(fù)形之間的關(guān)系.
定義5 如果存在FP-內(nèi)射復(fù)形的正合序列
E： …→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）， 并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， 該序列在Hom（P，-）函子作用后保持正合， 則稱復(fù)形G是Gorenstein FP-內(nèi)射的.
注3 1） 文獻(xiàn)［9］引入了Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的概念， 說(shuō)明了其定
義方式與Gorenstein FP-內(nèi)射模一致， 但未給出具體形式. 因此， 本文先給出Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的定義.
2） 根據(jù)Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的定義， FP-內(nèi)射復(fù)形是Gorenstein FP-內(nèi)射的.
3） Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形類關(guān)于直積與直和封閉. 當(dāng)環(huán)R是凝聚環(huán)時(shí)， Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形類關(guān)于正向極限封閉.
4） 設(shè)G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 則對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， Ext1（P，G）=0.
5） 設(shè) E： …→E-1→E0→E1→E2→…是FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列， 滿足G=Ker（E0→E1）， 并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)
形P， 該序列在Hom（P，-）函子作用后得到的序列仍是正合的. 則由對(duì)稱性可知， 對(duì) E的所有核， 像和余核都是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
引理2 設(shè)G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 則對(duì)任意的 m∈瘙綄， Gm是Gorenstein FP-內(nèi)射模， 并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形F， Hom（F，G）正合.
證明： 設(shè)G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 則存在FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列
E： …→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）， 并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， Hom（P，E）正合. 因此對(duì)任意的整數(shù)m， 存在FP-內(nèi)射模的正合列
Em： …→E-1m→E0m→E1m→E2m→…，
滿足Gm=Ker（E0m→E1m）. 設(shè)M是任意投射維數(shù)有限的有限表示模， 則 D-m-1（M）是投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形. 因此由
假設(shè)可知， Hom（D-m-1（M），E）正合. 又因?yàn)閷?duì)任意的復(fù)形H， 有Hom（D-m-1（M），H）HomR（M，Hm）. 所以存在以下交換圖：
因此， 有下行正合. 即Gm是Gorenstein FP-內(nèi)射模.
對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形F， Hom（F，G）正合當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的整數(shù)m以及態(tài)射f， 復(fù)形的態(tài)射f： F→Σ-mG同倫于零. 等價(jià)于對(duì)任意的整數(shù)m以及態(tài)射f， 正合列
0→Σ-mG→M（f）→Σ-1F→0可裂， 即正合列0→G→ΣmM（f）→Σm-1F→0可裂，
其中M（f）是f的映射錐. 又因?yàn)镕是投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形， 所以Σm-1F也是投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形， 并且G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形. 所以有
Ext1（Σm-1F，G）=0. 因此Hom（F，G）正合.
命題4 設(shè)C是正合復(fù)形， 對(duì)任意的n∈瘙綄， Zn（C）是Gorenstein FP-內(nèi)射模， 則對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形F， Hom（F，C）正合.
證明： 因?yàn)镕是有限表示復(fù)形， 所以F是有界復(fù)形. 因此可設(shè)
F=∶…→0→Fn→Fn-1→…→F2→F1→F0→0→….
又因?yàn)镠om（F，C）是復(fù)形， 并且
Hom（F，C）=∶ …δn+1∏i∈瘙綄HomR（Fi，Cn+i）δ
n∏i∈瘙綄HomR（Fi，Cn-1+i）δn-1…，
所以對(duì)任意的n∈瘙綄， 只需證Ker（δn-1）Im（δn）. 設(shè)g∈Ker（δn-1）， 則
δn-1（g）=（δCn-1+tgt-（-1）n-1gt-1δFt）t∈瘙綄=0.
下面構(gòu)造態(tài)射f滿足
f∈Hom（F，C）n=∏i∈瘙綄HomR（Fi，Cn+i），
并且
δn（f）=（δCn+tft-（-1）nft-1δFt）t∈瘙綄=（gt）t∈瘙綄.
因?yàn)閷?duì)任意的t≤-1， gt=0. 所以若t≤-1， 則ft=0. 又因?yàn)槿魌=0， 則δCn-1g0=0， 所以
Im（g0）Ker（δCn-1）=Im（δCn）.
因?yàn)閆n（C）是Gorenstein FP-內(nèi)射模， 并且F0是投射維數(shù)有限的有限表示模， 所以存在以下交換圖：
即存在模同態(tài)f0： F0→Cn， 使得δCnf0=g0. 若t=1， 則
δCn（g1-（-1）n-1f0δF1）=δCng1-（-1）n-1δCnf0δF1=0，
并且
Im（g1-（-1）n-1f0δF1）Ker（δCn）.
令h1=g1-（-1）n-1f0δF1. 因?yàn)閆n+1（C）是Gorenstein FP-內(nèi)射模， 并且F1是投射維數(shù)有限的有限表示模， 所以存在以下交換圖：
即存在模同態(tài)f1： F1→Cn+1， 使得g1=δCn+1f1-（-1）nf0δF1. 重復(fù)上述步驟可得f∈Im（δn）， 并且δn（f）=g. 所以Hom（F，C）正合.
命題5 設(shè)R是左凝聚環(huán)， G是復(fù)形， 則以下條件等價(jià)：1） G是Gorenstein FP-內(nèi)射的;
2） 存在FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列
E： …→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）.
證明： 1）2）. 由Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的定義可知結(jié)論顯然成立.
2）1）. 由Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的定義可知， 只需證對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形N， Hom（N，E）正合. 設(shè)
pd（N）=mlt;∞， 下面對(duì)m進(jìn)行歸納. 當(dāng)m=0時(shí)， 結(jié)論顯然成立. 當(dāng)m≥1時(shí)， 存在短正合列
0→L→P0→N→0，
其中P0是有限生成投射復(fù)形， 并且pd（L）≤m-1. 因?yàn)镽是凝聚環(huán)， 所以復(fù)形L是有限表示的. 考慮復(fù)形的正合列：
因?yàn)镻0是投射復(fù)形， 所以Hom（P0，E）正合. 又由歸納假設(shè)可知Hom（L，E）正合. 因此Hom（N，E）
正合， 即G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
文獻(xiàn)［9］得到了在凝聚環(huán)上， 若存在整數(shù)n使得任意內(nèi)射模的平坦維數(shù)不超過(guò)n， 則復(fù)形G是Gorenstein FP-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的整數(shù)m， Gm是Gorenstein FP-內(nèi)射模.
定理1 設(shè)R是左凝聚環(huán)， G是R-模的復(fù)形. 若R是Gorenstein FP-內(nèi)射封閉環(huán)， 則下列條件等價(jià)：
1） G是Gorenstein FP-內(nèi)射的；
2） Gm是Gorenstein FP-內(nèi)射模.
證明： 1）2）. 由引理2可知結(jié)論顯然成立.
2）1）. 對(duì)任意的m∈瘙綄， Gm是Gorenstein FP-內(nèi)射模. 下證G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形. 因?yàn)樵贑中， 任意
復(fù)形都有足夠的FP-內(nèi)射預(yù)包絡(luò)， 所以存在短正合列0→G→I0→L→0， 其中I0是FP-內(nèi)射復(fù)形. 由文獻(xiàn)［13］中命題1.4可知， Gorenstein
FP-內(nèi)射模類是內(nèi)射余可解的. 因此Lm是Gorenstein FP-內(nèi)射模. 從而可得復(fù)形G和復(fù)形L具有相同的性質(zhì). 重復(fù)該步驟對(duì)L分解， 依次進(jìn)行下去可構(gòu)造G的一個(gè)FP-內(nèi)射分解：
0→G→I0→I1→I2→…，（1）
滿足Ki=Ker（Ii→Ii+1）（i≥0）.
下面構(gòu)造左邊FP-內(nèi)射分解. 顯然存在以下層次可裂的正合列：
0→Σ-1G（1，δ）m∈瘙綄Dm（Gm）（δ，1）G→0，
其中δ是G的微分. 因?yàn)镚m是Gorenstein FP-內(nèi)射模， 所以存在短正合列
0→CmαmEmβmGm→0，
其中Cm是Gorenstein FP-內(nèi)射模， Em是FP-內(nèi)射模. 從而存在短正合列
0→m∈瘙綄Dm（Cm）m∈瘙綄Dm（αm）
m∈瘙綄Dm（Em）m∈瘙綄Dm（βm）m∈瘙綄Dm（Gm）→0.
令I(lǐng)-1=m∈瘙綄Dm（Em）， 則I-1是FP-內(nèi)射復(fù)形. 設(shè)β=（δ，1）（m∈瘙綄Dm（β
m））， K-1=Ker β， 則β： I-1→G是滿射. 從而有如下交換圖：
0→m∈瘙綄Dm（Cm）→I-1→m∈瘙綄Dm（Gm）→0
因此由蛇引理可得正合列
0→m∈瘙綄Dm（Cm）→K-1→Σ-1G→0.
又由Gorenstein FP-內(nèi)射模類內(nèi)射余可解可知， K-1m 是Gorenstein FP-內(nèi)射模. 故K-1與復(fù)形G具有相同的性質(zhì). 從而重復(fù)上述步驟可構(gòu)造G
的如下FP-內(nèi)射分解：
…→I-2→I-1→G→0.（2）
將序列（1）和（2）結(jié)合可得FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列：
…→I-2→I-1→I0→I1→I2→…，
滿足G=Ker（I0→I1）. 因此G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
推論1 設(shè)R是左凝聚環(huán)， G是復(fù)形， 則以下條件等價(jià)：
1） 復(fù)形G是Gorenstein FP-內(nèi)射的;
2） 存在FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列 …→E-1→E0→G→0;
3） 存在復(fù)形的短正合列0→K→E→G→0， 其中E是FP-內(nèi)射復(fù)形， K是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
證明：直接由定義5可得1）2）和1）3）. 下面證明2）1）和3）2）.
2）1）. 設(shè)G是復(fù)形， 并且滿足條件2）. 令0→G→E1→E2→…是G的一個(gè)FP-內(nèi)射分解， 則結(jié)合條件2）可知存在FP-內(nèi)射復(fù)形的正合列
…→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）. 因此， 由命題4可知G是Gorenstien FP-內(nèi)射復(fù)形.
3）2）. 設(shè)存在復(fù)形的短正合列
0→K→E→G→0，（3）
其中E是FP-內(nèi)射復(fù)形， K是Gorenstien FP-內(nèi)射復(fù)形. 因?yàn)镵是Gorenstien FP-內(nèi)射復(fù)形， 所以存在正合列
…→（E-2）′→（E-1）′→（E0）′→K→0，（4）
其中（Ei）′是FP-內(nèi)射復(fù)形. 結(jié)合序列（3）和（4）可得以下序列：
…→（E-2）′→（E-1）′→（E0）′→E→G→0，
其中E和（Ei）′是FP-內(nèi)射復(fù)形. 即得所需正合列.
命題6 Gorenstein內(nèi)射復(fù)形是Gorenstein FP-內(nèi)射的. 特別地， 當(dāng)環(huán)R是n-Gorenstein環(huán)時(shí)， Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形與Gorenstein內(nèi)射復(fù)形等價(jià).
證明： 設(shè)G是Gorenstein內(nèi)射復(fù)形， 則存在內(nèi)射復(fù)形的正合列
I=…→I-1→I0→I1→I2→…，
滿足G=Ker（I0→I1）. 下面證明對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， Hom（P，I）正合.
先證明對(duì)任意投射維數(shù)有限的
復(fù)形M， Hom（M，I）正合. 不妨設(shè)任意復(fù)形pd（M）=mlt;∞， 下面對(duì)m進(jìn)行歸納. 當(dāng)m=0時(shí)結(jié)論顯然成立. 當(dāng)m≥1 時(shí)存在復(fù)形的短正合列0→P1→P0→M→0
， 其中P0和P1是投射復(fù)形. 因此， Hom（-，I）作用該序列后正合. 因?yàn)镠om（P0，I）和Hom（P1，I
）正合， 所以Hom（M，I）正合. 設(shè)pd（M）=m-1時(shí)結(jié)論成立， 則當(dāng)pd（M）=m時(shí)， 考慮復(fù)形的正合列0→K→P→M→0， 其中P是投射復(fù)形并且由維數(shù)轉(zhuǎn)
移可知pd（K）=m-1. 又因?yàn)镠om（K，I）和Hom（P，I）正合， 所以Hom（M，I）正合. 特別地，
對(duì)任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， Hom（P，I）正合. 因此G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
設(shè)R是n-Gorenstein環(huán)， G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 則存在內(nèi)射復(fù)形的正合列
E=…→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足G=Ker（E0→E1）. 下面只需證明對(duì)任意內(nèi)射維數(shù)有限的內(nèi)射復(fù)形I， Hom（I，E）正合. 因?yàn)镽是n-Gorenste
in環(huán)， 所以由文獻(xiàn)［2］中命題1.4可知， I的投射維數(shù)有限. 設(shè)pd（I）=mlt;∞. 下面對(duì)m進(jìn)行歸納. 當(dāng)m=0時(shí)， 結(jié)論成立. 當(dāng)m≥1時(shí)， 存在復(fù)形的短正合列0→H
→P→I→0， 其中P是投射復(fù)形. 因此存在復(fù)形的正合列
0→Hom（I，E）→Hom（P，E）→Hom（H，E）→0.
顯然Hom（P，E）正合. 又由維數(shù)轉(zhuǎn)移可得pd（H）=m-1. 因此根據(jù)歸納假設(shè)可得Hom（H，E）正合. 從而Hom
（I，E）正合. 因此G是Gorenstein內(nèi)射復(fù)形.
下面的IF-環(huán)均指環(huán)中的任意內(nèi)射模是平坦的. 先給出一個(gè)實(shí)例說(shuō)明存在復(fù)形是Gorenstein FP-內(nèi)射的， 但不是Gorenstein內(nèi)射的.
例1 設(shè)環(huán)R是非Noether的凝聚IF-環(huán)， 則存在一個(gè)復(fù)形是Gorenstein FP-內(nèi)射的， 但不是Gorenstein內(nèi)射的.
證明： 由文獻(xiàn)［15］中命題2.6可知， 存在一個(gè)R-模不是Gorenstein內(nèi)射的， 不妨設(shè)其為M. 則復(fù)形M不是Gorenstein內(nèi)射的
. 但由文獻(xiàn)［8］中定理3.2可知， M是Gorenstein FP-內(nèi)射的. 因此， 由文獻(xiàn)［9］中命題9可知M是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
命題7 設(shè)R是左凝聚環(huán)， G是復(fù)形.
1） 設(shè)G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 則對(duì)任意的正整數(shù)i和投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， 有Exti（P，G）=0;
2） 設(shè)存在復(fù)形的正合列0→G→E0→E1→…→En-1→N→0， 其中Ei
是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形. 則對(duì)任意的正整數(shù)i和投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形P， 有Exti（P，N）=Extn+i（P，G）.
證明： 1） 設(shè)G是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， P是有限表示復(fù)形， 并且pd（P）=mlt;∞， 則存在以下正合序列：
0→N→Em-1→…→E0→G→0，
其中Ei是FP-內(nèi)射復(fù)形. 由文獻(xiàn)［12］中引理2.25可知， 對(duì)任意的正整數(shù)i， 有Exti（P，Ej）=0， 其中0≤j≤m-1. 又因?yàn)閜d
（P）=m， 所以由維數(shù)轉(zhuǎn)移得Exti（P，G）Extm+i（P，N）=0.
2） 由1）直接可得.
定義6 設(shè)G是復(fù)形， 則G的Gorenstein FP-內(nèi)射維數(shù)記作GFP-id（G）， 定義為： GFP-id（G）=inf{n存在復(fù)形的正合列0→G→E0→E1→…
→En→0， 其中Ei是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形}. 若n不存在， 則記GFP-id（G）=∞.
命題8 設(shè)R是左凝聚環(huán)， 并且存在復(fù)形的短正合列0→
M→E→N→0， 其中E是 FP-內(nèi)射復(fù)形.
1） 設(shè)M是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 則N也是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形;
2） GFP-id（M）≤GFP-id（N）+1.
證明： 1） 由推論1可知結(jié)論顯然成立.
2） 設(shè)GFP-id（N）=nlt;∞， 則由定義6可知， 存在正合列
0→N→G0→…→Gn-1→Gn→0，
其中Gi是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形. 又因?yàn)閷⑿蛄?→M→E→N→0和序列0→N→G0→…→Gn-1→Gn→0結(jié)合可得以下交換圖：
因此可知， GFP-id（M）≤n+1.
命題9 設(shè)R是左凝聚環(huán)， 并且存在復(fù)形的短正合列0→E→M→N→0. 若N是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， E是FP-內(nèi)射復(fù)形， 則M是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
證明： 因?yàn)镹是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形， 所以存在復(fù)形的短正合列0→K→E′→N→0， 其中E′是FP-內(nèi)射復(fù)形， K是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形. 考慮以下拉回圖：
由該拉回圖可知存在正合列0→E→D→E′→0， 并且E和E′是FP-內(nèi)射復(fù)形. 因此， D是FP-內(nèi)射復(fù)形. 從而由推論1及正合列0→K→D→M→0可知M是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
下面考慮每個(gè)復(fù)形均為Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形的環(huán).
命題10 設(shè)R是環(huán)， 則任意復(fù)形是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R中的任意投射復(fù)形是FP-內(nèi)射的， 并且任意投射維數(shù)有限的有限表示復(fù)形是投射的.
證明： 心要性. 根據(jù)題意可得任意復(fù)形是Gorenstein FP-內(nèi)射的. 特別地， 當(dāng)G是投射復(fù)形時(shí)， 它是Gorenstein FP-內(nèi)射的. 因此考慮復(fù)形的短正合列0→M→E→G→0， 其中E是FP-內(nèi)射復(fù)形. 又因?yàn)镚是投射復(fù)形， 所以正合列可裂. 因此， G作為E的直和項(xiàng)是FP-內(nèi)射復(fù)形. 又由注3可知， 對(duì)任意投射維數(shù)有限的有
限表示復(fù)形P和任意復(fù)形M， 有Ext1（P，M）=0.充分性. 設(shè)M是復(fù)形， 則由條件可知投射復(fù)形是FP-內(nèi)射的. 考慮M的任意投射分解：
…→E-2→E-1→M→0（5）
及M的任意FP-內(nèi)射分解：
0→M→E0→E1→….（6）
將序列（5）和（6）結(jié)合可得FP-內(nèi)射復(fù)形的正合序列
E： …→E-2→E-1→E0→E1→E2→…，
滿足M=Ker（E0→E1）. 又因?yàn)橥渡渚S數(shù)有限的有限表示復(fù)形P是投射的. 因此， Hom（P，E）正合， 即M是Gorenstein FP-內(nèi)射復(fù)形.
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（責(zé)任編輯： 趙立芹）
